Назад
71
Кинематические уравнения имеют вид:
r
r
rr
υ
=ξ
;
rr
r
υ
+
ϕ
υ
=ξ
ϕ
ϕϕ
1
;
z
z
zz
υ
=ξ ;
υ
+
υ
=ξ
rz
zr
zz
2
1
; (13.12)
ϕ
υ
+
υ
=ξ
ϕ
ϕ
z
z
rz
1
2
1
;
υ
υ
+
ϕ
υ
=ξ
ϕϕ
ϕ
rrr
r
r
1
2
1
.
Уравнение неразрывности выглядит
0
1
d
d
=
υ
+
ϕ
υ
+
υ
+
υ
ρ+
ρ
ϕ
zrrrt
zrr
. (13.13)
Цилиндрическую систему координат удобно применять для анализа
осесимметричного течения металла, широко распространенного в ОМД.
Особенностями осесимметричных деформаций являются: равенство нулю
составляющей поля скоростей перемещения частиц υ
ϕ
:
υ
ϕ
= 0 (13.14а)
и независимость от координаты ϕ составляющих υ
r
, υ
z
;
υ
r
υ
r
(ϕ); υ
z
υ
z
(ϕ). (13.14б)
В результате тензор скоростей деформации примет вид
ξξ
ξ
ξξ
=
ϕϕξ
zzzr
rzrr
T
0
00
0
.
72
Поскольку существует связь между соответствующими компонентами
тензора скоростей деформации и тензора напряжений, схожий вид будет
иметь и тензор напряжений:
σσ
σ
σσ
=
ϕϕσ
zzzr
rzrr
T
0
00
0
.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте полную систему дифференциальных уравнений теории
пластичности.
2. Что из себя представляют граничные и начальные условия для краевой
задачи теории пластичности?
3. Какие допущения упрощают задачу теории пластичности?
4. Какое деформирование металла называют изотермическим, при каких
условиях оно реализуется? Какие из уравнений системы при этом
изменяются?
5. В чем сущность условия несжимаемости материала?
6. Чем отличаются дифференциальные уравнения равновесия от уравнений
движения?
7. В каких случаях предположение о медленном течении может дать
существенную ошибку?
8. Чем характеризуется плоское деформированное состояние? Как выглядят
при этом тензор скоростей деформации и тензор напряжений?
9. Когда возникает плоское напряженное состояние? Каким при этом будет
деформированное состояние?
10. Запишите условия идеальной пластичности для всех схем напряженного
состояния?
73
Раздел 3. Неравномерность деформаций в процессах ОМД.
Тепловые явления в процессах ОМД
ЛЕКЦИЯ 14
ПРИЧИНЫ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ДЕФОРМАЦИИ
И СПОСОБЫ ЕЕ УМЕНЬШЕНИЯ.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ИХ РОЛЬ ПРИ ОМД
План лекции:
1. Причины возникновения неравномерности деформации: влияние внешнего
трения, внешних зон деформируемого тела, несоответствие формы
инструмента форме деформируемого тела, неоднородность физико-
механических свойств деформируемого металла по объему.
2. Способы уменьшения неравномерности деформации.
3. Дополнительные напряжения, их связь с неравномерностью деформации.
4. Влияние дополнительных напряжений на качество готовых изделий.
5. Остаточные напряжения, их роль при ОМД, способы определения и
методы устранения
Как было выяснено ранее, напряженное состояние точки определяется
тензором напряжений. При переходе же от одной точки тела к другой будут
изменяться компоненты тензора напряжений, в общем случае изменяться
будут и направления главных осей. Поэтому для получения полного
представления о напряженном состоянии тела необходимо знать напряженное
состояние всех его точек, иначе говоря, распределение напряжений.
