Васильев А.Н., Михайлин В.В. Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I
Подождите немного. Документ загружается.
Ôóðüå-êîìïîíåíòàì ïî
t
, ïîëó÷àåì ñïåêòðàëüíûå õàðàêòå
-
ðèñòèêè, ìåäëåííî ìåíÿþùèåñÿ ñî âðåìåíåì
t
. Òàêîå äâîéíîå
ïðåäñòàâëåíèå â ïåðåìåííûõ âðåìÿ-÷àñòîòà âîçìîæíî â ñëó
-
÷àå ñóùåñòâåííîé ðàçíèöû õàðàêòåðíûõ âðåìåí ñèñòåìû.
Ìåäëåííàÿ çàâèñèìîñòü îò
t
áóäåò âûäåëÿòüñÿ îòäåëåíèåì ýòî
-
ãî àðãóìåíòà ôóíêöèé òî÷êîé ñ çàïÿòîé îò îñòàëüíûõ ïåðå
-
ìåííûõ. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âîçìóùåíèå ñèñòå
-
ìû âíåøíèì ïîëåì ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì, è âîçáóæäåííûå ñîñòîÿ
-
íèÿ ãàìèëüòîíèàíà
$
H
0
íå èçìåíÿþòñÿ.  ÷àñòíîñòè, ñî âðåìå
-
íåì íå ìåíÿþòñÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû
n
, èõ ýíåðãèè
E
n
è ìàò
-
ðè÷íûå ýëåìåíòû
D
nm
.
Åñëè ïåðåéòè ê Ôóðüå-êîìïîíåíòàì è ïðåäïîëîæèòü ìà
-
ëîñòü ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ
$
int
H
, òî èç (3.10) ìîæíî ïîëó
-
÷èòü óðàâíåíèå äëÿ èíäóöèðîâàííîé âíåøíèì ïîëåì äîáàâêè
ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:
()
()(;)
() () () (,
-++ =
=-
isi t
i
tt
nm nm
mn nm
wwdw
w
f
ff
ind
h
DrEr;) ,tdr
3
ò
ãäå âìåñòî
R
nm
èñïîëüçóåòñÿ åå äèàãîíàëüíîå ïðèáëèæåíèå, è
äëÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëîâ Ôóðüå â óðàâíåíèÿ äîáàâëåí ìà-
ëûé ðåëàêñàöèîííûé ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé
s ® 0
. Îòñþäà
ïîëíàÿ äîáàâêà ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
dw d w
ww
ff
ff
nm
(;) (;)
() ()
()
(
tt
tt
is
nm
nm
nm
nm
=+
=
-
+-
src
h
DrEr)(,;) .w tdr
3
ò
(3.23)
Íèæå â óðàâíåíèÿõ ìåäëåííàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè
t
áóäåò
÷àñòî îïóñêàòüñÿ.
Ó÷èòûâàÿ (3.15), ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîëÿðè
-
çàöèåé è ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì:
Pt
tE t d r P
i
ij j i
(, ;)
~
(,,;) (,;) (,
r
rr r r
w
aw w w
=
=
¢¢¢
+
ò
3src
;).t
(3.24)
Çäåñü ââåäåí òåíçîð ïîëÿðèçóåìîñòè
()
()
~
(, , ;) () ( )
() ()
(
aw
ww
ij i
mn
j
nm
nm
n
tD D
tt
is
rr r r
¢
=
¢
-
+-
ff
h
m
nm
)
.
å
(3.25)
50
Ïîëÿðèçàöèîííûé èñòî÷íèê
P
src
ñâÿçàí ñ èñòî÷íèêîì
df
nm
src
ôîðìóëîé, àíàëîãè÷íîé (3.15). Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (1.3),
ìîæíî ïîëó÷èòü òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ÷å
-
ðåç òåíçîð ïîëÿðèçóåìîñòè:
~~
epa
ij ij
=+14
.
 ôîðìóëå (3.24) ìîæíî ïåðåéòè ê Ôóðüå-êîìïîíåíòàì
ïî âîëíîâîìó âåêòîðó
k
:
PEdkP
iijji
(,)
()
(, ,) (, ) (,)w
p
aww wkkkk k=
¢¢¢
+
ò
1
2
3
3src
,
ãäå
()
()
~
(, ,)
() ( )
()
.
