Загиров Н.Н. Теория обработки металлов давлением
Подождите немного. Документ загружается.
11
Кроме того, для понимания сути излагаемых ниже разделов важно
четко владеть понятиями и знать терминологию отдельных величин,
основными из которых, на наш взгляд, являются следующие.
1. Начальное, мгновенное (актуальное) и конечное состояния
деформируемого тела.
Начальным называется состояние в исходный момент времени (в
начале приложения нагрузки). Мгновенное (актуальное) состояние - это
состояние в некоторый конкретный момент деформирования. Если в качестве
такого конкретного момента времени рассматривается исходный момент, то
мгновенное состояние является начальным. Конечное состояние - это
состояние после деформирования.
2. Понятия «точка пространства», «частица материального тела»,
«траектория частицы».
По математическому определению, точка - это простейший объект
геометрии, характеризуемый только его положением. Другое математическое
определение утверждает, что точка - элемент пространства. В МСС термин
«точка» означает фиксированную точку пространства. Движущуюся в этом
пространстве точку материального тела называют частицей. Траектория
частицы - это линия, описываемая в пространстве частицей материального
тела.
Далее основное внимание уделяется описанию мгновенного состояния.
Применительно к такому состоянию деформируемого тела термины «точка»
и «частица» можно использовать как эквивалентные. В дальнейшем будем
иногда говорить «частица», иногда – «точка материального тела» (ТМТ).
3. Перемещения.
Перемещение материального тела, материальной частицы - это
изменение положения тела (частицы) относительно внешней системы
отсчета.
Из теоретической механики известно, что любое, самое сложное,
перемещение абсолютно твердого (недеформируемого) тела можно
представить как результат поступательного движения (перенос в
пространстве) и вращательных движений (повороты в пространстве). При
перемещении абсолютно твердого тела взаимное положение его частиц
остается неизменным. Если материальное тело не является абсолютно
твердым, то воздействие приложенных к нему нагрузок порождает
перемещения его частиц не только относительно пространства, но и друг
относительно друга.
12
4. Деформации.
Деформация - изменение взаимного положения частиц какого-либо
объекта в результате внешних или внутренних воздействий.
Абсолютная деформация - разность конечного и начального (или, по
договоренности, - начального и конечного) значений характерного размера
деформируемого тела. В качестве характерных могут фигурировать не только
линейные, но и угловые размеры.
Относительная деформация - отношение абсолютной деформации к
первоначальному значению характерного размера тела.
В качестве примеров приведем процессы удлинения (растяжения) и
осадки (сжатия) цилиндрических образцов при определении механических
свойств материалов (рис. 2.1 а, б). Применительно к схеме на рис. 2.1 а
абсолютное удлинение равно ∆l = l
1
– l
0
> 0, относительное удлинение
составляет ∆l/l
0
. Применительно к схеме на рис. 2.1 б абсолютное обжатие
равно ∆h = h
0
-h
1
> 0, относительное обжатие составляет ∆h/h
0
.
а б
Рис. 2.1. Схемы растяжения (а) и сжатия (б) цилиндрических образцов
Приведем также пример, из которого видно, что нужны не только
линейные, но и угловые характеристики деформации. На рис. 2.2 показана
однородная деформация чистого сдвига, при которой параллельные
плоскости движутся одна относительно другой как бесконечно тонкие карты
в колоде.
13
Рис. 2.2. Схема чистого сдвига
5. Механизм перемещения частиц деформируемого тела.
Чтобы описать перемещения частиц деформируемого тела в общем
случае, надо ввести в рассмотрение три геометрических преобразования:
параллельный перенос, поворот, удлинение или сжатие. Применение этих
понятий рассмотрим сначала на примере перемещения «связки» из двух
частиц в составе материального тела, первоначально находившихся на
бесконечно малом расстояний dl друг от друга. На рис. 2.3 показано пе-
ремещение «связки» из двух частиц как композиция трех геометрических
преобразований. Последовательность геометрических преобразований (пере-
нос, поворот, удлинение или сжатие) не влияет на конечное положение
рассматриваемых точек.
Рис. 2.3. Схема перемещения «связи» из двух частиц в составе материального тела
Из рис. 2.3 видно: перенос - перемещение, не связанное с деформацией;
удлинение (или сжатие) - деформация; природа же поворота при
рассмотрении отдельно взятого отрезка в общем случае неясна. Поворот
бесконечно малого отрезка AB может быть связан с поворотом тела в целом;
в этом случае поворот - разновидность обыкновенного жесткого
перемещения (конкретно - следствие вращения тела). Однако поворот
14
отрезка AB может быть связан и с деформацией того фрагмента
материального тела, в составе которого находится этот отрезок.
