Яковлев Н.В. и др. Практикум по высшей геодезии. Вычислительные работы

Подождите немного. Документ загружается.

зования избыточных измерений и, наконец, дать оценку этой точ-

ности.

Наибольшее распространение получил полигональный метод

уравнивания астрономо-геодезических сетей. Почти все существую-

щие варианты полигонального метода уравнивания имеют три

этапа:

1) предварительное уравнивание звеньев триангуляции (или

полигонометрии) с вычислением в результате этого длин и ази-

мутов отрезков геодезических линий, являющихся замыкающими

звеньев;

2) уравнивание полигонов астрономо-геодезической сети с ис-

пользованием полученных элементов замыкающих, которые

при этом рассматриваются как непосредственно измеренные ве-

личины;

3) вставка звеньев путем их вторичного уравнивания между

узлами полигонов, положение которых получено в предыдущем

этапе.

В нашей стране получил применение метод полигонального

уравнивания, предложенный Ф. Н. Красовским. По методу Кра-

совского было проведено в 1941—1945 гг. общее уравнивание аст-

рономо-геодезической сети СССР, которая послужила основой для

последующего развития астрономо-геодезических построений в

нашей стране. Оптимальная обработка их даже при полигональ-

ном построении была невозможна без тщательного анализа оши-

бок создания АГС, причем особое внимание было обращено на та-

кие, которые приводят к корреляции ошибок различных звеньев:

сети и тем самым нарушают строгость полигонального уравнива-

ния, а также искажают оценку точности сети. В первую очередь

было обращено внимание на влияние погрешностей базисных иг

выходных сторон и азимутов Лапласа в узловых точках полигонов

на корреляцию ошибок соседних звеньев АГС. Было проведена

полигональное уравнивание обширного построения в нашей стране

по методу наименьших квадратов с учетом корреляции ошибок

элементов замыкающих звеньев, принимаемых за непосредственна

измеренные величины [9, § 31]. Этот опыт подтвердил целесооб-

разность учета выявленных корреляционных зависимостей.

В обширных астрономо-геодезических сетях, подобных создан-

ной в нашей стране, возникают косвенные эффекты, связанные с

влиянием ошибок плановых координат на уклонения отвеса, а че-

рез них — на высоты квазигеоида над референц-эллипсоидом. С

другой стороны, любые ошибки высот квазигеоида через редукции

линейных измерений при использовании метода проектирования

косвенно влияют на плановые координаты. Указанные косвенные

влияния следует принимать во внимание при разработке методи-

ки уравнивания обширных АГС и в особенности при исследовании

их точности.

Начиная с 1948 г. на территории нашей страны получили раз-

витие сплошные высокоточные астрономо-геодезические сети, при

создании которых использовали те же технические средства и ме-

329;

тоды измерений, что и в полигональной сети 1 класса. По пара-

метрам точности новые сети мало уступают сетям 1 класса, одна-

ко, учитывая геометрические достоинства сплошных сетей, можно

констатировать, что в нашей стране создается новая астрономо-

геодезическая сеть, более точная, чем прежняя. Сплошные сети

уравнивают путем вставки в жесткие полигональные построения

1 класса. Тем самым проводится дополнительный четвертый этап

полигонального уравнивания. Слабостью этого этапа являются

неизбежные деформации сплошной сети при вставке в более сла-

бую полигональную сеть. Радикальным выходом из положения яв-

ляется совместное уравнивание полигонов 1 класса и сплошной

сети 2 класса, что при современных возможностях ЭВМ и разви-

тии методов статистического анализа ошибок геодезических сетей

и их уравнивания стало реальным делом.

§ 100. Оценка точности передачи координат

на большие расстояния с учетом косвенных эффектов,

возникающих при использовании метода проектирования

Анализ ошибок астрономо-геодезической сети является необхо-

димым этапом подготовки к уравниванию сети, позволяющим

выбрать оптимальный метод такого уравнивания. Кроме того,

предварительный анализ точности сети имеет самостоятельное

значение, поскольку он позволяет получить ориентировочную оцен-

ку ошибок передачи координат в пределах сети.

