Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы

Подождите немного. Документ загружается.

Формулы (22.16), (22.18) и (22.19) являются строгими. В ка-

честве заключительного контроля рекомендуется формула

М = ТЛ

(1 -а) + -4"(

°)

При расчетах необходимой точности учитывается точность вы-

вода определяемых величин. Все результаты должны быть выра-

жены в единицах международной системы (СИ), а именно в мет-

рах (м) и секундах (с). Следует также определить величину, об-

ратную геометрическому сжатию 1 : а, входящую в число фунда-

ментальных геодезических постоянных.

Далее приведен пример 20 вычислений, в котором значения

исходных фундаментальных геодезических постоянных приняты в

соответствии с рекомендациями XVII Генеральной Ассамблеи

Международного геодезического и геофизического союза (МГГС)

и входящей в него Международной ассоциации геодезии (МАГ)

в Канберре (Австралия) 1979 г.

fM = (3 986 005 ± 0,5)XЮ

м*-с-«, а

=6378 137 ±2 м,

= (108 263 ±0,5)ХЮ-

О>

= 7 292 115ХНН

радиан-с-

Приведенные значения постоянных являются исходными для

вновь принятой геодезической референц-системы 1980 г. Их оцен-

ка точности получена с учетом разброса независимых выводов и

характеризует средние квадратические ошибки определения пара-

метров, включающие в себя помимо влияния выявленных случай-

ных ошибок ожидаемые систематические ошибки.

Пример 17. Определение параметров нормальной Земли.

Исходные данные:

со

292 115X10» с-

, а, = 6 378 137 м,

fM =

986 005Х10

.с-

, /2= Ю8 263Х10~

Таблица 186

Вспомогательные величины

величина Размерность

Значение Величина

Размерность

Значение

СО*

а».

Ю-Юс-2

10"

53,174941

40,680632

259,46664

461

391

Р 2

~т

ю-

ю-»

ю-

1172,1

3747,4

11 981,2

§ 105. Дифференциальные зависимости

между параметрами нормальной Земли

В тех случаях, когда в принятую систему исходных фундамен-

тальных геодезических постоянных вносятся небольшие изменения,

целесообразно определять соответствующие поправки в производ-

22*

339

Таблица 187

Вычисление производных параметров

Величина

Размерность Значение Формула Примечание

fM/a'

У>

М-С

-2

М-С"

9,7982869

9,7803266

(22.8)

fM/a

-с~

-С-

62 494 816

62 636 861

(22.9)

6 363 673,1

6 363 673,0

(22.10)

(22.6)

Контроль

ю-»

3 352 803 (22.11)

1 fa 1

298,2579

ю-

6 694 352

(22.12)

10~

6 694 365

(22.16)

Контроль

Ю-

5 302 475

(22.13)

a+p Ю-

8 655 280

iT+P

Ю-

8 655 278

(22.17) Контроль

h°

Ю-

—

2368

—2371

(22.14)

(22.18)

Контроль

Ю-

5851

5850

(22.15)

(22.19)

Контроль

Y e&e

с-

3 978 698,7

—

с~

20695,7

Заключительный

1Q8

-2

3 986 005,0

(22.20)

контроль

Сводка полученных параметров:

^669 436X10"*.

м с

' Р=530248X10-»,

АО

О ООО

О/О, 1 М, = 237X10

-8

а==335 280ХЮ

-8

р1

= 585Х10"

1 : сГ= 298,258

Нормальная формула силы тяжести:

YO=9,7803266 (1+0,00530248 sin

В — 0,00000585 sin

2B)M-C~

340

Уе

ные параметры нормальной Земли с использованием дифферен-

циальных формул, получаемых из приведенных формул этих па-

раметров. Дифференциальные зависимости могут быть также ис-

пользованы для оценки влияния ошибок принятых значений ис-

ходных постоянных на точность определения производных пара-

метров и как уравнения ошибок при уравнивании независимых

выводов фундаментальных геодезических постоянных.

При получении дифференциальных зависимостей с достаточной

точностью можно положить:

fM / 1 1

V (

1 +

"2~

* +"Т

)

•

(22

3 1 _

сс = ~2~

2 +~2(22.23)

И Т. Д.

