Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории
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7.2.1. ɇɟɤɨɬɨɪɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ
ɉɭɫɬɶ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɨ ɤɚɤ Ⱥ*. ȿɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɹ
ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɡɚɧɭɦɟɪɨɜɚɧɵ ɰɟɥɵɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ, ɬɨ Ⱥ* ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɤɚɤ Ⱥ* = {x
1
, x
2
,...},
ɝɞɟ x
i
, — ɨɞɧɨ ɢɡ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢɡ A*. ɉɭɫɬɶ A — ɤɚɤɨɟ-ɧɢɛɭɞɶ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɢɡ A*, ɚ A —
ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ, ɧɟ ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɟ ɫɨɛɵɬɢɣ (ɩɭɫɬɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ).
ȼɟɪɨɹɬɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɣ A, ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɦɚɹ ɤɚɤ Ɋ(A), ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɹ ɨɬ A,
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɚɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɚɤɫɢɨɦɚɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ:
i) ȇ (Ⱥ) ≥ 0 ɞɥɹ ɜɫɟɯ A;
ii) Ɋ(A*)=1; ɢ
iii) ȿɫɥɢ A
i
, (i = 1,2,...) — ɫɱɟɬɧɚɹ (ɜɨɡɦɨɠɧɨ, ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɚɹ) ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ
ɧɟɩɟɪɟɫɟɤɚɸɳɢɯɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜ, ɬɨ
()
¦¦
=
¸
¹
·
¨
©
§
i
i
i
i
APAP
.
ɗɬɢɯ ɬɪɟɯ ɚɤɫɢɨɦ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. ɂɡ ɧɢɯ ɦɵ
ɢɦɟɟɦ:
iv) ȿɫɥɢ A — ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢɡ A*, ɤɨɬɨɪɵɟ ɧɟ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬ A, ɬɨ Ɋ( A )
= 1 — Ɋ(Ⱥ), ɢ
v) Ɋ(A)=0.
ɇɚ ɢɧɬɭɢɬɢɜɧɨɦ ɭɪɨɜɧɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ȇ (Ⱥ) ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɢɡ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ* ɦɵ
N ɪɚɡ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜɵɛɟɪɟɦ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ, ɬɨ ɩɪɢ ɫɬɪɟɦɥɟɧɢɢ ɱɢɫɥɚ N ɤ
ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɫɬɢ ɱɚɫɬɨɬɚ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɤɨɧɤɪɟɬɧɨɟ ɜɵɛɪɚɧɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ ɨɤɚɠɟɬɫɹ
ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɦ Ⱥ, ɩɪɢɛɥɢɠɚɟɬɫɹ ɤ ɱɢɫɥɭ ȇ (Ⱥ). ȼɵɛɨɪ ɦɨɠɟɬ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɩɨɫɥɟɞɨ-
ɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɨɞɧɨ ɫɨɛɵɬɢɟ ɡɚ ɞɪɭɝɢɦ, ɢɥɢ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ.
ɋɨɜɦɟɫɬɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ȇ(ǹ∩Ǻ) ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ
ɝɞɟ x — ɫɨɛɵɬɢɟ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɟɫɹ ɜ ɨɛɨɢɯ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ ɤɥɚɫɫɚɯ A ɢ ȼ. ɋ
ɩɨɦɨɳɶɸ ɷɬɨɝɨ ɩɨɧɹɬɢɹ ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɭɫɥɨɜɧɭɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ Ɋ(Ⱥ|ȼ) ɤɚɤ
ɤɨɬɨɪɚɹ ɟɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɤɚɠɞɨɟ ɢɡ ɫɨɛɵɬɢɣ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ A ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɜ
ȼ. ȼ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɞɜɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɫɨɛɵɬɢɣ A ɢ ȼ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɟɫɥɢ
ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ, ɱɬɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɱɚɫɬɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ȼ, ɧɟ ɜɥɢɹɟɬ ɧɚ
ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɨɧɨ
ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ A, ɢɥɢ Ɋ(Ⱥ|ȼ) ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ȼ. Ɍɨ ɟɫɬɶ, ɝɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ Ⱥ ɢ ȼ
ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɟɫɥɢ
Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɫɞɟɥɚɬɶ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ
ɫɨɛɵɬɢɣ.
ɉɨɧɹɬɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ,
ɱɬɨ ɭ ɧɚɫ ɟɫɬɶ ɚɛɫɬɪɚɤɬɧɨɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨɟ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ, ɩɨɪɨɠɞɟɧɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɹɦɢ,
ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɦɵɦɢ x, ɩɪɢɱɟɦ x ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɦ ɢɥɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɦ. ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ
ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ(ɯ) ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɹ ɯ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ x ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ. ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ
ɜɟɥɢɱɢɧɵ X
1
,X
2
,... ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ
ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ, ɟɫɥɢ ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ X
i
, ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɨɬ ɨɫɬɚɜɲɢɯɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧ
X
i
.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ, ɤɨɝɞɚ ɛɚɡɨɜɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵ. ɋɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɏ(ɯ) ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ
ɝɞɟ ɪ(ɯ) — ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɟɫɥɢ ɫɨɛɵɬɢɹ x ɫɱɟɬɧɵ, ɬɨ
Ⱦɥɹ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ
Ⱦɢɫɩɟɪɫɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɟɫɬɶ ɦɟɪɚ ɭɤɥɨɧɟɧɢɹ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɏ ɨɬ ɫɪɟɞɧɟɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ¢X².
ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨɟ ɩɨɧɹɬɢɟ ɧɨɫɢɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ
ɤɨɜɚɪɢɰɢɨɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ, ɩɪɢɱɟɦ ij-ɬɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɷɬɨɣ ɦɚɬɪɢɰɵ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ
ȿɫɥɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵ, ɬɨ ɷɬɚ ɦɚɬɪɢɰɚ ɞɢɚɝɨɧɚɥɶɧɚ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ {ȋ
i
}.
ɋɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɩɪɟɞɟɥɚ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɢ X
i
ɩɪɢ n
→∞
ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɝɪɭɛɨ ɝɨɜɨɪɹ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ ɏ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ Ț ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɚ
ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶɸ {ȋ
i
}. Ɇɨɠɧɨ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɦɧɨɝɨ
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɣ ɩɪɟɞɟɥɚ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɟɫɬɶ ɩɨɱɬɢ ɞɨɫɬɨɜɟɪɧɵɣ ɩɪɟɞɟɥ,
ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɵɣ ɩɪɟɞɟɥ, ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɣ ɩɪɟɞɟɥ (ɢɥɢ ɩɪɟɞɟɥ ɩɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ) ɢ
ɩɪɟɞɟɥ ɩɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ (ɫɦ., ɧɚɩɪɢɦɟɪ, Ƚɚɪɞɢɧɟɪ, 1983).
ȼ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ ɜɜɟɞɟɧɧɵɯ ɩɨɧɹɬɢɣ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɚɤɨɧ ɛɨɥɶɲɢɯ ɱɢɫɟɥ.
ɂɡɦɟɪɹɹ N ɪɚɡ ɨɞɧɭ ɢ ɬɭ ɠɟ ɜɟɥɢɱɢɧɭ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɜɵɛɨɪɤɭ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ɏ(ɩ) (ɩ = 1,2,...). ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ
ɩ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɏ(ɩ) ɢɦɟɟɬ
ɨɞɢɧ ɢ ɬɨɬ ɠɟ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. ɋɥɟɞɭɟɬ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɏ(ɩ)
ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ. Ɇɨɠɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɹ ɩɪɢ |ɩ — ɬ
|→∞
ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɵɫɬɪɭɸ ɫɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɤ ɧɭɥɸ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ ¢ɏ(ɩ),ɏ(ɬ)², ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɢɦɟɬɶ
əɫɧɨ, ɱɬɨ
XX
N
→
. ȼɵɱɢɫɥɢɦ ɬɟɩɟɪɶ ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ X
N
ɢ ɩɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɩɪɢ N
→∞ ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɨɧɚ ɫɬɪɟɦɢɬɫɹ ɤ ɧɭɥɸ. Ɍɚɤ ɤɚɤ var { X
N
} ɪɚɜɧɹɟɬɫɹ
ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɹ, ɱɬɨ ¢ȋ
n
,ȋ
m
²
ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɛɵɫɬɪɨ ɫɩɚɞɚɟɬ ɩɪɢ ɛɨɥɶɲɢɯ |n —m|, ɧɚɣɞɟɦ,
ɱɬɨ
ɗɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɩɪɟɞɟɥ lim
N
X ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɟɬɟɪɦɢɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ,
ɤɨɬɨɪɚɹ ɪɚɜɧɚ ¢X².
