Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов

Подождите немного. Документ загружается.

Моделирование экономических процессов

• иерархическая структура свойств, формирующих качество;

• классификация свойств, определяющих качество;

• схема декомпозиции свойств, выражающих качество.

точки зрения теории графов, в которой дерево рассматривает-

ся как частный случай графа, дерево свойств — это связный граф,

не содержащий циклов и имеющий одну выделенную вершину —

корень. Наряду с деревом свойств, используемом в основном в ква-

лиметрии, в различных отраслях науки применяются и другие типы

деревьев, аналогичные дереву свойств. Например, деревья реше-

ний, релевантности, требований, признаков, ошибок, предпосылок,

альтернатив, декомпозиции, дерево целей, прогнозное дерево, гене-

алогическое дерево.

Дерево цепей представляет теоретико-графовую модель, ис-

пользуемую для декомпозиционного анализа возможности дости-

жения некоторой сложной цели. Этот анализ может осуществлять-

ся в разных аспектах, например:

• для выявления тех условий, которые необходимы и достаточ-

ны для достижения данной цели;

• для выявления набора

средств,

которые обеспечивают дости-

жение цели;

• для выбора оптимального набора таких средств.

Среди разновидностей теоретико-графовых моделей, сводящих-

ся к дереву, дерево целей является одним из наиболее часто и широ-

ко используемых. В дереве целей искомая сложная цель, достижи-

мость которой анализируется, рассматривается как корень дерева,

расположенный на нулевом уровне. Эта сложная цель делится на

следующем уровне на менее сложные цели, каждая из которых, в

свою очередь, делится на еще менее сложные цели и т. д. При этом

цели более высокого уровня к являются условиями (средствами)

реализации соответствующей цели предыдущего уровня к - 1. Та-

ким образом, дерево целей фактически может рассматриваться и как

собственно дерево целей, и как дерево средств, с помощью которых

достигается сложная цель нулевого уровня.

При построении дерева целей чаще всего используется нижнесто-

роннее дерево (т. е. растущее вниз), реже — верхнестороннее (т. е.

растущее вверх) или правостороннее (растущее слева

направо).

Дере-

во

целей обычно изображают

строгой или нестрогой форме графа.

130

7. Графические средства в интерантивном моделировании

Правила, детерминирующие процедуру построения дерева це-

лей, не являются столь подробно разработанными, как в случае де-

рева свойств. Поэтому процедура разработки дерева целей слабо

стандартизирована и существенным- образом зависит от опыта и

знаний специалиста, который обычно учитывает все правила пост-

роения иерархических классификаций:

• деление по равному основанию;

• совокупность подцелей должна обеспечивать достижение со-

ответствующей общей цели.

К специфическим правилам, характерным для дерева целей, от-

носятся:

• обеспечение возможности периодической корректировки де-

рева целей в связи с изменяющимися внешними условиями;

• исключение маловажных целей, в совокупности слабо влия-

ющих на достижение общей цели, соответствующей корню

дерева;

• завершение процесса ветвления на таком уровне, где число

подцелей в разумных пределах будет максимально большим.

Известны случаи, когда дерево целей имело 8-10 уровней ветв-

ления и на последнем уровне помещалось свыше 2000 подцелей.

Например, в дереве целей, использовавшемся в 1965-1968 годах в

США

для перспективного планирования деятельности

НАСА.

Предлагаются также правила или принципы построения дерева

целей для специфических случаев. Например, если дерево целей

применяется для выбора лучшего варианта многокритериального

решения и в связи с этим требуется определить значения коэффи-

циентов относительной важности всех подцелей, включенных в де-

рево целей, то оно трансформируется в дерево решений или дерево

относительной важности. Если дерево целей дополняется деревом

мероприятий, проведение которых необходимо для реализации це-

лей последнего уровня оно превращается в так называемое дерево

«цели — средства».

Основная сфера применения дерева целей:

• в планировании (системный анализ плановых решений, ана-

лиз поставленных целей, распределение бюджетных ассиг-

нований, научно-техническое прогнозирование);

131

Моделирование экономических процессов

• в управлении (управление качеством, совершенствование

проектно-конструкторских разработок, анализ сложных сис-

тем,

принятие многокритериальных решений, использование

программно-целевого метода).

