Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Моделирование экономических процессов

продавать внутри своей страны по

единиц товара, а каждый реги-

0 4

он страны А по 1,04 (1н——) в другие регионы своей страны.

100

В результате снижения двусторонней торговли на 20% торговля

внутри маленькой страны возрастет в 11 раз, а торговля внутри

большой только в 1,04 раза.

Таким образом, увеличение торговых барьеров может привести

к значительному увеличению межрегиональной торговли в малых

экономиках и лишь незначительно увеличить торговлю внутри ре-

гионов большой экономики. Приведенный выше пример позволяет

понять действие эффекта границ.

г~л МОДЕЛИРОВАНИЕ

У И ПРОИЗВОЛСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

9.1.

Производственные функции.

Определение и назначение

Производственная функция

(функция производства) представля-

ет уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов,

факторов производства) с величиной выпуска продукции (в дальней-

шем просто «выпуска»). Понятия выпуска и факторов производства

конкретизируются в зависимости от характера и масштаба рассмат-

риваемой производственной единицы, цели исследования, доступной

информации.

Например,

выпуск может

измеряться в натуральных или

стоимостных показателях, в реальных или потенциальных величи-

нах.

ресурсы могут рассматриваться

либо

фактически затраченные,

либо имеющиеся в распоряжении на начало периода производства.

Число факторов в производственной функции не обязательно огра-

ничивается заранее, однако требуется их сопоставимость по характе-

ру воздействия на выпуск

уровню агрегирования.

В экономическом моделировании наиболее широко представле-

ны макроэкономические производственные функции. Эти функции

являются агрегатными производственными функциями, характеризу-

ющими зависимость показателя совокупного общественного продук-

та или иного обобщающего показателя от основных факторов произ-

водства. В качестве основных факторов производства обычно рас-

сматриваются объем капитала, рабочей силы, а также земли. В ряде

макроэкономических производственных функций в качестве от-

дельного фактора учитывается также воздействие научно-техниче-

ского прогресса. Макроэкономические производственные функции

исследуются самостоятельно или включаются в сложные экономет-

рические модели.

Производственные функции применяются для анализа влияния

различных сочетаний факторов на объем выпуска и решения про-

гнозных и плановых задач в следующих случаях:

171

Моделирование экономических процессов

• для анализа влияния различных сочетаний факторов на

объем выпуска в определенный момент времени (статиче-

ский вариант, который отражает текущие связи между эко-

номическими показателями);

• для анализа и прогнозирования соотношения объемов фак-

торов и объемов выпуска в разные моменты времени (дина-

мический вариант, т. е. выявление тенденций экономическо-

го развития).

Для отдельного предприятия (фирмы) или отрасли, выпускаю-

щей однородный продукт, часто рассматриваются многофакторные

производственные функции, связывающие объем валового выпуска

(измеренного в натуральных единицах) с затратами:

• рабочего времени по различным видам трудовой деятель-

ности;

• различных видов сырья, энергии, полуфабрикатов, комплек-

тующих изделий (измеренных, как и выпуск, в натуральных

единицах).

Такие функции характеризуют действующую технологию или

спектр возможных технологий. В отдельной фирме производствен-

ная функция описывает максимальный объем выпуска продукции,

которую эта фирма в состоянии произвести при каждом сочетании

используемых факторов производства.

При построении производственных функций крупных отраслей,

регионов или народного хозяйства обычно пользуются стоимостны-

ми измерителями (как правило, в постоянных ценах), а выпуск изме-

ряют конечным (а не валовым) продуктом. Кроме того, в этих функ-

циях исключают или сводят

минимуму учет текущих затрат, а также

включают небольшое количество переменных (по сравнению с мик-

роэкономическим

уровнем).

Макроэкономические производственные

функции, как правило, содержат 2-4 фактора производства, напри-

мер,

живой труд, основные средства, научно-технический прогресс,

обобщающий показатель вовлекаемых природных ресурсов.

