Вестник отделения строительных наук РААСН 2011 №15

Подождите немного. Документ загружается.

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТЕЛЬНЫХ

НАУК

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_________________________________________________________________________________________________________________

Анализ

существующих

экспериментальных

данных

по

величине

–

нижней

грани

це

трещинообразования

при

трехосном

сжатии

[1-2] –

показывает

что

величина

сущест

венно

меньше

величины

k (k

= 3,43÷5,22

при

|/R

ПР

= 0,07÷0,44).

При

этом

зависимость

от

ПР

|/R

ПР

выражена

гораздо

менее

определенно

чем

для

Это

находится

соответст

вии

полученными

выше

теоретическими

результатами

сами

экспериментальные

значения

близки

тому

что

дает

выражение

(5).

Поэтому

для

практических

расчетов

целесообразно

принять

= const,

положив

например

= 3,0.

Заметим

что

все

рекомендации

относятся

случаю

отсутствия

давления

жидкости

порах

трещинах

материала

При

наличии

такого

давления

необходимо

вводить

дополнительный

коэффициент

по

методике

[4].

Выводы

процессе

трехосного

нагружения

бетона

(

)

развиваются

как

трещины

сдвига

так

трещины

отрыва

причем

преобладающая

роль

тех

или

других

трещин

вместе

тем

величина

k –

коэффициента

эффективности

бокового

давления

–

существенно

зави

сит

от

величины

бокового

давления

от

проектной

марки

бетона

ПР

Достижение

–

нижней

границы

трещинообразования

при

трехосном

сжатии

определяется

развитием

начальных

трещин

сдвига

При

этом

величина

–

коэффициента

интенсивности

бокового

давления

по

трещиностойкости

отличие

от

лишь

слабо

зависит

от

ПР

Для

практических

целей

рекомендуется

нормировать

величину

соответствии

рисунком

величину

принимать

равной

3,0.

Библиографический список

Жиренков

Особенности

разрушения

существенно

неоднородных

материалов

при

одноосном

объемном

сжатии

[

Текст

] /

Жиренков

Карцев

Красновский

Вестник

гражданских

инженеров

. –

СПб

ГАСУ

, 2009. –

№

3(20) –

. 111-113.

Жиренков

Прогнозирование

прочности

существенно

неоднородных

материалов

при

объемном

сжатии

[

Текст

] /

Жиренков

Карцев

Красновский

Вестник

гра

жданских

инженеров

. –

СПб

ГАСУ

, 2010. –

№

1(22). –

. 56-59.

Панасюк

Предельное

равновесие

хрупких

тел

трещинами

[

Текст

] /

Пана

сюк

. –

Киев

Наукова

думка

, 1968. –

. 248.

Мальцов

Прочность

бетона

при

частичном

насыщении

его

пор

водой

под

дав

лением

[

Текст

] /

Мальцов

Соколов

Труды

координац

совещ

по

гидротехн

ВНИИ

гидротехники

им

Веденеева

, 1970. –

вып

. 58. –

. 199-207.

Малашкин

Исследование прочности

процесса

деформирования

бетона

учетом

вида

напряженного

состояния

[

Текст

] /

Малашкин

Иш

Тябликов

Безгодов

Труды

координац

совещ

по

гидротехн

ВНИИ

гидротехники

им

Веде

неева

, 1975. –

вып

. 99. –

. 21-25.

Зайцев

Прочность

долговечность

конструкционных

материалов

трещиной

[

Текст

] /

Зайцев

Леонович

. –

Минск

БНТУ

, 2010. –

. 362.

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТЕЛЬНЫХ

НАУК

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_________________________________________________________________________________________________________________

УДК

539.3:534.1

ЗВЕРЯЕВ

(

Московская

государственная

академия

коммунального

хозяйства

строительства

Москва

)

МАКАРОВ

(

НИИОСП

им

Герсеванова

Москва

)

НОВОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ

СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛОЙ ПО СТЕРЖНЮ

Классическая

теория

удара

основывается

на

предположении

малости

отношения

на

чальной

скорости

удара

скорости

распространения

волны

теле

Считается

что

частое

не

согласование

теоретических

экспериментальных

результатов

связано

влиянием

упро

щающих

предположений

принятых

при

теоретических

изысканиях

особенности

откло

нениями

реальных

теоретических

краевых

начальных

условий

литературе

рассматри

ваются

задачи

продольном

поперечном

ударе

для

стержней

без

учета

местных

деформа

ций

их

учетом

[1].

