Вестник отделения строительных наук РААСН 2011 №15
Подождите немного. Документ загружается.
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
70
_________________________________________________________________________________________________________________
Учитывая
,
что
на
верхней
грани
сжатой
полки
двутавра
при
касательные
на
-
пряжения
,
а
продольные
напряжения
в
силу
уравнения
(9)
равны
,
можно
записать
; ; , (22)
где
–
не
определенное
пока
касательное
напряжение
при
.
Подставляя
эти
выражения
в
третье
уравнение
(1),
с
учетом
соотношения
(15)
получим
:
, (23)
откуда
следует
:
. (24)
Полученное
значение
касательного
напряжения
превосходит
напряжение
в
рамках
сокращенного
сортамента
не
более
чем
на
6,5% (
рисунок
4)
и
для
их
отношения
по
-
лучается
следующая
оценка
:
.
Полученное
расхождение
,
скорее
всего
,
объясняется
сделанными
выше
допущениями
,
без
которых
разрывы
в
эпюрах
касательных
напряжений
,
показанных
на
рисунке
4,
а
,
просто
исчезли
бы
.
В
любом
случае
,
уточнение
полученных
решений
представляется
весьма
желательной
и
заслуживающей
внимания
задачей
.
а) б)
Рисунок 4 – Напряжения в месте пересечения полки и стенки и потоки
касательных напряжений
Картина
касательных
напряжений
в
поперечном
сечении
двутавра
весьма
напоминает
потоки
касательных
напряжений
при
кручении
тонкостенных
профилей
замкнутого
профиля
,
как
показано
на
рисунке
4,
в
.
Однако
в
отличие
от
кручения
наличие
продольных
напряжений
изменяет
«
расход
»
потоков
касательных
напряжений
по
сечению
(
рисунки
2
и
4).
Результаты
проведенного
анализа
говорят
о
том
,
что
касательные
напряжения
следует
считать
первичными
,
определяемыми
только
перерезывающими
силами
(
формулы
13
и
21),
а
H
y
2
=
yz
0
τ =
z
σ
z
b
Q
z
2W
σ =
xz xz2
2
x S
∂τ τ
=
∂
yz yz min
y t
∂τ τ
= −
∂
z
b
Q
z 2W
∂σ
=
∂
zx2
τ
x S 2
=
zx2
c b
2 Q B Q
1 0
S 2A t 3 2W
τ
− − + =
c
zx2
b
A t
Q B
1
4ht 3 W
τ = − −
zx2
τ
zx1
τ
zx2
zx1
1.04 0.02
τ
= ±
τ
zx
(x)
τ
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ
И
СТРОИТЕЛЬНЫХ
НАУК
МОСКВА
–
ОРЕЛ
–
КУРСК
, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
71
продольные
напряжения
являются
вторичными
,
они
могут
накапливаться
по
длине
балки
в
соответствии
с
величинами
касательных
напряжений
или
длиной
балки
.
При
изгибе
двутавра
нормальные
напряжения
в
сжатой
и
растянутой
полках
практи
-
чески
одинаковы
по
величине
,
однако
,
всем
известно
,
что
напряжения
потери
устойчивости
всегда
меньше
чем
напряжения
прочности
растянутых
элементов
,
поэтому
в
отличие
от
ме
-
тодов
,
принятых
в
нормах
следует
проверять
не
прочность
растянутой
полки
,
а
устойчивость
сжатой
.
При
расследовании
аварий
на
глаза
попадаются
многочисленные
двутавровые
балки
со
складками
на
полках
,
и
это
говорит
о
том
,
что
предельным
состоянием
для
двутавра
явля
-
ется
потеря
устойчивости
сжатой
полки
,
не
зависимо
от
того
,
каким
образом
были
назначены
свесы
полок
.
Эта
задача
будет
рассмотрена
в
следующей
статье
.
Библиографический список
1.
Тимошенко
,
С
.
П
.
Устойчивость
стержней
,
пластин
и
оболочек
[
Текст
] /
С
.
П
.
Ти
-
мошенко
. –
М
.:
Наука
, 1971. –
С
. 9-105, 316-350, 408-422, 646-661.
2.
Броуде
,
В
.
М
.
Предельные
состояния
стальных
балок
[
Текст
] /
В
.
М
.
Броуде
. –
М
. –
Л
.:
ГИЗ
Литературы
по
строительству
и
архитектуре
, 1953. –
С
. 214.
3.
Работнов
,
Ю
.
Н
.
Сопротивление
материалов
[
Текст
] /
Ю
.
Н
.
Работновю
. –
М
.:
МГУ
,
1950. –
С
. 256.
4.
Тимошенко
,
С
.
П
.
Теория
упругости
[
Текст
] /
С
.
П
.
Тимошенко
,
Дж
.
Гудьер
. –
М
.:
Физматгиз
, 1975. –
С
. 246.