7.2.2. ɋɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɩɪɨɰɟɫɫɵ
ɉɨɞ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɩɪɨɰɟɫɫɚɦɢ ɦɵ ɩɨɧɢɦɚɟɦ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɭɟɬ
ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɚɹ X(t). ȼ ɲɢɪɨɤɨɦ ɩɨɧɢɦɚɧɢɢ ɷɬɨ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɤɨɬɨɪɵɟ
ɷɜɨɥɸɰɢɨɧɢɪɭɸɬ ɜɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɜ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨɦ ɫɦɵɫɥɟ. ɉɨɞɪɚɡɭɦɟɜɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
ɯ
1
, x
2
,... · ɮɭɧɤɰɢɢ X(t) ɜ ɦɨɦɟɧɬɵ t
1
,t
2
… ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɢɡɦɟɪɟɧɵ ɢ ɱɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ
ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɮɭɧɤɰɢɣ ɫɨɜɦɟɫɬɧɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ
p(x
1
, t
1
, x
2
, t
2
,…)
ɝɞɟ
ɉɨɞɨɛɧɨ ɬɨɦɭ, ɤɚɤ ɷɬɨ ɞɟɥɚɟɬɫɹ ɜ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ, ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ
ɭɫɥɨɜɧɵɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ. ɑɬɨɛɵ ɩɪɨɢɥɥɸɫɬɪɢɪɨɜɚɬɶ, ɤɚɤ ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɫɬɶ
ɦɨɠɟɬ ɜɥɢɹɬɶ ɧɚ ɫɩɨɫɨɛ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɢɧɚɦɢɤɭ
ɪɨɠɞɚɟɦɨɫɬɢ N(t), ɝɞɟ ȃ — ɱɢɫɥɨ ɢɧɞɢɜɢɞɭɭɦɨɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ. ɉɭɫɬɶ
ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɡɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɵɣ ɨɬɪɟɡɨɤ ɜɪɟɦɟɧɢ δt ɱɢɫɥɟɧɧɨɫɬɶ ɩɨɩɭ-
ɥɹɰɢɢ ɜɨɡɪɚɫɬɟɬ ɨɬ
N ɞɨ ȃ + 1, ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ N ɢ δt, ɬ. ɟ.
ɝɞɟ ȇ — ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ, ɚ α — ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɤɨɧɫɬɚɧɬɚ. ȿɫɥɢ ɦɵ ɜɵɪɚɡɢɦ
ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦɭɸ ɱɢɫɥɟɧɧɨɫɬɶ ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɩ = Ǽ(ȃ), ɬɨ ɩɨɥɭɱɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ:
Ɉɞɧɚɤɨ, ɟɫɥɢ ɜɜɟɫɬɢ ɜ ɫɢɫɬɟɦɭ ɧɟɥɢɧɟɣɧɭɸ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɨɬ ɨɛɴɟɦɚ
ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ
ɝɞɟ ȕ — ɤɨɧɫɬɚɧɬɚ, ɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ n (= Ǽ(ȃ)) ɛɭɞɟɬ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɜɵɩɨɥɧɟɧɨ E(N
2
) = (E(N))
2
, ɦɵ ɧɟ ɦɨɠɟɦ ɡɚɩɢɫɚɬɶ,
ɱɬɨ
ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɪɚɡɧɨɫɬɶ E(N
2
) — (E(N))
2
ɟɫɬɶ ɞɢɫɩɟɪɫɢɹ N, ɬɨ ɩɨɤɚ N ɢɦɟɟɬ ɦɚɥɭɸ
ɞɢɫɩɟɪɫɢɸ, ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɷɬɢɦ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟɦ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɵɣ
ɜɵɜɨɞ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ ɷɮɮɟɤɬɨɜ ɜɵɫɲɢɯ ɩɨɪɹɞɤɨɜ. ȿɫɥɢ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ
ɫɥɭɱɚɣ ɛɨɥɟɟ ɱɟɦ ɨɞɧɨɣ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ, ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɬɪɟɛɨɜɚɬɶ ɦɚɥɨɫɬɶ ɤɨɜɚɪɢɚɰɢɢ.