Полученное

на

основании

гипотезы

плоских

сечений

уравнение

дви

жения

элемента

стержня

при

поперечных

колебаниях

не

позволяет

установить

волновой

ха

рактер

движения

[1].

Трудности

решения

подобных

задач

связаны

тем

что

ударная

нагруз

ка

сингулярная

во

времени

случае

сосредоточенной

силы

пространстве

необходимо

связать

сингулярное

воздействие

сингулярными

бегущими

волнами

регулярными

коле

баниями

стержня

по

собственным

формам

колебаний

итоге

ряды

получаются

плохо

схо

дящимися

плохо

анализируемыми

целью

преодолевания

подобного

рода

трудности

настоящей

работе

приводится

пример

построения

решения

без

разложения

быстро

меняю

щихся

сингулярных

воздействий

решений

ряды

по

медленно

меняющимся

функциям

Используется

установленная

работе

[2]

асимптотическая

форма

представления

дельта

функции

этой

же

работе

без

каких

либо

гипотез

геометрического

статического

характе

ра

из

уравнений

теории

упругости

выделены

уравнения

движения

для

длинной

упругой

по

лосы

под

действием

поперечной

нагрузки

путем

отбрасывания

малых

членов

исходных

уравнениях

результате

исходной

задаче

поставлена

соответствие

близкая

(

асимптоти

ческим

смысле

)

задача

состоящая

из

трех

связанных

между

собой

граничными

условиями

подзадач

продольных

волновых

колебательных

движениях

стержня

продольно

поперечных

сдвиговых

волновых

колебательных

движениях

стержня

поперечных

коле

баниях

балки

Цель

работы

заключается

разработке

техники

построения

решения

виде

бегущих

стоячих

волн

их

взаимодействия

для

случая

продольных

движений

стержня

как

составляющей

общего

решения

задачи

поперечного

оси

полосы

ударного

воздействия

Размерное

уравнение

продольного

движения

элемента

стержня

длины

имеет

вид

[1]:

∗

∂

−

∂

. (1)

Здесь

∗

−

продольное

смещение

элемента

стержня

∗

−

его

продольная

координата

−

удельная

плотность

модуль

упругости

материала

(

)

∗∗∗∗

= txff , −

внешняя

нагрузка

∗

−

время

Произведем

уравнении

движения

замену

переменных

по

формулам

lxx =

∗

luu =

∗

Ttt =

∗

которых

величины

являются

безразмерными

−

наибольший

период

про

дольных

колебаний

стержня

Уравнение

движения

после

замены

переменных

принимает

вид

fuu

′′

−

, (2)

где

∗

−

безразмерная

скорость

распространения

возмущения

стержне

безраз

мерная

нагрузка

Точкой

обозначено

дифференцирование

по

времени

штрихом

−

по

координате

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТЕЛЬНЫХ

НАУК

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_________________________________________________________________________________________________________________

Решение

уравнения

(2)

будем

искать

виде

суммы

решений

uuu +=

где

−

пе

ремещение

соответствующее

бегущей

волне

−

перемещение

соответствующее

стоячим

волнам

порожденными

отражением

бегущей

волны

от

защемления

Построим

решение

соответствующее

бегущей

волне

Нагрузку

зададим

виде

асимптотического

представления

дельта

функции

[2, 3]:

(

)

( )

(

)

( )







−







−

kPk

exp

Величины

характеризуют

форму

скорость

приложения

нагрузки

Нагрузка

счи

тается

приложенной

точке

момент

времени

Верхние

строки

справедливы

при

нижние

−

при

При

→

локальная

распределенная

вдоль

стержня

во

времени

нагрузка

собирается

точку

имеют

место

предельные

соотношения

(

)

(

)

txPf

→0

lim

∫

∞→

Pfdx

lim

Здесь

точки

являются

концами

стержня

Они

дальнейшем

для

определенно

сти

будут

считаться

жестко

защемленными

Выражение

для

внешней

силы

можно

переписать

следующим

образом

(

)

