Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории

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ȼɵɛɟɪɟɦ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɬɟɦɩ ɭɜɨɥɶɧɟɧɢɣ ɩɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɦɭ

ɠɟɥɚɧɢɸ ɢ ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟ q, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɸ 1, ɡɚ q

. ɉɭɫɬɶ ɯ = q —

. ɉɪɢ x = 0 ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɨɞɧɨ ɱɢɫɬɨ ɦɧɢɦɨɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ iv ɫ v > 0.

ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.7.2. ɉɭɫɬɶ (2q

— r)(mJ

— vJ

) ɧɟ ɪɚɜɧɨ 2v(ɬJ

+ vJ

), ɝɞɟ J

ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɤɚɤ

ɗɬɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɝɚɪɚɧɬɢɪɭɟɬ ɩɨɬɟɪɸ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɜ ɫɥɭɱɚɟ,

ɤɨɝɞɚ q ɫɦɟɳɚɟɬɫɹ ɜ ɫɬɨɪɨɧɭ ɨɬ q

Ɍɟɨɪɟɦɚ 5.7.1. ɉɭɫɬɶ ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹ 1 ɢ 2. Ɍɨɝɞɚ ɜ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ

ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɣ ɰɢɤɥ ɩɟɪɢɨɞɚ 2π/s(

). ɐɢɤɥ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɨɩɢɫɵɜɚɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ

ɝɞɟ

— ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ, ɚ ɯ(

) ɢ s(

) ɡɚɞɚɸɬɫɹ ɤɚɤ

ɝɞɟ ɯ

ɢ s

— ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ, ɡɚɜɢɫɹɳɢɟ ɨɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɫɢɫɬɟɦɵ. ȿɫɥɢ N

ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨ, ɬɨ ɰɢɤɥ ɭɫɬɨɣɱɢɜ, ɟɫɥɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨ — ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜ. əɜɧɵɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ ɯ

ɢ N

ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɜ ɪɚɛɨɬɟ Ɂɚɧɝɚ (1988f).

ɍɠɟ ɢɡ (5.7.2) ɹɫɧɨ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ L(t) ɩɟɪɢɨɞɢɱɧɚ, ɬɨ A(t) ɢɦɟɟɬ ɬɨɬ ɠɟ ɩɟɪɢɨɞ.

ɍɜɟɥɢɱɟɧɢɟ ɬɟɤɭɳɟɝɨ ɭɪɨɜɧɹ ɡɚɧɹɬɨɫɬɢ L(t) ɨɬɧɸɞɶ ɧɟ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɧɨɪɦɚ ɭɪɨɜɧɹ ɡɚɧɹɬɨɫɬɢ

A(t) ɫɬɚɧɟɬ ɜɵɲɟ. ɗɬɨ ɥɟɝɤɨ ɭɜɢɞɟɬɶ ɢɡ ɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ:

ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɝɨ ɢɡ (5.7.9). ȼ ɜɵɪɚɠɟɧɢɢ (5.7.11) δȺ = (Ⱥ — Ⱥ

, δL = (L — L

ɋɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɝɨ ɰɢɤɥɚ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɫɬɜɢɟɦ ɩɨɜɟɞɟɧɢɹ ɩɪɚɜɢɬɟɥɶɫɬɜɚ, ɤɨɬɨɪɨɟ

ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬ ɧɨɪɦɭ ɭɪɨɜɧɹ ɡɚɧɹɬɨɫɬɢ ɢɡ ɭɱɟɬɚ ɩɪɟɞɲɟɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɭɪɨɜɧɹ ɡɚɧɹɬɨɫɬɢ.

Ʉɨɝɞɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɧɚɣɦɚ ɢ ɭɜɨɥɶɧɟɧɢɣ v ɪɚɜɟɧ ɧɭɥɸ, ɬɨ δȺ = δL. Ɍɨ ɟɫɬɶ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ

ɭɪɨɜɧɹ ɧɨɪɦɵ, ɩɪɟɞɭɫɦɨɬɪɟɧɧɨɝɨ ɩɪɚɜɢɬɟɥɶɫɬɜɨɦ, ɪɚɜɧɨ ɪɟɚɥɶɧɨɦɭ ɢɡɦɟɧɟɧɢɸ ɭɪɨɜɧɹ

ɡɚɧɹɬɨɫɬɢ ɥɢɲɶ ɜ ɷɬɨɦ ɱɚɫɬɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ.

5.8 Ɉɩɬɢɦɚɥɶɧɵɣ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɣ ɪɨɫɬ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɣ

ɫ ɷɧɞɨɝɟɧɧɵɦɢ ɮɥɭɤɬɭɚɰɢɹɦɢ

Ɉɱɟɧɶ ɢɧɬɟɪɟɫɧɵɣ ɩɪɢɦɟɪ ɞɟɥɨɜɵɯ ɰɢɤɥɨɜ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɦɧɨɝɨɫɟɤɬɨɪɧɚɹ ɦɨɞɟɥɶ

ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɫɬɚ. Ɇɨɞɟɥɹɦ ɬɚɤɨɝɨ ɬɢɩɚ ɩɨɫɜɹɳɟɧɨ ɦɧɨɝɨ ɪɚɛɨɬ (ɫɦ., ɧɚɩɪɢɦɟɪ, Ʉɚɫɫ ɢ