Формулы вида (22.21) и (22.22) рекомендуется сначала про-

логарифмировать, а затем продифференцировать, а формулы ви-

да (22.23) сразу дифференцировать. Исходя из формул (22.7),

следует представить

- - /Асо

А а

Д/М \

А" = ш(2— (22.24)

Значение т в последующих расчетах с достаточной точностью

полагают равным 0,00346.

В качестве примера получим дифференциальную формулу из

(22.21). Имеем

1г. Уе

= ln/М

— 2 In

+ In + /

—

mj;

Ay, W

^ 4

n I"

fM и a 3 - '

Знаменателем в последнем члене из-за малого отличия от еди-

ницы можно пренебречь. Таким образом, с учетом (22.24), нахо-

дим

Лу

ЩМ

i (

_ Да

( 3 Дсо 3

ъ ~ Т 0 + «) -

-^(i +

) -

2т

— +т <

Задание. Получить дифференциальные зависимости, поль-

зуясь формулами (22.22) и (22.23) и, по указанию преподавате-

ля, другими формулами в этой главе.

Полученные дифференциальные зависимости следует использо-

вать для оценки среднего квадратического влияния ошибок ис-

ходных фундаментальных постоянных на определяемые парамет-

ры нормальной Земли. Будем предполагать ошибки исходных по-

341;

стоянных случайными и независимыми. Тогда, например, из (22.25)

имеем

Л 3 - / то \

X (' +т

) +

4т2

(ir) + ~

W <

)

Угловая скорость вращения Земли в настоящее время опреде-

ляется с очень высокой точностью, однако, в отличие от других

фундаментальных постоянных, она подвержена заметным вариа-

циям во времени, достигающим в относительной мере Асо/(о вели-

чины 3X1С этой точностью параметр <о можно считать неиз-

менным и принять его округленное среднее значение.

Положим в соответствии с рекомендациями XVII Генеральной

Ассамблеи МАГ средние квадратические ошибки определения ис-

ходных фундаментальных геодезических постоянных равными:

fM = 0,5хЮ

•

-2

; "4 = 2 м;

= 0,5хЮ"

Величина тш/со не будет превышать указанного выше значе-

ния ЗХ10~

. Тогда по формуле (22.26) с использованием прибли-

женных значений параметров fM, а

и т найдем

(

Уе V

J = 0,016Х Ю-

+ 0,397Х Ю"

+ 0,0004Х Ю-

1в

+ 0,56х 10~

Как видно, влияние двух последних членов, связанных с ошиб-

ками постоянных со и /г, пренебрегаемо. В итоге находим

ГПу

0,64-ю-

, ту =0,6310-6 м с-2.

Уе

Аналогичные расчеты с выявлением существенных и пренебре-

гаемых влияний ошибок исходных фундаментальных геодезичес-

ких постоянных рекомендуется провести с использованием других

дифференциальных формул.

Глава 23

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

ПОСТОЯННЫХ И ЭЛЕМЕНТОВ ОРИЕНТИРОВАНИЯ

РЕФЕРЕНЦНЫХ СИСТЕМ КООРДИНАТ

ОТНОСИТЕЛЬНО ОБЩЕЗЕМНОЙ

§ 106. Общие исследования фигуры

и внешнего гравитационного поля Земли

Предметом исследований является фигура Земли и ее внешнее

гравитационное поле в целом с использованием единой геоцентри-

ческой общеземной системы координат. При этом определяются

фундаментальные геодезические постоянные, являющиеся парамет-

342;

рами нормальной Земли. Другими задачами общих исследований,

которые обычно решают одновременно с получением фундамен-

тальных геодезических постоянных и установлением общеземной

системы координат, связанной с нормальной Землей, являются:

изучение отклонений реальной фигуры Земли (обычно квази^

геоида) и ее внешнего гравитационного поля от нормальной Зем-

ли и нормального поля;

определение абсолютных элементов ориентирования, характери-

зующих положение референцных систем координат, в которых ве-

дется математическая обработка отдельных астрономо-геодезиче-

ских построений, относительно общеземной системы координат.

