òâåðäîãî òåëà â îäíîýëåêòðîííîì ïðèáëèæåíèè îïðåäåëÿþòñÿ
êâàíòîâûìè ÷èñëàìè — âîëíîâûì âåêòîðîì
k
è íîìåðîì çîíû
s
.  ïåðèîäè÷åñêîì êðèñòàëëå ïîíÿòèå âîëíîâîãî âåêòîðà äî
-
âîëüíî ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïîíÿòèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà ýëåê
-
òðîíà â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîçíàêî
-
ìèòüñÿ ñ îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè âîëíîâûõ âåêòîðîâ â êðèñ
-
òàëëå, íåîáõîäèìî îêàçàòü íåñêîëüêî ñëîâ î òåîðèè ãðóïï. Îá
ýòîé àáñòðàêòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íàïèñàíî ìíîãî ïðå
-
âîñõîäíûõ ìîíîãðàôèé è ó÷åáíèêîâ. Ïðèìåíèòåëüíî ê ïðîá
-
ëåìàì ôèçèêè òâåðäîãî òåëà àïïàðàò òåîðèè ãðóïï èçëîæåí,
íàïðèìåð, â [4, 49] è ðÿäå äðóãèõ ó÷åáíèêîâ, öåëèêîì ïîñâÿ
-
ùåííûõ òåîðèè ãðóïï (íàïðèìåð, [59]). Òåîðèÿ ãðóïï, èñõî
-
äÿ èç ñâîéñòâ ñèììåòðèè ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû, ïîçâîëÿåò ñèñ
-
òåìàòèçèðîâàòü êðèñòàëëû ïî èõ ñèììåòðèè, êëàññèôèöèðî
-
âàòü ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ êàê èäåàëüíîãî êðèñòàëëà, òàê è
êðèñòàëëà ñ ïðèìåñíûì àòîìîì, îïðåäåëèòü ïðàâèëà îòáîðà
äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïåðåõîäà â ñèñòåìå ïîä äåéñòâèåì
âíåøíèõ âîçìóùåíèé. Çà ïîñëåäîâàòåëüíûì èçëîæåíèåì òåî-
ðèè ãðóïï ìû îòñûëàåì ÷èòàòåëÿ ê âûøåóïîìÿíóòûì ó÷åáíè-
êàì, à çäåñü íà ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ïðèìåðàõ ðàññìîòðèì íå-
êîòîðûå ñëåäñòâèÿ, øèðîêî ïðèìåíÿåìûå â ñïåêòðîñêîïèè.
Èíòåðåñóþùèå íàñ ãðóïïû ñèììåòðèè êðèñòàëëà ÿâëÿþò-
ñÿ ñîâîêóïíîñòÿìè îïåðàöèé ñèììåòðèè, ñîâìåùàþùèõ êðèñ-
òàëë ñàì ñ ñîáîé. Ïðè ýòîì êðèñòàëë ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèáî
êàê áåñêîíå÷íûé, ëèáî íà íåãî íàëàãàþòñÿ öèêëè÷åñêèå ãðà-
íè÷íûå óñëîâèÿ Áîðíà-Êàðìàíà, ñîãëàñíî êîòîðûì âñå âîë-
íîâûå ôóíêöèè ñ÷èòàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ñ ïåðèîäàìè, ìíî
-
ãî áîëüøèìè ïåðèîäîâ ðåøåòêè êðèñòàëëà è êðàòíûìè ïîñ
-
ëåäíèì.  îäíîìåðíîì ñëó÷àå öèêëè÷åñêèå óñëîâèÿ Áîðíà-
Êàðìàíà ýêâèâàëåíòíû çàìûêàíèþ äëèííîé öåïî÷êè àòîìîâ â
êîëüöî. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òðàíñëÿöèé êðèñòàëëà íà âåêòîðû
na a a=+ +nn n
11 22 3 3
, (4.3)
ãäå
a
1
,
a
2
,
a
3
— îñíîâíûå âåêòîðû òðàíñëÿöèé êðèñòàëëà, à
n
i
— öåëûå ÷èñëà, îáðàçóþò ãðóïïó òðàíñëÿöèé êðèñòàëëà.
Êðîìå òðàíñëÿöèé ñóùåñòâóþò îïåðàöèè ñèììåòðèè, ïåðåâî
-
äÿùèå ýêâèâàëåíòíûå âåêòîðû â êðèñòàëëå äðóã â äðóãà. Ýòè
îïåðàöèè ñèììåòðèè îáðàçóþò òî÷å÷íóþ ãðóïïó êðèñòàëëè
-
÷åñêîé ðåøåòêè.  òî÷å÷íóþ ãðóïïó ñèììåòðèè ìîãóò âõî
-
äèòü: èíâåðñèÿ, ïîâîðîòû âîêðóã îñè íà 60 è 90° è êðàòíûå èì
óãëû; îòðàæåíèÿ â ïëîñêîñòÿõ è íåêîòîðûå êîìáèíàöèè èç
ýòèõ ýëåìåíòîâ. Òî÷å÷íûå ãðóïïû êðèñòàëëîâ âñåãäà
64