7.4. Задачи изменения состояний системы

Многие задачи в их абстрактной формулировке относятся к сле-

дующему общему типу: задана некоторая система, которая в любой

момент времени может находиться только в одном (из конечного

числа) состоянии. Множество возможных прямых (т. е. одношаго-

вых) переходов задано либо путем непосредственного перечисле-

ния, либо при помощи некоторого правила. Требуется определить,

можно ли переместить систему из заданного начального состояния

в требуемое конечное состояние

помощью последовательности од-

ношаговых переходов. Если каждому переходу соответствует опре-

деленная стоимость, можно потребовать перевести систему в нуж-

ное состояние с минимальными затратами.

Если состояния и одношаговые переходы представлены соответ-

ственно вершинами

дугами ориентированного графа, то задача сво-

дится к нахождению

пути,

соединяющего пару заданных вершин,

т.

е.

состояний. Во многих случаях основным этапом анализа таких задач

является определение системы или, более точно, определение мно-

жества состояний, адекватных возможным состояниям реальной сис-

темы и позволяющих удобно определять одношаговые переходы.

Классическим примером здесь является такая занимательная за-

дача, как переправить через реку трех волков и трех баранов (в

зарубежной литературе

—

трех людоедов

трех миссионеров), при-

чем на берегу нельзя оставлять баранов в меньшинстве, а в лодке

можно перевести только двоих.

некоторых случаях допустимые переходы очевидны, в других

совершенно неясно, можно ли достичь из заданного начального со-

стояния желаемого конечного. Примером последнего является зада-

ча отыскания пути в лабиринте. Эта задача, опять-таки, сводится к

определению цепи, соединяющей две заданные вершины соответ-

ствующего графа, который характеризует структуру лабиринта.

132

Графические средства

интерактивном моделировании

К рассматриваемым моделям сводятся также процессы ведения

конкурентной борьбы, слияния и реструктуризации компаний, про-

цессы разоружения и восстановления систем. Рассмотрим, напри-

мер,

задачу разоружения. Определим множество О, состоящее из

конечного числа состояний, где каждое состояние соответствует

уровню вооруженности двух противников X

У в условиях устойчи-

вости. Устойчивость, баланс или равновесие является важным кри-

терием в рассматриваемой постановке проблемы. Она требует, что-

бы ни один из противников не считал свое положение, т. е. состоя-

ние (определяемое ниже), слабее положения соперника.

Элементами £• (jel:p) множества

£2

являются векторы

(

fi\,}--

n,j''Kj---Kj).

где а», — обозначает число единиц вооружений (оружие, количе-

ство информации, экономические факторы и т. д.) вида к у соперни-

ка

X на этапе j процесса разоружения, а Ъ^

—

те же самые характе-

ристики для соперника Y. Каждый соперник X и Y будет выбирать

множество правил, применение которых к начальному состоянию

вооружений дает новое состояние. Те же самые или другие правила

могут быть применены к новому состоянию для получения третьего

состояния и

т.

д. Общая схема сокращения вооружения Сбудет обра-

зовывать множество состояний, которые совсем не обязательно ока-

зываются приемлемым для Y.

Цель состоит в том, чтобы найти состояния, в которых может

быть достигнуто соглашение, и затем установить правила сокраще-

ния вооружений в этих состояниях. Считается, что начальное со-

стояние, к которому применяются правила, является равновесным

с точки зрения обеих сторон. Причины этого не обязательно толь-

ко военные, но и политические, экономические и др. Далее будет

показано, что процесс разоружения зависит от компенсирующих

факторов, используемых обеими сторонами. Рассмотрим теперь,

как можно получить множество Д. Равновесие, или устойчивое

состояние, является допустимым состоянием для обеих сторон.

При выборе допустимых состояний для X естественно положить,

что a

j - осу

bjy»

где а^

—

компенсирующий фактор. Действитель-

но,

необходимо провести сравнение по всем видам вооружений Y.

133

Моделирование экономических процессов

Очевидно, в такой постановке проблемы важно правильно вы-

брать общий знаменатель для единиц сокращаемого вооружения.

Таким образом, если существует численное превосходство по одно-

му виду оружия, то его можно компенсировать отсутствием превос-

ходства по другому виду. Отсутствие превосходства (или его нали-

чие) а.ц должно оцениваться в общих единицах измерения обоих

рассматриваемых видов оружия. Действительно, компенсация мо-

жет быть основана на нескольких видах оружия (а не на одном) и,

следовательно, требуется общая единица измерения.