*
aw
ww
ij
i
mn
j
nm
nm
nm
n
DD
is
kk
kk
¢
=
=- -
¢
-
+-
ff
h
m
å
(3.26)
 ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîðîäíîé ñèñòåìå òåíçîð ïîëÿðèçó-
åìîñòè (3.25) çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè
rr-
¢
, â ñîîòâåòñòâèè
ñ ÷åì
~
(, ,) ( ) ( )
~
(,)awpdaw
ij ij
kk k k k
¢
=-
¢
2
3
. (3.27)
Åñëè, êðîìå òîãî, ñèñòåìà èçîòðîïíà,
~
(,)aw
ij
k
ñâîäèòñÿ ê ñóì-
ìå äâóõ òåíçîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëåí
d
ij
, à äðó-
ãîé —
kk
ij
k
2
(â èçîòðîïíîé ñèñòåìå íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü
íèêàêèõ äðóèõ òåíçîðîâ):
()
~~ ~
||
aa ad
ij ij ij ij
kk kk=+-
^
kk
22
, (3.28)
ãäå ââåäåíû äâà ñêàëÿðà: ïðîäîëüíàÿ
~
||
a
è ïîïåðå÷íàÿ
~
a
^
ïî
-
ëÿðèçóåìîñòè.  òàêîì ñëó÷àå, åñëè
~~
||
aa¹
^
, òî çàâèñèìîñòü
~
a
ij
îò
k
ñòàíîâèòñÿ íåàíàëèòè÷åñêîé â ïðåäåëå
k ® 0
. Óìíî
-
æàÿ (3.28) íà
kk
ij
è ïðîèçâîäÿ ñóììèðîâàíèå ïî
i
è
j
, ìîæíî
ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ïðîäîëüíîé ïîëÿðèçóåìîñòè
()
~
(,)
~
||
aw r
ww
k
k
=
-
+-
-
å
1
2
2
hk
is
nm
nm
nm
nm
ff
, (3.29)
ãäå áûëî èñïîëüçîâàíî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè (1.4), èç êî
-
òîðîãî äëÿ èçîòðîïíîé ñèñòåìû èç íåãî ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå
()() ()
~
r
nm nm nm
k
22
2
2
3
-- -
==
kk k
kD D
.
51
Äàëåå â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
~~
||
aa=
^
.  òàêîì ñëó÷àå
~~
aad
ij ij
=
, îòêóäà
()
~
(,)aw
ww
kD
k
=
-
+-
-
å
1
3
2
h
nm
nm
nm
nm
is
ff
. (3.30)
Ïîñêîëüêó â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèÿìè (3.27) äåëüòà-
ôóíêöèÿ
d()kk-
¢
óæå âûäåëåíà èç ïîëÿðèçóåìîñòè, îáîçíà÷å
-
íèå
()
K
2
-k
â óðàâíåíèÿõ (3.29) è (3.30) èìåþò òîò æå
ñìûñë, ÷òî è ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü
()x
2
w
â ôîðìóëå (3.19),
òî åñòü ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ïåðåä ñîîòâåòñòâóþùåé
äåëüòà-ôóíêöèåé, íàïðèìåð,
()( )
()
~
()
~
() ()( )
~
*
rr pdr--
¢
=-
¢
-
kk kk
k
nm nm
nm
2
3
2
.
 òàêèõ îáîçíà÷åíèÿõ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü
ïðèíèìàåò âèä
()
~
(,)ew
p
ww
kD
k
=+
-
+-
-
å
1
4
3
2
h
nm
nm
nm
nm
is
ff
. (3.31)
Åå ìíèìàÿ ÷àñòü ðàâíà
()
ew
p
dw w
2
2
(,) ( )( )kD
k
=+ - -
-
å
1
4
3
2
h
nm m n nm
nm
ff
. (3.32)
Ìåíÿÿ èíäåêñû, ïî êîòîðûì ïðîèñõîäèò ñóììèðîâàíèå,
nm«
, è èñïîëüçóÿ î÷åâèäíîå ñîîòíîøåíèå
ww
nm mn
=-
, ëåã
-
êî ïîêàçàòü íå÷åòíîñòü ìíèìîé ÷àñòè
~
e
è ÷åòíîñòü äåéñòâè
-
òåëüíîé:
~
(,)
~
(,)
*
ew e wkk=--
. Îáîáùåíèå ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ íà
àíèçîòðîïíûé ñëó÷àé èìååò âèä:
~
(,)
~
(,)
*
ew e w
ij ji
kk=--
.
 íåðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè ñèñòåìà â îáùåì ñëó÷àå íåîä
-
íîðîäíà è íåèçîòðîïíà.  òàêîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî èñïîëüçî
-
âàòü îáùåå âûðàæåíèå
()
()
~
(, , ;) ( )
() ( )
() (
ewd
p
ij
i
mn
j
nm
nm
t
DD
t
rr r r
rr
¢
=-
¢
+
+
¢
-
4
ff
t
is
nm
nm
)
()h ww+-
å
(3.33)
52
â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè è ôîðìóëó, àíàëîãè÷íóþ
(3.26) â ïðåäñòàâëåíèè âîëíîâûõ âåêòîðîâ. Îòëè÷èå íåðàâíî
-
âåñíîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè îò ðàâíîâåñíîé îïè
-
ñûâàåò öåëûé ðÿä ýôôåêòîâ, â ÷àñòíîñòè, íàâåäåííîå ïîãëî
-
ùåíèå.
Íàëè÷èå
k
2
â çíàìåíàòåëå óðàâíåíèÿ (3.29) ñâÿçàíî ñ ýê
-
ðàíèðîâàíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, åñëè
()
lim
~
k0
k
®
-
¹r
nm
2
0
. (3.34)
 òàêîì ñëó÷àå â äëèííîâîëíîâîì ïðåäåëå çíàìåíàòåëü ïåðâî
-
ãî ÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.5) íå çàâèñèò îò
k
,è
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà ïàäàåò áûñòðåå ëþáîé
ñòåïåíè ðàññòîÿíèÿ (â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ýêñïîíåíöèàëü
-
íî). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé
ïðåäåë (3.34) ðàâåí íóëþ. Òåì ñàìûì ýêðàíèðîâàíèå êóëî-
íîâñêîãî ïîëÿ íàïðÿìóþ ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì äåëîêàëèçîâàí-
íûõ âîçáóæäåíèé, íàïðèìåð, ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ.
3.3 Ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííàÿ òåîðåìà
Äëÿ äàëüíåéøåãî îáñóæäåíèÿ íåîáõîäèìî âûðàçèòü
ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ÷åðåç ôëóêòóàöèè ìàòðèöû ïëîòíîñòè.
Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííóþ âûøå ôîðìóëó (3.18) äëÿ êîððåëÿ-
òîðà
df
nm
src
, ìîæíî ïîëó÷èòü
()
()
dd p dw w
w
PP D
k
k
,
() ()
src
=- +
-
å
nm nm n m
nm
2
ff
. (3.35)
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (1.7) ïîëó÷àåì ñïåêòðàëüíóþ ïëîò
-
íîñòü ôëóêòóàöèé ïðîäîëüíûõ êîìïîíåíò ïîëÿ
Ekk
||
(,)||w
:
()
()
dd
p
r
ew
dw w
w
EE
k
|| ||
k
k
,
~
~
(,)
()( )
=
=+-
-
16
3
2
2
2
k
nm
nm nm
n
ff
m
å
(3.36)
è ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ôëóêòóàöèé ïîïåðå÷íûõ êîìïî
-
íåíò
Ekk
^
^(,)w
(òàêèõ êîìïîíåíò äâå, è îíè âçàèìíî ïåð
-
ïåíäèêóëÿðíû):
53
()
()
dd
2p
ew w
dw
w
EE
D
kk
k
k
^^
-
=
=
-
+
,
~
(,)
()(
src
3
3
3
2
22 2
2
nm
nm
c
ff -
å
w
nm
nm
).
(3.37)
Ýòè ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè ôóíêöèÿìè
÷àñòîòû
w
. Ôîðìóëû (3.36) è (3.37) îïèñûâàþò ôëóêòóàöèè
íå òîëüêî â ðàâíîâåñíîé ñðåäå, íî òàêæå è â ñðåäå, íàõîäÿ
-
ùåéñÿ â íåðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè (íî äîñòàòî÷íî áëèçêî îò
ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ, ÷òî áîëåå ïîäðîáíî ðàññìîòðåíî â
[48]). Ýòè ôîðìóëû ñïðàâåäëèâû, åñëè íåðàâíîâåñíîå ñîñòîÿ
-
íèå îäíîðîäíî è èçîòðîïíî.