ɉɪɨɫɬɟɣɲɢɣ ɬɢɩ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ — ɩɪɨɰɟɫɫ ɫ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ
ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ
ɱɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɩɨɥɧɭɸ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ ȋ ɜ ɦɨɦɟɧɬ t ɨɬ ɟɟ ɩɪɨɲɥɵɯ (ɢɥɢ
ɛɭɞɭɳɢɯ) ɡɧɚɱɟɧɢɣ: ȿɫɥɢ, ɤɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, p(x
i
,t
i
) ɜ
(7.2.1) ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ t
i
, ɬ.ɟ. ɟɫɥɢ ɜ ɥɸɛɨɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜ ɨɞɢɧ ɢ ɬɨɬ ɠɟ
ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɣ ɡɚɤɨɧ, ɬɨ ɬɚɤɨɣ ɩɪɨɰɟɫɫ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɪɨɰɟɫɫɨɦ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ. ɇɚɡɜɚɧɢɹ
ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɪɚɡɥɢɱɚɸɬɫɹ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ ɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ
ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɜ ɦɚɪɤɨɜɫɤɨɦ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɡɧɚɧɢɟ ɧɚɫɬɨɹɳɟɣ ɫɢɬɭɚɰɢɢ ɨɩɪɟ-
ɞɟɥɹɟɬ ɛɭɞɭɳɭɸ, ɬ. ɟ., ɭɫɥɨɜɧɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɦɚɪɤɨɜɫɤɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ
ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɢɡ
ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ ɨ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɛɥɢɡɤɢɯ ɬɟɤɭɳɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ
ɜɟɥɢɱɢɧ
ɝɞɟ t
1
≥
t
2
…
≥
t
1
*
≥
t
2
*
…
ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɞɥɹ ɜɫɟɯ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ
ɬɨ ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ ɞɨɩɭɳɟɧɢɹ Ɇɚɪɤɨɜɚ, ɢɦɟɟɦ
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ (7.2.2) ɧɨɫɢɬ ɢɦɹ ɑɟɩɦɟɧɚ-Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ. ɉɨɤɚɠɟɦ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ
ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɩɢɫɚɧɨ ɜ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɮɨɪɦɟ. Ⱦɥɹ
ɥɸɛɨɝɨ İ > 0 ɩɨɬɪɟɛɭɟɦ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɟ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɭɫɥɨɜɢɣ:
ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɩɨ ɜɟɤɬɨɪɚɦ ɯ, z ɢ ɜɪɟɦɟɧɢ t ɞɥɹ |ɯ — z| < İ;
Ɉɛɚ ɩɨɫɥɟɞɧɢɯ ɩɪɟɞɟɥɚ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɵ ɩɨ z, t ɢ İ.
i
i
i
Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɷɬɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɜɫɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ ɜɵɫɲɢɯ ɩɨɪɹɞɤɨɜ ɜ
ɮɨɪɦɟ (7.2.4) ɢ (7.2.5) ɞɨɥɠɧɵ ɫɬɪɟɦɢɬɶɫɹ ɤ ɧɭɥɸ. ɉɪɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɞɪɭɝɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ
ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɣ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɩɪɨɰɟɫɫ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɡɚɩɢɫɚɧ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ
(Ƚɚɪɞɢɧɟɪ, 1983, ɪɚɡɞ. 3.4)
18
:
ɗɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ ɑɟɩɦɟɧɚ-Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ.
ȿɫɥɢ ɩɨɞɯɨɞɹɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɮɭɧɤɰɢɢ A(x,t), B(x,t) ɢ W(x|y,t), ɬɨ ɭ ɷɬɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɛɭɞɟɬ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɬɶ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ.
ȿɫɥɢ ɩɨɥɨɠɢɬɶ A
i
(z,t) = B
ij
(z,t) = 0, ɩɨɥɭɱɢɦ ɦɚɫɬɟɪ-ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ȼ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɪɚɡɞɟɥɟ ɦɵ ɜɵɜɟɞɟɦ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɞɥɹ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɪɨɠɞɟɧɢɹ-ɝɢɛɟɥɢ
ɢ ɢɫɫɥɟɞɭɟɦ ɟɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ.
ȿɫɥɢ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɢɬɶ, ɱɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ W(z|x,t) ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ, ɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɑɟɩɦɟɧɚ-
Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ ɩɟɪɟɣɞɟɬ ɜ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ Ɏɨɤɤɟɪɚ-ɉɥɚɧɤɚ
ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɩɪɨɰɟɫɫ ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɤɚɤ ɩɪɨɰɟɫɫ ɞɢɮɮɭɡɢɢ.
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤ ɫɨɰɢɚɥɶɧɵɦ ɫɢɫɬɟɦɚɦ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ȼɚɣɞɥɢɯɨɦ ɢ
ɏɚɚɝɨɦ (1983). ȼɟɤɬɨɪ A(z,t) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɤɬɨɪɨɦ ɞɪɟɣɮɚ, ɚ ɦɚɬɪɢɰɚ B(z,t) —
ɦɚɬɪɢɰɟɣ ɞɢɮɮɭɡɢɨɧɧɵɯ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ (ɞɢɮɮɭɡɢɨɧɧɨɣ ɦɚɬɪɢɰɟɣ).
ȿɫɥɢ ɧɟ ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ ɬɨɥɶɤɨ ɩɟɪɜɵɣ ɱɥɟɧ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɍɪɚɜɧɟɧɢɹ ɑɟɩɦɟɧɚ-
Ʉɨɥɦɨɝɨɪɨɜɚ, ɬɨ ɢɦɟɟɦ ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
18
ɋɦ. ɬɚɤɠɟ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, Ƚɢɯɦɚɧ ɂ. ɂ., ɋɤɨɪɨɯɨɞ Ⱥ. ȼ. ȼɜɟɞɟɧɢɟ ɜ ɬɟɨɪɢɸ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ
ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ. Ɇ.: ɇɚɭɤɚ, 1965, 656 ɫ. — ɉɪɢɦ. ɪɟɞ.