Многофакторные микроэкономические производственные фун-

кции применяются в технико-экономических расчетах и отражают

реально действующие или потенциально допустимые производ-

ственные технологии, например, для определения возможных вари-

антов развития предприятий.

172

9. Моделирование и производственные функции

В прикладных исследованиях основное направление использо-

вания производственных функций — прогнозирование (особенно

средне- и долгосрочное) и перспективное планирование.

Для агрегатных экономических единиц производственная фун-

кция строится в предположении, что соответствующий объект мо-

делируется как единое предприятие, функционирующее по прин-

ципу «затраты ресурсов — выпуск продукции» или «имеющиеся

ресурсы — результаты деятельности».

первом случае рассматри-

ваются потоки ресурсов, а во втором — их общие объемы, запасы.

Тем самым принимается гипотеза о целостности объекта, моделиру-

емого с помощью производственной функции, о его неделимости.

Для большинства производственных функций эта гипотеза суще-

ственна и с формальной точки зрения, ибо не удается воспользо-

ваться одной и той же производственной функцией для представле-

ния объекта в целом и в виде совокупности образующих его произ-

водственных единиц. Другими словами, непосредственное агреги-

рование для производственной функции, как правило, неосуществи-

мо.

Исключение составляют производственные функции, в которые

факторы входят в виде линейной комбинации. Поэтому анализ эко-

номической деятельности как агрегата и как совокупности пред-

приятий ведется изолированно, а совмещение полученных резуль-

татов и их интерпретация представляют самостоятельные и, глав-

ным образом, содержательные задачи. Отраслевые производствен-

ные функции могут отображать функционирование отрасли как

целого, либо отображают деятельность ее среднего предприятия.

первом случае производственная функция связывает временные

ряды отраслевых агрегатов выпуска и ресурсов, а внутренняя

структура отрасли обычно не учитывается. Во втором случае про-

изводственная функция «пространственно» измеряет показатели

для образующих отрасль предприятий. Объединение этих подхо-

дов в рамках одного эконометрического исследования технически

сложно и требует более жестких предположений о характере эмпи-

рических данных.

Производственная функция является обобщением таких традици-

онных экономических показателей как производительность труда,

фондоотдача, материалоемкость

и т.

п.

Иногда,

вместо производствен-

ных функций используются соотношения, связывающие между собой

173

Моделирование экономических процессов

не

объемы,

темпы

прироста ресурсов и выпуска

или

темпы

и объемы

одновременно. Такие соотношения обычно называются темповыми

производственными функционалами.

Широко

распространения

эко-

номико-математических исследованиях они не получили.

9.2.

Основные требования, предъявляемые

к производственным функциям

Производственная функция, устанавливающая зависимость

объема производства от наличия или потребления ресурсов, назы-

вается функцией выпуска. Частными случаями производственной

функции являются:

• функция издержек, описывающая связь между объемом вы-

пуска и издержками производства;

• инвестиционная функция, описывающая зависимость необ-

ходимых инвестиций от производственной мощности буду-

щего предприятия.

Формально производственная функция может быть записана

следующим образом:

Г = /(*1'Х

х„\

где Y— объем выпуска;

ху —

объем ресурса j.

Предполагается, что функция Дх) удовлетворяет некоторым ус-

ловиям, вытекающим из общеэкономических соображений. Вид

функции и некоторые ограничения на значения параметров выте-

кают, как правило, из теоретических представлений о структуре и

функционировании моделируемого объекта, а конкретные числен-

ные значения параметров находятся в результате обработки, имею-

щейся в распоряжении исследователя информации. Это могут быть:

• результаты пространственных выборок, данные о технико-

экономических характеристиках используемых, потенциаль-

но доступных или проектируемых технологий, агрегатов,

производственных комплексов (в этом случае рассматрива-

ются статические модели);

• временные ряды (ряды динамики) или результаты простран-

ственно-временных выборок показателей ресурсов и выпус-

ка (тогда речь идет

динамических моделях).