ɒɟɥɥ, 1976, Ȼɪɨɤ ɢ ɒɟɣɧɤɦɚɧ, 1976, Ⱥɪɚɭɞɠɨ ɢ ɒɟɣɧɤɦɚɧ, 1977). ɏɨɪɨɲɨ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɷɬɢ

ɬɢɩɵ ɦɨɞɟɥɟɣ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɵ. ɉɨɡɠɟ Ȼɟɧɯɚɛɢɛ ɢ ɇɢɲɢɦɭɪɚ (1979) ɢ Ɂɚɧɝ

(1988ɖ) ɜɧɨɜɶ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɥɢ ɞɢɧɚɦɢɤɭ ɷɬɢɯ ɦɨɞɟɥɟɣ ɧɚ ɨɫɧɨɜɟ

ɬɟɨɪɟɦɵ ɏɨɩɮɚ ɨ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɹɯ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɞɥɹ ɫɢɫɬɟɦɵ

ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɡɚɞɚɱɭ ɨɩɬɢɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɫɬɚ:

ɝɞɟ ɜɟɤɬɨɪɵ ɭ ɢ k ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɫɨɛɨɣ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɜɵɩɭɫɤ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɧɚ ɞɭɲɭ

ɧɚɫɟɥɟɧɢɹ ɢ ɡɚɩɚɫɵ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɨɝɨ ɤɚɩɢɬɚɥɚ ɧɚ ɞɭɲɭ ɧɚɫɟɥɟɧɢɹ, ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɟ ɡɚɞɚɟɬɫɹ

ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɫ = Ɍ(ɭ, k), ɚ ɮɭɧɤɰɢɹ U(T) — ɷɬɨ ɩɨɥɟɡɧɨɫɬɶ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɚɹ ɨɬ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɹ. Ʉɨɷɮɮɢ-

ɰɢɟɧɬɵ J(≥ 0) ɢ r(≥ 0) — ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɩɪɢɪɨɫɬɚ ɧɚɫɟɥɟɧɢɹ ɢ ɧɨɪɦɚ ɩɪɨɰɟɧɬɚ ɩɪɢɛɵɥɢ

ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ.

Ⱦɥɹ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɹ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɢ ɏɨɩɮɚ Ȼɟɧɯɚ-ɛɢɛɨɦ ɢ ɇɢɲɢɦɭɪɨɣ (1979)

ɩɪɢɧɹɬɵ ɲɟɫɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɯ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɣ (ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢɦɟɦ ɡɞɟɫɶ ɢ ɦɵ):

Ⱥ1) ȼɫɹ ɩɪɨɞɭɤɰɢɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ ɧɟɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ, ɩɪɢɱɟɦ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ

ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɨ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɣ, ɫɬɪɨɝɨ ɤɜɚɡɢɜɨɝɧɭɬɚ ɩɪɢ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɹɯ

ɮɚɤɬɨɪɨɜ ɢ ɞɜɚɠɞɵ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚ ɩɪɢ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɯ.

Ⱥ2) ȿɫɥɢ ɱɟɪɟɡ (K

) ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɮɚɤɬɨɪɨɜ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɸɳɢɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ j-ɬɨɝɨ

ɬɨɜɚɪɚ, ɬɨ j-ɵɣ ɬɨɜɚɪ ɧɟ ɦɨɠɟɬ

ɛɵɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧ ɛɟɡ (K

). ɉɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɩɪɢɧɰɢɩɚ ɦɚɤɫɢɦɭɦɚ ɤ ɡɚɞɚɱɟ (5.8.1)-

(5.8.2) ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɫɢɫɬɟɦɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

ɝɞɟ ɪ

ɢ w

— ɰɟɧɚ ɢ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɚɪɟɧɞɧɨɣ ɩɥɚɬɵ ɞɥɹ i-ɨɝɨ ɬɨɜɚɪɚ ɜ ɬɟɪɦɢɧɚɯ ɰɟɧ

ɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɶɫɤɢɯ ɬɨɜɚɪɨɜ. Ⱦɥɹ r ∈ (J, r*), ɝɞɟ r* ɡɚɞɚɧɨ ɢ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ

ɛɨɥɶɲɢɦ (ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦ), ɷɬɢ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɵ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ. Ɂɚɞɚɱɚ ɢɦɟɟɬ

ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɟ.

A3) ȼ ɬɨɱɤɟ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɤɚɩɢɬɚɥɚ ɧɟɪɚɡɥɨɠɢɦɚ.

A4) ȼ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɞɥɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɶɫɤɨɝɨ

ɬɨɜɚɪɚ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɵ

ɤɚɩɢɬɚɥɨɜɥɨɠɟɧɢɟ ɯɨɬɹ ɛɵ ɩɨ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɣ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɟ ɢ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨɟ

ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɬɪɭɞɚ.

Ⱥ5) ȼ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɩɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɩɨɥɟɡɧɨɫɬɶ ɨɬ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚ, ɬ. ɟ. U"

= 0 ɢ U' = 1. ɂ, ɧɚɤɨɧɟɰ,

Ⱥ6) ȼ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɦɚɬɪɢɰɚ ɜɯɨɞɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ ɧɟɜɵɪɨɠɞɟɧɚ.

ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɶ ɷɬɢɯ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɣ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɚ Ȼɟɧɯɚɛɢɛɨɦ ɢ ɇɢɲɢɦɭɪɨɣ (1979) ɢ

ɫɜɹɡɚɧɚ ɫ ɬɟɦ, ɱɬɨ ɨɧɢ ɩɨɡɜɨɥɹɸɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ ɜ ɥɨɤɚɥɶɧɨɦ ɜɢɞɟ.

Ɇɨɠɧɨ ɞɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹ (Ⱥ1)-(Ⱥ6) ɜɵɩɨɥɧɟɧɵ, ɬɨ (i) ɮɭɧɤɰɢɹ Ɍ(ɭ, k)

ɞɜɚɠɞɵ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚ; (ii) ɞɢɧɚɦɢɤɚ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɡɚɞɚɟɬɫɹ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ

ɝɞɟ ɭ ɢ w ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɵ; (iii) ɬɨɱɤɚ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ (k

, p

) ɫɢɫɬɟɦɵ (5.8.4) ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɦ

ɨɛɪɚɡɨɦ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɚ ɞɥɹ r ∈ (J, r*), ɝɞɟ J< r* < +෱ ; (iv) ɜɫɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ r, ɢɦɟɧɧɨ,

ɫ(r), ɪ(r), k(r) ɢ ɭ(r), ɜ ɬɨɱɤɟ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵ ɞɥɹ

r∈(JU*) ɢ (v) ɩɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ k ɜ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɮɭɧɤɰɢɹ T(k, ɭ) ɫɬɪɨɝɨ

ɜɨɝɧɭɬɚ ɩɨ ɭ.

ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.8.7. ɉɭɫɬɶ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɬɚɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ r, ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɧɨɟ ɤɚɤ r

, ɱɬɨ

ɹɤɨɛɢɚɧ ɜ ɬɨɱɤɟ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɢɦɟɟɬ ɩɚɪɭ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨ ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɵɯ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ z

1,2

= α(r) ± i

(r), ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢ r = r

ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɭɫɥɨɜɢɹɦ α(r

) = 0,

) > 0 ɢ dα(r

)/dr ≠ 0.

Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.8.7 ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɜ ɭɫɥɨɜɢɢ ɬɟɨɪɟɦɵ 2 Ȼɟɧɯɚɛɢɛɚ ɢ

ɇɢɲɢɦɭɪɵ (1979). ȼɵɛɟɪɟɦ r ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɫ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɦ

ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ r

. ȼɜɟɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɯ = r - r

ɢ z(x) = α(ɯ) + i

(x). Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ L ɹɤɨɛɢɚɧ

ɫɢɫɬɟɦɵ (5.8.4), ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɵɣ ɜ ɬɨɱɤɟ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ.

ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.8.8. ɉɭɫɬɶ ±i

— ɩɪɨɫɬɨɟ ɢɡɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɹɤɨɛɢɚɧɚ L(0).

ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.8.9. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɚɫɬɢ ɜɫɟɯ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɹɤɨɛɢɚɧɚ L(0),

ɡɚ ɢɫɤɥɸɱɟɧɢɟɦ z

1,2

(r), ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵ.

ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.8.10. Ɇɨɠɧɨ ɝɚɪɚɧɬɢɪɨɜɚɬɶ ɫɬɪɨɝɭɸ ɩɨɬɟɪɸ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ, ɬ.ɟ.

ɜɟɥɢɱɢɧɚ R

ɧɟ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ, ɝɞɟ R

= Re (R),

ɚ Y ɢ Y* — ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ

ɝɞɟ ¢,² — ɨɩɟɪɚɬɨɪ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɜ ɋ

ȿɫɥɢ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.8.8 ɜɵɩɨɥɧɟɧɨ, ɦɵ ɜɫɟɝɞɚ ɦɨɠɟɦ ɧɚɣɬɢ ɩɚɪɭ Y ɢ Y*, ɤɨɬɨɪɚɹ

ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ (5.8.5). ȼɟɤɬɨɪɵ Y ɢ Y* ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ, ɩɪɨɫɬɨ ɪɟɲɢɜ ɚɥɝɟɛɪɚɢɱɟɫɤɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ,

ɯɨɬɹ ɫɚɦ ɪɚɫɱɟɬ ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɜɟɫɶɦɚ ɭɬɨɦɢɬɟɥɶɧɵɦ. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.8.9 ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ

ɜɫɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɹɤɨɛɢɚɧɚ L(0) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɦɧɢɦɵɦɢ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɬɟɨɪɟɦɟ 3 ɜ

ɪɚɛɨɬɟ Ȼɟɧɯɚɛɢɛɚ ɢ ɇɢɲɢɦɭɪɵ (1979), ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ

ɧɟɧɭɥɟɜɵɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ L(0)

ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɚɪɵ ɪɚɡɧɵɯ ɡɧɚɤɨɜ.

ȼɜɟɞɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ

ɝɞɟ [N(U

, U

), X*] ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɨ ɜ ɪɚɛɨɬɟ Ɂɚɧɝɚ (1988b), ɦɹ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɭɟɦ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ

ɬɟɨɪɟɦɭ:

Ɍɟɨɪɟɦɚ 5.8.1. ɉɭɫɬɶ ɡɚɞɚɱɚ ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɜɫɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹɦ 1-10,

ɮɭɧɤɰɢɢ y(k, p) ɢ w(k, p) ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɬ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɭ C

, Θ ≥ 3. Ɍɨɝɞɚ ɞɥɹ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɨɧɧɨɝɨ

ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ r ɫ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ r

ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɰɢɤɥɵ, ɛɢɮɭɪɰɢɪɭɸɳɢɟ ɨɬ

ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ (k

, p

), ɩɟɪɢɨɞɚ 2π/s(

), ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹɦɢ

ɝɞɟ

— ɩɚɪɚɦɟɬɪ ɪɚɡɥɨɠɟɧɢɹ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɢ

Ȼɨɥɟɟ ɬɨɝɨ, ɟɫɥɢ N

— ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨ, ɬɨ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɨɧɧɵɣ ɰɢɤɥ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜ. ȿɫɥɢ ɠɟ N

ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɨ ɰɢɤɥ ɫɭɩɟɪ- ɢɥɢ ɫɭɛɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢ ɚɫɢɦɩɬɨɬɢɱɟɫɤɢ ɭɫɬɨɣɱɢɜ, ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ

ɬɨɝɟ, ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚ ɢɥɢ ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ R

ɗɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɹɸɬɫɹ ɢ ɧɚ ɫɥɭɱɚɢ ɢɞɟɚɥɶɧɨɣ ɤɨɧɤɭɪɟɧɰɢɢ, ɢ ɧɚ ɡɚɞɚɱɢ

ɦɚɤɫɢɦɢɡɚɰɢɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɩɨɥɟɡɧɨɫɬɢ. ɇɟɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɟɳɟ ɧɟ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɜɫɥɟɞɫɬɜɢɟ

ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɨɝɨ ɪɨɫɬɚ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɞɨɥɠɧɚ ɪɚɡɪɭɲɢɬɶɫɹ. Ɉɞɧɚɤɨ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɟ

ɩɪɨɰɟɫɫɵ ɜ ɬɚɤɢɯ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɵɯ ɫɢɫɬɟɦɚɯ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬ! ɜɟɫɶɦɚ ɢ ɜɟɫɶɦɚ ɫɥɨɠɧɵɦɢ.

5.9 Ɂɚɦɟɱɚɧɢɹ ɨ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ

ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɹɯ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɯ ɰɢɤɥɨɜ

Ɇɵ ɩɪɢɜɟɥɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢɦɟɪɵ, ɢɦɟɸɳɢɟ ɰɟɥɶɸ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɞɟɥɨɜɵɟ ɰɢɤɥɵ ɦɨɝɭɬ

ɜɨɡɧɢɤɧɭɬɶ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɪɚɡɧɨɨɛɪɚɡɧɵɯ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɯ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ. ɗɬɢ ɩɪɢɦɟɪɵ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ

ɤ ɫɚɦɵɦ ɪɚɡɧɵɦ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɦ ɬɟɨɪɢɹɦ. ɇɟɭɫɬɨɣɱɢɜɚɹ ɷɜɨɥɸɰɢɹ ɧɟ ɨɝɪɚɧɢɱɟɧɚ ɤɚɤɢɦ-ɬɨ

ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɦ ɬɢɩɨɦ ɪɵɧɤɚ ɢɥɢ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɤɚɤɨɝɨ-ɬɨ ɨɞɧɨɝɨ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ.

ɉɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ ɩɪɨɥɢɜɚɸɬ ɫɜɟɬ ɢ ɧɚ ɩɪɢɪɨɞɭ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɵɯ ɜ ɪɟɚɥɶɧɨɫɬɢ

ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɯ ɮɥɭɤɬɭɚɰɢɢ. Ɉɧɢ ɞɨɤɚɡɵɜɚɸɬ, ɱɬɨ ɬɚɤɢɟ ɨɫɰɢɥɥɹɰɢɢ ɦɨɝɭɬ ɜɨɡɧɢɤɧɭɬɶ

ɷɧɞɨɝɟɧɧɨ ɜɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɱɢɫɬɨ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɢɱɢɧ.

Ʉɨɫɧɟɦɫɹ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɨɛɥɟɦ, ɩɪɨɞɨɥɠɚɸɳɢɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɷɬɨɣ ɝɥɚɜɵ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɟɥɢɧɟɣɧɭɸ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɭɸ ɫɢɫɬɟɦɭ ɜɵɫɨɤɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ

ɝɞɟ r — ɩɚɪɚɦɟɬɪ. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɡɧɚɱɟɧɢɢ r

ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ r ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ

ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɟ, ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɟɦɭ ɹɤɨɛɢɚɧ ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɩ ɩɚɪɚɦɢ ɱɢɫɬɨ ɦɧɢɦɵɯ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ

ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɬ ɧɭɥɟɜɵɦɢ. ɇɚɫ ɢɧɬɟɪɟɫɭɟɬ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɨɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɩɪɢ ɫɞɜɢɝɟ

ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ r ɨɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ r

. ɏɨɬɹ ɷɬɚ ɡɚɞɚɱɚ ɫ ɪɚɡɧɵɯ ɫɬɨɪɨɧ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɥɚɫɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚɦɢ, ɨɧɚ

ɬɚɤ ɢ ɧɟ ɪɟɲɟɧɚ ɨɤɨɧɱɚɬɟɥɶɧɨ. Ȼɢɮɭɪɤɚɰɢɢ ɏɨɩɮɚ — ɷɬɨ ɜɫɟɝɨ ɥɢɲɶ ɟɟ ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ. ȼ

ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɝɥɚɜɟ ɦɵ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɭɱɚɣ ɞɜɭɯ ɩɚɪ ɱɢɫɬɨ ɦɧɢɦɵɯ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ

ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɤɟ. ɏɭɫɟɣɧ (1986) ɩɨɤɚɡɚɥ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ ɫɢɫɬɟɦɚ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɜɛɥɢɡɢ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɣ

ɬɨɱɤɢ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɟɟ ɹɤɨɛɢɚɧ

ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɞɜɭɦɹ ɧɭɥɟɜɵɦɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɢɧɞɟɤɫɚ

ɟɞɢɧɢɰɚ ɢ ɩɚɪɨɣ ɱɢɫɬɨ ɦɧɢɦɵɯ, ɨɧɚ ɦɨɠɟɬ ɩɨɞɜɟɪɝɚɬɶɫɹ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɹɦ,

ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɹɦ ɏɨɩɮɚ, ɜɬɨɪɢɱɧɵɦ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɹɦ ɏɨɩɮɚ ɢ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɹɦ ɤ ɞɜɭɦɟɪɧɵɦ ɥɢɛɨ

ɬɪɟɯɦɟɪɧɵɦ ɬɨɪɚɦ.

Ⱦɪɭɝɨɣ ɜɨɩɪɨɫ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɤɚɤ ɢ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɯ ɩɪɢɦɟɪɚɯ;

ɧɚɦɢ ɧɚɣɞɟɧɵ ɭɫɬɨɣɱɢɜɵɟ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɰɢɤɥɵ. ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɡɚɮɢɤɫɢɪɨɜɚɬɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɵ

ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦɢ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ,

ɬɨ ɜɚɠɧɨ ɡɧɚɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɨɢɡɨɣɞɟɬ, ɟɫɥɢ ɜɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɫɞɜɢɝɚ ɩɚɪɚ-

ɦɟɬɪɨɜ ɫɢɫɬɟɦɚ ɫɬɚɧɟɬ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɨɣ. Ʉ ɩɪɢɦɟɪɭ, ɦɨɝɭɬ ɥɢ ɜɨɡɧɢɤɧɭɬɶ ɜɬɨɪɢɱɧɵɟ

ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɢ. ɗɬɨɣ ɩɪɨɛɥɟɦɟ ɩɨɫɜɹɳɟɧɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɚɛɨɬ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɏɚɤɟɧ, 1983, ɑɭ ɢ ɏɟɣɥ,

1982). ɍɩɨɦɹɧɟɦ ɧɢɠɟ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɫɥɭɱɚɢ ɞɚɥɶɧɟɣɲɢɯ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɣ. Ⱦɟɬɚɥɶɧɨɟ ɨɛɫɭɠɞɟɧɢɟ

ɷɬɨɝɨ ɜɨɩɪɨɫɚ ɦɨɠɧɨ ɧɚɣɬɢ ɜ ɤɧɢɝɟ Ƀɨɫɫɚ ɢ Ⱦɠɨɡɟɮɚ (1980).

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɚɜɬɨɧɨɦɧɨɟ

ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ:

ɝɞɟ f ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɝɥɚɞɤɨɣ ɢ f(r, 0) ɞɨɥɠɧɚ ɛɵɬɶ ɧɟɧɭɥɟɜɨɣ. Ɇɵ ɢɳɟɦ

ɭɫɥɨɜɢɹ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɨɬ T-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ ɪɟɲɟɧɢɣ ɦɨɝɥɢ ɛɵ ɛɢɮɭɪɰɢɪɨɜɚɬɶ

ɫɭɛɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɟ — ɩɌ-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɫ ɰɟɥɵɦ ɩ ≥ 1. Ɇɨɠɧɨ ɜɧɨɜɶ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɬɶ ɜ ɷɬɨɦ

ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɜɫɟ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɜɵɲɟ ɩɪɢɦɟɪɵ. Ɉɞɧɚɤɨ ɧɚɦ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɥɢɲɶ ɧɚɦɟɬɢɬɶ, ɤɚɤ

ɦɨɝ ɛɵ ɛɵɬɶ ɩɪɨɜɟɞɟɧ

ɩɨɞɨɛɧɵɣ ɚɧɚɥɢɡ.

Ɂɚɞɚɧɧɵɟ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ

ɝɞɟ w(r) — ɱɚɫɬɨɬɚ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, X(s,t) = ɯ

(r) + U(s,r) ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɏɨɩɮɚ ɢɡ

ɩɪɟɞɵɞɭɳɢɯ ɩɪɢɦɟɪɨɜ, ɝɞɟ ɯ

— ɬɨɱɤɚ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ, a U — ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɏ

ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɸ

ȼɜɟɞɹ ɯ= X(s, r) + v(t), s = w(r)t, ɩɨɥɭɱɢɦ ɥɢɧɟɚɪɢɡɨɜɚɧɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ

ɝɞɟ f

(r,X(s,r)°v) — ɩɟɪɜɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɢ f(r, ɯ), ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɢ v, ɜɵɱɢɫɥɟɧɧɚɹ ɜ

ɬɨɱɤɟ x=X(s, r). Ɍɟɨɪɢɹ Ɏɥɨɤɟ ɭɬɜɟɪɠɞɚɟɬ, ɱɬɨ ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɰɢɤɥɚ

X(s, r), ɢɡɭɱɚɹ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɢ z(r) = a(r) + ib(r) ɜ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɢ v(t)=L(s)exp(zt

), L(s) = L(s+2π).