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ
И
СТРОИТЕЛЬНЫХ
НАУК
МОСКВА
–
ОРЕЛ
–
КУРСК
, 2011
72
_________________________________________________________________________________________________________________
УДК
534-16
ЕГОРЫЧЕВ О.О.
(Московский государственный технический университет, г. Москва)
СОБСТВЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
НАПРЯЖЕННОЙ ПЛАСТИНЫ УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ
ПО ОДНОМУ КРАЮ И ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПО ДРУГОМУ
Рассмотрим
ортотропную
предварительно
напряженную
пластину
-
полосу
,
середин
-
ная
плоскость
которой
в
недеформируемом
состоянии
совпадает
с
координатной
плоскостью
XOY,
ось
Z
направлена
вертикально
вверх
.
Пластина
-
полоса
занимает
следующую
область
:
При
решении
задачи
будем
пользоваться
приближенным
уравнением
колебания
пла
-
стинки
-
полосы
в
виде
[1]:
(1)
где
–
функция
прогиба
.
где
–
плотность
, –
параметры
однородного
напряженного
состояния
, –
упругие
коэффициенты
,
определяющие
ортотропию
.
Решение
уравнения
(1)
будем
искать
в
виде
:
(2)
где
–
скорость
поперечной
волны
; –
частота
.
Тогда
уравнение
(1)
преобразуется
в
обыкновенное
дифференциальное
уравнение
:
(3)
где
(4)
Для
решения
уравнения
(3)
запишем
характеристическое
уравнение
:
. (5)
Его
решение
имеет
вид
:
(6)
Используя
соотношение
(4),
равенство
(6)
будет
иметь
вид
:
(7)
{
}
; ; .
l x l y h z h
− ≤ ≤ −∞ ≤ ≤ ∞ − ≤ ≤
2 4 4 4
1 2 3
2 4 2 2 4
0,
W W W W
A A A
t t x t x
∂ ∂ ∂ ∂
+ − + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
W
( ) ( )
2
1 1
1 1
1 0 33 0 55
1 3 1 ;
6
h
A c A a A
ρ
− −
− −
= + + +
( ) ( ) ( )
( )
2
1 1
1 2
2 0 0 13 33 33 55 13 11 33
2 1 1 2 3 ;
6
h
A a c A A A A A A A
− −
−
= + + − − −
( )
( )
2
1 2
3 0 33 11 13 13
2 1 ,
6
h
A c A A A A
ρ
−
= + −
ρ
0 0
,
a c
,
i j
A
( ) ( )
0
, exp ,
b
W x t W x i t
h
ξ
=
b
ξ
4 2
0 0
1 2 0
4 2
0,
d W d W
B B W
dx dx
+ + =
2
2
1
3
;
A b
B
A h
ξ
=
2 2
2 1
3
1
1 .
b b
B A
A h h
ξ ξ
= −
4 2
1 2
0
r B r B
+ + =
1
2
2
1 1
1,2,3,4 2
.
2 2
B B
r B
−
= ± − ± − −
1
2
2
2
1,2,3,4 2 2 1 3 3
3
1
4 4 .
2
b b
r A A A A A
h h
A
ξ ξ
−
= ± − ± − +
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ
И
СТРОИТЕЛЬНЫХ
НАУК
МОСКВА
–
ОРЕЛ
–
КУРСК
, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
73
Отметим
характерное
значение
,
при
котором
выражение
(7),
стоящее
под
корнем
,
обращается
в
ноль
:
(8)
Из
анализа
корней
(7),
возможны
два
варианта
.
Вариант
I.
тогда
(9)
Здесь
,
следовательно
Тогда
(10)
где
, ;
Для
данного
варианта
общее
решение
уравнения
(3)
имеет
вид
:
. (11)
Вариант
II.
тогда
(12)
Здесь
следовательно
:
(13)
Обозначим
Тогда
равенство
(13)
примет
вид
:
(14)
где
Введем
новые
обозначения
для
равенства
(14):
Окончательно
получим
корни
характеристического
уравнения
(5)
в
виде
:
. (15)
Для
данного
варианта
II
общее
решение
уравнения
(3)
представим
в
виде
:
. (16)
Задача
решается
при
следующих
граничных
условиях
[1].
0
ξ
3
0
2
1 3 2
2 ;
4
Ah
b A A A
ξ
= ±
−
3
2
1 3 2
0.
4
A
A A A
>
−
0
,
ξ ξ
<
1
.
h h
<
( )
1
2
2
2
1,2,3,4 2 2 1 3
1 1
3
1
4 1 .
2
b h
r A A A A
h h
A
ξ
= ± − ± − −
2
1
1 0
h
h
− <
( )
2
2
2 1 3 2
1
0 4 1 .
h
A A A A
h
< − − <
1,2 1
;
r i
β
= ±
3,4 2
,
r i
β
= ±
( )
2
2
1 2 1 3
1
4 1 ;
h
D A A A
h
= − −
2 2 1
;
D A D
= − +
3 2 1
.