Ограничимся при дальнейшем рассмотрении вопроса точности

астрономо-геодезических сетей самым простым случаем полиго-

нального построения. Он не потерял до сих пор своей актуально-

сти, поскольку передача координат на большие расстояния в АГС

СССР в настоящее время почти исключительно проведена по по-

лигонам триангуляции 1 класса. Первоначальными характеристи-

ками точности полигональной сети являются продольный и попе-

речный сдвиги звена триангуляции (их средние квадратические

значения обозначим соответственно через т

и m

)

относительная

средняя квадратическая ошибка длины выходной или базисной

стороны на конце звена ть/Ь и средняя квадратическая ошибка

азимута этой стороны на конце звена т

. Вопросы оценки ТОЧ-

НОСТИ построения геодезических сетей уже рассматривались в гла-

ве 3. Отметим также, что разработаны методы оценки точности

ошибок передачи кооординат в пределах одного звена и корреля-

ции ошибок соседних звеньев по фактически полученным коор-

динатным, азимутальным и базисным невязкам в полигонах три-

ангуляции 1 класса [9, § 27].

В рекомендуемом далее примере 17 будем полагать величины

р>

ду

ть/Ь и тi заданными. К ним добавим величину радиаль-

ного сдвига — среднюю квадратическую ошибку превышения ква-

зигеоида в пределах звена тъ. Зададим также среднюю длину

звена JL

330;

Продольный сдвиг звена включает в себя влияние ошибок уг-

ловых измерений т

ри

и влияние ошибок выходных (базисных) сто-

рон т

ъ. При этом

•*-{*)'-г- С'-')

Соответственно, поперечный сдвиг звена включает в себя влия-

ние ошибок угловых измерений т

ди

, которое практически незави-

симо от соответствующего влияния на продольный сдвиг, и влия-

ние ошибок азимутов Лапласа m

, определяемое из формулы

tvfirt

Продольные и поперечные ошибки статистически независимы

друг от друга. Однако за счет ошибок выходных сторон и азиму-

тов Лапласа, общих для соседних звеньев, имеется корреляция

соответственно между продольным и поперечным сдвигом этих

звеньев. Значения коэффициентов корреляции равны:

для продольных сдвигов

(21.3)

для поперечных сдвигов

q а

Пользуясь величинами т

, ть/Ь, т^

и r

, рассчитаем ошиб-

ку передачи координат по вытянутому ряду триангуляции, образо-

ванному звеньями одинаковой длины L. При этом оказывается

выгодным использовать понятие ошибок на 1 км ряда, аналогич-

ных соответствующим ошибкам, используемым при оценке точности

нивелирования. С учетом корреляции ошибок соседних звеньев

имеем следующие формулы для продольной fii, поперечной \i

радиальной |и; ошибки на один километр ряда:

(21.5)

(21.6)

Если не учитывать косвенных эффектов, то продольный, попе-

речный и радиальный сдвиги ряда большого протяжения длиной

L\ (в км) определятся из формул

= lip уТ

, (21.8)

= ii

(21.9)

mz-HVLv

(21 •

10)

За счет косвенных эффектов при строгой обработке сети мето-

дом проектирования происходит перераспределение ошибок меж-

331;

ду радиальным и косвенным сдвигом, однако полная погрешность

положения конечного пункта ряда, равная

(mV+m'Q + m^Z)

/»,

остается неизменной. Как показано в [9], для вытянутого ряда с

равными сторонами с учетом косвенных эффектов имеем формулы

= т

Рр

Pi> (21.11)

где т*

Рр

= ^ + - J" sin ) (21.12)

представляет собой влияние продольных сдвигов звеньев на про-

дольный сдвиг всего ряда длиной L\,

„ (

i R

-i \

= Л М-ТГ) (

21Л

есть косвенное влияние ошибок превышений квазигеоида на про-

дольный сдвиг ряда,

= + (21.14)

• I

i Я 2Lj \

где m*

= [-f- + — sin j (21.15)

есть влияние ошибок превышений квазигеоида по звеньям на ра-

диальный сдвиг всего ряда,

о I

i R

i \

- »

р {-г --4- sin J (21.16)

есть косвенное влияние продольных сдвигов звеньев на радиаль-

ный сдвиг ряда.

Пример 17. Вычисление продольного, поперечного и ради-

ального сдвигов триангуляции.

