Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы

Подождите немного. Документ загружается.

Исходные данные выбираем

в табл. 167:

1==

37°59';

829,2 м;

= 37 48 ; Я

= 672,1 м;

= 37 54 ; ДЯ = —157,1 м.

в) Редуцирование измерен-

ного инварными проволоками

базиса к поверхности рефе-

ренц-эллипсоида выполняют

по формуле

Таблица 187

Вычисление редуцированного

к поверхности эллипсоида

Красовского расстояния

между пунктами триангуляции

= S

S +

Н\п

Ш.

5 +

(20.10)

Величина

Численное

значение

34 463,06 М

# = а(1—0,5e

cos 2В) 6373 км

Si = yS

—ДЯ

34 462,70 м

+ Я

2 R

0,0001177

24tf

0,041 м

34 458,68 м

В этой формуле Нт —

средняя высота базиса над ре-

ференц-эллипсоидом, которую

можно считать равной 2—'

Н\ и Н

— высоты концов базиса. Последний член формулы

(20.10) при линейном изменении уклонения отвеса вдоль линии

базиса можно записать в виде

я.' л. а."

(20.1 !)•

jprj™-

где и — составляющие уклонения отвеса в направлении ли-

нии базиса на его концах, 2Д/г — сумма измеренных превышений

на отдельных пролетах.

Таблица 172

Редуцирование измеренного базиса к поверхности референц-эллипсоида

Величина

Численное значение

Величина

Численное

значение

В1

Вг

Иг

т 0

, Н

Я*

9443,4994 м

37°51'

37 55

37 54

6373 км

478 м

747 м

612 м

—0,8100 м

lep

Л2

Пер

frcp = £cp cos А +

+т|ср sin А

2Дй

38°17'

—17,84"

— 11,43

—14,64

+0,84

+2,27

+ 1,56

—10,52

+268 м

* ? 2Aft

—0,0137 м

9442,6757 м |

319

Средний радиус кривизны R можно вычислять по формуле

<20.8).

Следует подчеркнуть, что в формулах (20.6), (20.8)—-(20.10)

Н — геодезическая высота, равная сумме нормальной высоты и

аномалии высоты. Поэтому для редуцирования линейных измере-

ний к поверхности референц-эллипсоида нужно знать астрономо-

геодезические аномалии высот вдоль линии. При редуцировании

измеренного базиса, кроме того, нужно знать астрономо-геодези-

ческие уклонения отвеса. Требования к точности определения ук-

лонений отвеса и аномалий высот изложены в [9, § 9].

§ 98. Особенности редукционных вычислений

при обработке геодезических измерений

в инженерно-геодезических сетях

Инженерно-геодезические построения по сравнению с государ-

ственными астрономо-геодезическими сетями имеют такие особен-

ности:

занимают сравнительно небольшую площадь и имеют длины

линий порядка сотен метров или нескольких километров;

имеют значительное число избыточных измерений и, вследствие

этого, большое число условий в сети;

характеризуются высокой точностью определения взаимного

положения пунктов сети;

имеют значительные углы наклона измеряемых направлений;

могут не иметь связи с государственной астрономо-геодезиче-

ской сетью;

могут располагаться в предгорной и горной местности, где име-

ются значительные колебания уклонений отвесной линии. Рас-

смотрим особенности редукционных вычислений в инженерно-гео-

дезических сетях.

Обработку измерений можно вести в местной системе коорди-

нат, которая устанавливается следующим образом: в качестве от-

счетной поверхности выбирают сферу радиуса R

равного средне-

му радиусу кривизны референц-эллипсоида в пределах сети. Ре-

зультаты всех измерений редуцируют к поверхности этой сферы.

В качестве исходного выбирают любой пункт сети, приближенные

координаты которого известны (например, из астрономических

наблюдений). Уклонения отвесной линии в исходном пункте в ме-

стной системе координат полагают равными нулю:

Ео

аг

= °; Ло

аг

= 0. (20.12)

Для всех пунктов сети вычисляют гравиметрические или топо-

графические уклонения отвеса £

Р, г]

гр

по гравиметрическим или то-

пографическим картам.