[

]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]











−−

+−

−

tkxk

kPk

exp

при

0 ,0

. (3)

Решение

уравнения

(2)

должно

удовлетворять

начальным

условиям

(

)

(

)

00,0, == xuxu

. (4)

Уравнение

(2)

при

нагрузке

(3)

имеет

частное

решение

( )

(

)

[

]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]











−−

+−

−













−

tkxk

kPk

exp

при

0 ,0

(5)

общее

соответствующее

бегущей

волне

(

)

(

)

(

)

atxfatxfu

−++=

. (6)

Эти

функции

должны

удовлетворять

при

нулевым

начальным

условиям

(

)

(

)

0=+

grpr

(

)

(

)

0=+

grpr

поскольку

до

момента

удара

все

точки

стержня

находятся

покое

Подставив

начальные

условия

(4)

выражения

(5), (6),

получим

два

уравнения

отно

сительно

двух

неизвестных

функций

(

)

( )

( ) ( )

exp

=++











−













−

xfxf

kPk

при

0 ,0

+→>

−→>

+→<

−

→

(

)

( )

( ) ( )

exp













′

−

′











−−

−













−

xfxfa

kPk

при

0 ,0

+→>

−→>

+→<

−

→

После

интегрирования

второго

уравнения

по

получаем

уравнение

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТЕЛЬНЫХ

НАУК

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_________________________________________________________________________________________________________________

(

)

( )

( ) ( )

[ ]

exp

=−+











−

−−

−













−

xfxfa

при

0 ,0

+→>

−→>

+→<

−

→

при

складывании

которого

первым

вычитая

определяем

вид

искомых

функций

(

)

(

)

Заменив

полученном

выражении

соответствии

формулой

(6)

(

)

аргумент

на

(

)

на

−

получим

функции

задающие

вид

бегущих

волн

( )

(

)

( )

(

)

( )























−











−

−−

−













−

−=

εξ

exp

при

0 ,0

( )

(

)

( )

(

)

( )























−











−

−−

−













−

εη

exp

при

0 ,0

которых

для

сокращения

записи

использованы

обозначения

atx

−

Таким

образом

окончательное

выражение

для

бегущей

волны

при

ударе

имеет

вид

(

)

[

]

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

[ ]











−−

+−

−













−

tkxk

kPk

exp

(

)

( )

(

)

( )























−−

−











−−

−+

−













−

εξ

exp

(

)

( )

(

)

( )























−−

−











−

−−

−













−

εη

exp

при

0 ,0

Решение

уравнения

(2),

соответствующее

стоячим

волнам

должно

удовлетворять

граничным

условиям

защемления

на

концах

стержня

при

0=+

(7)

Решение

уравнения

(2)

при

нулевой

правой

части

будем

искать

виде

( ) ( )

xXtUu

∑

∞

, (8)

где

cnxncnxnX

ππππ

sincoscossin −= −

собственная

функция

удовлетворяющая

уравнению

′′

XnX

(9)

однородным

граничным

условиям

(

)

(

)

0== dXcX

. (10)

Умножим

уравнение

(2)

на

проинтегрируем

пределах

от

до

″

−

∫∫

dxXudxXu

. (11)

Преобразовав

второй

член

этого

уравнения

помощью

формулы

интегрирования

по

частям

получим

запись

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТЕЛЬНЫХ

НАУК

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_________________________________________________________________________________________________________________

∫∫

′′

′

−

′

″

dxXuXuXudxXu

Здесь

первый

член

правой

части

равен

нулю

силу

граничных

условий

(10).

Второй

член

преобразуется

следующим

образом

( ) ( ) ( ) ( )

cXtcudXtduXu

′

−

′

введя

обозначение

для

первого

члена

уравнении

(11):

dxXu

∫

получим

учетом

равенства

(7)

уравнение

для

функции

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[

]

tcutduncXtcudXtduUnU

,,2,,

′

−

′

ππ

. (12)

Входящие

правую

часть

уравнения

величины

имеют

вид

( )

(

)

(

)

( )













−













−

ckP

tcu

exp

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

( ) ( )













−+

−







−−

εε

tktk

expexp

2expexp

expexp

при

( )

(

)

