Водопьян Г.М., Уваров А.Ю. О построении модели процесса информатизации школы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

110011

ООппррееддееллееннииее ппааррааммееттрроовв КК;;ммооддееллии

Традиционными инструментами для поиска параметров при проведении

объективной классификации являются факторный и компонентный ана%

лиз. Оба используют развитый математический аппарат и хорошо обосно%

ваны статистически

. Главная посылка, на которой базируются оба вида

анализа, состоит в том, что наблюдаемые переменные — это линейная

комбинация небольшого числа скрытых от наблюдателя факторов (пара%

метров).

В результате первичной обработки данных о состояниях информатизации

школ экспериментальной выборки мы получили матрицу, содержащую

94 объекта (школы), каждый из которых характеризуется 40 нормирован%

ными переменными X

,...,X

. Один из способов уменьшения размерности

этого описания предлагает компонентный анализ. В его основе лежит

идея о том, что искомые факторы должны наилучшим образом объяснять

наблюдаемую дисперсию в значениях переменных (метод главных компо%

нент). Главными компонентами называют такие новые независимые пере%

менные F

,...,F

, для которых

= a

+ a

+ ... + a

где a

— свободные числа.

Компонента F

и каждая следующая за ней очередная компонента берет

на себя максимально возможный вклад в суммарную дисперсию всех пе%

ременных. Соответственно, набор переменных X

,...,X

можно заменить

существенно меньшим набором компонент F

,...,F

(в нашем случае k <<40),

которые достаточно полно отражают вариативность исходных данных, и

таким образом получить значительную экономию описания.

Мы использовали компонентный анализ для оценки количества факто%

ров (разведочный факторный анализ), с помощью которых можно

наилучшим образом описать собранные данные (результаты вычислений

приведены в табл. 10). А для выявления скрытых параметров, которые

объясняют связи между наблюдаемыми переменными, мы использовали

факторный анализ, который позволяет найти наилучшее объяснение кор%

реляции между переменными с помощью небольшого числа скрытых па%

раметров (факторов).

Фактор может быть общим для двух и более переменных, а также харак%

терным, то есть связанным с одной переменной. Общие факторы, число

Мы опирались на рекомендации, изложенные в работах [4, 5, 8, 32].

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 101

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

110022

которых гораздо меньше числа наблюдаемых переменных, вносят глав%

ный вклад в описание корреляции исходных переменных. Под факторами

понимаются такие новые независимые переменные F

,...,F

(в нашем

случае m <<40), для которых

= a

+ a

+ ... + a

+ d

где X

— нормированные переменные;

— характерный фактор i %ой переменной;

— коэффициенты, называемые факторными нагрузками;

— коэффициент характерного фактора.

Матрица коэффициентов a

определяет факторную структуру. Если все

факторы ортогональны, то факторные нагрузки представляют собой

коэффициенты корреляции между соответствующими переменными и

факторами. Основная задача факторного анализа — найти такую фактор%

ную структуру, которая дает возможность объяснить корреляцию наблю%

даемых переменных.

На практике факторную структуру точно указать нельзя. Ее можно только

оценить, используя те или иные статистические и практические крите%

рии. Поэтому результаты факторного анализа являются неопределен%

ными. Точно так же для заданного набора переменных и коэффициентов

корреляции между ними нельзя однозначно указать факторные нагрузки.

Иначе говоря, существует много независимых факторных структур, кото%

рые адекватно описывают коэффициенты корреляции между исходными

переменными. Поэтому после нахождения факторной структуры, доста%

точно полно описывающей (с точки зрения статистики) эксперимен%

тальные данные, требуется выбрать такой ее эквивалент, который можно

содержательно (с точки зрения педагогики) интерпретировать.