Ôîðìóëû (3.35)—(3.37) ìîãóò áûòü îáîáùåíû íà íåîä
-
íîðîäíûé ñëó÷àé â ïðèáëèæåíèè îòñóòñòâèÿ ïðîñòðàíñòâåí-
íîé äèñïåðñèè, òî åñòü êîãäà
~
(,)
~
()ew ewk =
.  òàêîì ñëó÷àå êî-
îðäèíàòíàÿ çàâèñèìîñòü êîððåëÿòîðà êîìïîíåíò ýëåêòðè÷åñ-
êîãî ïîëÿ èìåþò âèä
EtE t
dr dr K K
ij
ik jl
(,;) (, ;)
()(
*
*
ww
p
w
rr
rr r
¢
=
=-
¢
òò
3
1
3
21
()
()
()
-´
´- +
å
r
Dr Dr
2
12
)
()() ()()(),dw w
nm
nm
nm
k
mn
*
l
mn
ttff
(3.38)
ãäå ÿäðî
K
ij
()r
îïðåäåëåíî ñîîòíîøåíèåì (1.12) è âêëþ÷àåò â
ñåáÿ êâàçèñòàöèîíàðíîå ïîëå äèïîëÿ è ïîïåðå÷íîå ïîëå èçëó
-
÷åíèÿ ýòîãî äèïîëÿ.
 ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ
f
n
0
îïèñûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì
Ãèááñà (3.12), îòêóäà ëåãêî ïîëó÷èòü
()()
ff ff
mn mn
nm
B
kT
00 00
2
+=-cth
hw
. (3.39)
Ïîäñòàíîâêà ýòîãî âûðàæåíèÿ â (3.36) è (3.37) ïðèâîäèò ê ñî
-
îòíîøåíèÿì Êàëëåíà—Âåëòîíà (ñì., íàïðèìåð, [53]):
54
()
dd
pe w
ew
w
p
e
w
EE
k
k
|| ||
k,
(,)
~
(,)
Im
~
==
=-
4
2
4
1
2
2
h
h
h
cth
kT
B
(,)
,
w
w
k
æ
è
ç
ö
ø
÷
cth
h
2kT
B
(3.40)
()
dd
pe w
ew w
w
p
w
EE
k
kk
k
^^
=
-
=
=
,
(,)
~
(,)
I
8
2
8
2
22 2
2
h
h
h
c
kT
B
cth
m
~
(,)
.-
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1
2
22 2
ew w
w
kkc
kT
B
cth
h
(3.41)
Ýòè ñîîòíîøåíèÿ âûðàæàþò ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîí
-
íóþ òåîðåìó äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ñðåäå.
 ñîîòíîøåíèÿ (3.40), (3.41) âõîäèò ãèïåðáîëè÷åñêèé
êîòàíãåíñ, êîòîðûé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
cth
h
h
w
w2
2
1
2
1
1kT kT
BB
=+
-
é
ë
ê
ù
û
ú
exp( )
. (3.42)
Ïåðâûé ÷ëåí â ýòîé ñóììå ñîîòâåòñòâóåò íóëåâûì êîëåáàíèÿì
ïîëÿ, à âòîðîé ÷ëåí ñîîòâåòñòâóåò ðàñïðåäåëåíèþ Áîçå äëÿ
ôîíîíîâ.
Ôëóêòóàöèè ïðîäîëüíîãî ïîëÿ îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî
äëÿ òàêèõ ÷àñòîò, äëÿ êîòîðûõ ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòè íå îáðàùàåòñÿ â íîëü. Êðîìå òîãî, ôëóêòóà-
öèè ðåçêî âîçðàñòàþò, êîãäà
~
e
ïðèáëèæàåòñÿ ê íóëþ. Ýòî ñî
-
îòâåòñòâóåò ôëóêòóàöèîííîìó âîçáóæäåíèþ ïëàçìîííûõ ìîä
(ñì. âûðàæåíèå (1.13) è ïàðàãðàô 2). Ôëóêòóàöèè ïîïåðå÷
-
íîãî ïîëÿ íå ðàâíû íóëþ äàæå ïðè
e
2
0=
, òî åñòü â îáëàñòè
ïðîçðà÷íîñòè âåùåñòâà. Âû÷èñëÿÿ ïðåäåë, ñîîòâåòñòâóþùèé
îáðàùåíèþ â íîëü çíàìåíàòåëÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.14), ïîëó
-
÷àåì
()
Im
()
()
()
-
+× -
é
ë
ê
ù
û
ú
=
=-
1
0
2
1
22 2
ew w w
pw
w
dww
ic
cn
nc
sign k
k
()
[]
++dwwk nc() ,
(3.43)
ãäå
n() (,)wew=
1
0
— ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ (1.10) â
55
îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè. Èíòåãðèðóÿ ïî âñåì âîëíîâûì âåêòî
-
ðàì, ìîæíî ïîëó÷èòü
() ()
2
1
2
2
81
2
1
1
3
3
3
3
EE EE
k
^^ ^^
==
=+
-
ò
ww
p
w
w
()
exp( )
,
dk
n
c
kT
B
h
h
é
ë
ê
ù
û
ú
.