В предлагаемых далее примерах рассмотрены лишь чисто гео-

метрические вопросы определения параметров общеземного эллип-

соида и абсолютных элементов ориентирования референцных сис-

тем координат с использованием так называемых уравнений гра-

дусных измерений [см. 9, глава VII].

Другие фундаментальные геодезические постоянные (fM, /

Wo) характеризуют внешнее гравитационное поле Земли. Их

обычно определяют при планетарных исследованиях квазигеоида

и основных особенностей внешнего гравитационного поля Земли

путем использования данных об этом поле, полученных из изме-

рений силы тяжести на поверхности Земли и анализа орбит как

сравнительно близких искусственных спутников, так и более дале-

кого естественного спутника Земли — Луны, а также космических

аппаратов, направляемых в сторону Луны, Марса, Венеры и дру-

гих планет (см. {9, главы VIII и IX]).

§ 107. Пространственные координаты и их преобразования

Положение точек на поверхности Земли и в окружающем про-

странстве определяют в экваториальных пространственных систе-

мах координат, связанных с некоторым выбранным эллипсоидом

вращения — земным эллипсоидом. В референцной системе коорди-

нат таким эллипсоидом является референц-эллипсоид, принятый

для математической обработки астрономо-геодезической сети, а в

общеземной системе — общеземной эллипсоид. Наибольшее приме-

нение получили прямоугольная пространственная система, начало

координат которой О совпадает с центром эллипсоида, ось Z — с

с его полярной осью, а ось X — с пересечением плоскости эквато-

ра с плоскостью выбранного начального меридиана, и геодезиче-

ская пространственная система (£, L, Я). Пространственными

координатами в последней являются геодезические широта В и

долгота L, рассмотренные в главе 4, и геодезическая высота Н —

расстояние рассматриваемой точки от поверхности эллипсоида,

отсчитанное по нормали к эллипсоиду.

Имеем формулы связи пространственных прямоугольных и гео-

дезических координат:

X=(N + H)co$BcosL; У = (N + Н) cos S sin L;

Z = {N + H sin В, (23.1)

343;

где N —радиус кривизны эллипсоида в первом вертикале [см.

формулу (16.6)].

Обратный переход от прямоугольных к геодезическим коорди-

натам в общем случае осуществляют последовательными прибли-

жениями. Приведем формулы, описанные в [7, § 39]. Из формулы

(23.1) находим

t gL^Y/X. (23.2)

Для получения В введем вспомогательные величины:

Q = XcosL = YsinL = (N + H)cosB, (23.3)

Г = Z + Ne

sin В = {N + Н) sin В. (23.4)

В первом приближении полагаем

tg В° = Z/Q (1 — е

). (23.5)

В последующих приближениях пользуемся формулой

igB^T^/Q, (23.6)

где через обозначено значение Г, полученное с использовани-

ем значения широты В из предыдущего (I—1)-го приближения.

После нахождения окончательного значения определяем Я по фор-

муле, вытекающей из (23.3):

Н =*Q/cosB — N. (23.7)

Связь прямоугольных пространственных координат в общезем-

ной и референцной системах в общем случае описывает следую-

щее соотношение, данное в матричном виде:

(1 + Am).

(23.8)

Здесь и в дальнейшем черточкой сверху отмечены величины,

относящиеся к общеземной системе координат. Через х, у и z обо-

значены координаты центра референц-эллипсоида относительно

центра масс Земли или абсолютные линейные внутренние элемен-

ты ориентирования референцной системы координат. Множитель

(1+Дпг) дает масштабную поправку за переход от референцной

к общеземной системе. Через Ra. э обозначена соответствующая

матрица вращения. Учитывая, что разворот осей референцной си-

стемы координат относительно общеземной не превышает несколь-

ких секунд, эту матрицу можно записать в упрощенном виде:

1 '

—

z 1 +е* , (23.9)

. е* —г* 1

Л- -

э,э

где через г

, г

и г

обозначены малые углы поворота (в радиан-

ной мере) вокруг осей референцной системы координат, соответ-

ствующих индексам, при переходе к общеземной системе. Эти уг-

лы являются абсолютными угловыми элементами ориентирования

344;