Итак, факторный анализ позволяет:

• представить исходные данные в виде значений ограниченного чис%

ла факторов, а не полного набора исходных переменных (провести

факторное шкалирование);

• использовать найденные факторы в качестве параметров для про%

ведения кластерного анализа;

• найти и проинтерпретировать скрытую факторную структуру, про%

верить и скорректировать инструмент для сбора данных о состоя%

нии информатизации школы.

Факторный анализ данных мы проводили с помощью пакета программ

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 102

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

110033

SPSS. Он дает возможность сравнительно просто выполнять все расчеты

в соответствие с планом, который составлен на основе опыта решения

многих классических задач и подробно описан в литературе по фактор%

ному анализу. Этот план включает пять этапов:

• расчет корреляционной матрицы и проверку пригодности экспери%

ментальных данных для факторного анализа;

• выбор метода анализа и поиск факторной структуры;

• эмпирическое подтверждение факторной модели;

• введение факторных шкал;

• интерпретацию факторов.

Корреляционная матрица и проверка пригодности

экспериментальных данных для факторного анализа

Для поиска латентной (скрытой) структуры в факторном анализе исполь%

зуется так называемая матрица корреляций (ковариаций) между пере%

менными. Поэтому прежде всего мы рассчитали такую матрицу. Проверка

пригодности экспериментальных данных для факторного анализа прово%

дилась с помощью теста Кайзера%Мейера%Олкина (КМО) и теста Бартлетта

на сферичность.

Статистика теста Кайзера%Мейера%Олкина (КМО) определяет ту часть

дисперсии переменных, которая является общей дисперсией и может

быть обусловлена некоторыми факторами. Когда ее значение близко

к единице, существенную часть связей между переменными можно

объяснить с помощью скрытых факторов. Расчеты показывают, что для

собранных нами данных величина КМО равна 0,86. Таким образом, поиск

скрытых факторов методом факторного анализа оправдан.

Одно из требований к исходным данным для факторного анализа

заключается в том, что их совокупность должна удовлетворять гипотезе

о многомерном нормальном распределении. На практике это требование

очень часто недостижимо. Заметим, что ряд исследователей [32] считает

его излишним. Мы проверили гипотезу о нормальном распределении

собранных нами данных с помощью критерия Колмогорова%Смирнова.

Расчеты показали, что на выбранном уровне значимости (0,05) для наших

данных эта гипотеза должна быть отвергнута: распределение наших дан%

ных нельзя считать нормальным. Следовательно, при расчетах мы долж%

ны использовать лишь те методы, которые практически не зависят от этой

гипотезы.

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 103

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

110044

Третья проверка связана с оценкой сферичности облака данных. Для

этого использовался тест Бартлетта. С его помощью проверяется гипотеза

о диагональности матрицы корреляций. Если она справедлива (все члены

матрицы малы, кроме стоящих на диагонали), проводить факторный ана%

лиз нет смысла — скрытые факторы отсутствуют. Тест Бартлета показал,

что распределение исходных переменных не является сферическим с ве%

роятностью более 99%. Гипотезу о сферичности облака данных можно

отвергнуть.

Поиск факторной структуры методом максимального

правдоподобия

Выделить факторную структуру, анализируя матрицу корреляций, можно

несколькими методами. Все они основаны на общей стратегии выделения

первых F

,...,F

факторов, которые согласуются с наблюдаемыми корреля%

циями. Методы различаются, в основном, выбором критериев для опреде%

ления наилучшего соответствия между найденной факторной структурой

и экспериментальными данными.

Сравнивая различные методы получения факторных решений, мы при%

шли к выводу, что лучший результат для нашей задачи должен давать ме%

тод максимального правдоподобия. Он наиболее статистически обосно%

ван, достаточно полно учитывает случайный характер выборки, хорошо

приспособлен к работе с выборочными данными [8, с. 36] и широко ис%

пользуется в эмпирических исследованиях.

С помощью этого метода определяется факторное решение, при котором

специально вводимая функция правдоподобия принимает максимальное

значение. Включенный в метод статистический тест позволяет проверять

адекватность гипотезы о числе общих факторов. Преимущество метода в

том, что он использует в расчетах критерий статистической значимости.