Астрономо-геодезические уклонения отвеса в местной системе

координат получают как разности уклонения отвеса в каждом

пункте относительно исходного:

£аг

£ГР _ |

гр. т]

аг

= т^Р - Т]

Р. (20. 13)

320;

Геодезические высоты в местной системе координат устанавли-

вают так: в исходном пункте аномалию высоты полагают равной

нулю и геодезическую высоту равной нормальной высоте этого

пункта. Для всех остальных пунктов сети астрономо-геодезичес-

кие аномалии высот в местной системе координат определяют по

формуле астрономического нивелирования

Д£ = — (£

аг

cos A -f т|

аг

sin A) S — АЛ, (20.14)

где Д£ — превышение квазигеоида вдоль линии S

А — азимут ли-

нии, Ah— превышение.

Второй член этой формулы можно вычислить только в том слу-

чае, если на участке работ выполнена гравиметрическая съемка;

при превышениях, меньших 100 м, этот член не превышает не-

скольких сантиметров даже в сильно аномальных районах и его

можно не учитывать. Поэтому превышения квазигеоида в мест-

ной системе координат определяют по формуле

АС

—-^г cos л + if

аг

sin А). (20.15)

Инженерно-геодезические построения представляют собой ли-

нейно-угловые сети, в которых измерены горизонтальные и верти-

кальные углы и длины линий. Если измерения выполнены в горах

и расстояния между пунктами невелики, точность измерения вер-

тикальных углов сравнима с точностью измерения горизонтальных

углов. Редукционная задача будет включать в себя редуцирова-

ние горизонтальных направлений, зенитных расстояний и длин ли-

ний.

В горизонтальные направления вводят поправку v\ за уклоне-

ние отвесной линии по формуле (20.1) и поправку v

за высоту на-

блюдаемого предмета по формуле (20.3), в которой множитель

cos

j32 можно считать постоянным для всей сети. Поправку v

пропорциональную квадрату расстояния, при длинах линий поряд-

ка нескольких километров не вводят.

Поправку в измеренное z зенитное расстояние вычисляют по

формуле

аг

2 -f-

аг

, (20.16)

где 2

аг

— редуцированное зенитное расстояние, О

аг

— составляю-

щая уклонения отвеса в азимуте измеренного расстояния.

Редукцию линейных измерений выполняют по формуле (20.8).

При s<10 км последний член этой формулы не превышает 1 мм и

его в этом случае можно не учитывать. Представим геодезическую

высоту суммой нормальной высоты h и аномалии высоты £

21—2296

(20.17)

321

Таблица 187

РИС. 83

Номер

пункта

L h, м

гр

46°41,3'

8°33,3'

2080,39 + 1,6" +9,2*

2 46 41,5

8 35,7

2119,68

+5,7

—14,2

3 46 40,8 8 34,2

1015,01

+8,1

—1,2

46 39,7

8 33,2

2213,14

+9,2

+9,5

46 39,7

8 35,1

2207,08

+4,7

—8,1

Таблица 174

Номер пункта

Номер линии

5, м

пр

обр

1-2

2999,41

89°12' 90°41'

83°51,8'

1—3

1842,28 124 56 54 54

130 27,2

1-5

3671,36

88 05

91 50

142 13,2

1—4

2995,24

87 27

92 30 183 20,2

4-3

2688,70

116 36

63 17 33 13,5

4-2 4573,13

91 06 88 49 43 39,3

4-5

2423,43

90 10 89 41 87 56,4

5-3

2517,89

118,21 61 31

330 09,9

5-2

3304,47

91 21

88 33

12 50,6

2-3

2505,40 115,58 63 54

234 49,3

После подстановки (20.17) в формуле (20.8) и выделения чле-

нов, содержащих аномалии высот, получаем

С С + о , +

^>1 —

' 8 R*

- At ctg г - + , (20.18)

где = /«S

—

ДЛ

Пример 16. Выполнить редуцирование инженерно-геодези-

ческой сети (рис. 83). Исходные данные приведены в табл. 173 и

174.