референцной системы координат и часто называются эйлеровыми

углами. Элементы е

и г

характеризуют отличие направления

полярной оси референцной системы от общеземной. При опреде-

лении координат в референцной системе из астрономо-геодезичес-

ких построений величины г

и е

характеризуют отличие направ-

ления на полюс, к которому приводят астрономические наблюде-

ния в данной АГС, от направления на международное условное

начало полярного движения, которое соответствует по междуна-

родной договоренности направлений оси Z общеземной системы

координат. Элемент е

характеризует отличие начала счета дол-

гот в референцной и общеземной системах. Кроме того, при прак-

тическом определении элементов г*, г

и г

, а также масштабного

коэффициента Ат путем сравнения координат пунктов АГС в ука-

занных двух системах на величинах этих элементов отражается

влияние различных ошибок построения сети.

На основании (23.8) и (23.9) напишем развернутые формулы

связи:

Х = Х + ХЬт + B

Y — E

Z + х;

У = У+ У Am + е

г — е

Х + у;

Z = Z + ZSm + г

Х — г

У + 2,

(23.10)

которыми рекомендуется пользоваться при вычислениях в после-

дующих примерах.

Будем использовать также следующие зависимости между гео-

дезическими пространственными координатами в общеземной и

референцной системах:

—

Н = X cos В cos L + у

cos

В sin L + г

sin

В —

/ е

\ аДе

( е

— Да (1 —sin

£l-f —sin

£ (l +-j- sin

5]+ А/па; (23.11)

- р"

£ — Я = — JtZfJT I*

sin В cos L

sin

В sin L — 2 cos В —

— Дае

sin В cos В — аАе

in В cos В (1 + е

sin

5)] —

—

е/ sin L + е/ cos L; (23.12)

Г - Р" . ,

(N + H)cosB (*sinL —//cos L)—

+ e/ cos L tg В + е/ sin L tg В _ е/. (23.13)

Введены обозначения: Да— разность больших полуосей обще-

земного эллипсоида и референц-эллипсоида; Ае

—разность квад^

ратов соответствующих эксцентриситетов. Остальные обозначения

общепринятые или уже использовались в этой главе. Полученные

соотношения вытекают из формул (23.1) и (23.10), и имеют точ-

ность соответственно не ниже 1 м, 0,03" и 0,01" sec В, если вели-

чины х, у, г, А а и аАе

не превышают 0,5 км, Am меньше 2-10~

a s/', е/' и Ег" (выраженные в секундах дуги) меньше 5". Эти

допуски соответствуют обычно встречающимся значениям элемен-

345;

Таблица 183

Исходные данные

Величина

Значение

Величина

Значение

а*

1 Га

6 378 388 м

297,0

6 378 155 м

298,250

—16°27'43,79"

288 30 31,54

2322 м

—355,3 м

203,8 м

391,7 м

в/'

Ег"

Д т

Да

= 2а(1 — а)

? = 2а{1—а)

Де

аАе

—1,4"

—0,9"

1,2"

16,6X10"°

—233 м

0,0067226698

0,0066945414

—0,0000281284

—179,41 м

Таблица 189

Вспомогательные величины

Величина

(Значение

Величина

Значение

/i = cos В cos L

0,3044365

/3 = sin L

—0,9482751

trii

= cos 5 sin I

0,9094025

=—cos L

—0,3174497

/*t = sin В

—0,2833821

Контроль /s

0,9999999

Контроль:

—0,2833821

Заключительный

0,9999998

контроль:

0,0000002

/i=sin В cos £

—0,0899595

Itlz+mitni+ninz

0,0000002

=sin В sin L

0,2687241

hmi + hmz+lsmb

0,0000001

Пг=—cos В

—0,9590071

sin

0,0803054

Контроль:

—0,9590071

sin В cos В

-0,2717654

*+n

0,9999999

тов ориентирования, масштабного коэффициента и поправок Да и

аДе

. Для вычисления М рекомендуется использовать при выпол-

нении практических заданий формулу (14.3).

Пример 19. Преобразование пространственных координат

(табл. 188—190). Исходными данными являются (см. табл. 188):

1) параметры референц-эллипсоида а, 1 : а, относительно кото-

рого построена некоторая референцная система координат;

2) геодезические координаты В, L, Н некоторого пункта в ре-

ференцной системе;

3) абсолютные элементы ориентирования х

у, г, е/', е/', е

и масштабный множитель Дт\ __

4) параметры общеземного эллипсоида а

> 1 : а.