Если критерий выявляет значимое отклонение от m%факторного описа%

ния (модели), то в рассмотрение вводится описание с (m+1) факторами.

Как уже отмечалось, собранные нами данные не подчиняются закону нор%

мального распределения. Поэтому при определении количества факторов

мы, наряду с критериями метода максимального правдоподобия, в кото%

ром используется гипотеза о нормальном распределении данных, приме%

няли дополнительные критерии, основанные на размере доли объяснен%

ной дисперсии и величине собственных чисел.

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 104

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

110055

Суть первого дополнительного критерия в том, что для каждого фактора

оценивается объясненная им доля дисперсии. В качестве статистики для

этого критерия выступает доля полной дисперсии, которая объясняется

последним из вычисленных факторов. Величина критерия определяется

размером минимальной доли объясненной дисперсии. Эту величину, как

правило, устанавливают на уровне 1, 5 или 10% [8].

Второй критерий основан на величине собственных чисел, которые несут

информацию об относительной важности каждого фактора. Этот крите%

рий имеет эвристический характер, он требует учитывать только те фак%

торы, собственные числа которых больше единицы.

Алгоритмы расчета обоих критериев входят в состав пакета программ

SPSS, в силу чего их использование не связано с дополнительными труд%

ностями. В табл. 10 приведены результаты расчетов, которые были полу%

чены в процессе факторного анализа (метод максимального правдопо%

добия).

Табл. 10. Собственные числа и объясненная дисперсия для десяти факторов

Фактор Собственные Объясненная Накопленная сумма

числа дисперсия (%) объясненной дисперсии (%)

1 14,904 36,350 36,350

2 3,891 9,490 45,840

3 2,047 4,992 50,832

4 1,753 4,274 55,107

5 1,522 3,712 58,819

6 1,313 3,202 62,021

7 1,205 2,939 64,959

8 1,096 2,673 67,632

9 0,990 2,414 70,046

10 0,965 2,355 72,401

Легко убедиться, что собственные числа больше единицы имеют 8 факто%

ров, которые объясняют в совокупности более 67% дисперсии данных.

Для нашего исследования такой результат может считаться вполне удов%

летворительным.

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 105

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

110066

Эмпирическое подтверждение факторной структуры

Итак, мы определили факторную структуру. Чтобы проверить качество

результатов, полученных методом максимального правдоподобия, надо

оценить расхождение между наблюдаемой корреляционной матрицей и

рассчитанной (воспроизведенной) корреляционной матрицей, которую

мы получили с помощью факторной структуры. Для этого мы использо%

вали меру выборочной адекватности (МВА), предложенную Кайзером

(табл. 11). В ходе расчетов по методу максимально правдоподобия на вы%

борке из 94 школ для восьми факторов мы получили МВА, равную 0,85

(оценка на уровне «хорошо»).

Табл. 11. Оценки МВА по Кайзеру

МВА Оценка выборочной адекватности

Свыше 0,9 Отлично

Свыше 0,8 Хорошо

Свыше 0,7 Средне

Свыше 0,6 Посредственно

Свыше 0,5 Плохо

Ниже 0,5 Неприемлемо

Специалисты в области статистического анализа считают, что желательно

проверить устойчивость полученной факторной структуры по отношению

к выбросам наблюдаемых данных, для чего следует повторить аналогич%

ные расчеты на подмножествах выбранных объектов. Но размер выборки

не позволял нам это сделать, а возможности провести дополнительный

сбор данных у нас не было. Тогда мы искусственно увеличили размер вы%

борки, добавив в нее измененные копии состояний тех школ, которые нам

были достаточно хорошо знакомы.