(

)

( )













−













−

dkP

tdu

exp

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

( ) ( )













−+

−







−−

εε

tktk

expexp

2expexp

expexp

при

Функции

определяющие

перемещение

скорость

выражении

(8),

соот

ветствующие

частому

решению

уравнения

(12),

имеют

вид

(

)

(

)

(

)

( )

( ) ( )

0 tпри

0 при

expexp

2expexp

expexp

exp

expexp2













−+













+−







+−−

−−



















−































−

−+

tktk

kkn

dkck

εε

εεε

εε

εεπ

(

)

(

)

(

)

( )

( ) ( )

0 tпри

0 при

expexp

2expexp

expexp

exp

expexp2













−−













+−







+−

−−−



















−−































−

−+

tktk

dkck

εε

εεε

εε

εεπ

Общее

решение

уравнения

(12)

возьмем

форме







tanBtanB

tanAtanA

ππ

sincos

при

. (13)

При

этом

решение

UUU +=

его

производная

UUU

&&&

должны

удовлетво

рять

условиям

непрерывности

точке

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТЕЛЬНЫХ

НАУК

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_________________________________________________________________________________________________________________

момент

приложения

нагрузки

(

момент

удара

)

функции

принимают

следующие

значения

( )

( ) ( )

























+−























































−

−+

expexp2

kkn

dkck

εεπ

( )

(

)

(

)

























+−







−



















−































−

−+

expexp2

εε

εεπ

kkk

dkck

из

которых

видно

что

функция

точке

непрерывна

функции

первое

вто

рое

слагаемые

имеют

разрывы

третье

слагаемое

равно

нулю

Введем

обозначения

(

)

(

)

εεπ

expexp2 kk

dkck

























−

−+

(

)

(

)

εεπ

dkck

expexp2

























−

−+

перепишем

выражение

для

скорости

точке

ноль

( ) ( )







−

−=







−







−

2121

bbbbU

при

+→

−

→

. (14)

Примем

для

решения

(13)

нулевые

начальные

условия

для

компоненты

при

оз

начающие

что

до

приложения

нагрузки

собственные

колебания

отсутствовали

соответст

вии

этим

получаем

Условия

непрерывности

для

перемещения

скорости

точке

дают

учетом

соотношения

(14)

уравнения

для

определения

произволов

интег

рирования

(

)

(

)

22121

Bbbbb

+−−=−

Отсюда

получаем

(

)

211

bbB

−=

Для

искомой

функции

получаем

окончательное

выражение

(

)

tanbbUUU

cos2

−++=

при

Подстановка

этого

выражения

формулу

(8)

дает

решение

для

стоячей

волны

при

ударе

сосредоточенной

силой

Заметим

что

результате

использования

аппроксимации

син

гулярного

нагружения

виде

асимптотического

представления

дельта

функции

построение

решения

сведено

решению

классической

задачи

распространения

волн

помощью

извест

ной

формулы

Даламбера

[4].

Локальное

возмущение

вызванное

ударом

распространяется

по

стержню

дойдя

до

края

порождает

стационарные

собственные

колебания

стержне

закрепленными

краями

Естественно

что

при

граничных

условиях

на

концах

стержня

проце

дура

построения

решения

сохраняется

Это

позволяет

строить

решение

при

задании

кинема

тического

возмущения

некотором

сечении

стержня

задаче

волновом

движении

при

по

перечном

ударе

задаче

продольном

движении

добавляется

рассмотрение

совместной

за

дачи

продольных

продольно

поперечных

сдвиговых

волновых

колебательных

движениях

стержня

поперечных

колебаниях

балки

возникают

все

три

вида

колебаний

Мы

пола

гаем

что

задание

кинематического

возмущения

конца

стержня

поперечном

направлении

будет

интересным

для

моделирования

сейсмического

воздействия

на

строительные

объекты

Библиографический список

Пановко

Введение

теорию

механического

удара

[

Текст

] /

Пановко

. –

Наука

,1977. – 224

Зверяев

Общий

метод

построения

теорий

типа

Тимошенко

[

Текст

] /

Зверя

ев

Макаров

Прикладная

математика

механика

, 2008. –

. 72. –

Вып

. 2. –

. 306-321.