Решение проводится в четыре этапа:

I) переход от геодезических к прямоугольным координатам в

референцной системе;

II) переход от прямоугольных координат в референцной систе-

ме к прямоугольным координатам Ь общеземной системе;

346

а б

ли ц,а 190

Преобразования координат

Этап вычислений Определяемая величина

Значение

Исполь-

зуемая

формула

I. Вычисление прямо-

угольных координат по

геодезическим

N+H

N + H—Ne*

6 380 110,4 м

6 382 432,4 м

6 339 541,0 м

1 943 045,3 м \

—5 804 199,9 м \

—

796 512,4 м J

(16.6)

(23.1)

II. Переход к прямо-

угольным координатам в

общеземной системе

е*=е,/7р"

е^е/Ур"

/7р"

Х—Х

~6,8хЮ-в

—4,4ХЮ-

5,8x10-6

—364,6 м

T-Y

"z-z

108,4 м

—469,5 м

(23.10)

~х

1 942 680,7 м

—5 804 091,5 м

—1 796981,9 м

III. Вычисление геодези-

ческих координат по

прямоугольным

tgl

cos L

sin L

2,9876713

288°30'21,06"

0,3174015

—0,9482913

(23.2)

6 120 579,1 м

(23.3)

tg B°

—0,2955754

(23.5)

B°

—16°27

58,97

,г

sin

—0,2834527

6 379 870,7 м

(16.6)

—

809 088,1 м

(23.4)

tgB

-0,2955746

Второе и последнее

приближение

(23.6)

—16°27'58,82"

sin В

—0,2834520

cos В

—0,9589864

6 379 870,7 м

(16.6)

2470,9 м

(23.7)

347

Продолжение табл. 190

Этап вычислений

Определяемая величина

Значение

Исполь-

зуемая

формула

IV. Пересчет геодезиче-

ских координат из рефе-

ренцной в общеземную

систему

м+н

"р/М + Я

p"/(N + //)cosB

6340,57 км

6342,89 км

0,0325197м

0,0336997м

(14.3)

77-я

149,2 м

(23.11)

Контроль 148,9 м

Этап III

~В—В

—15,05"

(23.12)

Контроль

—15,03"

Этап III

T-L

—10,49"

(23.13)

Контроль —10,48"

Этап III

III) переход от прямоугольных к геодезическим координатам

в общеземной системе;

IV) непосредственный переход от геодезических координат в

референцной системе к геодезическим координатам в общеземной

системе.

Таким образом, проводятся все описанные выше преобразо-

вания пространственных координат и, кроме того, обеспечивается

внутренний контроль вычислений, поскольку в этапе IV выполня-

ется та же операция, что и в совокупности во всех остальных эта-

пах. В рассматриваемом примере используются приведенные в

работе {19] числовые данные для Южноамериканской системы ко-

ординат 1956 г. (эллипсоид Хейфорда а = 6378388 м, 1:а = 297,0).

В соответствии с той же работой приняты параметры общеземно-

го эллипсоида

а*

= 6 378 155 м, 1 : а = 298,250.

§ 108. Составление и решение уравнений

градусных измерений при использовании

астрономо-геодезических и гравиметрических данных

Если располагать независимыми определениями геодезических

координат в референцной и общеземной системах, то зависимости

(23.1

Г)

— (23.13) могут быть использованы для вывода параметров

и е

общеземного эллипсоида и абсолютных элементов ориен-

тирования х, у, г, г

, г

, е

референцной системы координат. При

таком использовании указанные зависимости называют уравне-

ниями градусных измерений. Искомые параметры получают по ме-

тоду наименьших квадратов, рассматривая уравнения градусных

измерений как уравнения ошибок. Масштабный множитель Ат

практически неотделим от поправки Да, и его не включают в чис-

ло определяемых величин. При использовании наземных данных

координаты (5, L, Н) в референцной системе находят путем об-

работки астрономо-геодезических сетей (см. главы 20 и 21). Ко-

,348