Например, мы добавили в матрицу данных описание новых состояний

некоторых школ Санкт%Петербурга, которые уже после нашего опроса по%

лучили быстрый доступ в Интернет благодаря городской программе

информатизации (изменились значения переменных «Скорость доступа

в Интернет», «Использование Интернета учителями», «Использование

Интернета учениками»). Мы добавили новые состояния для нескольких

школ сети ОРТ, в которых также прошло обновление оборудования.

В итоге объем выборки был доведен до 120 объектов. В соответствии

с принятыми критериями, этого должно быть достаточно для получения

повторяемых результатов. Исследование проводилось на подмножестве

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 106

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

110077

из 114 объектов, выбранных случайным образом, и показало хорошее со%

впадение результатов с теми, которые были получены на полной выборке

из 120 объектов. Это свидетельствует об устойчивости найденной струк%

туры (или, по крайней мере, о ее независимости от состава выборки).

Введение факторных шкал

Следующим шагом после определения скрытой факторной структуры яв%

ляется построение факторных шкал, которые дают возможность описать

каждую школу из экспериментальной выборки с помощью найденных

факторов. Процедура, позволяющая присваивать каждому объекту экспе%

риментальной выборки значения (количественные оценки) выделенных

факторов, используя имеющиеся значения переменных для этого объекта,

называется факторным шкалированием.

Известно, что выразить значение общего фактора через значения наблю%

даемых переменных можно лишь приблизительно. Значения переменных,

помимо общих факторов, определяются также и характерными компонен%

тами, которые нельзя отделить от самих переменных. Все, что можно сде%

лать,— это получить оценку значений общих факторов через наблю%

даемые переменные. Существует несколько методов поиска факторных

шкал. Для решения нашей задачи лучше всего подошел регрессионный

анализ.

Уравнение регрессии, связывающее любой из факторов F

с n перемен%

ными (X

), можно записать в виде

F’

= b

+ b

+ ... + b

где F’

— оценка фактора F

;

— коэффициенты, которые требуется определить.

Мерой качества оценки F’

фактора F

с помощью уравнения регрессии

может служить коэффициент множественной корреляции (КМК). Если

фактор оценен хорошо, то коэффициент множественной корреляции бу%

дет близок к единице [32].

Мы нашли факторные шкалы для каждого из восьми выделенных выше

факторов с помощью метода регрессии и вычислили значения элементов

матрицы корреляции между этими факторами и их оценками. Диагональ%

ные элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты мно%

жественной корреляции (табл. 12). Первые три из восьми факторов име%

ют коэффициент множественной корреляции более 0,97. Можно считать,

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 107

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

110088

что эти факторы оценены хорошо. На них можно уверенно опираться при

выполнении дальнейшей работы и рассматривать как уже выявленные

параметры для построения пространства информатизации. Остальные

факторы тоже допустимо использовать в качестве параметров для прове%

дения классификации, и мы их использовали, так как мы надеемся, что

при увеличении объема исходной выборки точность вычисления факто%

ров существенно возрастет.

Тот факт, что недиагональные элементы матрицы (табл. 12) близки

к нулю, свидетельствует: выделенные нами факторы практически ортого%

нальны, то есть достаточно слабо связаны друг с другом. Следовательно,

их можно использовать в качестве независимых параметров.