Единственный фактор оценки может оказаться недостаточным

для определения допустимости данного состояния. Будем считать,

что

Е-

принадлежит к множеству допустимых состояний Q

для

сто-

роны

если величина ||ос||, называемая нормой вектора компенси-

рующих факторов

ос-

= (ос,» ...,ос„

•),

не меньше, чем некоторое число

ос,

выбранное стороной X. Норма

||сс||

является некоторой мерой

всех си, (к = 1,... п). Учитывая различную важность разных видов

оружия, в качестве нормы удобно принять

j\\

= H

k,j>

к=1

где w

— средний вес вида оружия к в различных конфликтных

ситуациях. Аналогично можно ввести p

•

и Щ\\ для определения

множества допустимых состояний Q стороны Y. Заметим, напри-

мер,

что состояние

(0,...1;

1,...,1)

допустимо для

но недопустимо

дляX,

поэтому оно принадлежит Q . Аналогично, состояние

(1,...,

О,..., 0) принадлежит Q

. Легко предположить, что такие состояния

допустимы, т. к. одна из сторон имеет нулевое вооружение. Нако-

нец, множество допустимых равновесных состояний (для X

и У)

есть

О.

= Q

П CL,

т. е. оно соответствует общей части выделенных мно-

жеств.

Одна из задач управления вооружениями состоит в нахождении

правил их сокращения. Слово «сокращение» используется здесь

в широком смысле, т. к. в процессе общего сокращения может на-

блюдаться рост по отдельным видам оружия. Независимо от своего

конкретного вида, правила сокращения вооружений должны обес-

печить переход от одного состояния к другому на множестве Q.

134

? Графические средства в интерактивном моделировании

Правила, используемые сторонами, не обязательно должны совпа-

дать,

т. к., например, множество Е

будет содержать состояния, не

входящие в Е

, и наоборот. Таким образом, задача состоит в том,

чтобы найти такие правила, которые обеспечивают последователь-

ные переходы на множестве

и никогда не выводят за его пределы.

Практически такие правила обычно совпадают

правилами, опреде-

ляющими состояния.

Пусть мы имеем теперь список всех элементов множества Q.

Ясно,

что на практике такой список получить трудно, т. к. ни одна

из сторон обычно не хочет сообщать своих компенсирующих факто-

ров.

Однако ценность такого подхода состоит в

том,

что он позволя-

ет примерно оценить компенсирующие факторы противника, пред-

лагая различные правила, которые тот принимает или отвергает.

Очевидно, что число этих элементов является конечным, хотя

эскалация вооружений увеличивает мощность множества Q со вре-

менем. Предположим для простоты, что состояния Q

есть

Е,... Е

Если проблема нахождения правил перехода решена, то возни-

кает задача: как использовать эти правила, чтобы получить все те

состояния, которые попадают на путь сокращения вооружений,

идущий из заданного начального состояния, например, Е в любое

промежуточное состояние Eq (q < г)? Если такого пути не суще-

ствует, то правила оказываются неприемлемыми и должны быть

изменены, чтобы обеспечить возможность выполнения шагов по

разоружению. Ясно, что переход из начального состояния в задан-

ное промежуточное можно осуществить за один шаг. Однако боль-

шие шаги в разоружении могут привести ко многим неблагоприят-

ным последствиям. Поэтому процесс необходимо осуществить

сравнительно небольшими шагами. Кроме того, разоружение за

один шаг может быть неприемлемо для обеих сторон и неосуще-

ствимо из соображений безопасности, т. к. выполнение и контроль

практических действий по разоружению требуют определенного

времени. Такой подход можно использовать только при определе-

нии возможности достижения заданного состояния из начального

при использовании данного набора правил. Другими словами, да-

леко не каждый метод, даже если он и кажется хорошим, может

гарантированно привести в устойчивое состояние при многократ-

ном его использовании.

135

Моделирование экономических процессов

Первая задача, связанная с выбором правил перехода, не явля-

ется математической. Ее решение зависит от многих политических,

военных и экономических факторов. Однако задача использования

выбранных правил для определения возможных промежуточных

шагов разоружения может исследоваться математически, даже если

правила меняются при переходе от шага

шагу.

последнем случае

состояние, в котором произошло изменение правил, должно счи-

таться новым начальным состоянием и к нему может быть применен

тот же метод. Если теперь каждому состоянию поставить в соответ-

ствие вершину графа, то можно использовать для решения данной

задачи методы, рассмотренные ранее при анализе задач переходов

состояний.

ГРАВИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ

8.1.