Зверяев

Анализ

гипотез

используемых

при

построении

теории

балок

пластин

[

Текст

] /

Зверяев

Прикладная

математика

механика

, 2003. –

. 67. –

Вып

. 3. –

. 472-481.

Тихонов

Уравнения

математической

физики

[

Текст

] /

Тихонов

Са

марский

. –

Наука

, 1966. – 724

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТЕЛЬНЫХ

НАУК

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_________________________________________________________________________________________________________________

УДК

624.044:534.833

ЗЫЛЕВ

(

Московский

государственный

университет

путей

сообщения

Москва

)

ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ ДЛЯ ДИНАМИКИ

СИСТЕМ С ДЕМПФИРОВАНИЕМ

[1]

дается

доказательство

свойств

взаимности

для

случая

установившихся

гармони

ческих

колебаний

[2]

свойства

взаимности

формулируются

доказываются

общем

виде

но

не

даются

формулировки

конкретных

теорем

характерных

для

строительной

механики

силы

сопротивления

[2]

не

рассматриваются

Отметим

работу

[3],

где

используется

теорема

взаимности

перемещений

без

рассмотрения

ее

доказательства

нашей

работе

[4]

даются

формулировки

теорем

взаимности

для

идеально

упругой

системы

традиционной

для

строи

тельной

механики

форме

приводятся

их

доказательства

помощью

метода

разложения

движения

по

собственным

формам

колебаний

настоящей

работе

теоремы

взаимности

обобщаются

на

случай

учета

сил

сопротивления

Будем

рассматривать

линейную

систему

точечными

сосредоточенными

массами

отношении

сил

сопротивления

сделаем

следующие

упрощающие

допущения

Они

могут

быть

представлены

силами

пропорциональными

массам

скоростям

точек

или

получаться

путем

умножения

матрицы

демпфирования

на

составляющие

скоростей

по

соответствую

щим

степеням

свободы

Матрица

демпфирования

должна

быть

взята

пропорциональной

мат

рице

жесткости

системы

соответствующей

динамическим

степеням

свободы

Как

известно

[5],

при

сделанных

ограничениях

для

каждой

обобщенной

координаты

может

быть

запи

сано

независимое

дифференциальное

уравнение

lllll

qqnq =++

&&&

. (1)

Искомое

движение

системы

представляется

виде

суммы

движений

по

отдельным

взаимно

ортогональным

формам

собственных

колебаний

qVqVqVZ

+++= ...

2211

. (2)

Отметим

здесь

что

формы

собственных

колебаний

–

это

те

же

формы

что

сис

теме

без

учета

сил

сопротивления

Теорема о взаимности перемещений. Начнем

приложения

мгновенных

сосредото

ченных

импульсов

системе

Пусть

система

получает

мгновенный

импульс

по

направле

нию

степени

свободы

номером

(

рисунок

После

нанесения

импульса

система

будет

совершать

свободные

колебания

Уравнение

(1)

будет

данном

случае

однородным

его

частное

решение

может

иметь

вид

sin

−

(3)

Здесь

lll

n−=

ωω

–

круговая

частота

учетом

сил

сопротивления

Это

решение

соответствует

некоторой

начальной

обобщенной

скорости

нулево

му

начальному

смещению

Определение

начальной

обобщенной

скорости

данном

слу

чае

можно

выполнить

по

известной

методике

[5],

использованием

свойств

ортогональности

форм

собственных

колебаний

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ И СТРОИТ

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_____________________________________

_______________________________________________

)0(

jlj

iil

ZVm

∑

Рисунок 1 –

Нанесение мгновенного импульса по

направлении ,

замер смещения по направлению

Здесь

∑

ilil

VmM

–

обобщенная масса соответствующая обобщенной координате с

номером

Таким

образом

движение системы после нанесения импульса определилось

Смещение

по

координате

будет

sin

−

VGV

tnkj

Если

поменять

степени

свободы для нанесения импульса и замера перемещения см

рисунок

)

решить

задачу

аналогичным образом то получим выражение тождественное

(

4).