D A D
= − −
01 1 1 2 1 3 2 4 2
cos sin cos sin
W C x C x C x C x
β β β β
= + + +
0
,
ξ ξ
>
2
.
h h
>
( )
1
2
2
2
1,2,3,4 2 2 1 3
2 2
3
1
4 1 .
2
b h
r A A A A
h h
A
ξ
= ± − ± − −
2
2
1 0,
h
h
− >
( )
2
2
2 1 3
2
4 1 0,
h
A A A
h
− − <
[ ]
1
2
1,2,3,4 2 1
2
3
1
.
2
b
r A iD
h
A
ξ
= ± − ±
2
2
3
2
3
;
2
Ab
h
A
α ξ
= −
1
3
2
3
.
2
Db
h
A
β ξ
=
( )
1
1
2
2
1,2,3,4 3 3
2 2
cos sin ,
2 2
k k
r i R i
ϕ π ϕ π
α β
+ +
= ± ± = ± ±
2 2
3 3
;
R
α β
= +
3
3
.
arctg
β
ϕ
α
=
1
2
4
2
cos ;
2
k
R
ϕ π
α
+
=
1
2
4
2
sin .
2
k
R
ϕ π
β
+
=
(
)
1,2,3,4 4 4
r i
α β
= ± ±
(
)
(
)
4 4
02 1 4 2 4 3 4 4 4
cos sin cos sin
x x
W e C x C x e C x C x
α α
β β β β
−
= + + −
2
1
1
3
;
2
Db
h
A
β ξ
=
3
2
1
3
2
D
b
h
A
β ξ
=
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ
И
СТРОИТЕЛЬНЫХ
НАУК
МОСКВА
–
ОРЕЛ
–
КУРСК
, 2011
74
_________________________________________________________________________________________________________________
Пластина находится в упругом контакте с вертикальной деформируемой пластиной.
Параметры горизонтальной пластины обозначим индексом (1), а вертикальной (2).
при
. (17)
Здесь
при
(18)
Рассмотрим решение задачи, используя соотношение (11), т.е. вариант I.
Подставим выражение (11) в граничные условия (17) и (18), получим однородную
систему, решение которой и определит общее решение задачи.
Имеем:
;
;
(19)
.
,
где
Не тривиальное решение системы однородных уравнений (19) приводит к трансцен-
дентному уравнению вида:
(20)
Используя равенство (16) для решения задачи (3), (17) и (18), т.е. решая вариант II, по-
лучим систему однородных уравнений вида:
;
.
x l
=
2
0 0
3 2 0
2
3 2
0 0 0
5 4 6 0
3 2
0;
0.
d W dW
K K W
dx dx
d W d W dW
K K K W
dx dx dx
+ + =
+ + + =
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1
1
33 13
2 1 55
1 1
1
33 13
3 2
;
7 4
A A b
K A
h
A A
ρ ξ
−
= −
−
( )
( ) ( )
(
)
( ) ( )
1 1
2
33 13
1
3 2 2 55
1 1
1
33 13
2
3
;
2
7 4
A A
b
K h A
h
A A
ρ ξ
−
=
−
( )
2
1
4 2 55
1
1
;
2
b
K A
h
ρ ξ
= −
( )
( )
( )
( )
2
12
551 11
5
2 1 2
2
11 55
2
;
3
Ah A
K
h
A A
=
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
1 1
1 1 11
6 33 13
2 1
2 1
33
2
.
3
h A b
K A A
h h
A
ρ
ξ
= − −
x l
= −
0
0
0.
dW
W
dx
= =
1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 2 1
cos sin cos sin 0
C l C l C l C l
β β β β
+ + + =
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 2 1 4 2 2 1
cos sin cos sin 0
C l C l C l C l
β β β β β β β β
+ + + =
(
)
(
)
(
)
2
1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 1 1 1
cos sin cos sin cos
C K l K l l C K l K l
β β β β β β β β
− − + + −
)
(
)
2 2
2 1 1 3 2 2 1 3 2 2 1 2 2 1
sin cos sin cosl C K l K l l
β β β β β β β
− + − − +
(
)
2
4 2 2 1 3 2 2 1 2 2 1
sin cos sin 0
C K l K l l
β β β β β
+ + − =
1
.
l
l
h
=
( ) ( )
{
( )
( ) ( )
(
)
}
2 2 2 2 2
2 1 4 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1 4 1 3 6 1 5 1 2 4 1 2
1
sin 2 cos
2
1
sin 2
2
K l l K K l l
l K K K K K K
β β β β β β β β
β β β β β β β β
− − − + +
+ − + − + −
(
)
}
3 2 2 2 2
1 2 3 1 2 2 1 2 1
sin 0.