Êîýôôèöèåíò 2 ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà òîãî, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå
ïðîâîäèòñÿ òîëüêî ïî ïîëîæèòåëüíûì ÷àñòîòàì. Ó÷èòûâàÿ,
÷òî íà èíòåðâàë
dw
ïðèõîäèòñÿ ýíåðãèÿ (ñì. [54])
1
8
22
2p
we
w
w
p
ww
()
()
()EE HH
^^ ^ ^
+
é
ë
ê
ù
û
ú
d
d
d
,
è, êðîìå òîãî, â ïîïåðå÷íîé âîëíå
HE= n
, ïîëó÷àåì, ÷òî
ýíåðãèÿ
U
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè
ïðè òåìïåðàòóðå
T
â åäèíèöå îáúåìà â ÷àñòîòíîì èíòåðâàëå
dw
ðàâíà
d
d
e
n
c
dn
d
kT
B
U
w
www
p
w
w
w
=+
-
é
ë
ê
ù
û
ú
hh
h
2
1
22
23
()
.
Ýòî âûðàæåíèå ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèè ÷åðíîãî èçëó÷åíèÿ â
ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ
n()w
ñ ó÷åòîì íóëåâûõ êîëå-
áàíèé (ñì. [55]).
 íåðàâíîâåñíîì ñëó÷àå ôëóêòóàöèè ïîëÿ (3.36), (3.37)
îòëè÷àþòñÿ îò ðàâíîâåñíûõ (3.40), (3.41) èç-çà îòëè÷èÿ ôóí
-
êöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
f
n
îò ðàâíîâåñíîé
f
n
0
. Ýòî îòëè÷èå âõî
-
äèò â ôîðìóëû (3.36) è (3.37) íå òîëüêî ÿâíûì îáðàçîì, íî
òàêæå è ÷åðåç îòëè÷èå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè (3.31)
îò ðàâíîâåñíîé. Ëþìèíåñöåíöèÿ òâåðäûõ òåë êàê ðàç è ÿâëÿ
-
åòñÿ ïðåâûøåíèåì ôëóêòóàöèé ïîïåðå÷íîãî ïîëÿ íàä óðîâ
-
íåì òåïëîâûõ ôëóêòóàöèé.
3.4 Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå â ïîëÿðèçàöèîííîì
ïðèáëèæåíèè
Èç óðàâíåíèé (3.10) ìîæíî ïîëó÷èòü êèíåòè÷åñêîå óðàâ
-
íåíèå äëÿ ôóíêöèè
f
n
. Ïîñëå óñðåäíåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâ
-
íåíèé (3.10) äëÿ äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíò ìàòðèöû ïëîòíîñ
-
òè ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå
f
n
, ñîêðàùàþòñÿ, è îñòàþòñÿ òîëüêî
56
ñðåäíèå çíà÷åíèÿ òèïà
$
int
Hfd
mn
. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ
ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ (3.15), ìîæíî ïîëó÷èòü êèíå
-
òè÷åñêîå óðàâíåíèå
¶
¶
d
f
f
n
nm mn n
m
t
tdrIt=º
ò
å
2
3
h
Im ( , ) ( ) ( )Er D r
, (3.44)
ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
It
n
()
äëÿ èíòåãðàëà ñòîëêíîâåíèé.