174

Моделирование и производственные функции

Параметры функции оцениваются, в основном, методами корре-

ляционно-регрессионного анализа. Полученные таким образом про-

изводственные функции представляют статистические зависимости

между ресурсами и выпуском. Причем, часто оценка погрешности

такова, что пользоваться полученными зависимостями на практике

не представляется возможным, особенно в случае множественной

регрессии. Поэтому полученные зависимости отражают только

предполагаемые тенденции развития и обладают низкой достовер-

ностью.

работах западных экономистов неоклассического направ-

ления значения параметров производственной функции часто оп-

ределяют исходя из гипотезы:

• о равенстве отношения предельных производительностей

ресурсов, отношению цен на них. Например, в качестве

«цены труда» рассматривают среднюю ставку заработной

платы, а «цены капитала» — норму процента;

• о равенстве эластичностей выпуска по ресурсам и долей их

владельцев в доходе.

Иногда производственную функцию записывают в более об-

щем виде:

G(y,x

х„)=0.

Тогда последнее выражение называют уравнением производ-

ственной поверхности. Его можно обобщить на случай совместного

производства нескольких видов продукции:

G(y

,...,i

,...,x

)=0.

Но такие многопродуктовые производственные поверхности

встречаются лишь в сугубо теоретических работах.

Производственная поверхность — это геометрическое пред-

ставление производственной функции. В простейшем двумерном

случае (один ресурс — один продукт) применяется термин «произ-

водственная кривая». Эта кривая позволяет оценить объем произ-

водства продукта при наличии определенного количества ресурсов.

Если факторов и товаров более одного, например п, т, то можно

говорить уже не

кривой,

некоторой гиперповерхности, описыва-

ющей все возможные комбинации рассматриваемых товаров, кото-

рые можно произвести при полном использовании имеющихся фак-

175

Моделирование экономических процессов

торов производства. Эта гиперповерхность соединяет точки, пока-

зывающие, что дальнейшее наращивание выпуска одного товара

возможно только за счет сокращения выпуска других. Примером

может служить граница области допустимых значений в задаче ли-

нейного программирования. Другой термин для обозначения этого

понятия: кривая (поверхность) производственных возможностей.

Производственная функция может быть также представлена

множеством изоквант, связанных с различными уровнями объема

производства.

Общепринятого мнения, каким именно набором свойств, выте-

кающих из общеэкономических соображений, должна обладать про-

изводственная функция, не существует. Однако обычно требуется,

чтобы она обладала всеми или хотя бы некоторыми из следующих

свойств:

У = /(0,0,...,0) = 0 , т. е. выпуск невозможен при отсутствии

ресурсов;

Если x'j >Xj,дляV/'el:n,To f(x'

,x'

,...

)>f(x

,...

т. е. при увеличении затрат всех ресурсов выпуск также растет;

—— > 0, j е 1: п, т. е. при увеличении затрат любого из ре-

dXj

сурсов, при неизменном количестве остальных, выпуск не со-

кращается;

—r-^—-<0, je I'.n, т. е. с увеличением затрат любого из ре-

д Xj

сурсов, при неизменном количестве остальных, эффективность

вовлечения в производство дополнительной его единицы не

возрастает (принцип убывающей отдачи последовательных вло-

жений);

— > 0, j,f е 1: п, т. е. эффективность затрат любого из ре-

dXjdXj

сурсов при увеличении затрат какого-либо другого ресурса и

неизменном количестве остальных, не снижается;

176

Моделирование и производственные функции

6. Y

/(х

,х

,...,х

) — строго квазивогнута;

7. У

= /(х

,х

,...,х„) — вогнута (выпукла вверх).

Это более жесткая формулировка принципа убывающей отдачи

последовательных вложений, из которой, в частности, следует

свойство 4;

8. Y

/(х

,х

,...,х

) — однородна степени

т. е.

/(ах

,ах

,...,ах

)= a

f[x

,...,x

При Ы с увеличением масштабов производства его эффек-

тивность растет (растущая отдача или экономия от масштаба),

при

1 —

падает (падающая отдача или потери от масштаба),

при X - 1 — не меняется.