K l
β β β β β β β
− + − =
4 1 4 1
2 2
1 4 1 2 4 1 3 4 1 4 4 1
cos sin cos sin 0
l l
С
l C l C e l C e l
α α
β β β β
− + + =
(
)
(
)
1 4 4 1 4 4 1 2 4 4 1 4 4 1
cos sin sin cosС l l С l l
α β β β α β β β
+ + − + +
{
(
4 1
2 2 2
1 4 4 1 4 4 4 1 4 4 1 3 4 4 1
cos 2 sin cos cos
l
e
С l l l K l
α
α β α β β β β α β
− − + −
(
)
(
)
(
)
( )
2 3
1 6 1 1 4 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1
2 3
2 6 1 1 4 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1
2 3
3 6 2 1 4 2 2 1 5 2 2 1 2 2 1
2 3
4 6 2 1 4 2 2 1 5 2 2 1 2 2 1
cos sin cos sin
sin cos sin cos
cos sin cos sin
sin cos sin cos 0
C K l K l K l l
C K l K l K l l
C K l K l K l l
C K l K l K l l
β β β β β β β
β β β β β β β
β β β β β β β
β β β β β β β
− − + +
+ + − − +
+ − − + +
+ + − − =
(
)
(
)
4 1
2
3 4 4 1 4 4 1 4 4 4 1 4 4 1
cos sin sin cos 0
l
e C l l
С
l l
α
α β β β α β β β
+ − + + − − =
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ
И
СТРОИТЕЛЬНЫХ
НАУК
МОСКВА
–
ОРЕЛ
–
КУРСК
, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
75
(21)
Результатом решения однородной системы уравнений (21) получим трансцендентное
уравнение вида:
(22)
где
В выражениях (20) и (22) представим тригонометрические и показательные функции в
виде степенного разложения, получим частотное выражение в виде алгебраического уравне-
ния любой необходимой степени.
Библиографический список
1. Филиппов, И.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и
стержней [Текст] / И.Г. Филиппов, В.Г. Чебан. – Кишинев. ШТИИНЦА, 1988. – 190 с.
2. Егорычев, О.О. Колебания плоских элементов конструкций [Текст] / О.О. Егорычев –
М: АСВ, 2005. – 239 с.
)
(
)
}
2
4 4 1 2 4 1 2 4 4 1 4 4 4 1
sin cos sin 2 cosl K l
С l l
β β β α β α β β
− + + + −
(
)
}
2
4 4 1 3 4 4 1 4 4 1 2 4 1
sin sin cos sinl K l l K l
β β α β β β β
− + + + +
2 2
3 4 4 1 4 4 4 1 4 4 1
cos 2 sin cos
С l l l
α β α β β β β
+ + − +
3 4
K
α
+ −
(
)
]
2
4 1 4 4 1 2 4 1 4 4 4 1
cos sin cos sinl l K l
С l
β β β β α β
− + + − +
(
)
]
2
4 4 4 1 4 4 1 3 4 4 1 4 4 1
2 cos sin sin cosl l K l l
α β β β β α β β β
+ + + − −
]
2 4 1
sin 0.
K l
β
− =
4 1 4 1
8 4
1
2
1 0,
l l
H
e e
H
α α
− − =
(
)
(
)
{
(
)
}
(
)
(
)
]
{
2 2 2 2 2
1 4 1 4 4 4 5 4 4 4 4 6 4 1 4 4
sin 2 3 cos 2H l K K K l
β α α β β α α β β β
= − + − + − + −
)
}
(
)
( )
]
{
( )
}
{
2 2 2
4 5 4 4 4 1 4 4 4 3 2 4
2 2 3
4 1 4 4 4 2 4 1 4 3 4 2
3 2 sin 2
cos2 sin 2
K K l K K
l K l K K K
α α β α β α α
β β α β β β
− + − + + + +
+ + − + + − +
{
( )
}
( )
2 2 2 2
4 1 4 4 3 4 1 4 4 4 4 5
cos2 2 sin 2l K l K
β β α β α β β α
+ − + − +
( )
{
}
4 4 6 4
K K
α α
− − +
(
)
( )
}
{
{
2 2 2 2
4 1 4 4 4 4 5 4 6 4 4 1 4 4 3 4 4
cos2 2 sin 2l K K l K K
β α β α β β β β α β α
+ + − − + + − + + +
(
)
(
)
}
(
)
{
2 2 2 2
4 1 4 4 5 4 4 4 6 4 4 1 4 4 4
cos 2 2 sin 2 3l K K l
β α β β α β α β α α β
+ + − − + − +
(
)
(
)
K+
(
)
(
)
(
)
{
(
2 2 2 2
5 4 4 4 4 6 4 1 4 4 4 5 4 4
cos2 3 2K K l K
α β α β β α β α β
− + + + − + +
]
}
(
)
(
)
{
(
)
}
2 2 2 2
4 4 4 1 4 4 4 3 2 4 4 1 4 2 4 4
sin 2 cos2 ;
K l K K l K
β β α β α α β β α β
+ + − + + − −
( )
(
)
{
(
)
2 2 2 5 2 2
2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 4 4
2 2H K K
β α β α β β β α β α β
= − + + − + − +
(
)
(
)
}
2 2 2 2
3 4 4 4 4 5 6 4 2 4 4 4 5 4 4
2 3 2 .