Ʌɢɭɜɢɥɥɹ
ɉɪɟɞɥɨɠɟɧɵ ɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɞɪɭɝɢɟ ɮɨɪɦɵ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ, ɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ
ɦɟɬɨɞɵ ɢɯ ɪɟɲɟɧɢɹ. ɇɢɠɟ ɦɵ ɩɪɢɜɟɞɟɦ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢɦɟɪɵ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɦɟɬɨɞɨɜ, ɢɦɟɸɳɢɟ ɰɟɥɶɸ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɤɚɤ ɧɚɲɟ ɜɢɞɟɧɢɟ ɪɨɥɢ
ɧɟɥɢɧɟɣɧɨɫɬɢ ɢ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɧɚɫ ɤ ɧɨɜɨɦɭ ɩɨɧɢɦɚɧɢɸ ɷɜɨɥɸɰɢɨɧɧɵɯ
ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɜ ɷɤɨɧɨɦɢɤɟ.
7.3. ɉɪɨɰɟɫɫɵ ɪɨɠɞɟɧɢɹ—ɝɢɛɟɥɢ ɢ ɦɚɫɬɟɪ-ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
Ʉ ɤɥɚɫɫɭ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫɚɦɢ ɪɨɠɞɟɧɢɹ-ɝɢɛɟɥɢ, ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ
ɨɬɧɟɫɟɧ ɲɢɪɨɤɢɣ ɫɩɟɤɬɪ ɹɜɥɟɧɢɣ (Ƚɚɪɞɢɧɟɪ, 1983). ɇɚɡɜɚɧɢɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɨɬ ɡɚɞɚɱɢ
ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɞɢɧɚɦɢɤɢ ɱɟɥɨɜɟɱɟɫɤɨɣ ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ ɢɥɢ ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ ɠɢɜɨɬɧɵɯ, ɜ
ɤɨɬɨɪɨɣ ɭɱɢɬɵɜɚɟɬɫɹ ɪɨɠɞɟɧɢɟ ɢ ɫɦɟɪɬɶ ɢɧɞɢɜɢɞɭɭɦɨɜ. Ɇɨɞɟɥɶ «ɯɢɳɧɢɤ-ɠɟɪɬɜɚ»,
ɭɩɨɦɢɧɚɜɲɚɹɫɹ ɜ ɝɥ. 3, — ɨɞɧɚ ɢɡ ɧɚɢɛɨɥɟɟ ɭɜɥɟɤɚɬɟɥɶɧɵɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɩɨɞɨɛɧɨɝɨ ɪɨɞɚ.
ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɪɚɡɞɟɥɟ ɦɵ ɨɩɢɲɟɦ ɬɚɤɨɣ
ɩɪɨɰɟɫɫ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɫ
ɩɨɦɨɳɶɸ ɦɚɫɬɟɪ-ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɜ ɬɟɪɦɢɧɚɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɞɢɧɚɦɢɤɢ. Ɉɩɢɫɚɧɢɟ
ɞɚɞɢɦ ɞɨɜɨɥɶɧɨ ɤɪɚɬɤɨɟ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɩɨɥɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ ɦɨɞɟɥɢ ɜɟɫɶɦɚ ɫɥɨɠɟɧ ɢ ɯɨɪɨɲɨ
ɢɡɜɟɫɬɟɧ ɜ ɥɢɬɟɪɚɬɭɪɟ.
ɉɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɨɫɨɛɟɣ ɞɜɭɯ ɜɢɞɨɜ, ɨɞɢɧ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ
ɨɯɨɬɢɬɫɹ ɧɚ ɞɪɭɝɨɣ ɫ ɰɟɥɶɸ ɩɪɨɩɢɬɚɧɢɹ, ɜɬɨɪɨɣ ɜɢɞ
ɩɨɞɞɟɪɠɢɜɚɟɬ ɫɜɨɟ
ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɢɡ ɧɟɢɫɬɨɳɚɸɳɟɝɨɫɹ ɢɫɬɨɱɧɢɤɚ ɩɢɳɢ. ɉɭɫɬɶ ɱɟɪɟɡ ȋ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɚ
ɟɞɢɧɢɰɚ ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ ɠɟɪɬɜ, ɱɟɪɟɡ Y — ɟɞɢɧɢɰɚ ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ ɯɢɳɧɢɤɨɜ, Ⱥ
*
— ɩɢɳɚ
ɠɟɪɬɜ, ȼ
*
— ɫɦɟɪɬɧɨɫɬɶ ɯɢɳɧɢɤɨɜ. ɂɫɫɥɟɞɭɟɦɵɣ ɩɪɨɰɟɫɫ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɢɥɥɸɫɬɪɢɪɨɜɚɬɶ
ɫɯɟɦɨɣ
ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɟɪɜɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɢɦɜɨɥɢɡɢɪɭɟɬ ɫɴɟɞɟɧɢɟ ɠɟɪɬɜɨɣ ɟɞɢɧɢɰɵ ɩɢɳɢ ɢ
ɧɟɦɟɞɥɟɧɧɨɟ ɜɨɫɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ, ɜɬɨɪɨɟ ɫɢɦɜɨɥɢɡɢɪɭɟɬ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɟ ɯɢɳɧɢɤɨɦ
ɟɞɢɧɢɰɵ ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ ɠɟɪɬɜ (ɤɨɬɨɪɵɟ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɨɝɢɛɚɸɬ — ɢ ɷɬɨ ɞɥɹ ɧɢɯ
ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɜɢɞ ɫɦɟɪɬɧɨɫɬɢ) ɢ ɧɟɦɟɞɥɟɧɧɨɟ ɜɨɫɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ, ɚ ɩɨɫɥɟɞɧɟɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɬɪɚɠɚɟɬ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɭɸ ɫɦɟɪɬɧɨɫɬɶ ɯɢɳɧɢɤɨɜ. ɇɢɠɟ ɞɥɹ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ
ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɟɥɢɱɢɧ ȋ ɢ Ȋ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɫɢɦɜɨɥɵ x ɢ ɭ. ȿɫɥɢ
ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɢɬɶ, ɱɬɨ ɩɟɪɜɚɹ «ɪɟɚɤɰɢɹ» ɨɬɪɚɠɚɟɬ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɜɨɫɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ȋ
ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ x ɢ ɨɛɴɟɦɭ ɫɴɟɞɟɧɧɨɣ ɩɢɳɢ, ɜɬɨɪɚɹ — ɱɬɨ
ɜɨɫɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ ɯɢɳɧɢɤɨɜ Ȋ ɢ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɟ ɠɟɪɬɜ ȋ ɫ ɪɚɜɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ
ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɜɟɥɢɱɢɧɟ xɭ, ɬɪɟɬɶɹ — ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɹ ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ Ȋ, ɝɞɟ
ɫɦɟɪɬɧɨɫɬɶ
Y ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɭ, ɬɨ ɡɚɞɚɱɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɨɩɢɫɚɧɚ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ «ɯɢɳɧɢɤ-ɠɟɪɬɜɚ»
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɷɬɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɛɵɥɢ ɢɡɭɱɟɧɵ ɜ ɝɥ. 3. Ɉɛɫɭɞɢɦ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɟ ɜɨɡɞɟɣɫɬɜɢɟ ɧɚ
ɬɚɤɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɦɚɥɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɨɡɦɭɳɟɧɢɣ. ȼɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɦɚɥɵɟ ɜɨɡɦɭɳɟɧɢɹ ɦɨɝɭɬ
ɜɵɡɜɚɬɶ ɛɥɭɠɞɚɧɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɞɟɬɟɪɦɢɧɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɦɟɠɞɭ ɬɪɚɟɤɬɨɪɢɹɦɢ
ɫɢɫɬɟɦɵ ɞɨ ɬɟɯ ɩɨɪ, ɩɨɤɚ ɨɧɨ ɜ ɤɨɧɰɟ ɤɨɧɰɨɜ ɧɟ ɧɚɬɤɧɟɬɫɹ ɧɚ ɨɫɶ x = 0 ɢɥɢ ɭ = 0. ȿɫɥɢ
ɫɢɫɬɟɦɚ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɞɢɧɚɦɢɤɭ ɩɨɩɭɥɹɰɢɣ, ɷɬɨ
ɨɡɧɚɱɚɟɬ ɝɢɛɟɥɶ ɩɨɩɭɥɹɰɢɢ ɠɟɪɬɜ ɢɥɢ
ɯɢɳɧɢɤɨɜ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɨɞɟɥɶ ɧɟɚɞɟɤɜɚɬɧɨ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ ɞɨɥɝɨɜɪɟɦɟɧɧɵɟ
ɨɫɰɢɥɥɹɰɢɢ ɫɢɫɬɟɦɵ «ɯɢɳɧɢɤ-ɠɟɪɜɚ». ɂɦɟɸɬɫɹ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɹ, ɧɚɥɚɝɚɟɦɵɟ
ɧɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɪɟɚɥɶɧɨɣ ɨɫɰɢɥɥɹɰɢɨɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɨɣ.
