Васин С.А., Ушакова И.В. и др. Основы черчения и начертательной геометрии
Подождите немного. Документ загружается.
Лекция № 11.
План:
11.1. Главные линии плоскости
11.2. Прямая, перпендикулярная к плоскости
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
11.1. Главные линии плоскости
Кроме прямых линий общего положения, в плоскости отмечают три главные ли-
нии: горизонтальную (горизонталь), фронтальную (фронталь) и линию наибольшего на-
клона. Эти линии применяют как вспомогательные: они упрощают решение задач. Две из
них – горизонтальная и фронтальная – уже рассматривались.
*Необходимо добавить, что все горизонтальные линии плоскости параллельны ме-
жду собой, а их горизонтальные проекции параллельны горизонтальному следу плоскости
(рис. 62). Горизонтальный след плоскости – одна из горизонталей.
*Все фронтальные линии плоскости параллельны между собой, а их фронтальные
проекции параллельны фронтальному следу плоскости. Фронтальный след плоскости –
одна из фронтальных линий (рис. 63).
Рис. 62
Рис. 63
Линии наибольшего наклона плоскости
Прямую, лежащую в плоскости и имеющую наибольший угол с той или друго
плоскостью проекций, называют линией наибольшего наклона (ЛНН).
Линии наибольшего наклона плоскости перпендикулярны к ее следам или к лини-
ям уровня (либо к ее горизонталям, либо к фронталям, либо к ее профильным прямым)
(рис. 64).
В случае перпендикулярности к горизонтали определяется наклон к плоскости про-
екций H (при этом ЛНН называют линией наибольшего ската), перпендикулярности к
фронтали – наклон к плоскости проекций V, перпендикулярности к профильной прямой –
наклон к плоскости проекций W.
Рис. 64
На рис. 65, 66 дано изображение плоскости α (а || b), для которой требуется по-
строить линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций H.
Рис. 65
Проведем в данной плоскости горизонталь h (рис. 66). Прямая n, перпендикулярная
к прямой h, перпендикулярна и к следу плоскости α
H
(KL⊥H) (рис. ).
Угол наклона прямой n к плоскости H определяется как угол между прямой и ее
проекцией на плоскость H. Строим КК'⊥H (рис. 66). Тогда угол ϕ – искомый угол наклона
прямой n к плоскости H.
На рис. построена линия наибольшего наклона плоскости α к горизонтальной
плоскости проекций – прямая n. Угол наклона плоскости α к плоскости H получают при
определении натуральной величины отрезка КМ при построении прямоугольного тре-
угольника по проекциям K'M' и K”.
Рис. 66
11.2. Прямая, перпендикулярная к плоскости. Теорема о проецировании прямого угла
Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна к любой прямой этой
плоскости. На основании теоремы о проецировании прямого угла, а суть ее в следующем:
при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную вели-
чину (прямым) только в том случае, если одна из его сторон параллельна плоскости про-
екций, а другая – не перпендикулярна этой плоскости,
в качестве прямых плоскости общего положения удобнее всего использовать ее
линии уровня.
Поэтому, проводя перпендикуляр к плоскости, необходимо брать в этой плоскости
две такие прямые: горизонталь и фронталь.
Проекции прямой, перпендикулярной к плоскости, на комплексном чертеже пер-
пендикулярны
к соответствующим проекциям ее линий уровня, т.е. если прямая линия
перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция должна быть перпендикуляр-
на горизонтальной проекции горизонтали, а ее фронтальная проекция – фронтальной про-
екции фронтали (рис. 67) или соответствующим следам плоскости (рис. 68).
Рис. 67
Рис. 68
На рис. 69 изображена плоскость общего положения α (a|| b), к которой к которой
требуется провести перпендикулярную прямую.
Рис. 69
Проводим в данной плоскости горизонталь h (через точки 1,3) и фронталь v (через
точки 1,4) (рис. 69).
Затем из точки 1 проводим прямую n перпендикулярно к горизонтали и фронтали
плоскости следующим образом:
n' ⊥ h' n'' ⊥ h''
Построенная прямая n (n', n'') является искомым перпендикуляром к плоскости α.
Лекция № 12.
План:
12.1. Перпендикулярные плоскости
12.2. Перпендикулярные прямые
12.1. Перпендикулярные плоскости
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через пер-
пендикуляр к другой. Построение таких плоскостей может быть выполнено двумя путями:
1) плоскость проводится через перпендикуляр к другой;
2) плоскость проводится перпендикулярно прямой, принадлежащей другой плос-
кости.
На рис. 70 изображены прямая общего положения l и плоскость общего положения
α (а × b). Требуется построить через прямую l плоскость, перпендикулярную к плоскости
α.