K K K K K K
β α β α β β α β α
+ + + − + − + +
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ
И
СТРОИТЕЛЬНЫХ
НАУК
МОСКВА
–
ОРЕЛ
–
КУРСК
, 2011
76
_________________________________________________________________________________________________________________
УДК
624.012
ЗАЙЦЕВ
Ю
.
В
.,
КАРЦЕВ
Н
.
В
.
(
Московский
государственный
открытый
университет
,
г
.
Москва
)
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ БЕТОНА
В УСЛОВИЯХ МНОГООСНОГО СЖАТИЯ
Значительная
часть
бетона
,
входящего
в
состав
гидротехнических
и
других
сооруже
-
ний
,
подвержена
трехосному
сжатию
.
Между
тем
,
имеющиеся
экспериментальные
данные
по
прочности
бетона
при
трехосном
сжатии
типа
σ
3
<
σ
2
=
σ
1
(
σ
1,2,3
<0),
характеризуемые
обычно
коэффициентом
эффективности
бокового
давления
:
*
2
*
3
σ
σ
пр
R
k
−
= , (1)
довольно
разноречивы
.
В
особенности
это
относится
к
области
небольших
значений
боково
-
го
обжатия
,
когда
по
одним
данным
величина
k
существенно
не
изменяется
по
сравнению
с
областью
больших
обжатий
и
лежит
в
пределах
4,0÷5,0,
а
по
другим
данным
эта
величина
при
малых
обжатиях
может
достигать
24,7÷28,0 [1, 2].
В
таких
условиях
особенно
остро
встает
вопрос
теоретической
разработки
проблемы
.
Настоящее
исследование
основано
на
анализе
методами
механики
разрушения
модели
бетона
в
виде
условно
-
однородной
матрицы
(
растворная
часть
)
со
случайно
расположенны
-
ми
включениями
(
зернами
заполнителя
)
в
форме
неправильных
многогранников
.
В
соответ
-
ствии
с
рядом
опытных
данных
[1, 2]
принято
,
что
на
контакте
матрица
-
заполнитель
еще
до
нагружения
имеются
начальные
трещины
.
Анализируется
поведение
цилиндрического
об
-
разца
,
к
которому
приложено
равномерное
гидростатическое
давление
σ
1
=
σ
2
и
осевая
на
-
грузка
σ
3
.
Задачу
можно
приближенно
свести
к
плоской
,
если
рассмотреть
развитие
трещин
в
вырезанной
из
цилиндра
тонкой
пластине
,
проходящей
через
ось
цилиндра
,
нагруженной
осевыми
напряжениями
σ
y
= q
и
боковым
давлением
σ
x
=
η
q,
где
η
= const (
простое
нагруже
-
ние
).
Напряженное
состояние
в
рассматриваемом
элементе
материала
согласно
[3]
может
быть
представлено
в
виде
суммы
напряженного
состояния
«0»
в
сплошной
пластине
с
вклю
-
чением
(
без
трещин
),
нагруженной
внешними
напряжениями
σ
x
и
σ
y
,
и
напряженного
состоя
-
ния
«1»
в
пластине
с
трещинами
.
На
первом
этапе
развития
трещин
пренебрегаем
их
взаимо
-
действием
.
Можно
показать
,
что
трещины
контактной
зоны
независимо
от
величины
боково
-
го
обжатия
начинают
развиваться
по
сдвиговому
механизму
.
Величина
требуемой
для
этого
внешней
нагрузки
примерно
соответствует
нижней
границе
трещинообразования
при
трех
-
осном
сжатии
R
T3
0
и
равна
[6]:
),,(
1
*
ηραπ
Dl
К
q
k
IIc
сдв
−=
, (2)
где
K
k
IIc
–
критический
коэффициент
интенсивности
напряжений
для
контактной
трещины
сдвига
(
постоянная
материала
); l
1
–
полудлина
начальной
трещины
;
α
–
угол
между
направ
-
лением
трещины
и
осью
O
y
;
ρ
–
коэффициент
трения
между
берегами
трещины
:
α
η
ρ
α
η
ρ
α
sin/),,(),,( AD
=
,
)cossinsin(cossin)1(),,(
''
0
3'2
ααηαρααηηρα
στ
kkkA −−−=
,
где
k
IIc
K
–
коэффициенты
концентрации
упругих
напряжений
у
границ
включения
для
напря
-
женного
состояния
«0».