Действительно

компоненты вектора формы собственных колебаний

формулу

(4)

совершенно

одинаково Таким обра

)()( tZtZ

jkkj

при

учете

сил

сопротивления Формула выражает теорему о взаимности перемещений

для

импульсов

Представляя

произвольно меняющую

прикладываемых

импульсов

суммируя одинаковые результаты от каждого импульса докажем

теорему

взаимности

перемещений для произвольно меняющейся силы

правлению

как

функция времени вызванное силой меняющейся по произвольному

закону во времени и приложенной по направлению

лению

, вызванному такой же силой но приложенной по направлению

Рассуждая

аналогично

тому как это сделано в

справедлива

также

для

изменяемой системы Здесь следует подчеркнуть что все рассужд

ния

относятся

лишь

малым

перемещениям что необходимо для со

свойств

системы

Теорема о взаимности реакций

нию

смещений

Рассмотрим сначала воздействие в виде внезапного смещения связи

момент

времени

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТ

ЕЛЬНЫХ

НАУК

_______________________________________________

_____________________________

jlj

Нанесение мгновенного импульса по

двум направлениям: а

–

замер смещения по направлению

; б –

импульс в направлении

замер смещения по направлению

обобщенная

масса

соответствующая

обобщенной координате с

Таким образом

движение

системы

после

нанесения

импульса определилось

будет

...sin

−

VGV

tnkj

Если поменять степени

свободы

для

нанесения

импульса

замера перемещения см

и решить задачу

аналогичным

образом

то

получим

выражение тождественное

Действительно компоненты

вектора

формы

собственных

колебаний

формулу совершенно одинаково

Таким

обра

зом

и при учете сил сопротивления

Формула

(5)

выражает

теорему

взаимности перемещений

Представляя произвольно

меняющую

ся

во

времени

силу

как

действие последовательно

прикладываемых импульсов и

суммируя

одинаковые

результаты

от

каждого импульса докажем

теорему о взаимности перемещений

для

произвольно

меняющейся

силы

перемещение по н

функция времени, вызванное силой, меняю щейся по произвольному

закону во времени и приложенной по направлению

, равно перемещению по напра

вызванному такой же силой, но приложенной по направлению

Рассуждая аналогично

тому

как

это

сделано

[1]

можно

показать что теорема будет

справедлива также и для изменяемой

системы

Здесь

следует

подчеркнуть что все рассужд

ния относятся лишь к малым

перемещениям

что

необходимо

для

со

Теорема о взаимности реакций.

Пусть

на

систему

наложены

две связи по направл

Рассмотрим

сначала

воздействие

виде

внезапного смещения связи

Необходимо

определить

динамическую

реакцию в связи

_____________________________

–

импульс

импульс в направлении

обобщенная масса соответствующая обобщенной

координате

Таким образом движение системы после нанесения импульса

определилось

(4)

Если поменять степени свободы для нанесения импульса и замера

перемещения

(

см

и решить задачу аналогичным образом то получим выражение

тождественное

Действительно компоненты вектора формы собственных колебаний

вхдят

(5)

и при учете сил сопротивления Формула выражает теорему о взаимности

перемещений

ся во времени силу как действие

последовательно

прикладываемых импульсов и суммируя одинаковые результаты от каждого

импульса

докажем

перемещение по н

а-

функция времени вызванное силой меняющейся по произвольному

равно перемещению по напра

в-

вызванному такой же силой но приложенной по направлению

можно показать

что

теорема

будет

справедлива также и для изменяемой системы Здесь следует подчеркнуть

что

все

рассужд

ния относятся лишь к малым перемещениям что необходимо для со

хранения

линейных

Пусть на систему наложены две

связи

по

направл

Рассмотрим сначала воздействие в виде внезапного

смещения

связи

Необходимо определить динамическую

реакцию

связи

____________________________________________

(

см

рисунок

Движение

системы

данном случае можно представить как свободные колебания в

круг

статического

прогиба

вызванного смещением

AVqAVytZ

++=)(

22111

Здесь

sin(cos

teq

−

Выбранные

частные

решения уравнения при нулевой правой части отвечают сл

дующим

начальным

условиям

Рисунок 2 –

К доказательству теоремы о взаимности

от смещения

и стартовое положение системы при внезапном смещении связи

(пунктир); б –

форма собственных колебаний системы с двумя наложенными связями

в –

статический прогиб от смещения связи

Постоянные

...,,

АА

следует определить из того условия чтобы в начальный м

мент

времени

точки

системы

несущие сосредоточенные массы имели нулевые начальные

смещения

Тогда

пользуясь

известной методикой определения движения по начальным у

ловиям

[5],

для

запишем

формулу пока рассмотр

mVy

iiij

∑

−

Теперь

можно

представить что в каждый момент времени на систему действуют силы

инерции

−

силы

сопротивления

ложим

их

как

статические

воспользуемся теоремой А А Гвоздева в ее статическом вариа

те

Придется

использовать

статический прогиб от единичного смещения

)