Назначение и сфера применения

гравитационных моделей

Гравитационные модели применяются для описания и прогноза

различных социальных и экономических взаимодействий между

районами города, населенными пунктами и базируются на предпо-

ложении, что величина (сила) взаимодействия пропорциональна

произведению показателей численности населения районов и об-

ратно пропорциональна расстоянию между ними

где

Pj,

— численность населения районов i и

•

— расстояния

между районами i и/;

Мц

— показатель взаимодействия между рай-

онами i и j (например, количество поездок); к — нормирующий

параметр.

Американский социолог

Ф.

Кэрри еще в середине

XIX

века отме-

тил наличие аналога гравитационной силы в общественных явлени-

ях. В 1929 году В. Рейли (США) предложил закон гравитации роз-

ничной торговли, согласно которому город притягивает своей роз-

ничной торговлей клиентуру с окружающей территории с «силой»,

пропорциональной размеру города и обратно пропорциональной

квадрату расстояния от клиента

до

центра города. Граница зон сбы-

та городов !

j определяется как геометрическое место точек, для

которых

где d,

, d

—

расстояние от городов i и

соответственно, до точки

на границе.

Теория гравитационной модели была подробно разработана

Д. Стюартом (США). Его идея состояла в том, что взаимодействие

между совокупностями людей подчиняется закону, аналогичному

137

Моделирование экономических процессов

закону всемирного тяготения (гравитации). Наряду с понятием де-

мографической силы он предложил формулу для демографического

потенциала

где у*

—

потенциал, создаваемый

точке

районом (или городом) г.

Суммарный демографический потенциал точки х определяется

по формуле

Стюартом были составлены карты демографического потенциа-

ла для территории

США. В

дальнейшем подобные карты были пост-

роены и постоянно обновляются во многих странах мира. Оказа-

лось,

что демографический потенциал отражает освоенность терри-

тории лучше, чем общепринятый показатель плотности населения.

Отмечена также высокая корреляция демографического потенциала

с размещением розничной торговли, развитием автомобильных до-

рог, занятостью сельского населения в несельскохозяйственных

секторах.

Гравитационные модели при соответствующем подборе пара-

метров широко используются для описания процессов миграцион-

ного взаимодействия. Они хорошо оправдывается для междугород-

ных телефонных разговоров, поездок за покупками, маятниковой

миграции. Развитие простейшей гравитационной модели происхо-

дило в нескольких направлениях:

Кроме показателей численности населения и расстояний в мо-

дели включались и другие факторы, например отношение при-

ростов инвестиций в районах, число вакантных рабочих мест

или, наоборот, доля безработных в численности трудоспособно-

го населения, число вакантных мест на пути следования из од-

ного района в другой (модель промежуточных возможностей).

Гравитационная модель применяется в случаях, когда показате-

лям численности населения районов придаются некоторые веса.

Простой пример совместного применения обоих направлений

дает модель, описывающая число поездок между штатами США:

138

8. Гравитационные модели

iPi

)-{"jPj)

'•J ~ J2

i.j

где

w,-, w- —

среднедушевые доходы в штатах i,j.

Конструкции типа гравитационных моделей широко включают-

ся в самые разнообразные модельные комплексы для описания

процессов городского и регионального развития.

Для анализа общих закономерностей распределения населения,

как важнейшей системообразующей функции города по его терри-

тории, используются модели городского пространственного разви-

тия. В

качестве информационной модели города для решения такого

рода задач используется граф, в вершинах которого в зависимости

от цели решения задачи предполагается:

• сосредоточение населения (если речь идет о проживании);

• наличие определенного числа мест культурно-бытового или

рекреационного обслуживания;

• определенное количество рабочих мест.

Кроме указанного выше использования гравитационные модели

используются в логистике, например, для поиска места размещения

единичного складского помещения, из которого снабжается не-

сколько складов розничной торговли. В данном случае гравитаци-

онная модель представляется в виде средней взвешенной величи-

ны.

При этом учитываются размещение складов розничной торгов-

ли,

объемы перевозимых товаров, затраты на перевозку грузов от-

носительно расчетного местоположения центрального складского

помещения.

На

первом шаге решения рассматриваемой задачи пред-

лагается несколько вариантов размещения центрального склада в

координатной системе. Начало координатной системы и используе-

мая шкала согласовываются на основе корректного представления

относительных расстояний. Это делается, например, путем наложе-

ния координатной сетки определенного масштаба на карту. Центр

гравитации определяется с помощью формул:

I !

139