При
характерных
для
бетона
значениях
ρ
(
ρ
=0,7÷0,9)
развитие
пер
-
вых
трещин
наиболее
вероятно
на
площадках
,
для
которых
α
=
α
*
≈
25
°
практически
независи
-
мо
от
величины
η
.
Это
положение
подтверждается
результатами
экспериментальных
иссле
-
дований
[1, 2].
В
то
же
время
сама
нагрузка
|q
*
сдв
|
≈
R
T
3
0
существенно
повышается
при
увели
-
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ
И
СТРОИТЕЛЬНЫХ
НАУК
МОСКВА
–
ОРЕЛ
–
КУРСК
, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
77
чении
η
.
Это
повышение
по
аналогии
с
(1)
может
быть
описано
введением
коэффициента
эффективности
бокового
давления
по
трещиностойкости
:
0
3
0
3
0
T
T
T
T
R
RR
k
η
−
=
, (3)
где
η
=
σ
2
/
σ
3
.
Из
(2)
и
(3)
следует
,
что
−=
)0,,(
),,(
1
1
ρα
ηρα
η
D
D
k
T
. (4)
Расчеты
по
формуле
(4)
показывают
,
что
k
Т
практически
не
зависит
от
η
;
при
α
=
α
*
и
при
характерном
для
бетона
ρ
(
ρ
=0,7÷0,9):
T
k
=3,5÷5,0. (5)
Следующий
этап
развития
трещин
характеризуется
их
выходом
в
матрицу
,
где
они
раз
-
виваются
вдоль
направления
σ
3
как
трещины
отрыва
при
достижении
нагрузкой
величины
:
),,(
2/3
1
*
ηραπ
DL
K
q
M
Ic
М
отр
−=
, (6)
где
L
1
–
полудлина
стороны
включения
,
где
расположена
трещина
.
Преимущественное
раз
-
витие
трещин
,
направленное
вдоль
действия
наибольшего
напряжения
сжатия
(
в
начальной
стадии
работы
материала
),
подтверждается
экспериментально
[1, 2].
Дальнейшее
развитие
трещин
отрыва
описывается
зависимостью
:
2
2
1
2
1
1
),,(
2
L
l
c
l
L
LK
q
M
Ic
ηηρα
π
π
−
−=
, (7)
где
l
2
–
длина
трещины
отрыва
в
матрице
;
),,(
5
2
),,(),,(
1
ηραηραηρα
BAc
+=
;
)coscossin(cossin)1(),,(
3''2'
αηααρααηηρα
σστ
kkkB +−−=
.
На
рисунке
1
представлена
зависимость
между
приведенной
внешней
нагрузкой
q
*
0
и
λ
–
общей
полудлиной
рассмотренной
трещины
(
1
l
и
21
lL
+
)
в
долях
от
L
1
.
При
построении
графика
принято
:
α
=30
°
;
675,0/ =
M
Ic
M
IIc
KK
;
0
=
η
;
1,0
;
2,0
.
Кривые
1
дают
значения
нагрузки
сдв
M
Ic
qKLq
*1
0
*
/
π
=
,
соответствующей
развитию
контактных
трещин
сдвига
.
Для
случая
η
=0,2
показана
также
кривая
2,
дающая
значения
нагрузки
отр
M
Ic
qKLq
*1
0
*
/
π
=
,
требуемой
для
образования
продольных
трещин
в
матрице
.
Начальные
трещины
контактной
зоны
вначале
в
длину
не
растут
(
вертикальные
линии
на
графике
при
λ
=
λ
1
),
а
при
достижении
нагрузки
q
1
происходит
их
перескок
до
достижения
трещиной
дли
-
ны
λ
=i.
При
нагрузке
q
2
происходит
новый
перескок
на
одну
из
кривых
3,
соответствующую
устойчивому
росту
продольных
трещин
.
Как
видим
,
наличие
бокового
давления
(
особенно
при
η
= 0,2)
существенно
повышает
нагрузки
q
1
и
q
2
,
требуемые
для
развития
начальных
трещин
и
для
их
перехода
в
матрицу
.
Еще
в
большей
мере
сказывается
сдерживающее
влия
-
ние
бокового
давления
на
рост
продольных
трещин
в
матрице
:
при
η
=0,1
длина
этих
трещин
(
кривая
3)
во
много
раз
меньше
по
сравнению
со
случаем
одноосного
сжатия
(
η
=0),
а
для
случая
η
= 0,2
образовавшиеся
при
нагрузке
продольные
трещины
уже
практически
не
рас
-
тут
.
Таким
образом
,
единственно
возможным
видом
разрушения
образца
с
системой
подоб
-
ных
трещин
является
развитие
трещин
по
сдвиговому
механизму
.
Дальнейшие
этапы
развития
трещин
описываются
аналогично
и
могут
быть
исследованы
методом
Монте
-
Карло
.