Таблица 182

Исходные данные

Величина

Значение

Величина

Значение

^Величина

Значение

ть/Ь

та

6371 КМ

200 КМ

1:345 000

1,17*

(

ГПр

ГПд

Эценка ошибок

0,55 М

0,96 М

0,42 М

; на 1 км ря,

т2 р

Тг

на

0,302 м

0,922 м

0,176 м

б л и

183

Величина

.'Значение

Формула Величина Значение Формула

рь

Гр

Гц

ju.p = 4,8 с

0,168 М

0,644 м

0,278

0,349

(21.1)

(21.2)

(21.3)

(21.4)

= 8,8 СМ'КМ-

|Ы

/2; fl£ = 3,0

СМ

23,5 смЗкм-

28,3 см

км-

8,8 см

™-

•км-

(21.5)

(21.6)

(21.7)

332;

Вспомогательные величины

Таблица 187

2Lj

Ц R

2Й

^ R

2Li

км

sin —

sin ~ км

2 4

sin ~

км

2000

4000

6000

8000

10 000

0,5874

0,9508

0,9515

0,5893

0,0024

1936

3514

4516

4939

5004

486

1484

3061

4996

Таблица

185

Вычисление продольного, поперечного

радиального сдвигов

ряда триангуляции

Определяемые величины

Длина ряда

L\, км

Формула

Определяемые величины

2000

4000 6000 8000

10000

Формула

Продольный сдвиг

, м

4,70

9,40

14,10

18,80

23,50

(21.8)

4,55

8,26

10,61

11,61 11,76

(21.12)

p;, M

0,06

0,43

1,31

2,69 4,40

(21.13)

p, м

4,61

8,69 11,92

14,30

16,16

(21.11)

2,17 3,06

3,75

4,34

4,85

ГПрр,

2,13

2,87

3,26

3,41

3,43

ttlp^t

M 0,24

0,66

1,14 1,64

2,10

ГЯр, м

2,15

2,95

3,45 3,78

4,02

Поперечный сдвиг

Радиальный сдвиг

, м

1,76

3,52

5,28

7,04

8,80

zt>

1,70

3,09

3,97

4,35

4,40

0,15

1,14

3,49

7,19

11,74

z, м

1,85

4,23

7,46

11,54

16,15

1,33

1,88

2,30

2,65

2,96

mz^t м

1,30

1,76

1,99

2,09

2,10

, м

0,39

1,07

1,87 2,68

3,43

mzy м

1,36

2,06

2,73

3,40

4,02

p + m

z —

p+m

м*

Контроль

6,46 12,92 19,38

25,84

32,30

, м

15,66 31,32

46,98

62,64

78,30

TTIq,

3,96

5,60

6,85

7,91

8,85

333

Для поперечного сдвига ряда m

сохраняется формула (21.9).

В примере 17 вычислений по рекомендуемым формулам ис-

пользованы характеристики точности, близкие к точности элемен-

тов астрономо-геодезической сети СССР. Показано, что при пере-

даче координат на большие расстояния важнейшее значение име-

ют ошибки азимутов Лапласа и линейных измерений. Выяснено,

что минимальными являются радиальные ошибки на 1 км ряда,

а максимальными — поперечные ошибки. Косвенные влияния оши-

бок плановых построений на передачу высот квазигеоида сущест-

венны уже для рядов триангуляции протяженностью в 4000 км, а

при протяженности 8000 км доминируют над влиянием прямых

ошибок передачи высот квазигеоида. При расстояниях более

6000 км заметно косвенное влияние ошибок высот квазигеоида на

продольный сдвиг ряда.

Установлена заметная корреляция ошибок соседних звеньев

триангуляции, с чем следует считаться при строгом уравнивании

астрономо-геодезической сети. Подобный анализ должен быть про-

веден при пользовании исходными данными по указанию препо-

давателя.

Глава 22

НОРМАЛЬНАЯ ЗЕМЛЯ.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПОСТОЯННЫЕ

§ 101. Нормальная Земля

Термин нормальная Земля и связанное с ним понятие нормаль-

ного гравитационного поля широко используются в различных от-

раслях знания и в технике как аппроксимация, т. е. замена реаль-

ной фигуры Земли и ее гравитационного поля. Фигура нормаль-

ной Земли и нормальное гравитационное поле строго описываются

удобными математическими формулами.

В решении ряда задач геодезии, геофизики и небесной меха-

ники (например, при построении теории движения искусственных

спутников Земли) аппроксимация реальной фигуры Земли и ее гра-

витационного поля нормальной Землей и ее полем становится не-

достаточной. Однако и в этом случае они сохраняют свое значение

как удобная система отсчета. Сначала проводят решение таких

задач для нормальной Земли, пользуясь совершенно строгой тео-

рией, а затем находят поправки к этим решениям. При удачном

подборе параметров нормальной Земли и ее поля возможно линеа-

ризировать решения, связанные с получением поправок, а именно

представить искомые поправки как линейные функции аномалий

элементов фигуры реальной Земли и ее гравитационного поля»

характеризующих отклонения реальной Земли от нормальной.