111

∑

−−−=

qVmAyr

iiikkj

Подставляя

сюда

значение

)(

ymVy

ikiiij

⋅

−=

∑ ∑

Формула

(9)

дает

не

полное значение реакции

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ И СТРОИТ

МОСКВА

____________________________________________

_____________________________________________________________________

Движение системы в данном

случае

можно

представить

как

свободные колебания в

круг статического прогиба вызванного

смещением

nnn

qAV

++...

)

Выбранные частные решения

уравнения

(1)

при

нулевой

правой

части отвечают сл

дующим начальным условиям

0)0(1)0( ==

qиq

К доказательству теоремы о взаимности

реакций: а –

статический прогиб системы

и стартовое положение системы при внезапном смещении связи

форма собственных колебаний системы с двумя наложенными связями

статический прогиб от смещения связи

следует

определить

из

того

условия

чтобы в начальный м

мент времени точки системы

несущие

сосредоточенные

массы

имели

нулевые начальные

пользуясь

известной

методикой

определения

движения по начальным у

запишем формулу

(

пока

рассмотр

им

только

первый

член ряда

Теперь можно представить

что

каждый

момент

времени

на

систему действуют силы

и силы сопротивления

Znm

2−

Для

определения

реакции от этих сил пр

как статические и воспользуемся

теоремой

Гвоздева

ее

статическом вариа

те Придется использовать статический

прогиб

от

единичного

смещения

)

Подставляя сюда значение

из

(8),

получим

( )

111

2 qnq

&&&

. (9)

Формула дает не полное

значение

реакции

только

ее

переменную во времени

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТ

ЕЛЬНЫХ

НАУК

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_____________________________________________________________________

Движение системы в данном случае можно представить как свободные

колебания

(6)

(7)

Выбранные частные решения уравнения при нулевой правой

части

отвечают

сл

статический прогиб системы

и стартовое положение системы при внезапном смещении связи

форма собственных колебаний системы с двумя наложенными связями;

следует определить из того условия чтобы

начальный

мент времени точки системы несущие сосредоточенные массы имели

нулевые

начальные

пользуясь известной методикой определения движения

по

начальным

им только первый

член

ряда

(6)):

(8)

Теперь можно представить что в каждый момент времени на систему

действуют

силы

Для определения реакции

от

этих

сил

пр

как статические и воспользуемся теоремой А А Гвоздева в ее

статическом

вариа

те Придется использовать статический прогиб от единичного смещения

Z (

см

рисунок

. (9)

а только ее переменную

во

времени

РОССИЙСКАЯ

АКАДЕМИЯ

АРХИТЕКТУРЫ И СТРОИТ

МОСКВА

–

ОРЕЛ

–

КУРСК

, 2011

_____________________________________

_______________________________________________

составляющую

Постоянная

составляющая соответствую

венно

подчиняется

теореме

взаимности поэтому далее рассмотрим лишь динамическую с

ставляющую

Анализируя

формулу

(9)