На
рисунке
2
для
одной
из
реализаций
этого
метода
(
при
η
=0,1)
приведе
-
ны
последовательные
этапы
развития
трещин
в
элементе
материала
,
вплоть
до
его
разрушения
.
На
рисунке
3 (
линия
Т
)
по
результатам
12
реализаций
построена
теоретическая
зависи
-
мость
коэффициента
эффективности
бокового
давления
k
от
относительной
величины
боко
-
вого
давления
|
σ
2
|/R
ПР
.
78
____________________________________________
Рисунок 1 –
Зависимость между приведенной внешней нагрузкой
и приведенной длиной трещины
начальных
контактных трещин сдвига
контактных трещин
Рисунок 2 –
Одна из реализаций мет
последовател
Использование
изложенного выше теоретич
венном
возрастании
в
области малых боковых давлений величины
объясняется
,
в
первую
очередь
витие
продольных
трещин
отрыва кривые на рисунке
При
увеличении
бокового давления значение трещин отрыва в общей картине разр
шения
уменьшается
,
и
ведущую роль начинают играть трещины сдвига ког
тие
обладает
меньшим
сдерживающим эффектом
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ И СТРОИТ
МОСКВА
____________________________________________
_____________________________________________________________________
Зависимость между приведенной внешней нагрузкой
и приведенной длиной трещины
λ: 1 – значение наг
рузки, соответствующей развитию
контактных трещин сдвига; 2
– значение н
агрузки, соответствующей выходу
в матрицу; 3 – значение н
агрузки, требуемой для развития
продольных трещин отрыва
Одна из реализаций мет
ода Монте-
Карло, иллюстрирующая
последовател
ьные этапы развития трещин в м
одели бетона
при трехосном сжатии
Использование изложенного
выше
теоретич
еского
подхода
свидетельствует
венном возрастании в области
малых
боковых
давлений
величины
k
.
Отмеченное явление
в первую очередь
,
сильным
сдерживающим
влиянием
бокового обжатия на ра
витие продольных трещин отрыва
(
кривые
3
на
рисунке
1).
При увеличении бокового
давления
значение
трещин
отрыва
в
общей картине разр
шения уменьшается и ведущую
роль
начинают
играть
трещины
сдвига
,
ког
тие обладает меньшим сдерживающим
эффектом
.
АРХИТЕКТУРЫ
И
СТРОИТ
ЕЛЬНЫХ
НАУК
МОСКВА
–
ОРЕЛ
–
КУРСК
, 2011
_____________________________________________________________________
Зависимость между приведенной внешней нагрузкой
q
*
0
рузки соответствующей развитию
агрузки соответствующей выходу
агрузки требуемой для развития
Карло иллюстрирующая
одели бетона
еского подхода свидетельствует
о
сущест
-
.
Отмеченное
явление
сильным сдерживающим влиянием бокового
обжатия
на
ра
з
-
При увеличении бокового давления значение трещин отрыва в
общей
картине
разр
у
-
шения уменьшается и ведущую роль начинают играть трещины сдвига
,
ког
да
боковое
обжа
-
РОССИЙСКАЯ
АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ И СТРОИТ
МОСКВА
–
ОРЕЛ
–
КУРСК
, 2011
_____________________________________
_______________________________________________
Рисунок 3 –
Зависимость между относительной величиной бокового давления
и коэффициентом интенсивности бокового давления
для включения в СНиП бетон класса В
Т –
теоретические результаты моделирование пове
сжатии методом Монте
Сравним
полученные
теоретические данные с имеющимис
Предварительно
заметим
,
что
в расчетах проведенных по изложенной выше методике было
выявлено
некоторое
влияние
исходной макроструктуры бетона и его прочности при одноо
ном
сжатии
R
ПР
на
характер
зависимости Существенное влияние
лось
ранее
в
[4],
где
,
на
основе анализа большого числа экспериментальных данных была
предложена
формула
:
пр
пр
R
р
RR
100
+=
,
где
*
3
σ
=R
;
*
2
σ
=p
,
т
.
е
.
пр
Rk /100=
.
Поэтому
,
при
анализе
существующих экспериментальных данных по трехосному
сжатию
будем
учитывать
различия в значениях
опыты
,
в
которых
при
неизменной методике испытания варьировалось не только боковое
давление
р
,
но
и
величина
R
ПР
проксимирующие
кривые
)
показаны различного вида пунктирными и штрих
линиями
на
рисунке
3,
где
цифры у кривых обозначают величину
Приведенные
данные
,
во
ти
малых
значений
|
σ
2
|/R
ПР
,
полученное теоретически и во
метном
влиянии
R
ПР
на
величину
формулами
(8), (9).
