Загиров Н.Н. Теория обработки металлов давлением
Подождите немного. Документ загружается.
211
Воспользовавшись условием текучести (37.1в), а также соотношением
2
yyxx
σ
+
σ
=σ
, можно записать формулы для σ
11
и σ
33
более компактно:
σ
11
= σ + τ
S
;
σ
22
= σ; (42.1а)
σ
33
= σ - τ
S
.
На основе анализа напряженного состояния установлено, что
2
3311
max
σ
−
σ
=τ , что при учете формул для σ
11
и σ
33
дает τ
max
= τ
S
.
Кроме того, известно, что нормальные напряжения, действующие на
площадках максимальных касательных напряжений, определяют по формуле
2
3311
σ
+
σ
=σ
n
, т.е. σ
n
= σ.
Площадки с максимальными касательными напряжениями наклонены
под углом 45° к площадкам главных напряжений σ
11
и σ
33
и параллельны σ
22
.
Выделим в теле элемент объема так, чтобы на его гранях действовали
нормальные напряжения σ (рис. 42.1).
Напряженное состояние в любой точке можно охарактеризовать
напряжениями σ и τ
S
, а также углом между осью x и τ
max
= τ
S
. Если теперь в
плоскости деформации провести линию, которая в каждой своей точке
касается площадки с максимальным касательным напряжением, то вдоль нее
везде будут действовать максимальные касательные напряжения τ
S
. Такая
линия называется линией скольжения. Поскольку в каждой точке имеются
две взаимно перпендикулярных площадки максимальных касательных
напряжений, то через каждую точку можно провести две линии скольжения,
причем касательные к ним будут взаимно перпендикулярны.
212
Рис. 42.1. К задаче на определение напряженного состояния
в точке методом линий скольжения
В плоскости деформации может быть построено сколь угодно большое
количество линий скольжения, распадающихся на два взаимно
ортогональных семейства. Одно из этих семейств называют семейством
линий α, другое - семейством линий β. Направления линий α и β выбирают
так, чтобы они образовывали правую систему координат. Для того чтобы
охарактеризовать линии семейства α, введем угол ϕ, который образует
касательная к линии скольжения α с осью x. Ясно, что ϕ - есть функция
координат x и y, ϕ=ϕ(x, y).
Если y = y(x) - линия α, то
ϕ= tg
d
d
x
y
(вдоль линии α); (42.1б)
аналогично
ϕ−= ctg
d
d
x
y
(вдоль β). (42.1в)
Уравнения (42.1б) и (42.1в) называют дифференциальными
уравнениями линий скольжения семейства α и β соответственно.
213
Принимают, что угол ϕ>0, если поворот от оси x к линии α осуществляется
против часовой стрелки.
Можно вывести уравнения
,
Sxy
Syy
Sxx
ϕσ=σ
ϕτ+σ=σ
ϕτ−σ=σ
2cos
2sin
2sin
(42.1г)
которые называют тригонометрическими подстановками. Легко убедиться,
что тригонометрические подстановки удовлетворяют условию текучести
(37.1в) для плоской деформации.
Таким образом, задача отыскания напряженного состояния сводится к
отысканию неизвестных σ и ϕ. Подставляя (42.1г) в уравнения (37.1а) и
(37.1б), получим
02sin2cos2 =
∂
∂ϕ
⋅ϕ+
∂
∂ϕ
⋅ϕτ−
∂
∂σ
yxx
S
,
02sin2cos2 =
∂
∂ϕ
⋅ϕ−
∂
∂ϕ
⋅ϕτ+
∂
∂σ
xyy
S
.
Для упрощения решения выберем новые оси координат S
α
и S
β
. (Ось
S
α
, выбираемая вместо оси x, направлена по касательной к линии α, а S
β
- по
касательной к линии β).
В новой системе координат угол ϕ = 0, поэтому уравнения примут вид
02 =
∂
∂ϕ
τ−
∂
∂σ
αα
SS
S
,
02 =
∂
∂ϕ
τ+
∂
∂σ
ββ
SS
S
.
Так как τ
S
= const, то
( )
02 =ϕτ−σ
∂
∂
α
S
S
,
214
( )
02 =ϕτ+σ
∂
∂
β
S
S
.
Отсюда следует:
σ - 2τ
S
⋅ϕ = const (вдоль линии α),
σ + 2τ
S
⋅ϕ = const (вдоль линии β).