одних случаях значение X оцени-

вается статистически, в других на него накладываются априор-

ные ограничения.

подавляющем большинстве малоразмерных

моделей экономического роста предполагается, что

X =

Однако не все производственные функции и не при всех значе-

ниях входящих в них переменных обладают перечисленными свой-

ствами. Иногда, хотя и редко, применяют производственные функ-

ции, для которых не выполняются первые три свойства, хотя они

наиболее «естественны». Часто требуется, чтобы производственная

функция обладала указанными свойствами не при всех, а лишь при

«экономически осмысленных» или реально достижимых значениях

переменных. Множество таких значений называют экономической

областью.

Иногда требуется, чтобы производственная функция, помимо

указанных выше свойств, обладала и некоторыми другими. Так, до-

вольно часто налагаются ограничения на значения производствен-

ной функции или ее первых производных при стремлении одного из

аргументов к нулю или бесконечности (так называемые асимптоти-

ческие условия). Наиболее простое и естественное условие состоит

в том, что значение функции равно нулю при нулевом значении

любого из аргументов, например, для случая двухфакторной макро-

экономической производственной функции.

Однородную производственную функцию произвольной степе-

ни часто называют неоклассической, если она имеет:

177

Моделирование экономических процессов

• положительные первые частные производные;

• отрицательные вторые частные производные;

• положительные вторые смешанные производные по всем

факторам производства.

Производственная функция позволяет рассчитать ряд важных

характеристик, описывающих различные стороны исследуемой про-

изводственной единицы. Наиболее часто рассчитывают следующие

характеристики:

1) предельная производительность (предельный продукт) фак-

тора j, ——, J е 1: п. Данный показатель показывает, насколько

dXj

увеличивается выпуск при увеличении затрат фактора j на одну

единицу, при неизменном количестве остальных факторов;

2) частная эластичность выпуска по фактору j (частная фактор-

Э/(х) xj

ная эластичность), —

—, je 1:п. Показывает, на сколько

dXj Дх)

процентов увеличится выпуск при увеличении затрат фактора j на

и при неизменном количестве остальных факторов. Частная эла-

стичность представляет отношение предельной производительно-

сти к средней;

3) эластичность производства

ir(x

,...,x

)=lim— —

•

'' •

f(kx

,...,AX

)

Эластичность производства показывает, на сколько процентов

увеличится выпуск при увеличении на 1% затрат каждого фактора.

Этот показатель является локальной характеристикой эффекта мас-

штаба производства. Очевидно, что

(

1'*2

п)=±,Ч-~-

4) предельная норма замены (замещения) фактора j фактором i.

Этот показатель определяет количество фактора

которое требует-

ся для замены одной единицы фактора j при сохранении на неиз-

178

9. Моделирование и производственные функции

менном уровне объема выпуска и количества остальных факторов.

Обычно обозначается Я,- и, по определению, равна:

*,=-— ,при

Y = const х

const,

\,}.

Очевидно,

что

Щ =

—.

dXj Эх,-

5) эластичность замены (замещения) фактора j фактором i. На-

ряду

предельной нормой замещения этот показатель характеризу-

ет возможности замены одного фактора другим.

простейшем слу-

чае определяется как

-1

(

ij =

f \

Х{

,при Y

const,

k*i,j.

1г

=а

г1

=а-

Существует и ряд других определений эластичности замещения

для многофакторных производственных функций. Все существую-

щие определения эквивалентны только для двухфакторных линей-

но однородных производственных функций. В этом случае все они

приводят к формуле:

<W_dY_

дх

г •

3x^X2

Часто конкретный вид производственной функции выводят, ис-

ходя из гипотез о значениях и характере изменения каких-либо из

указанных пяти характеристик.

Таким образом, с помощью производственных функций изучает-

ся взаимозаменяемость факторов производства, которая может быть

неизменной либо переменной (т. е. зависимой от объемов ресур-

сов).

Соответственно, функции делят на два вида:

179