Представляется
целе
сообразным учесть оба отмеченных явления в нормах проектир
вания
бетонных
и
железобетонных конструкций гидротехнических сооружений
Поскольку
предлагаемые рекомендации являются одним из первых в практике а эк
периментальные
данные
дают
заметный разброс т
рожность
,
назначив
величину
k
ствующими
зависимостями
.
Влияние проектной марки бетона а вместе с ней и величины
R
ПР
)
на
данном
этапе
предлагается учесть упрощенно де
(1-
я
группа
–
класс
до
В
-40, 2
-
для
бетонов
1-
й
группы
показаны линией Р на рис
при
|
σ
2
|/R
ПР
≥
0,6,
промежуточные значения
значения
уменьшаются
на
1,0).
АРХИТЕКТУРЫ
И
СТРОИТ
ЕЛЬНЫХ
НАУК
_______________________________________________
_____________________________
Зависимость между относительной величиной бокового давления
и коэффициентом интенсивности бокового давления k:
Р1 –
зависимость, предлагаемая
для включения в СНиП (бетон класса В
-50 и ниже); Р2 – то же
класса В
теоретические результаты (моделирование пове
дения бетона при трехосном
сжатии методом Монте
-Карло); 1-5 – опытные данные [1-
5]
Сравним полученные теоретические
данные
с
имеющимис
я
экспериментальными
Предварительно заметим что
в
расчетах
,
проведенных
по
изложенной
выше методике было
выявлено некоторое влияние
исходной
макроструктуры
бетона
и
его
прочности при одноо
на характер зависимости
.
Существенное
влияние
R
ПР
на величину
лось ранее в где на основе
анализа
большого
числа
экспериментальных данных была
,
Поэтому при анализе
существующих
экспериментальных
данных по трехосному
сжатию будем учитывать различия
в
значениях
R
ПР
и
рассматривать
в
первую очередь такие
опыты в которых при неизменной
методике
испытания
варьировалось не только боковое
ПР
.
Результаты
подобных
экспериментов
по данным
проксимирующие кривые показаны
различного
вида
пунктирными
и
штрих
где цифры
у
кривых
обозначают
величину
R
ПР
(
МПа
Приведенные данные
,
во
-
первых
,
по
дтверждают
существенное
повышение
полученное
теоретически
и
,
во
-
вторых
,
свидетельствуют о з
на величину
k
,
причем
характер
этого
влияния
близок к установленному
сообразным
учесть
оба
отмеченных
явления
в нормах проектир
вания бетонных и железобетонных
конструкций
гидротехнических
сооружений
Поскольку предлагаемые
рекомендации
являются
одним
из
первых в практике а эк
периментальные данные дают
заметный
разброс
,
т
ребуется
проявить
определенную ост
k
близкой
к
нижним
границам
областей
,
занимаемых соотве
ствующими зависимостями
.
Влияние
проектной
марки
бетона
(
а
вместе с ней и величины
на данном этапе предлагается
учесть
упрощенно
,
де
лением
всех
бетонов на группы
-
я
группа
–
класс
В
-
40
и
выше
).
Предлагаемые рекомендации
й группы показаны
линией
Р
1
на
рис
унке
3 (k =
6,0
при
|
промежуточные
значения
–
по
интерполяции
;
для
бетонов
значения уменьшаются на
1,0).
_____________________________
79
Зависимость между относительной величиной бокового давления
σ
2
/R
зависимость, предлагаемая
класса В
-50;
дения бетона при трехосном
5]
я экспериментальными
.
Предварительно заметим что в расчетах проведенных по изложенной
выше
методике
,
было
выявлено некоторое влияние исходной макроструктуры бетона и его прочности
при
одноо
с
-
на
величину
k
отмеча
-
лось ранее в где на основе анализа большого числа экспериментальных
данных
,
была
(8)
(9)
Поэтому при анализе существующих экспериментальных данных
по
трехосному
и рассматривать в
первую
очередь
такие
опыты в которых при неизменной методике испытания варьировалось
не
только
боковое
Результаты подобных экспериментов
по
данным
[1
-2] (
ап
-
проксимирующие кривые показаны различного вида пунктирными и
штрих
-
пунктирными
МПа
).
дтверждают существенное
повышение
k
в
облас
-
вторых свидетельствуют
о
з
а
-
причем характер этого влияния близок
к
установленному
сообразным учесть оба отмеченных явления
в
нормах
проектир
о
-
вания бетонных и железобетонных конструкций гидротехнических сооружений
.
Поскольку предлагаемые рекомендации являются одним из первых
в
практике
,
а
эк
с
-
ребуется проявить
определенную
ост
о
-
близкой к нижним границам областей
,
занимаемых
соотве
т
-
ствующими зависимостями Влияние проектной марки бетона а вместе
с
ней
и
величины
лением всех
бетонов
на
2
группы
и выше Предлагаемые
рекомендации
при
|
σ
2
|/R
ПР
= 0
и
k = 3,6
по интерполяции для
бетонов
2
-
ой
группы