ɗɬɢ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ

ɋɨɩɪɹɠɟɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ

ɝɞɟ

F (r, X(s, r)°.) — ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɣ ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɨɩɟɪɚɬɨɪ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɣ ɭɫɥɨɜɢɸ

ɝɞɟ ¢,² — ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɨɩɟɪɚɬɨɪɨɜ ɜ ɋ

, ɚ Ⱥ ɢ ȼ ∈ ɋ

. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɟ

ɪɟɲɟɧɢɟ ɢɦɟɟɬ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɶ ɩɪɢ r = r

, ɬ. ɟ. ɚ(r

) = 0, b(r

) = b

. ȼɜɟɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ w(r

) =

, X (s, r

) = X

(s) ɢ

ȼ ɨɫɨɛɨɣ ɬɨɱɤɟ ɫɩɟɤɬɪɚɥɶɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɫɜɨɞɢɬɫɹ ɤ

ȿɫɥɢ ɜ ɨɫɨɛɨɣ ɬɨɱɤɟ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɶ Ɏɥɨɤɟ ib

ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɹɤɨɛɢɚɧɚ J

ɬɨ i(b

+jw

) ɬɚɤɠɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɦɭ ɜɟɤɬɨɪɭ

ɝɞɟ j — ɰɟɥɨɟ. ȼ ɨɫɨɛɨɣ ɬɨɱɤɟ ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ Ɏɥɨɤɟ

ɨɬɨɛɪɚɠɚɟɬ ɩɨɜɬɨɪɧɵɟ (ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢ ɩɨɜɬɨɪɹɸɳɢɟɫɹ) ɬɨɱɤɢ ɦɧɢɦɨɣ ɨɫɢ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɣ z-

ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɟ ɬɨɱɤɢ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɣ k-ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ. Ɉɝɪɚɧɢɱɢɜ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɟ

ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɜɟɬɜɶɸ

ɝɞɟ b

ɢ w

ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɵ, ɤɚɤ ɢ ɜɵɲɟ, ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɩɨɤɪɵɬɶ ɷɬɢɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ ɟɞɢɧɢɱɧɵɣ ɤɪɭɝ

ɧɚ k-ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ. Ȼɭɞɟɦ ɝɨɜɨɪɢɬɶ, ɱɬɨ ɬɨɱɤɚ ɢɡ (5.9.8), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɚɹ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɸ

ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɭ ɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɯ ɬɨɱɟɤ, ɟɫɥɢ ɬ ɢ ɩ ɰɟɥɵɟ, ɢ ɱɬɨ ɬ = 0, ɤɨɝɞɚ ɩ = 1;

ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ m ɧɟ ɪɚɜɧɨ ɧɭɥɸ. Ɇɵ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɡɞɟɫɶ ɬɨɥɶɤɨ ɫɥɭɱɚɢ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ

ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ (5.9.9).

ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.9.1. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɟɫɥɢ b

=0, ɬɨ 0 ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɞɜɭɤɪɚɬɧɵɦ

ɢɡɨɥɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɹɤɨɛɢɚɧɚ J

; ɟɫɥɢ ɠɟ b

ɧɟ ɪɚɜɧɨ ɧɭɥɸ, ɬɨ b

ɹɜɥɹɟɬɫɹ

ɩɪɨɫɬɵɦ ɢɡɨɥɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ J

Ʉɚɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ Ƀɨɫɫɨɦ ɢ Ⱦɠɨɡɟɮɨɦ, ɱɬɨɛɵ ɝɚɪɚɧɬɢɪɨɜɚɬɶ ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɧɢɟ

ɫɭɛɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɣ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɢ 2π/w(r)-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ ɪɟɲɟɧɢɣ, ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɭɫɥɨɜɢɹ

ɫɬɪɨɝɨɝɨ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ. ɉɨɞ ɫɬɪɨɝɢɦ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɟɦ ɦɵ ɩɨɧɢɦɚɟɦ ɭɫɥɨɜɢɟ a

) > 0. ɍɫɥɨɜɢɹ

ɫɬɪɨɝɨɣ ɩɨɬɟɪɢ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɢɡɥɨɠɟɧɵ ɜ ɤɧɢɝɟ Ƀɨɫɫɚ ɢ Ⱦɠɨɡɟɮɚ (1980).

ɉɭɫɬɶ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɟ 5.9.1 ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɩɪɢ b

/ w

= ɬ/ɩ ɧɚɪɹɞɭ ɫ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɫɬɪɨɝɨɝɨ

ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ. Ɍɨɝɞɚ

i) ȼ ɫɥɭɱɚɟ n = 1 ɩɨ ɨɛɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɨɬ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ ɛɢɮɭɪɰɢɪɭɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ

ɨɞɧɨɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ h-ɫɟɦɟɣɫɬɜɨ 2π/s* (h)-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ ɪɟɲɟɧɢɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

(5.9.1). Ʉɨɝɞɚ ɩ = 2, ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɨɞɧɨɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ h-ɫɟɦɟɣɫɬɜɨ ɪɟɲɟɧɢɣ ɫ

ɩɟɪɢɨɞɨɦ 4π/s* ɛɢɮɭɪɰɢɪɭɟɬ ɩɨ ɨɞɧɭ ɫɬɨɪɨɧɭ ɨɬ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ. ɋɭɩɟɪɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ

(r(h) > 0) ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɨɧɧɵɟ

ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɫɬɨɣɱɢɜɵ; ɫɭɛɤɪɢɬɢɱɟɫɤɢɟ (r(h) < 0)

ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɨɧɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɵ.

ii) ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɩ = 3 ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɢ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɨɞɧɨɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ

ɫɟɦɟɣɫɬɜɨ 6π/s*(h)-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ ɪɟɲɟɧɢɣ, ɢ ɨɧɨ ɧɟɭɫɬɨɣɱɢɜɨ ɩɨ ɨɛɟ ɫɬɨɪɨɧɵ ɨɬ

ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ.

iii) Ʉɨɝɞɚ ɩ = 4, ɬ = 1 ɢɥɢ 3, ɛɢɮɭɪɰɢɪɭɸɬ ɞɜɚ ɨɞɧɨɩɚɪɚɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɫɟɦɟɣɫɬɜɚ 8π/s*(h)-

ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɯ ɪɟɲɟɧɢɣ. ɂɯ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɜ ɡɚɞɚɱɢ.

iv) Ʉɨɝɞɚ ɩ ≥ 5, ɦɚɥɨɚɦɩɥɢɬɭɞɧɵɟ 2π/s*(h

)-ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɜ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ

ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ ɜɨɨɛɳɟ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɬ.

ɋɥɟɞɭɟɬ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɭɬɜɟɠɞɟɧɢɹ (iii) ɢ (iv) ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɵ ɩɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɟɳɟ

ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ. ȼɨ ɜɫɟɯ ɷɬɢɯ ɫɥɭɱɚɹɯ s* ɬɚɤɨɜɨ, ɱɬɨ s*(0) = w

, ɬɚɤ ɱɬɨ

ɛɢɮɭɪɰɢɪɭɸɳɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɢɦɟɸɬ ɩɟɪɢɨɞɵ, ɛɥɢɡɤɢɟ ɤ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦ, ɤɪɚɬɧɵɦ 2π/w(h).

ɉɵɬɥɢɜɵɣ ɱɢɬɚɬɟɥɶ ɦɨɠɟɬ ɩɨɩɪɨɛɨɜɚɬɶ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɟ ɜɬɨɪɢɱɧɵɯ ɛɢɮɭɪɤɚɰɢɣ

ɞɥɹ ɡɚɞɚɱ, ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɜ ɷɬɨɣ ɝɥɚɜɟ.

5.10 Ʉɨɧɤɭɪɟɧɬɧɵɟ ɞɟɥɨɜɵɟ ɰɢɤɥɵ ɜ ɷɤɨɧɨɦɢɤɟ

ɫ ɩɟɪɟɤɪɵɜɚɸɳɢɦɢɫɹ ɩɨɤɨɥɟɧɢɹɦɢ —

ɞɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɦɨɞɟɥɶ

ɋ ɬɟɯ ɩɨɪ ɤɚɤ Ƚɟɣɥ (1973) ɨɛɧɚɪɭɠɢɥ, ɱɬɨ ɜ ɦɨɞɟɥɹɯ ɫ ɩɟɪɟɤɪɵɜɚɸɳɢɦɢɫɹ ɩɨɤɨɥɟɧɢɹɦɢ

ɜɨɡɦɨɠɧɵ ɪɚɜɧɨɜɟɫɧɵɟ ɰɢɤɥɵ, ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɢɞɟɚɥɶɧɚɹ ɤɨɧɤɭɪɟɧɬɧɚɹ ɷɤɨɧɨɦɢɤɚ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨ

ɩɨɞɜɟɪɠɟɧɚ ɮɥɭɤɬɭɚɰɢɹɦ ɞɚɠɟ ɜ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɜɧɟɲɧɟɝɨ «ɧɟɜɦɟɲɚɬɟɥɶɫɬɜɚ» (ɫɦ., ɧɚɩɪɢɦɟɪ,

ɀɸɥɶɟɧ, 1988, Ƚɪɚɧɞɦɨɧɬ, 1985, 1986). ɇɢɠɟ ɦɵ ɨɩɢɲɟɦ ɞɢɫɤɪɟɬɧɭɸ ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɭɸ ɦɨɞɟɥɶ

ɷɤɨɧɨɦɢɤɢ ɫɨ ɫɥɨɠɧɵɦ ɩɨɜɟɞɟɧɢɟɦ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɀɸɥɶɟɧɭ (1988).

ɉɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ ɷɤɨɧɨɦɢɤɚ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɣ ɜɢɞ

ɬɨɜɚɪɚ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɦɨɠɟɬ

ɛɵɬɶ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɝɨ ɩɟɪɢɨɞɚ ɢɥɢ ɫɛɟɪɟɠɟɧ ɤɚɤ ɨɫɧɨɜɚ ɞɥɹ ɛɭɞɭɳɟɝɨ

ɜɨɫɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ (ɤɚɩɢɬɚɥɢɡɚɰɢɹ ɬɨɜɚɪɚ). Ʉɚɠɞɨɟ ɩɨɤɨɥɟɧɢɟ ɠɢɜɟɬ ɞɜɚ ɩɟɪɢɨɞɚ ɢ ɢɞɟɧɬɢɱɧɨ

ɜɨɫɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɫɹ. ɇɨɜɨɟ (ɦɨɥɨɞɨɟ) ɩɨɤɨɥɟɧɢɟ ɩɪɨɞɚɟɬ ɨɞɧɭ ɟɞɢɧɢɰɭ ɬɪɭɞɚ ɩɪɢ ɪɟɚɥɶɧɨɣ

ɡɚɪɚɛɨɬɧɨɣ ɩɥɚɬɟ w

, ɩɨɬɪɟɛɥɹɟɬ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɨɜɚɪɚ ɋ

ɢ ɫɛɟɪɟɝɚɟɬ ɪɟɚɥɶɧɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ S

ɜɢɞɟ Ⱦɟɧɟɝ ɢ ɤɚɩɢɬɚɥɚ ɞɥɹ ɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ ɩɟɪɢɨɞɚ ɩɨɬɪɟɛɥɟɧɢɹ. ɋɬɚɪɲɟɟ ɩɨɤɨɥɟɧɢɟ ɬɪɚɬɢɬ ɜɫɟ

ɫɜɨɢ ɫɛɟɪɟɠɟɧɢɹ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɝɨ ɩɟɪɢɨɞɚ. Ɍɢɩɢɱɧɵɣ ɩɨɬɪɟɛɢɬɟɥɶ ɪɟɲɚɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɡɚɞɚɱɭ

ɨɩɬɢɦɢɡɚɰɢɢ:

ɝɞɟ U — ɮɭɧɤɰɢɹ ɩɨɥɟɡɧɨɫɬɢ, R

t+1

ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬ ɪɟɚɥɶɧɭɸ ɩɪɨɰɟɧɬɧɭɸ ɫɬɚɜɤɭ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ

ɜɪɟɦɟɧɢ ɦɟɠɞɭ t ɢ t + 1. ɉɪɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɯ ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹɯ ɡɚɞɚɱɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ

ɪɟɲɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɫɛɟɪɟɠɟɧɢɣ S(w

, R

t+1

ɗɤɨɧɨɦɢɤɚ ɩɟɪɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨ ɨɛɟɫɩɟɱɢɜɚɟɬɫɹ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ ɤɚɩɢɬɚɥɚ k

ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨɦ ɞɟɧɟɝ Ɇ. ɍɪɨɜɟɧɶ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɧɟɨɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɣ

ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɫ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɦ ɷɮɮɟɤɬɨɦ ɨɬ ɦɚɫɲɬɚɛɚ. ȼɟɥɢɱɢɧɭ ɤɚɩɢɬɚɥɨɨɬɞɚɱɢ

ɨɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ y

= f(k

). Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɫɜɨɣɫɬɜ ɮɭɧɤɰɢɣ S ɢ f ɫɞɟɥɚɟɦ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ

ɩɪɟɞɩɨɥɨɠɟɧɢɹ:

H1) 0 < S(w,R) < w, S — ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚ, ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ ɫ ɪɨɫɬɨɦ w ɢ RS

ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ ɫ ɪɨɫɬɨɦ R,

ɇ2) Ɏɭɧɤɰɢɹ f ɜɨɡɪɚɫɬɚɸɳɚɹ, ɫɬɪɨɝɨ ɜɨɝɧɭɬɚ ɧɚ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ R

. ɢ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ

ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɭ ɋ

ɧɚ

ɢ kf'(k) ɧɟ ɭɛɵɜɚɟɬ.

Ʉɨɧɤɭɪɟɧɰɢɹ ɮɢɪɦ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɜɵɪɚɜɧɢɜɚɧɢɸ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɢɬɟɥɶɧɨɫɬɟɣ ɜ

ɤɚɠɞɨɦ ɫɟɤɬɨɪɟ ɤ ɢɯ ɢɡɞɟɪɠɤɚɦ

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ 5.10.1. ɋɨɜɟɪɲɟɧɧɵɦ ɩɪɟɞɜɢɞɢɦɵɦ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɟɦ ɧɚɡɨɜɟɦ ɬɚɤɭɸ

ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɰɟɧ (p

)

t≥0

, ɧɚɤɨɩɥɟɧɢɣ (k

)

t≥0

ɧɨɪɦ ɩɪɨɰɟɧɬɚ ɩɪɢɛɵɥɢ (R

)

t≥0

ɢ ɪɟɚɥɶɧɵɯ

ɡɚɪɚɛɨɬɧɵɯ ɩɥɚɬ (w

)

t≥0

, ɤɨɬɨɪɚɹ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ t ɞɨɫɬɢɝɚɟɬ ɤɨɧɤɭɪɟɧɬɧɨɝɨ ɜɪɟɦɟɧɧɨɝɨ

ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ.

ɍɫɥɨɜɢɹɦɢ ɫɨɜɟɪɲɟɧɧɨɝɨ ɩɪɟɞɜɢɞɢɦɨɝɨ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɹɜɥɹɸɬɫɹ

ɝɞɟ m

= M/p

. Ɇɵ ɧɚɡɵɜɚɟɦ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɟ ɧɟɦɨɧɟɬɚɪɧɵɦ ɢɥɢ ɦɨɧɟɬɚɪɧɵɦ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ

ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɬ

= 0 ɢɥɢ ɬ

> 0. Ɉɛɴɟɞɢɧɹɹ ɞɜɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɦɵ ɦɨɠɟɦ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɩɟɪɜɨɟ ɢɡ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ (5.10.3) ɤɚɤ