Чтобы разобраться, какова природа поворота в конкретном случае,
надо рассматривать «связку» не из двух, а из трех бесконечно близких частиц
тела (рис. 2.4, вариант 1 - произошел жесткий поворот; вариант 2 -
произошли сдвиг частиц друг относительно друга и жесткий поворот).
Рис. 2.4. Схема перемещения «связи» из трех частиц в составе материального тела
В общем случае поворот - это результат суперпозиции (наложения друг
на друга) жесткого поворота тела в целом и сдвига частиц друг относительно
друга.
6. Упругость и пластичность.
Упругая деформация - это деформация, которая полностью исчезает
после снятия вызвавшей ее нагрузки. Упругость тела - это его способность
восстанавливать свою форму и объем (твердые тела) или только объем после
прекращения действия внешних сил. Восстановление формы и объема
означает возвращение к первоначальным размерам. С этим связано еще одно
название упругой деформации – «обратимая деформация».
Пластическая деформация - это деформация, остающаяся после снятия
вызвавшей ее нагрузки.
Поскольку понятие «пластичность» в данном курсе является
важнейшим, приведем еще два определения, подчеркивающих различные
аспекты понятия «пластичность».
Пластичность как текучесть: пластичность - это способность твердого
тела к необратимому изменению взаимного положения входящих в него
частиц под действием внешних и/или внутренних нагрузок.
15
Приведенное определение делает упор на необратимость пластической
деформации. Понимаемая таким образом пластичность имеет еще одно
название - текучесть. Именно поэтому напряжение перехода от упругой
деформации к пластической σ
Т
называется пределом текучести.
Пластичность как деформируемость (как текучесть при сохранении
целостности): пластичность - это способность твердого тела необратимо
изменять взаимное положение частиц под действием внешних и/или
внутренних нагрузок, не разрушаясь при этом.
Это определение расширяет предыдущее, дополнительно подчеркивая,
что о проявлении пластичности уместно говорить лишь в условиях, когда
соблюдается неразрывность (сплошность) деформируемого тела. Уточненное
таким образом понимание пластичности полезно в теории разрушения (в
этой теории считается, что разрушение есть исчерпание пластичности).
Контрольные вопросы
1. Какие ограничения, типичные для процессов ОМД, вводятся при
рассмотрении основных вопросов курса?
2. Что подразумевают собой начальное, мгновенное и конечное состояние
деформированного тела?
3. Чем отличаются понятия «точка пространства» и «частица материального
тела»?
4. Что из себя представляет перемещение материального тела?
5. Что называется деформацией материального тела?
6. В чем заключается механизм перемещения частиц деформируемого тела?
7. Какая деформация называется упругой, а какая пластической?
8. Понятие пластичности как текучести и как деформируемости.
16
ЛЕКЦИЯ 3
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
И ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
План лекции:
1. Элементы тензорного исчисления.
2. Буквенные, подстрочные индексы, соглашение о суммировании, символ
Кронекера.
3. Преобразование ортонормированного базиса.
4. Понятие линейно-зависимых и независимых векторов.
5. Размерность пространства.
6. Базис пространства.
7. Понятие тензора.
8. Действия над тензорами.
Любой вектор
a
задают его проекциями на оси декартовой системы
координат: а
x
, а
y
, а
z
. Подстрочный индекс у проекций вектора обязательно
поочередно принимает значения x, y, z. Значит, вектор
a
его проекциями
можно представить как a
i
, где i = x, y, z. Индекс i называется свободным
индексом, а выражение a
i
означает три величины а
x
, а
y
, а
z
.
Подстрочных свободных индексов у величин может быть несколько.
Если встретились два свободных индекса, то это означает, что имеет место
набор из девяти величин (каждый индекс принимает три значения).
Например, записи a
ij
соответствует набор величин, который можно
представить в виде матрицы
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
aaa
aaa
aaa
.
В матрице первый индекс по строкам фиксирован и означает номер
строки, а второй – столбца. Для трех свободных индексов число компонентов
будет 27 и т. д.
17
Величину δ
ij
определяют равенствами
≠
=
=δ
; при ,0
; при ,1
ji
ji
ij
(3.1)
называют симметричным символом Кронекера; она образует квадратичную
единичную матрицу
Е
ij
=
δ
=
100
010
001
(3.2)
симметричную относительно главной диагонали.
В векторном и тензорном исчислении встречаются характерные суммы.
Например,
∑
=++=
=
z
xi
iizzyyxx
eaeaeaeaa
(3.3)
∑
=++=⋅
=
z
xi
iizzyyxx
bababababa
(3.4)
В подобных характерных суммах условились знак
∑
=
z
xi
опускать и ввели
соглашение о суммировании: если подстрочные индексы i, j, и т. д.