334;

Выбор параметров нормальной Земли в значительной мере ус-

ловен и зависит от решаемых задач, а часто даже от традиций в

развитии различных наук. В геодезии наибольшее распростране-

ние получило представление нормальной Земли в виде тела, внеш-

ней поверхностью которого является эллипсоид вращения. Его на-

зывают общеземной эллипсоид. Центр этого эллипсоида совпадает

с центром масс реальной Земли, а малая ось — с некоторым поло-

жением средней оси вращения реальной Земли (так как ось вра-

щения реальной Земли постоянно перемещается в ее теле, то нель-

зя говорить о совпадении с мгновенной осью вращения).

Полагают, что нормальная Земля вращается стой же угловой

скоростью со, что и реальная Земля. Соблюдение такого условия

необходимо для сохранения неизменности взаимного положения

точек реальной и нормальной Земли.

Создаваемое нормальной Землей нормальное гравитационное по-

ле подбирается под условием достаточной близости к реальному

гравитационному полю Земли. Ставят условие, чтобы масса нор-

мальной Земли М

совпадала с массой реальной Земли М, вклю-

чая атмосферу последней (по крайней мере, добиваются совпаде-

ния этих масс). Полагают, что поверхность нормальной Земли яв-

ляется уровенной поверхностью нормального поля силы тяжести,

т. е. является уровенным эллипсоидом.

При решении некоторых задач приходится вводить понятие нор-

мальной атмосферы. Распределение плотностей в ней близко к то-

му, которое свойственно реальной атмосфере. Предполагается, что

поверхности равных плотностей в нормальной атмосфере совпада-

ют с уровенными поверхностями нормального поля силы тяжести.

Самая нижняя из них совпадает с поверхностью нормальной

Земли.

Потенциалы притяжения как реальной Земли, включая ее ат-

мосферу, так и нормальной Земли описывают чаще всего разложе-

нием в ряд шаровых функций геоцентрических координат /*, Ф и

Здесь fM — геоцентрическая гравитационная постоянная, про-

изведение универсальной гравитационной постоянной f на массу

Земли M

включая ее атмосферу; /Сnrrij Sпт — гармонические

коэффициенты геопотенциала, характеризующие отличие реаль-

ного гравитационного поля Земли от центрального; а

— линей-

ный параметр, который вводят, чтобы гармонические коэффициен-

ты геопотенциала были безразмерными. По всеобщей договорен-

ности величину а

считают равной большой полуоси общеземно-

+ 3 ("7") ^ (С

т cos mL + S

sin mL) P

(sin Ф) . (22.1)

n=2 m— 1

335;

го эллипсоида и часто называют экваториальным радиусом

Земли.

Из гармонических коэффициентов геопотенциала наибольшим

является зональный коэффициент второй степени По современ-

ным данным, он равен 0,00108263, т. е. имеет порядок 10~

. Все

остальные коэффициенты имеют порядок 10~

и менее. Из-за сим-

метричности нормальной Земли относительно ее оси вращения и

плоскости экватора в представлении нормального потенциала

притяжения Vo рядом шаровых функций вида (22.1) будут отсут-

ствовать все незональные члены и нечетные зональные члены. Та-

ким образом, будем иметь

Индексом «о» отмечены параметры нормального гравитацион-

ного поля. Если в формулах (22.1) и (22.2) учесть потенциал

центробежной силы

можно найти потенциалы силы тяжести W и U соответственно

для реальной и нормальной Земли:

Дополнительными условиями являются: совпадение зональных

гармонических коэффициентов геопотенциала второй степени для

реального и нормального гравитационных полей {P2—J2) и ра-

венство нормального потенциала силы тяжести на поверхности

нормальной Земли U

реальному потенциалу силы тяжести на

геоиде W

Чтобы описать форму нормальной Земли и создаваемое ей

внешнее гравитационное поле, достаточно задать параметры /М,

и со. Вместо W

чаще предпочитают задавать экваториаль-

ный радиус Земли а

под условием совпадения объемов квазигеои-

да и общеземного эллипсоида.

§ 102. Классификация параметров нормальной Земли.

Фундаментальные геодезические постоянные

Для удобства введем классификацию параметров нормальной

Земли и нормального гравитационного поля.

А) Параметры нулевого порядка, которые существовали бы,

даже если бы нормальная Земля была невращающейся сферой.

К ним отнесем параметры fM

и а также экваториальную

силу тяжести у

, которая входит в нормальную формулу силы тя-

жести

(22.2)

(22.3)

W=V + Q; U = V

+Q.