Табл. 12. Матрица корреляции между выделенными факторами и их оценками

Фак

торы 123 45678

1 0,999 %7,012E%13 %1,168E%13 %3,382E%14 2,162E%15 %3,431E%14 %1,968E%14 %5,667E%14

2 %7,012E%13 0,998 %6,039E%15 %5,364E%15 %5,013E%16 %4,204E%15 %2,830E%15 %3,438E%15

3 %1,168E%13 %6,039E%15 0,971 %2,681E%16 %1,816E%14 1,490E%14 1,691E%14 %1,263E%14

4 %3,382E%14 %5,364E%15 %2,681E%16 0,939 %6,619E%15 1,131E%14 %2,375E%15 1,044E%15

5 2,162E%15 %5,013E%16 %1,816E%14 %6,619E%15 0,900 %2,081E%14 4,693E%15 %3,950E%15

6 %3,431E%14 %4,204E%15 1,490E%14 1,131E%14 %2,081E%14 0,791 1,272E%15 %2,686E%16

7 %1,968E%14 %2,830E%15 1,691E%14 %2,375E%15 4,693E%15 1,272E%15 0,721 2,426E%15

8 %5,667E%14 %3,438E%15 %1,263E%14 1,044E%15 %3,950E%15 %2,686E%16 2,426E%15 0,696

В ходе анализа мы также использовали графическое представление дву%

мерных проекций восьмимерного факторного пространства. Одна из

таких диаграмм дана на рис. 17. На ней видно, что структура пространства

информатизации существенно не однородна.

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 108

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

110099

Рис. 17. Распределение школ в пространстве факторов №№ 1 и 3

Таким образом, мы получили оценки значений факторов для школ выбор%

ки и коэффициенты b

. Зная их, можно найти факторные значения для

произвольно выбранной школы, которая не принадлежит к эксперимен%

тальной выборки, а затем с помощью дискриминантного анализа опреде%

лить ее место в пространстве информатизации.

Интерпретация факторов

Итак, мы определили совокупность первичных факторов, которые можно

использовать в качестве параметров для классификации школ. Чтобы их

проинтерпретировать, мы сгруппировали по ним исходные переменные

с учетом величины полученных факторных нагрузок (табл. 13).

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 109

Глава 3. Использование К;модели для классификации школ

111100

Табл. 13. Матрица коэффициентов корреляции первичных факторов, рассчи

танных методом максимального правдоподобия для 40 переменных

№ Переменные с возможной Факторы

п/п группировкой по факторам 1 2 3 4 5 6 7 8

Фактор № 1

1 Количество творческих заданий, выполняе%

мых в вашей школе учащимися в электрон%

ной форме, с указанием примерного коли%

чества предметов 0,96

2 Количество учебных заданий, выполняемых

в вашей школе учащимися в электронной

форме, с указанием примерного количества

предметов 0,73

3 Какие формы использования цифровых

учебных материалов и обмена ими прак%

тикуются в вашей школе? 0,62 0,42

4 В нашей школе цифровые учебные материа%

лы, получаемые учителями через Интернет, ... 0,57 0,34

5 В нашей школе учебные проекты... 0,55 0,46 0,31

27 Наличие компьютерных учебных инстру%

ментов: станков, лабораторий и т.д. 0,46 0,47

6 Насколько регламентированы в вашей

школе хранение электронных версий

школьных документов и доступ к ним? 0,5 0,4

7 Проанализированы ли в вашей школе

административные задачи, для решения

которых оправдано использование ИКТ,

отработаны и включены ли в систему рабо%

ты приемы их решения? 0,49

19 Доля кабинетов с компьютерами, включая

компьютерные классы 0,49 0,5 0,37 0,31

8 Обмен учебными материалами между учи%

телями и учениками в вашей школе по

электронной почте… 0,48 0,45 0,37

9 Установлены ли в вашей школе связи

между работой учащихся по информатике

и другим учебным дисциплинам? 0,47 0,31

10 Примерная оценка числа ИКТ%консультан%

тов, исключая учителей информатики 0,47 0,45

11 Действует ли в вашей школе система

доплат и поощрений работников за эффек%

тивное и регулярное использование ИКТ? 0,44

12 Готовятся ли документы в вашей школе

с помощью компьютера? 0,44 0,32

39 В нашей школе цифровые учебные материа%

лы, разработанные учителями и учащимися, ... 0,42 0,43

13 Используются ли в вашей школе сетевые

централизованные файловые архивы

программного обеспечения и электронных

учебных материалов? 0,38 0,37

O postroenii_verstka4.qxd 17.07.2006 15:55 Page 110