Встречаются дважды, то это означает сумму трех слагаемых, индексы
каждого из которых фиксированы и равны соответственно x, y, z.
Повторяющиеся индексы i, j и т. д., по которым производится суммирование,
называют немыми. В соответствии с этим выражения (3.3) и (3.4) могут быть
записаны короче:
ii
eaa
=
; (3.5)
ii
baba =⋅
(3.6)
Иногда координаты вместо x, y, z обозначают цифрами 1, 2, 3, тогда
свободный и немой индексы принимают эти значения.
18
Обратимся к единичным ортогональным векторам
i
e
трехмерного
пространства, исходящим из одной точки. Нельзя с помощью двух из них
получить третий; при сложении не получится вектор, перпендикулярный
плоскости этих векторов, результирующий вектор останется в той же
плоскости. В этом случае говорят, что векторы
i
e
линейно независимы.
Любой четвертый вектор, например
a
, в трехмерном пространстве можно
считать уже линейно зависимым, так как его можно выразить через
i
e
с
помощью операции умножения последних на скалярные величины, численно
равные проекциям вектора
a
на координатные оси, и сложения результатов
(3.3).
Существует более общее определение линейно зависимых и линейно
независимых векторов: векторы
a
,
b
, …,
c
называют линейно зависимыми,
если найдутся такие действительные числа α, β, …, γ, что
0
=
γ
+
+
β
+
α
с
...
в
а
(3.7)
Пусть α ≠ 0, тогда выражение (1.7) примет вид
c...ba
α
γ
α
β
−−−=
.
Если равенство (3.7) выполняется только тогда, когда все числа α,β,…,γ
равны нулю, то векторы
a
,
b
, …,
c
называют линейно независимыми.
Наибольшее число линейно независимых векторов определяет
размерность пространства. Пространство с двумя линейно независимыми
векторами – двумерное, с тремя – трехмерное.
Совокупность линейно независимых векторов, число которых равно
размерности линейного пространства, можно принять за базис пространства.
Базис, состоящий из взаимно ортогональных единичных векторов,
называют ортонормированным (рис 3.1).
19
Рис. 3.1. Разложение произвольного вектора по векторам базиса
,zzyyxx
eaeaeaa
+
+
=
где
x
e
,
y
e ,
z
e
- вектора базиса;
а
x
, a
y
, a
z
– прямоугольные координаты вектора
a
.
Рассмотрим преобразование ортонормированного базиса или системы
координат. Пусть в трехмерном пространстве наряду с ортонормированным
базисом
i
e
(рис 3.2) задан другой (новый) базис
'i
e
(i’ = x’, y’, z’).
Рис. 3.2. Преобразования системы координат через вектора базиса
20
Каждый из трех векторов нового базиса
'i
e
разложим по векторам ста-
рого базиса:
ix'izx'zyx'yxx'xx'
еееее · = · + · +· =
γ
γ
γ
γ
iy'izy'zyy'yxy'xy'
еееее · = · + · +· =
γ
γ
γ
γ
(3.8)
iz'izz'zyz'yxz'xz'
еееее · = · + · +· =
γ
γ
γ
γ
где γ
i’i
– проекции векторов нового базиса на старый.
Поскольку проецируются единичные векторы, то проекции численно
равны косинусам углов между векторами нового и старого базиса. Например,
коэффициенты в первом равенстве выражения (3.8):
(
)
x'xx'x
e,ecos
=
γ
;
(
)
y'xy'x
e,ecos
=
γ
;
(
)
z'xz'x
e,ecos
=
γ
.
Коэффициенты γ
i’i
в формулах (3.8) образуют квадратную матрицу,
называемую матрицей перехода от старого базиса к новому:
γγγ
γγγ
γγγ
=γ
x'zx'zx'z
z'yy'yx'y
z'xy'xx'x
i'i
(3.9)
Выясним теперь, как образуются проекции (координаты) a
i
некоторого
вектора
a
в трехмерном пространстве при переходе от базиса
i
e
к базису
'i
e
.
Запишем разложение вектора
a
в каждом из этих двух базисов:
ii
eaa
=
;
'i'i
eaa
=
.
Приравнивая правые части этих равенств и учитывая, что
'i'iii
ee
γ
=
(формулы перехода от нового базиса к старому), а γ
i’i
= γ
ii’
(при перемене
местами индексов коэффициенты γ не меняют своего значения). Получим
формулу пересчета новых составляющих (проекций) вектора
a
по старым
при изменении системы координат:
ii'i'i
aa
γ
=
. (3.10)