(22.4)

= у

р sin* Я — р

sin

2В),

(22.5)

336;

геопотенциальный масштабный коэффициент

= m/W

, (22.6)

и т. д.

Б) Параметры порядка сжатия, к которым отнесем геометри-

ческое сжатие Земли <z (отношение разности большой и малой

полуосей общеземного эллипсоида к его большой полуоси) и дру-

гие параметры, имеющие тот же порядок, например квадрат пер-

вого эксцентриситета общеземного эллипсоида е

гармонический

коэффициент геопотенциала /2, коэффициент р в формуле (22.5)

и т. д.

В) Параметры высших порядков, например коэффициент {Ь в

формуле (22.5), гармонический коэффициент Р* в формуле (22.2)

для нормального потенциала притяжения и т. д. Общей их особен-

ностью является то, что при современном уровне знания парамет-

ров нулевого порядка и порядка сжатия они вычисляются на-

столько уверенно, что при любых новых выводах параметров нор-

мальной Земли их можно считать уже известными.

Из-за своей важности некоторые параметры нулевого порядка

и порядка сжатия получили название фундаментальных геодезиче-

ских постоянных. К числу последних относят также угловую ско-

рость вращения Земли со и параметры, которые нами не будут ис-

пользоваться в последующих расчетах, — скорость света в вакуу-

ме с, геоцентрическую гравитационную постоянную для атмосфе-

ры Земли j/УИЛ И универсальную гравитационную постоянную /.

Чтобы определить параметры нормальной Земли, достаточно

задать угловую скорость вращения Земли, два параметра нуле-

вого порядка и один из параметров порядка сжатия. К числу та-

ких исходных фундаментальных геодезических постоянных в на-

стоящее время кроме со относят параметры /М, а

и /2. Этот вы-

бор соответствует фундаментальным постоянным, входящим в

формулу (22.1) и (22.2), и удобен при космических исследовани-

ях, в которых широко используются эти формулы. Остальные па-

раметры нормальной Земли являются производными постоянны-

ми. Некоторые из них также включают в число фундаментальных

геодезических постоянных (параметры нулевого порядка у

, W

и /?<>, знаменатель геометрического сжатия 1 : а).

§ 103. Зависимости параметров нормальной Земли

от исходных фундаментальных геодезических постоянных

При определении параметров нормальной Земли по исходным

фундаментальным геодезическим постоянным выгодно сначала по-

лучить безразмерный вспомогательный параметр т, имеющий по-

рядок сжатия, а именно

после чего производные_постоянные представляют как функции

параметров /Af, а

> h и т. Приведем представление этих функций

22—2296

337

в виде рядов по степеням /2 и т. При этом величины fM и а

вой-

дут в явном виде в формулы для параметров у

, W

и Ro

которые

запишем с точностью до членов порядка /

fM f 3 - 27 9 - 9 _ \

=^Г {I +-г J

- т + -у- J* + ^ J

m - m« J; (22. 8>

/М / 1 1— 27 9 — 9 — \

^^f + T^ + y^-40"

+ —W

)' <

= /.--r^-ir

»* + W^

(22Л0>

(22Л1>

e* = ЗУ

+ ш - J

m -m», (22.12)

= - 4" + - T" V —ТГ V

+ "Ж"

(22,13)

9 12 — 3 —

= - "5- J

--35-V + -35-(22.14)

= +4" V* + (22-15)

Вывод указанных формул описан в [9, § 37]. Формулы для па-

раметров нулевого порядка имеют относительную точность не ни-

же 2Х10

-8

, остальные формулы имеют ту же абсолютную точ-

ность. Величины /°б, /°а, /°2«, ... в формуле (22.2) имеют поря-

док Р

у J*2> ...» J

2> ... и при указанной точности пренебрегаемы.

§ 104. Вычисление параметров нормальной Земли

по исходным фундаментальным геодезическим постоянным

Для наглядного представления об определяемых параметрах

нормальной Земли и их зависимостях от исходных фундаменталь-

ных геодезических постоянных рассмотрим пример вычислений с

использованием формул (22.7) — (22.15). Для контроля использу-

ются соотношения (22.6) для /?

, а также формулы

= 2а

—

, (22.16)

_ 5 — 39 — 53 —

а +

= "

™ —

—

~2g~

т* (22.17)

Jf « —-Jg-

7* (10J

_ ?), (22 Л8)

= + <

22Л9

338;