
48
Рассмотрим подробней тензор скорости деформации. Его компоненты
обозначим ξ
ij
и представим в виде матрицы:
ξξξ
ξξξ
ξξξ
=
ξ
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
Т
, (10.1)
а также в развернутой форме (с учетом, что ξ
ij
= ξ
ji
):
x
xx
∂
=ξ ;
y
y
yy
∂
=ξ
;
z
zz
∂
=ξ ;
∂
υ∂
+
∂
υ∂
=ξ=ξ
xy
y
x
yxxy
2
1
;
∂
υ∂
+
∂
υ∂
=ξ=ξ
xz
z
x
zxxz
2
1
; (10.2)
∂
υ∂
+
∂
υ∂
=ξ=ξ
zy
y
z
zyyz
2
1
.
Уравнения (10.2) получили название кинематических.
Компоненты тензора скорости деформации, стоящие на главной
диагонали матрицы (10.1) ξ
xx
, ξ
yy
, ξ
zz
, называют скоростями относительного
удлинения в направлении осей соответственно x, y, z, а компоненты ξ
xy
, ξ
yz
, ξ
xz
на остальных местах матрицы – половинными значениями скоростей сдвига
в плоскостях соответственно x0y, y0z, x0z.
Тензор скорости деформации, как любой симметричный тензор второго
ранга, имеет три взаимно-перпендикулярных собственных вектора и три
собственных значения, которые называют соответственно направлениями
главных скоростей относительных удлинений и главными скоростями
относительных удлинений ξ
11
, ξ
22
, ξ
33
.
Порядок определения главных скоростей изложен в лекции 6. По
матрице (10.1) составляют инварианты:
zzyyxx
TI
ξ1
;
( )
zzzx
xzxx
zzzy
yzyy
yyyx
xyxx
TI
ξξ
ξξ
+
ξξ
ξξ
+
ξξ
ξξ
=
ξ2
; (10.3 а)