В отдельных частных случаях все точки тела имеют одно и то же
напряженное состояние, характеризуемое одним и тем же тензором
напряжений. Так, например, при линейном растяжении образца, до момента
начала образования шейки, напряжения в любых точках образца (удаленных
от мест зажима) одинаковы, напряженное состояние образца однородно;
однородна и деформация.
При пластическом деформировании в процессах обработки металлов
давлением однородной деформации практически не бывает, хотя при
теоретическом решении ряда задач часто условно допускают, что плоскости и
прямые не искажаются при деформации. При обработке металлов давлением,
как правило, возникает неоднородность напряженного состояния, а,
следовательно, и неоднородность деформации.
74
В связи с неоднородностью деформации отдельные слои, и элементы
деформируемого тела стремятся к различному изменению размеров. В то же
время отдельные слои и элементы тела не могут изменить своих размеров
самостоятельно без влияния на соседние слои и элементы. Поэтому слои,
стремящиеся к большему изменению размеров против (некоторого) среднего
значения, будут передавать слоям и элементам, стремящимся к меньшему
изменению размеров, силы такого знака, которые увеличивают изменение
размеров. Слои и элементы, стремящиеся к меньшему изменению размеров,
будут передавать слоям и элементам, стремящимся к большему изменению
размеров, силы такого знака, которые уменьшают изменение размеров, силы
такого знака, которые уменьшают изменение размеров.
В результате, кроме внутренних сил, уравновешивающих внешние
приложенные силы, в теле возникают взаимно уравновешивающиеся
внутренние силы, обусловливающие напряжения, которые не могут быть
отражены условиями на контуре и уравнениями равновесия. Они не
определяются схемой напряженного состояния, соответствующей внешним
силам.
Эти взаимно уравновешивающиеся напряжения называются
дополнительными, и, учитывая, что неоднородность напряженного
состояния, как правило, существует всегда, можно сказать следующее
положение:
При любом пластическом изменении формы в слоях и элементах тела,
стремящихся к большему изменению размеров, возникают дополнительные
напряжения, знак которых отвечает уменьшению размеров, а в слоях и
элементах тела, стремящихся к меньшему изменению размеров, возникают
дополнительные напряжения, знак которых отвечает увеличению размеров.
Дополнительные напряжения могут быть трех родов:
а) дополнительные напряжения первого рода, уравновешивающиеся между
отдельными слоями тела;
б) дополнительные напряжения второго рода, уравновешивающиеся между
отдельными кристаллитами, и
в) дополнительные напряжения третьего рода, уравновешивающиеся между
отдельными элементами кристаллитов.
Возникая в деформируемом теле, дополнительные напряжения могут:
а) оставаться в теле после снятия нагрузки в виде остаточных напряжений,
что в общем случае может вызывать снижение пластических качеств
металла, понижение химической стойкости, поводку, коробление;
75
б) сниматься в результате возникновения пластической деформации в слоях и
элементах, в которых они возникли под действием дополнительных
сдвигов;
в) сниматься за счет нарушения целостности тела в отдельных его слоях и
элементах, т. е. вызывать макро- и микротрещины, которые, в свою
очередь, вызывают брак заготовок, получаемых обработкой давлением.
Возникновение дополнительных напряжений в процессе
деформирования вызывает следующие неприятные для обработки металлов
давлением последствия:
а) увеличение сопротивления деформировании;
б) снижение пластичности;
в) искажение той картины распределения напряжений в теле, которая
вытекает из условий на контуре и условий равновесия.
Поскольку неравномерность напряженного состояния является общим
случаем, а однородная деформация - частным случаем, постольку трудно
говорить о причинах, вызывающих неравномерное напряженное состояние.
Однако надо учитывать следующие факторы, воздействием на которые можно
влиять на процесс деформирования для снижения неоднородности
деформации:
1. Контактное трение, т. е. трение на поверхности соприкосновения
обрабатываемой заготовки и деформируемого инструмента. Трение в ряде
случаев создает неоднородное напряженное состояние, а в других случаях
увеличивает степень неоднородности. Так, например, считают, что при
операции осадки без контактного трения деформация была бы
однородной, в результате же контактного трения однородность
деформации нарушается. Поэтому давящий инструмент требует особо
тщательной обработки поверхности, а применение смазки всегда
оказывает благотворное влияние.