Ïîäñòàâëÿÿ (3.23) â (3.44), ìîæíî çàïèñàòü èíòåãðàë ñòîëê
-
íîâåíèé ÷åðåç ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ôëóêòóàöèé ïîëÿ:
()
I
V
ddk
nnmnm
m
=-´
-
ò
å
32
22
3
2
h ()
()
p
wdwwD
k
[]
´+
ì
í
î
--
^^
()( )()dd d d
ww
EE E E
|| ||
kk
ff
mn
---
-
é
ë
ê
ù
û
ú
+
ü
ý
ï
þ
ï
4
12
22 2
p
ew
ew w
h Im
~
(,)
~
(,)
().
k
kkc
mn
ff
(3.45)
 îòëè÷èå îò âûðàæåíèé äëÿ ýíåðãèè ïîëÿ, èíòåãðèðîâàíèå
ïî ÷àñòîòàì
w
ïðîèçâîäèòñÿ â ïðåäåëàõ îò
-¥
äî
¥
. Ïåðâûé
÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ ñîîòâåòñòâóåò âçàèìîäåéñòâèþ ñ
ïðîäîëüíûì ïîëåì, â òî âðåìÿ êàê âòîðîé – ñ ïîïåðå÷íûì ïî-
ëåì. Ïîñêîëüêó ñîîòíîøåíèÿ (3.40), (3.41) óäîâëåòâîðÿþòñÿ
â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè, òî, ó÷èòûâàÿ (3.42), ïîëó÷àåì, ÷òî
â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé
I
n
îáðàùàåò
-
ñÿ â íîëü.
×òîáû ðàçäåëèòü âêëàäû â èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé, âîç
-
íèêàþùèå èç-çà èíäóöèðîâàííûõ ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ïåðå
-
õîäîâ îò ñïîíòàííûõ ïåðåõîäîâ, íåîáõîäèìî âû÷åñòü âêëàä
íóëåâûõ êîëåáàíèé èç îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ýëåêòðî
-
ìàãíèòíîãî ïîëÿ:
ps
p
dd
ew
ew w
wwkk
EE
k
kk
=-
-- -
-
é
ë
ê
ù
1
4
12
22 2
()
Im
~
(,)
~
(,)
h
c
û
ú
sign w.
(3.46)
Ïîäñòàíîâêà ïëîòíîñòè íóëåâûõ êîëåáàíèé â (3.45) äàåò
57
()
{
I
V
ddk
nnmnm
m
mn
=-´
´---
-
ò
å
3
2
1
2
3
2
h
h
p
wdww
ps
w
D
k
k
()
()Imff
()
}
~
(,)
~
(,)
()()
ew
ew w
qw qw
k
kk
-
-
é
ë
ê
ù
û
ú
´
´-+ º
2
22 2
c
mnmnnm
ff
[]
º --
ì
í
î
+
+-+
<
å
ò
ddk B A
BA
m
n
mn m
n
n
mn
m
n
mn
ws
s
w
w
3
k
k
()
()
ff f
ff
[]
m
n
m
mn
f
>
å
ü
ý
þ
.
(3.47)
Çäåñü ìû ââåëè êîýôôèöèåíòû Ýéíøòåéíà
A
m
n
è
B
m
n
, õàðàêòå-
ðèçóþùèå ñîîòâåòñòâåííî ñïîíòàííûå è èíäóöèðîâàííûå
ïðîöåññû:
()
B
m
n
nm nm
=-
-
1
3
2
2
h
D
k
dw w(),
()
A
c
m
n
nm nm
=-´
´- -
-
-
2
3
12
2
22
hp
dw w
ew
ew w
D
k
kk
k
()
Im
~
(,)
~
(,)
2
é
ë
ê
ù
û
ú
.
Ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ ïî
n
è
m
çàïèñàí â ïðåäïîëîæåíèè,
÷òî ýíåðãèè
E
n
ðàñòóò ñ ðîñòîì
n
. Èíäóöèðîâàííûå ïðîöåññû
âûçûâàþòñÿ êàê âíåøíèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, òàê è
ðàâíîâåñíûìè è íåðàâíîâåñíûìè êîëåáàíèÿìè ïîëÿ.
Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü è ïëîòíîñòü ýíåðãèè
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â óðàâíåíèÿõ (3.45) è (3.47) óñðåä
-
íÿþòñÿ ïî àíñàìáëþ ñèñòåì ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
f
n
.Íî
ýòà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîÿâëÿåòñÿ â èíòåãðàëàõ ñòîëêíî
-
âåíèÿ åùå â îäíîì ìåñòå ÿâíûì îáðàçîì. Íåçàâèñèìîå óñðåä
-
íåíèå âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè òî÷êè èçëó÷åíèÿ è ïîã
-
ëîùåíèÿ âèðòóàëüíûõ ôîòîíîâ ïðèíàäëåæàò ðàçëè÷íûì ñòà
-
òèñòè÷åñêè íåçàâèñèìûì ïîäñèñòåìàì. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì
ïðèáëèæåíèè âñÿ ñèñòåìà ðàçáèâàåòñÿ íà ïîäñèñòåìû, êîòî
-
ðûå ìîãóò âçàèìîäåéñòâîâàòü ìåæäó ñîáîé òîëüêî ïóòåì
58
îáìåíà ôîòîíàìè. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
f
n
â ýòîì ñëó÷àå
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ýòèõ ïîäñèñòåì, à íå äëÿ
âñåé ñèñòåìû â öåëîì.