Последние уравнения являются общим решением дифференциальных
уравнений равновесия, найденным с точностью до постоянных
интегрирования. Их называют уравнениями Генки. Если в плоскости
деформации известны какая-либо линия скольжения (например, α) и
напряжение σ в некоторой точке М этой линии, то тем самым определено
напряжение σ в любой другой точке М
1
этой линии. Действительно, в силу
уравнений Генки,
1
M
1
MMM
22
ϕ
τ
−
σ
=
ϕ
τ
−
σ
SS
.
В заключении отметим наиболее важные свойства линий скольжения.
1. Напряжение σ изменяется пропорционально изменению угла ϕ вдоль
линии скольжения.
2. Если известна сетка линий скольжения и известно в какой-либо точке
напряжение σ, то оно может быть вычислено всюду в поле линий
скольжения.
3. При переходе от линии скольжения одного семейства к другой линии того
же семейства вдоль любой линии другого семейства σ и ϕ меняются на
одну и ту же величину.
4. Если между двумя линиями одного семейства заключен прямой отрезок
второго семейства, то все отрезки второго семейства, заключенные между
данной парой линий первого семейства, также будут прямыми (такое поле
называют простым).
5. Вдоль прямой линии скольжения напряженное состояние не меняется.
6. Если некоторая область состоит из прямых отрезков линий скольжения, то
в ней напряженное состояние однородно (подобное поле линий
скольжения называют однородным).
7. К однородному полю линий скольжения примыкает простое поле.
215
Контрольные вопросы
1. Как выглядит тензор напряжений для плоской деформации?
2. Как определяются главные напряжения при плоской деформации?
3. Схема для определения напряженного состояния в точке методом линий
скольжения.
4. Что называется линией скольжения?
5. Какие уравнения называют дифференциальными уравнениями линий
скольжения?
6. Какие уравнения называют уравнениями Генки?
7. Свойства линий скольжения.
216
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При разработке новых и проектировании существующих тех-
нологических процессов обработки давлением роль теории неуклонно
возрастает. В недалеком прошлом инженеры-технологи ограничивались
знаниями теории, обеспечивающими определение деформирующего усилия,
необходимого для выбора металлообрабатывающего оборудования.
Технологические задачи, целью которых является определение числа и
наименования формоизменяющих операций, формы рабочих поверхностей
инструментальной оснастки и др., решали на основе производственного
опыта, экспериментальных исследований и интуиции.
В настоящее время разработаны теоретические методы, пользуясь
которыми можно определить напряженно-деформированное и
кинематическое состояние заготовки в процессе выполнения
технологических операций обработки давлением. Если же это состояние
установлено и известны механические характеристики обрабатываемых
сплавов и ресурс пластичности, то с достаточной для практики точностью
можно решить указанные выше технологические задачи, а также определить
исходные данные для расчета на прочность и жесткость рабочих деталей
инструментальной оснастки и долговечность их работы. Естественно, что эти
методы достаточно сложны и трудоемки и для их реализации в ряде случаев
необходимо использование ЭВМ.
В данном конспекте лекций изложены основы теории пластичности и
современные методы не только для определения, но и для оптимизации
напряженно-деформированного и кинематического состояния пластически
деформируемого металла. Методы анализа иллюстрированы примерами и
практическими рекомендациями.
Уделено внимание также экспериментально-аналитическим методам
исследования пластически деформируемого металла, что позволяет
обосновывать принимаемые допущения и оценивать точность полученных
теоретических решений.
217
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. Учебник для
ВУЗов. 2-е изд., перераб. и доп. – Екатеринбург: Изд-во Уральского
государственного технического университета – УПИ, 2001. – 836 с.
2. Богатов А.А. Механические свойства и модели разрушения металлов:
Учебное пособие для вузов. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ,
2002. – 329 с.
3. Кучеряев Б.В. Механика сплошных сред. Учебник для ВУЗов. – М:
МИСиС, 2000. – 320 с.
4. Загиров Н.Н. Основные положения теории пластичности: Учебное по-
собие / ГАЦМиЗ. – Красноярск, 1997. – 80 с.
5. Загиров Н.Н. Теоретические основы пластической деформации: Учебное
пособие / ГАЦМиЗ. – Красноярск, 1998. – 120 с.