видим что замена индексов

ции

Конечно

так

будет

только для первого члена ряда но для всех остальных слагаемых

учитывающих

высшие

формы

собственных колебаний Таким образом теорема о взаимности

реакций

доказана

для

внезапного смещения опоры и при учете сил сопротивления

Смещение

опоры

по

какому

как

комбинацию

элементарных внезапных смещений Тогда с привлечением принципа с

перпозиции

который

справедлив для линейной системы будет доказана терема о взаимн

сти

реакций

при

роизвольном

смещении во

)()( trtr

jkkj

Изменение

во

времени

реакции в связи

ному

закону

во

времени

всегда

будет равно изменению во времени реакции в связи

логичного

смещения

связи

Теорема о взаимности реакции и перемещен ия теорема А А Гвоздев

На

рисунке

показана система к которой внезапно прикладывается сила

делим

реакцию

наложенной связи Решение будем вести раскладывая движение по со

ственным

формам

колебаний

Первая из этих форм показана на рис

Дифференциальное

уравнение для первой обобщенной координаты имеет вид

01111

qqnq

=++

&&&

Частное

решение

(1),

соответствующее

будет













−=

−

cos1

Для

любого

момента

времени можно представить что система загружена в каждой

−i

ой

точке

силами

инерции

силами сопротивления

тему

действует

сила

Для

определения реакции в наложенной связи воспользуемся теор

мой

Гвоздева

(

статический

вариант При этом потребуется статический

ном

смещении

связи

(

рисунок

Выполнив

необходимые дифференцирования получим следующую формулу для и

АРХИТЕКТУРЫ

СТРОИТ

ЕЛЬНЫХ

НАУК

_______________________________________________

_____________________________

составляющую Постоянная составляющая

соответствую

щая

статическому прогибу естес

венно подчиняется теореме взаимности

поэтому

рассмотрим

лишь динамическую с

Анализируя формулу

(9)

видим

что

замена

индексов

на

не

изменит значения реа

е только

для

первого

члена

ряда

но

для

всех

остальных слагаемых

учитывающих высшие формы

собственных

колебаний

Таким

образом

теорема о взаимности

реакций доказана для внезапного

смещения

опоры

при

учете

сил

сопротивления

Смещение опоры по какому

то

другому

закону

во

времени

всегда можно представить

как комбинацию элементарных

внезапных

смещений

Тогда

привлечением принципа с

перпозиции который справедлив

для

линейной

системы

будет

доказана терема о взаимн

роизвольном

смещении

во

времени

Изменение во времени

реакции

связи

вызванное

смещением

связи

ному закону во времени всегда

будет

равно

изменению

во

времени

реакции в связи

Теорема о взаимности реакции и перемещения (теорема А.А. Гвоздев

показана

система

которой

внезапно

прикладывается сила

в наложенной

связи

Решение

будем

вести

раскладывая движение по со

ственным формам колебаний

Первая

из

этих

форм

показана

на

рис

унке

Рисунок 3

Дифференциальное уравнение

для

первой

обобщенной

координаты имеет вид

Частное решение соответствующее

нулевым

начальным

скоростям и смещениям













+ t

sin

Для любого момента

времени

можно

представить

что

система

загружена в каждой

силами инерции

силами

сопротивления

)2(

1111

qnqVm

&&&

−−

Кроме того на си

Для

определения

реакции

наложенной

связи

воспользуемся теор

мой Гвоздева статический вариант

При

этом

потребуется

статический

рисунок

Выполнив необходимые

дифференцирования

получим

следующую формулу для и

_____________________________

щая статическому

прогибу

естес

венно подчиняется теореме взаимности поэтому далее рассмотрим лишь

динамическую

не изменит

значения

реа

е только для первого члена ряда но для всех

остальных

слагаемых

учитывающих высшие формы собственных колебаний Таким образом

теорема

взаимности

реакций доказана для внезапного смещения опоры и при учете сил сопротивления

другому закону во времени всегда

можно

представить

как комбинацию элементарных внезапных смещений Тогда с привлечением

принципа

перпозиции который справедлив для линейной системы будет доказана

терема

взаимн

(10)

вызванное смещением

связи

по

произволь

ному закону во времени всегда будет равно изменению во времени реакции

связи

от

ана

Теорема о взаимности реакции и перемещения теорема А А. Гвоздев

а).

показана система к которой внезапно прикладывается

сила

Опре

в наложенной связи Решение будем вести раскладывая

движение

по

со

Дифференциальное уравнение для первой обобщенной координаты

имеет

вид

(11)

нулевым начальным скоростям

смещениям

(12)

Для любого момента времени можно представить что система

загружена

каждой

Кроме

того

на

си

Для определения реакции в наложенной связи

воспользуемся

теор

мой Гвоздева статический вариант При этом потребуется статический

прогиб

при

единич

Выполнив необходимые дифференцирования получим следующую

формулу

для