По формулам (20.13) и (20.14) вычисляют астрономо-геодезиче-

ские уклонения отвеса (табл. 175) и превышения квазигеоида в

местной системе координат (табл. 176). В качестве исходного вы-

берем пункт 4 (см. рис. 83).

Превышения квазигеоида вдоль сторон сети не превышают

0,3 м. В этих же пределах будут и высоты квазигеоида в местной

системе координат. При редуцировании измеренных линий по фор-

муле (20.18) последний член будет меньше 0,5-Ю

-7

5 и его мож-

но не учитывать. Член A£ctgг при значительных углах наклона

будет достигать нескольких десятых долей метра и при точности

измерения линий около 1 см и выше учет его обязателен.

Определим поправки в горизонтальные направления и зенитные

расстояния. Поправки за уклонения отвеса в точке 4 равны нулю>

322

Таблица

162

Астрономо-геодезические уклонения отвеса

Номер пункта

аг

Т1

гр

аг

+9,2"

+9,5"

+1,6

—7,6"

+9,2

—0,3"

+5,7

—3,5 —14,2 —23,7

+8,1

— 1,1 — 1,2

—10,7

+4,7

-4,5 —8,1 —17,6

Вычисление превышений квазигеоида

Таблица 176

Номер

точки

.аг

аг

.аг

Сер

аг

^ср

Sep cos А+

+Т)ср sin Л

—4,05"

—8,8"

—8,94"

87°56,4' 2423

-0,10

—8,1"

—17,6"

—8,94"

—8,1"

—11,5 —20,65

—15,461

12 50,6

3304

—0,25

— 14,2

—23,7 —23,7

—2,6

—12,0

+ 12,198

263 51,8 2999

+0,18

+9,2

—0,3

+ 12,198

+4,6

—0,15 -4,583 183 20,2

2995 —0,07

4 0

-4,583

—7,1 -11,85

— 13,317

43 39,3

4573

—0,29

—14,2

—23,7

— 13,317

43 39,3

—23,7

—7,7

—17,2

+ 18,495

234 49,3

2505

+0,22

3 — 1,2

— 10,7

+ 18,495

+0,22

— 10,7

+4,0

-5,5 +6,780

310 27,2

1842

+0,06

+9,2

-0,3

+4,0

+0,06

+9,2

+0,55

—8,95

—5,918

142 13,2

3671

—0,11

—8,1

-17,6

-4,65

—14,15

+3,006

330 09,9

2518

+0,04

— 1,2

-10,7

+0,04

-0,6

-5,35

+3,433

213 13,5

2689 +0,04

+3,433 +0,04

так как эта

точка выбрана

в качестве исходной и для i

нее состав-

ляющие астрономо-геодезического уклонения отвеса равны нулю.

Средняя широта сети составляет 46°40,6

, поэтому формула (20.3)

для поправки за высоту наблюдаемого предмета примет вид

= 0,0508'7/

cos 2

Поправки в зенитные расстояния в соответствии с (20.16) вы-

числены в табл. 177 по формуле

в = £

аг

cos Л

+ т}

аг

sin А

Поправки в горизонтальные направления достигают 8" для на-

правления 2—3, поправки в зенитные расстояния — 23,94" для

направления 2—1. Главную часть поправки в горизонтальные на-

правления составляет поправка за уклонение отвеса. Поправки за

21*

323

Таблица

177

Вычисление поправок

горизонтальные направления

зенитные расстояния

Номер

пункта

аг

Наблю-

даемое

направ-

ление

Т)

аг

cos

Л-£

аг

sin А

Н, км

Поправка

зенитное рас?

стояние

—7,6"

—0,3

83°51,8'

130 27,2

142 13,2

183 20,2

+7,52*

—5,59

—4,42

+0,74

89°12'

124 56

88 05

87 27

+0,10"

+3,90

—0,15

+0,03

2,119

1,015

2,207

2,213

+0,02"

—0,05

—0,11

+0,01

+0,12"