ȿɫɥɢ ɦɵ ɯɨɬɢɦ ɞɨɥɠɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜɤɥɸɱɢɬɶ ɜ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɟ ɮɥɭɤɬɭɚɰɢɢ, ɬɨ
ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɣ ɫɩɨɫɨɛ — ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɦɚɫɬɟɪ-ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɪɨɠɞɟɧɢɹ-ɝɢɛɟɥɢ (ɫɦ.
ɇɢɤɨɥɢɫ ɢ ɉɪɢɝɨɠɢɧ, 1977, Ƚɚɪɞɢɧɟɪ, 1983). ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ
ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ
ɱɢɫɥɚ ɢɧɞɢɜɢɞɭɭɦɨɜ ɜ ɡɚɞɚɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ — Ɋ(ɯ,y,t). ɉɨɩɵɬɚɟɦɫɹ
ɧɚɣɬɢ ɩɪɢɟɦɥɟɦɵɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɣ ɡɚɤɨɧ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɫɢɫɬɟɦɟ «ɯɢɳɧɢɤ-
ɠɟɪɬɜɚ».
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɧɚ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɨɦ ɨɬɪɟɡɤɟ ɜɪɟɦɟɧɢ δt ɜɵɩɨɥɧɹɸɬɫɹ
ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɡɚɤɨɧɵ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɯ ɩɟɪɟɯɨɞɨɜ:
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɢɟ ɡɚɤɨɧɵ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ
ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɦɢ ɡɚɤɨɧɚɦɢ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɧɨɜɨɝɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ ɜ Ɇɨɦɟɧɬ t + įt ɦɵ ɦɨɠɟɦ
ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɤɚɤ ɫɭɦɦɭ ɫɥɚɝɚɟɦɵɯ, ɤɚɠɞɨɟ ɢɡ Ʉɨɬɨɪɵɯ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ
ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɫɨɫɬɨɹɧɢɹ,
ɩɨɦɧɨɠɟɧɧɨɝɨ ɧɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɟɪɟɯɨɞɚ ɜ ɧɨɜɨɟ. ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɩɪɨɫɬɨɬɵ b=1. ɂɦɟɟɦ
ɤɨɬɨɪɨɟ ɩɪɢ δ → 0 ɞɚɟɬ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ. ȼ (7.3.3) ɦɵ
ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦ, ɱɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɤɚɠɞɨɝɨ ɩɪɨɢɫɯɨɞɹɳɟɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɜɩɨɥɧɟ
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɡɧɚɧɢɟɦ ɜɟɥɢɱɢɧ x ɢ ɭ — ɷɬɨ ɟɫɬɶ ɩɨɫɬɭɥɚɬ Ɇɚɪɤɨɜɚ. ȼ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɢ ɤ
ɷɤɨɧɨɦɢɤɟ ɷɬɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɞɨɥɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɫ ɛɨɥɶɲɨɣ ɨɫɬɨɪɨɠɧɨɫɬɶɸ, ɬɚɤ
ɤɚɤ ɨɧɨ ɧɟ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɭɱɢɬɵɜɚɬɶ ɩɪɟɞɵɫɬɨɪɢɸ. ȼ ɡɚɞɚɱɚɯ ɨ
ɩɨɩɭɥɹɰɢɹɯ ɤɨɧɰɟɩɰɢɹ
ɬɪɚɞɢɰɢɣ, ɬ. ɟ. ɬɨɬ ɮɚɤɬ, ɱɬɨ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɩɨɬɨɦɫɬɜɚ ɫɜɹɡɚɧɨ ɫ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟɦ ɪɨɞɢɬɟɥɟɣ,
ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɬ ɦɚɪɤɨɜɫɤɨɦɭ ɩɨɫɬɭɥɚɬɭ. ɋɞɟɥɚɧɧɨɟ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ
ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɞɨ ɬɨɣ ɫɬɟɩɟɧɢ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɞɨɛɧɵ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɢɧɞɢɜɢɞɭɭɦɵ ɨɞɧɨɝɨ
ɜɢɞɚ.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɢɩɚ (7.3.3) ɜɫɬɪɟɱɚɸɬɫɹ ɜ ɫɚɦɵɯ ɪɚɡɧɵɯ ɨɛɥɚɫɬɹɯ ɧɚɭɤɢ (ɫɦ.,
ɧɚɩɪɢɦɟɪ, Ƚɚɪɞɢɧɟɪ, 1983, ȼɚɣɞɥɢɯ ɢ ɏɚɚɝ, 1983). Ʉɪɨɦɟ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɪɨɠɞɟɧɢɹ-ɝɢɛɟɥɢ,
ɩɪɢɦɟɪɚɦɢ
ɫɢɫɬɟɦ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɨɩɢɫɚɧɵ ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɢɫɬɟɦɵ
ɦɨɥɟɤɭɥ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɯɢɦɢɱɟɫɤɢɯ ɫɨɟɞɢɧɟɧɢɣ, ɷɥɟɤɬɪɨɧɧɵɟ, ɛɢɨɥɨɝɢɱɟɫɤɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ,
ɡɚɞɚɱɢ ɨ ɩɨɥɢɬɢɱɟɫɤɨɦ ɝɨɥɨɫɨɜɚɧɢɢ ɢ ɬɨɦɭ ɩɨɞɨɛɧɵɟ. Ʉɨɧɤɪɟɬɧɵɣ ɜɵɛɨɪ
ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɩɟɪɟɯɨɞɨɜ ɨɫɭɳɟɫɬɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚ ɪɚɡɧɨɨɛɪɚɡɧɵɯ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹɯ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɵɯ
ɬɨɣ ɫɬɟɩɟɧɶɸ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɢɡɜɟɫɬɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ
ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɪɨɠɞɟɧɢɹ ɢ ɝɢɛɟɥɢ.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ (7.3.3) ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɩɪɨɫɬɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ. ȿɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ
ɤɚɤ
ɧɚɥɢɱɢɟɦ ɝɥɨɛɚɥɶɧɨɝɨ ɞɟɬɟɪɦɢɧɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ, ɬɚɤ ɢ ɧɚɥɢɱɢɟɦ ɮɥɭɤɬɭɚɰɢɢ.
Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɮɥɭɤɬɭɚɰɢɢ ɢɦɟɸɬ, ɤɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɬɨɬ ɠɟ ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɱɬɨ ɢ
ɤɜɚɞɪɚɬɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ ɢɡ ɱɢɫɥɚ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɯ ɜ ɦɨɞɟɥɢ ɢɧɞɢɜɢɞɭɭɦɨɜ. ɉɪɢɱɟɦ, ɤɚɤ
ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɭ Ƚɚɪɞɢɧɟɪɚ (1983), ɱɚɫɬɨ ɩɪɢɫɭɬɫɬɜɭɟɬ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɢɟ, ɧɟ ɩɨɡɜɨɥɹɸɳɟɟ
ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɦɚɫɬɟɪ-ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜ ɜɢɞɟ ɞɟɬɟɪɦɢɧɢɪɨɜɚɧɧɨɣ
ɱɚɫɬɢ ɩɥɸɫ ɮɥɭɤɬɭɚɰɢɹ.
ɑɬɨɛɵ ɩɪɨɢɥɥɸɫɬɪɢɪɨɜɚɬɶ ɪɚɡɥɢɱɢɟ ɦɟɠɞɭ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ ɪɟɲɟɧɢɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
«ɯɢɳɧɢɤ-ɠɟɪɬɜɚ» ɢ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɧɚ ɪɢɫ. 7.2 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɱɢɫɥɟɧɧɨɝɨ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ (ɪɢɫ. 7.2ɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɪɢɫ. 1.3ɚ ɜ ɤɧɢɝɟ
Ƚɚɪɞɢɧɟɪɚ (1983), ɪɢɫ. 7.2b — ɪɢɫ. 1.3ɫ). ɋɩɥɨɲɧɚɹ ɥɢɧɢɹ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬ ɠɟɪɬɜ (x),
ɩɭɧɤɬɢɪ — ɯɢɳɧɢɤɨɜ (ɭ).
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɬɟɩɟɪɶ, ɤɚɤ ɦɨɠɧɨ ɛɵɥɨ ɛɵ ɪɟɲɢɬɶ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (7.3.3). ɇɚɢɛɨɥɟɟ
ɭɞɨɛɧɨ ɩɪɨɜɨɞɢɬɶ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ
Ɋɢɫ. 7.2. ȼɪɟɦɟɧɧɵɟ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ (ɚ) ɞɟɬɟɪɦɢɧɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ, (b)
ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ.
ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɜ ɜɢɞɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɹɳɟɣ ɮɭɧɤɰɢɢ. ɗɬɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ
ɤɚɤ
ɉɨɞɫɬɚɧɨɜɤɚ (7.3.4) ɜ (7.3.3) ɞɚɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɚɫɬɟɪ-ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɦ. Ɂɞɟɫɶ
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ (7.3.5) — ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɫ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɦɢ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ. Ɋɟɲɚɬɶ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜ ɨɛɳɟɦ ɜɢɞɟ