Рис. 70
Для решения задачи необходимо через какую-нибудь точку данной прямой, на-
пример, точку М, провести перпендикуляр к плоскости α, заданной пересекающимися
прямыми a и b.
Проводим в плоскости α горизонталь h и фронталь v (рис. 70).
Далее из точки М, взятой на прямой l, опускаем перпендикуляр n, пользуясь рас-
смотренным выше положением: n' ⊥ h'; n'' ⊥ v'', т.е. горизонтальная проекция перпендику-
ляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная его
проекция – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 70).
Плоскость β (l × n), проходящая через прямую n, будет перпендикулярна к плоско-
сти α.
12.2. Перпендикулярные прямые
Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из
них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
На рис. 71 изображена прямая l общего положения, к которой требуется провести
перпендикулярную прямую.
Рис. 71
Через точку А прямой l строим перпендикулярную к ней плоскость α (h × v):
l' ⊥ h'; l'' ⊥ h'' (рис. 71).
Любая прямая, лежащая в плоскости α будет также перпендикулярна к данной
прямой l. Поэтому проведем в этой плоскости произвольную прямую t, на которой возь-
мем произвольную точку, например,
точку В (рис. 71).
Соединив точки А и В, лежащие в плоскости , получим прямую n, перпендикуляр-
ную к данной прямой l (рис. 71).
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1) Что называется линией наибольшего наклона плоскости?
2) Как определить угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проек-
ций?
3) Как отображается на комплексном чертеже взаимная перпендикулярность
прямой и плоскости?
4) Сформулировать необходимые и достаточные условия перпендикулярности
двух прямых общего положения.
5) При каких условиях перпендикулярны между собой две плоскости общего
положения?
6) Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой?
7) Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения?
8) Как построить взаимно-перпендикулярные плоскости?
Лекция № 13.
План:
13.1. Основы теории теней
13.2. Тени от точки, линии и плоской фигуры
13.2.1. Падающая тень от точки
13.2.2. Падающая тень от прямой линии
13.2.3. Тень от плоской фигуры
13.2.4. Тень от диска
ПОСТРОЕНИЕ ТЕНЕЙ
13.1. Основы теории теней
Нанесением теней пользуются для придания проекционным чертежам большей на-
глядности. Особенно широко используются тени при оформлении архитектурных проек-
тов, а также для решения ряда практических задач (например, для выявления освещенно-
сти наружных или внутренних частей сооружения при определенных условиях, для опре-
деления размеров сооружения по отбрасываемой им тени и т.п.).
Различают собственные и падающие тени.
СОБСТВЕННОЙ называется тень, которая получается на неосвещенной поверх-
ности предмета (или объекта) при освещении его каким-либо источником света (рис. 72).
Рис. 72
ПАДАЮЩЕЙ называется тень, отбрасываемая предметом на плоскости проекций,
или возникающая на поверхности предмета из-за того, что на пути лучей света располо-
жен другой предмет.
Если предмет освещается источником света, находящимся на конечном расстоянии
от него (факелом, лампой, свечой), то совокупность световых лучей, падающих на пред-
мет, образует конус или пирамиду. Такая тень называется ФАКЕЛЬНОЙ.
Если же источник света находится в бесконечности, то совокупность световых лу-
чей образует цилиндр или призму. Тень при этих условиях называется СОЛНЕЧНОЙ.
НАПРАВЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ. При построении теней в ортогональных
проекциях, направление l лучей света обычно принимают параллельным диагонали куба,
грани которого параллельны плоскостям проекций (рис. 73).
Рис. 73
Диагональ куба АВ образует с плоскостями проекций углы, равные 35
о
16', а проек-
ции ее наклонены к плоскостям H, V, и W под углом 45
o
.
При построении теней в аксонометрии, направление лучей света, параллельное
диагонали куба, не всегда дает удачное расположение светотеней; в таких случаях следует
выбрать другое направление, обеспечивающее выразительность чертежа.
13.2. Тени от точки, линии и плоской фигуры
13.2.1. Падающая тень от точки
Представим себе материальную точку А (рис. 74), расположенную в пространстве
над плоскостью Н, которая освещается световыми лучами, идущими из бесконечности па-
раллельно заданному направлению l. Точка А задержит один из них и отбросит теневой
луч, который пересечет плоскость Н в точке А
Т
'. Эта точка и будет являться тенью точки
А.
Иными словами, тень точки является следом теневого луча
.
Итак, чтобы построить тень, падающую от точки на какую-либо плоскость или по-
верхность, необходимо через данную точку провести прямую, параллельную направле-
нию лучей света, и определить точку пересечения этой прямой с плоскостью или поверх-
ностью, на которую падает тень.
На рис. 75а в ортогональных проекциях и на рис. 75б в аксонометрии построены
тени, падающие на плоскости Н, V и P(n × m) от точек А, В и С.