+3,85

—0,26

+0,04

— 1,1Г

+4,70

+ 10,53

+ 18,13

—3,5

-23,7

192 50,6

223 39,3

234 49,3

263 51,8

+23,88

+ 19,56

+ 16,52

+6,01

88 33

88 49

115 58

90 41

+0,60

+0,40

—8,39

—0,07

2,207

2,213

1,015

2,080

+0,05

+0,11

+0,05

+0,02

+0,65

+0,51

—8,34

—0,05

+8,68

+ 18,89

+21,39

+23,94

—1,1

— 10,7

310 27,2

54 49,3

150 09,9

213 13,5

-6,10

—7,06

+8,74

+9,55

54 54

63 54

61,31

63 17

—4,29

—3,46

+4,74

+4,81

2,080

2,119

2,207

2,213

—0,10

+0,09

—0,10

+0,10

-4,39

—3,37

+4,64

+4,91

+7,43

—9,38

—4,37

+6,78

3 20,2

33 13,5

43 39,3

87 56,4

2,080

1,015

2,119

2,207

+0,01

+0,05

+0,11

+0,01

+0,05

+0,11

+0,01

-4,5

-17,6

267 56,4

322 13,2

330 09,9

12 50,6

+ 5,13

-11,15

-13,03

— 18,16

89 41

91 50

118 21

91 21

+0,03

+0,36

+7,03

+0,43

2,213

2,080

1,015

2,119

+0,01

—0,10

-0,04

+0,05

+0,04

+0,26

+6,99

+0.48

+17,75

+7,23

+4,85

—8,30

высоту наблюдаемого пункта невелики, хотя высоты пунктов пре-

вышают 2 км.

Оценим влияние уклонений отвеса на свободные члены услов-

ных уравнений, возникающих в сети.

Искажение суммы углов в треугольниках составит:

Номер вершины

Поправка в угол

Номер вершины Поправка в угол

+0,18"

+0,33"

—0,07"

—0,47

Сумма

+0,51"

—0,25

—0,67

+0,07

Сумма

—0,54"

—0,20"

+0,40

Сумма —0,85"

Сумма

+0,20"

Номер вершины

Поправка в угол

Номер вершины Поправка в угол

+0,83"

+3,80

+8,32

+8,20"

—7,79

—6,60

Сумма

+ 12,95"

—9,10

-3,87

Сумма

—6,19

+0,07

+7,00

Сумма — 12,97 Сумма

+7,07

При точности измерения горизонтального направления 0,6—

1,0" предельное значение З^Уб невязки треугольника составит

4,41—7,35", т. е. влияние уклонения отвеса вызовет невязку тре-

угольника, превышающую ее предельную величину.

Оценим влияние уклонения отвеса на свободные члены полюс-

ных условий. В сети на рис. 83 имеется геодезический четырех-

угольник (рис. 84) и центральная система (рис. 85). Влияние ук-

лонения отвеса на свободные члены полюсных условий составит

для четырехугольника (табл. 178)

A/i = v

ctg (1) + из ^g (3) +ctg (5) + v

ctg (7) -v

ctg (2) -

- ctg (4) - v ctg (6) -v

ctg (8); (20.18)

325;

Таблица 178

Влияние уклонений отвеса на свободный член полюсного условия

Номер

угла i

Значение

угла (t)

Ctg

Номер

угла i

Значение

угла (i)

Ctg

(l)

41°06,8'

40 12,5

50 37,4

44 17,1

+0,18"

—0,47

+0,07

+0,21"

—0,56

+0,06

58°21,4'

30 48,7

54 16,5

40 19,1

-0,25"

—0,20

+0,38

-0,15"

—0,34

+0,24

X ctg

(0 4,44

Сумма —0,29 || 2 ctg

(/) 4,58

Сумма —0,25

Afi = —0,04" /доп = У 2 ctg

(0 « 3,60" при р, = 0,6"

для центральной системы (табл. 179)

= ctg (9) + ctg

(11)

+ v

ctg (13) +

1В

ctg

(15)

- V

Ctg

(10) - v

ctg (12) - v

ctg (14) - 0

Ctg

(16). (20.19)

В формулах (20.18), (20.9) v

...— поправки за уклонение

отвеса, (1), (2), ... — значения углов. Но***а углов указаны на

рис. 84 и 85.

РИС. 84 РИС. 85

Таким образом, влияние уклонений отвеса на свободные чле-

ны может превысить допустимые значения.