2. Форма исходной заготовки и требуемая форма поковки. Чем сложнее
последняя и чем больше она отличается от исходной, тем больше и
неоднородность напряженного состояния в процессе деформирования.
Поэтому при штамповке необходимо применять промежуточные
(заготовительные) операции с тем, чтобы формоизменение
осуществлялось постепенным приближением формы исходной заготовки к
форме готовой поковки.
3. Форма инструмента, применяемого для данной операции. Например, при
вытяжке круглой заготовки в плоских бойках неоднородность
76
напряженного состояния больше, чем при вытяжке в вырезных бойках.
4. Степень неоднородности свойств обрабатываемого металла в процессе
деформации. Чем однороднее металл во всех точках деформируемого тела,
тем меньше дополнительных напряжений будет возникать в процессе
обработки. Отсюда следует, что обработку надо производить при
максимально равномерной температуре металла, если возможно, при
однородном его состоянии, в условиях полной рекристаллизации (если
обработка производится с нагревом), при минимальной величине зерна
(ниже критической температуры роста зерна) и т. д.
Снижение неоднородности деформации при обработке металла
давлением оказывает благоприятное влияние на его качество. Структура
обработанного металла получается однороднее как при горячем
деформировании за счет более равномерного протекания процесса
рекристаллизации, так и при холодном деформировании вследствие большей
равномерности упрочнения. Повышение однородности структуры, в свою
очередь, обеспечивает более высокие механические качества металла.
Однако есть основание полагать, что однородная деформация в чистом
виде возникает только в идеальном изотропном теле. В поликристаллическом
теле деформация не будет однородной.
Контрольные вопросы
1. Для чего необходимо знать распределение напряжений в объеме
деформируемого тела?
2. Какие взаимно уравновешивающиеся напряжения называются
дополнительными, какими они могут быть?
3. Что может происходить с дополнительными напряжениями в
деформируемом теле?
4. Какие последствия дополнительные напряжения могут иметь для ОМД?
5. Каковы основные причины появления неоднородности деформации?
6. Какое воздействие на них можно оказывать, чтобы снизить
неоднородность деформации?
77
ЛЕКЦИЯ 15
ТЕПЛОВОЙ ЭФФЕКТ ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
План лекции:
1. Тепловой эффект при пластической деформации.
2. Уравнение теплового баланса для элемента объема.
3. Дифференциальное уравнение теплопроводности.
4. Граничные условия для уравнения теплопроводности.
В общем случае температура в различных точках деформируемого тела
не одинакова и изменяется во времени. Распределение температуры Θ = Θ(x,
y, z, t) для данного момента времени t в теле называется температурным
полем. Оно во многом предопределяет течение материала и напряженное
состояние. В то же время, в процессе деформации выделяется тепло и,
следовательно, меняется распределение температур. Таким образом,
температура является дополнительной неизвестной и система уравнений
теории пластичности должна быть дополнена еще одним уравнением,
которое получим, используя закон сохранения энергии в виде:
Q
1
= Q
2
+ Q
3
,
где Q
1
- тепло, выделившееся в единицу времени при деформации
материальной частицы,
Q
2
- тепло, отводимое в единицу времени за счёт теплопроводности в
соседние объёмы,
Q
3
- тепло, ушедшее в единицу времени на повышение температуры
рассматриваемой частицы.