Èíòåãðàë ñòîëêíîâåíèé ìîæåò áûòü òàêæå çàïèñàí â ôîð
-
ìå èíòåãðàëà ñòîëêíîâåíèé Áîëüöìàíà, åñëè â (3.45) ïîäñòà
-
âèòü âûðàæåíèÿ (3.32), (3.36) è (3.37):
()()
I
V
ddk
nnmnm
mn m
nm
=´
´- -
-
¢¢
-
¢¢
ò
å
4
9
2
3
22
p
w
dw w dw w
h
DD
kk
()(
¢¢
¢
+
-
é
ë
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
´
´-
nm
mn
c
)
~
(,)
~
(,)
12
2
22 2
2
ew
ew w
k
kk
ff f
()
}
¢
mn
f .
(3.48)
 òàêîé ôîðìóëèðîâêå ïîëå èñêëþ÷àåòñÿ èç èíòåãðàëà ñòîëê-
íîâåíèé, è ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ (ñòîëêíîâåíèÿ) áîëåå ÿâíûì
îáðàçîì îïèñûâàåòñÿ â òåðìèíàõ îáìåíà ïðîäîëüíûìè (ïåð-
âûé ÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ) èëè ïîïåðå÷íûìè (âòîðîé
÷ëåí) ôîòîíàìè. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà, íàïðèìåð, ïåðåõî-
äèò èõ ñîñòîÿíèÿ
n
â ñîñòîÿíèå
m
, èñïóñêàÿ ôîòîí ñ ýíåðãèåé
hhww=
nm
è èìïóëüñîì
hk
, ïîñëå ÷åãî ýòîò ôîòîí ïîãëîùàåòñÿ
äðóãîé ÷àñòüþ ñèñòåìû, ïåðåõîäÿùåé èç ñîñòîÿíèÿ
¢
m
â
¢
n
.
Äðóãèå âîçìîæíûå ïðîöåññû èçîáðàæåíû íà ðèñ. 7.
Ôîðìóëû (3.47) è (3.48) ïðèâîäÿò ê ðàçëè÷íûì èíòåðï-
ðåòàöèÿì ïðîöåññîâ, îïèñûâàåìûõ èíòåãðàëîì ñòîëêíîâåíèé.
Ïåðåõîäû, ïðèâîäÿùèå ê èñïóñêàíèþ è ïîñëåäóþùåìó ïîãëî
-
ùåíèþ ôîòîíîâ, ÿâíûì îáðàçîì âûäåëÿþòñÿ â ôîðìå (3.48)
èíòåãðàëà ñòîëêíîâåíèé. Ôîòî
-
íû, ó÷àñòâóþùèå â ýòèõ ïðîöåñ
-
ñàõ, äîëæíû áûòü ïîãëîùåíû èëè
èñïóùåíû â ðàññìàòðèâàåìîé êîí
-
äåíñèðîâàííîé ñðåäå, è íå ìîãóò
ïîêèíóòü åå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â
èíòåãðàëå ñòîëêíîâåíèé â ôîðìå
(3.47) ïðîèñõîæäåíèå ïîãëîùàå
-
ìûõ ôîòîíîâ (â ÷ëåíàõ, îïèñûâà
-
þùèõ èíäóöèðîâàííûå ïðîöåññû)
èëè ñóäüáà èñïóùåííûõ ôîòîíîâ
(â ÷ëåíàõ, îïèñûâàþùèõ ñïîíòàí
-
íûå è èíäóöèðîâàííûå ïðîöåññû)
59
n
m
n'
m'
w,k
w,k
w,k
w,k
n
n
n
m
m
m
n'
n'
n'
m'
m'
m'
à
á
â
ã
Ðèñ. 7. Ðàçëè÷íûå ïðîöåñ
-
ñû, âíîñÿùèå âêëàä â èíòåã
-
ðàë ñòîëêíîâåíèé (3.48)