Таблица 179

Влияние уклонений отвеса на свободный член полюсного условия

Номер

угла 1

Значение

угла (0

ctg (0

Номер

угла i

Значение

угла (i)

°1

ctg (t)

52°54,0"

29 02,5

42 40,7

54 42,9

—3,87"

+8,32

—6,60

—2,93"

+ 14,98

—7,16

46°34,3'

41 58,7

62 13,5

29,53,3

+3,80"

—7,79

+7,00

+3,40"

-8,66

+3,69

2 ctg

(/) 5,49 Xvi ctg (0+4,89 2 ctg

(0 5,44 2v

ctg (/) —1,57

Д/

= 6,46" /доп = 2Ц /2 ctg

(0 = 3,77" при ц « 0,6"

326;

Таблица

180

Редукция линейных измерений

Номер

точки

/г, м

\Щ, м

hi+h

2 '

Ар, м

S, м

Si, м ASl, м

Д52» М

, м

So. М

2213,И

6,06

2210

90°10'

—0,10

2423,43

2423,49

0,84

2422,59

2207,08

88,40

2163 91 21

—0,25

3304,47

3303,29

1,13

+0,01

3302,15

2118,68

38,29

2100

90 41

+0,18

2999,41

2999,16

1,00

2998,16

2080,39

132,75

2146

87 27

-0,07

2995,24

2992,30

1,01

2991,29

2213,14

94,46

2166

91 06

—0,29

4573,13

4572,15

1,55

0,01

+0,01

4570,60

2118,68

0,01

1103,67

1567

115 58

+0,22

2505,40

2243,21

0,55

-0,11

2248,77

1015,01

-0,11

1065,38

1548

54 54

+0,06

1842,28

1502,98

0,36

+0,04

1502,58

2080,39

+0,04

126,69

1144

88 05

-0,11

3671,36 3669,17

0,66

3668,51

2207,08

1192,07

1611

118 21

+0,04

2517,89

2217,82

0,56

—0,02

2217,28

1015,01

2213,14

1198,13

1614

63 17

+0,04

2688,70

2407,00

0,61

+0,02

2406,37

Таблица

187

Влияние уклонений отвесной линии на координаты

определяемой точки

Формулы

Исходные точки

Формулы

ASз, м

дл

АХ, м

ДУ, м

1503

—0,04

130°27,2'

+3,90"

+0,01

—0,05

2249

-1-0,11

234°49,3'

—8,39"

—0,14

-0,04

2407

—0,02

33°13,5'

-0,02

—0,01

2218

+0,02

330°09,9'

+7,03"

+0,05

+0,06

Редукция линейных измерений (табл. 180). Представим фор-

мулу (20.8) в виде

= S

— Д^ + Д5

— Д5

где

/г

^ 2 R

Slf

^2— g/^2

= Д£ ctg г.

Последний член формулы не учитываем из-за малости высот ква-

зигеоида.

В заключение рассмотрим влияние уклонений отвеса на коор-

динаты (табл. 181). Пусть в схеме на рис. 83 точки 1, 2, 4, 5 —

исходные, точки 3— определяемая. Дифференцируя формулы

X = S cos Л, y=S sin А„ получим

ДХ= AS

cos

ДЛ"

«S

sin А;

ДУ = Д5 sin

А -

Д А"

S cos А,

р" ' ' р"

где АХ

А У — влияние уклонений отвеса на координаты точки

AS = А5

, ДЛ = у

Значения А5

и v

{

выбираем из табл. 177 и 180.

Таким образом, влияние уклонений отвесной линии и высот

квазигеоида вызывает поправки в измеренные величины, которые

превосходят ошибки измерений. Поэтому эти поправки необходи-

мо учитывать для правильной обработки результатов измерений.

Глава 21

ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПЕРЕДАЧИ КООРДИНАТ

В АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ СЕТИ

§ 99. Общие сведения об уравнивании

астрономо-геодезической сети (АГС)

Уравнивание обширной астрономо-геодезической сети является

заключительной стадией ее создания, позволяющей устранить не-

вязки в сети, повысить точность сети путем оптимального исполь-

328