Учтем ряд экспериментально установленных фактов: изменение
температуры тела при упругой деформации обратимо; пластическая
деформация сопровождается необратимым выделением тепла, причем свыше
90% затраченной механической работы переходит в тепло; доля упругих
деформаций составляет пренебрежимо малую величину по сравнению с
пластическими в процессах обработки металлов давлением. Вследствие
сказанного, пренебрегают тепловыми эффектами упругой деформации. В
дальнейшем будем полагать, что составляющие вектора скорости
перемещения υ
i
и тензора скорости деформации ξ
ij
соответствуют
пластической (необратимой) деформации.
78
Для подсчёта Q
1
найдем мощность внешних воздействий на
деформируемую частицу
υ
υ
+
υ
=
VS
ii
VgSfN d d .
Учитывая, что составляющие вектора напряжения f
i
= σ
ij
n
j
, и
используя известную формулу Остроградского Гаусса
=
V
jj
S
jj
V
,
aSna dd
,
Имеем
(
)
(
)
V,Sn
S V
jiijjiij
dd
υ
σ
=
υ
σ
,
где σ
ij
компоненты тензора напряжения;
n
j
направляющие косинусы.
Мощность N, учитывая дифференциальные уравнения движения σ
ij,j
+ρg
i
=ρω
I
,
можно записать
(
)
VN
V
j,iijii
d
υ
σ
+
υ
ρω
=
.
Нетрудно видеть, что σ
ij
υ
i,j
= σ
ij
ξ
ij
, тогда
(
)
VN
V
ijijii
ξ
σ
+
υ
ρω
=
d ,
где ρω
i
υ
i
+ σ
ij
ξ
ij
есть мощность сил, действующих на элемент объема тела
V
d
.
Произведение
σ
ij
ξ
ij
= TH + σξ,
так как
79
σ
ij
σ⋅δ
ij
= S
ij
,
ijijij
e=ξδξ
3
1
,
ijij
e
H
T
S 2= ,
ijij
eeH 2=
.
Окончательно
Q
1
= (TH + σξ)xyz.
Тепло, отводимое за счет теплопроводности (λ - коэффициент
теплопроводности)
zyx
zzyyxx
Q
Θ
λ+
Θ
λ+
Θ
λ=
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
2
,
определяется при рассмотрении тепловых потоков q
i
через все грани
элементарного объёма V, соответствующих закону Фурье:
q
i
= -λΘ,
i
.
Тепло, расходуемое на повышение температуры частицы, зависит от
массовой теплоёмкости c:
zyx
t
cQ ρ
Θ
=
d
d
3
,
где ρ плотность металла.
Подставляя вместо Q
1
, Q
2,
Q
3
их значения и сокращая на элементарный объём
V = xyz, найдем
t
cTH
zzyyxx d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d Θ
ρ=σξ++
Θ
λ+
Θ
λ+
Θ
λ
.
Последнее уравнение называют дифференциальным уравнением
теплопроводности.
80
Если положить, что λ = const и ввести обозначение
2
2
2
2
2
2
d
d
d
d
d
d
zyx
++=
, получим другую запись дифференциального уравнения
теплопроводности:
t
cTH
d
d
Θ
ρ=σξ++∆Θλ .
Для дифференциального уравнения теплопроводности имеют место
четыре рода граничных условий.
Говорят, что на поверхности S
1
заданы граничные условия первого
рода, если в каждой точке этой поверхности известна температура
(
)
t,z,y,x
*
S
Θ=Θ
1
.
Если на поверхности S
2
в каждой точке известен тепловой поток:
*
S
q
n
=
Θ
λ
2
d
d
,
то такое граничное условие называют граничным условием второго рода.
Здесь
n
d
d
Θ
производная от температуры по координате, совпадающей с
направлением внешней нормали к поверхности S
2
; q* = q*(x, y, z, , t)
известная функция координат и времени t.
Граничное условие третьего рода выражает закон теплообмена через
поверхность S
3
с окружающей средой:
(
)
*
S
S
n
ΘΘα=
Θ
λ
3
3
d
d
,
где Θ* температура окружающей среды,
α коэффициент теплообмена.