Васильев А.Н., Михайлин В.В. Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I
Подождите немного. Документ загружается.
SAn
c
x
chhw
w
p
kw
=-
æ
è
ç
ö
ø
÷
2
8
2
exp
. (3.4)
Ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ âåùåñòâà ñ òàêîé ýëåêòðîìàã
-
íèòíîé âîëíîé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
$
cos( )
$
int
H =-
-
å
e
mc
Ae t nxc
xc
ii
i
i
wk
ww ep
, (3.5)
ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ýëåêòðîíàì ñ íîìåðàìè
i
. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ïðîèñõîäèò
òîëüêî ñ ýëåêòðîííîé ïîäñèñòåìîé (
å
— âåëè÷èíà çàðÿäà
ýëåêòðîíà,
m
— åãî ìàññà). Íåïîñðåäñòâåííîå âçàèìîäåéñòâèå
ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ñ èîííîé ïîäñèñòåìîé íå ó÷èòûâàåò
-
ñÿ. Ýòî âîçìîæíî, åñëè íå ðàññìàòðèâàòü èíôðàêðàñíóþ îá
-
ëàñòü ñïåêòðà, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò ïðÿìîå ïðåâðàùåíèå ôî-
òîíà â ïîëÿðèçàöèîííûé ôîíîí.
Èñïîëüçîâàíèå òåîðèè âîçìóùåíèé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî èç-
âåñòíû îñíîâíîå ñîñòîÿíèå è âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòå-
ìû, îïèñûâàåìîé ãàìèëüòîíèàíîì
$
H
0
. Êàæäîå èç ýòèõ ñîñòî-
ÿíèé õàðàêòåðèçóåòñÿ íàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë, êîòîðûé ìû
áóäåì îáîçíà÷àòü îäíîé áóêâîé, íàïðèìåð,
i
äëÿ íà÷àëüíîãî
ñîñòîÿíèÿ
i
ñèñòåìû èëè
f
äëÿ êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ
f
. Íèæå
÷àùå âñåãî áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äèðàêîâñêèå îáîçíà÷åíèÿ
âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé (ñ èñïîëüçîâàíèåì óãëîâûõ ñêîáîê), íî â
íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ áóäóò âûïèñûâàòüñÿ ïîëíûå øðåäèíãå-
ðîâñêèå âîëíîâûå ôóíêöèè, â òîì ÷èñëå èõ ÿâíàÿ çàâèñèìîñòü
îò êîîðäèíàò ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.
Ñðåäè êâàíòîâûõ ÷èñåë, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò ñîñòîÿ
-
íèÿ ñèñòåìû ñ íåâîçìóùåííûì ãàìèëüòîíèàíîì
$
H
0
, ÷àñòî
óäîáíî âûäåëèòü ýíåðãèþ ñîñòîÿíèÿ
E
a
(äëÿ ñîñòîÿíèÿ
a
)è
ïîëíûé èìïóëüñ
P
a
.  ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîé îäíîðîäíîé ñèñ
-
òåìû ýíåðãèÿ è èìïóëüñ, ñîîòâåòñòóþùèå ñîáñòâåííûì ñîñòî
-
ÿíèÿì ãàìèëüòîíèàíà, ñîõðàíÿþòñÿ è ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè
êâàíòîâûìè ÷èñëàìè. Âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ
ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ çíà
-
÷åíèé ýíåðãèè è ïîëíîãî èìïóëüñà íå èìååò òî÷íîãî ðåøåíèÿ.
Ðàçðàáîòàíî áîëüøîå ÷èñëî ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ èõ íà
-
õîæäåíèÿ. Çäåñü ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòà ïðîáëåìà
óæå ðåøåíà, è èçâåñòåí ïîëíûé íàáîð ñîñòîÿíèé
a
ñèñòåìû,
ñîòâåòñòâóþùèå ãàìèëüòîíèàíó
$
H
0
, íå âîçìóùåííîìó
40
âíåøíèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì.
 ïîëóêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
òâåðäîå òåëî íàõîäèòñÿ â îäíîì èç ñîñòîÿíèé
i
, è ïåðåõîä
ïðîèñõîäèò â äðóãîå ñîñòîÿíèå
f
ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ
i
â ñîñòîÿíèå
f
ïîä äåéñòâèåì âîçìóùåíèÿ (3.5) ìîæíî âû
-
÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ «Çîëîòîå ïðàâèëî Ôåðìè»:
wfiEE
e
mc
Af e
if f
i
inx c
j
=-+=
=
-
2
2
1
2
2
222
2
pdw
p
w
hh
h
$
()
int
H
-
å
-
wk
dw w
xc
j
j
fi
j
i
$
(),pe
2
ãäå
w
fi f
i
EE=-()h
— ÷àñòîòà ïåðåõîäà èç îäíîãî ýëåêòðîí
-
íîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. ×òîáû ïîëó÷èòü ïàðöèàëüíîå ñå÷å-
íèå ïîãëîùåíèÿ íà îäíîì àòîìå, íåîáõîäèìî
w
fi
ïîäåëèòü íà
ïîòîê ôîòîíîâ (3.4):
sw
p
w
dw w
if
j
j
fi
e
mcn
fi()
$
(),=-
å
4
22
2
2
h
pe
(3.6)
Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàáîòàåò äèïîëüíîå ïðèáëèæåíèå
— äëèíà âîëíû èçëó÷åíèÿ ìíîãî áîëüøå õàðàêòåðíûõ ðàçìå-
ðîâ âîëíîâûõ ôóíêöèé ýëåêòðîíîâ. Ïîýòîìó â ðàçëîæåíèè
ýêñïîíåíòû
e
inx c
j
w
îñòàâëåí òîëüêî íóëåâîé ÷ëåí. Ïðè ýòîì
ìàòðè÷íûé ýëåìåíò
fi
j
$
p
å
ñ÷èòàåòñÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ.
Åñëè æå ñèììåòðèÿ íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèé òàêîâà,
÷òî
fi
j
$
p
å
= 0
, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñëåäóþùèå ÷ëåíû
ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíòû â ðÿä. Ýòî ïðèâîäèò ê ïðîöåññàì ìàã
-
íèòíî-äèïîëüíîãî è êâàäðóïîëüíîãî ïîãëîùåíèÿ ñâåòà.
Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ (3.6) ìîæíî âîñïîëüçî
-
âàòüñÿ èçâåñòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèåì
$
$
,.pr
jj
im
=
h
[]H
÷òî ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó
fiimfi
j
fi
j
$
pr
åå
=w
.
41
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïåðåéòè îò ñå÷åíèÿ ïîãëîùåíèÿ äâóõóðîâ
-
íåâîé ñèñòåìû ê êîýôôèöèåíòó ïîãëîùåíèÿ ýëåêòðîìàãíèò
-
íîãî èçëó÷åíèÿ â òâåðäîì òåëå, íåîáõîäèìî ó÷åñòü äâà îáñòîÿ
-
òåëüñòâà. Âî-ïåðâûõ, íåîáõîäèìî ïðîñóììèðîâàòü (3.6) ïî
âñåì âîçìîæíûì êîíå÷íûì ñîñòîÿíèÿì â òâåðäîì òåëå, èñê
-
ëþ÷àÿ çàíÿòûå ñîñòîÿíèÿ (â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöèïîì Ïàó
-
ëè). Âî-âòîðûõ, ïðè íåíóëåâîé òåìïåðàòóðå òâåðäîå òåëî íå
íàõîäèòñÿ â ñâîåì îñíîâíîì ñîñòîÿíèè. Ïðè êîíå÷íîé òåìïå
-
ðàòóðå ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýíåðãèè
fE()
, îïèñûâàþùóþ çàñåëåííîñòü êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ïðè
ýòîì êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ ïðèîáðåòàåò âèä
aw
pw
dw w
()
[()]()(
,
=´
´- -
åå
4
1
22
2
eN
cn
fi
fE fE
j
jif
f
i
fi
h
re
),
(3.7)
à ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñòàíîâèòñÿ
ðàâíîé
ew
p
dw w
2
22
2
4
1
()
[()]()( ),
,
=´
´- -
åå
eN
fi
fE fE
j
jif
f
i
fi
h
re
(3.8)
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî â ýòîì ïðèáëèæåíèè ïðàâàÿ
÷àñòü óðàâíåíèÿ (3.8) íå ñîäåðæèò íèêàêèõ îïòè÷åñêèõ êîíñ
-
òàíò (â îòëè÷èå îò ôîðìóëû (3.7), â çíàìåíàòåëå êîòîðîé ñòî
-
èò ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ
n()w
). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðèáëè
-
æåíèè ñëàáîé ñâÿçè êîíäåíñèðîâàííîé ñðåäû ñ ýëåêòðîìàã
-
íèòíûì ïîëåì ïåðåõîäû ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè
âíîñÿò àääèòèâíûé âêëàä â ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòè
ew
2
()
. Ýòî âûäåëÿåò äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíè
-
öàåìîñòü ñðåäè îñòàëüíûõ îïòè÷åñêèõ ôóíêöèé è äåëàåò åå
íàèáîëåå óäîáíîé äëÿ òåîðåòè÷ååñêèõ ðàñ÷åòîâ.
Äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè
ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç
ew
2
()
ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé Êðàìåð
-
ñà—Êðîíèãà. Òîãäà äëÿ êîìïëåêñíîé
~
()ew
ïîëó÷àåì
42
~
()
()
[
,
ew
p
w
ww
=+ ´
´
-+
-
åå
®+
1
8
1
2
2
22
0
eN
fi
is
j
jif
fi
fi
s
h
re
fE fE
f
i
()](),
(3.9)
 ýòîì âûðàæåíèè ââåäåíà áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîëîæè
-
òåëüíàÿ: âåëè÷èíà
s
, îïðåäåëÿþùàÿ ïðàâèëüíûé çíàê
e
2
.Â
ðåàëüíûõ ñëó÷àÿõ, ïîñêîëüêó âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ â
òâåðäîì òåëå íå èìåþò áåñêîíå÷íîãî âðåìåíè æèçíè, ðîëü
s
èãðàåò âåëè÷èíà
2pt
f
, ãäå
t
f
— âðåìÿ æèçíè äàííîãî âîçáóæ
-
äåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Áîëåå ïîäðîáíî îïèñàíèå âîçáóæäåííûõ
ñîñòîÿíèé ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì æèçíè áóäåò äàíî ïðè èññëå
-
äîâàíèè ôîðìû ëèíèè ýêñèòîííîãî ïîãëîùåíèÿ.
Âûðàæåíèå (3.9) äàåò âîçìîæíîñòü ïðîàíàëèçèðîâàòü,
êàêèå ïåðåõîäû âíîñÿò âêëàä â äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ
÷àñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.  ôîðìóëå (3.8) äëÿ
ìíèìîé ÷àñòè äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñòîèò äåëüòà-
ôóíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ
ðåàëüíûõ ïåðåõîäîâ ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè. Ïîýòî-
ìó â
e
2
â ýòîì ïðèáëèæåíèè âíîñÿò âêëàä òîëüêî ïåðåõîäû
ìåæäó òàêèìè ñîñòîÿíèÿìè, ðàçíèöà ýíåðãèé ìåæäó êîòîðû-
ìè íàõîäÿòñÿ â ðåçîíàíñå ñ ïàäàþùèì ñâåòîì. Ñ äðóãîé ñòîðî-
íû, â äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè
e
1
âíîñÿò âêëàä âñå âîçìîæíûå ïåðåõîäû, â òîì ÷èñëå è òå,
äëÿ êîòîðûõ íå âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðè
ïåðåõîäå. Âêëàä òàêèõ ñîñòîÿíèé ïðîïîðöèîíàëåí
DtEE
f
i
fi
»-+=-22pw pwwhh
— âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ìîæåò íàðóøàòüñÿ çàêîí ñîõ
-
ðàíåíèÿ ýíåðãèè (â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäå
-
ëåííîñòè ìåæäó íàáëþäàåìîé ýíåðãèåé
DE
è âðåìåíåì èçìå
-
ðåíèÿ
Dt
, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì
DDEt» 2ph
).
Òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ äàåò âîçìîæíîñòü ãîâîðèòü, ÷òî äåéñò
-
âèòåëüíàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè
e
1
ñîîòâåòñ
-
òâóåò âèðòóàëüíûì ïåðåõîäàì.  ÷àñòíîñòè, äèýëåêòðè÷åñêàÿ
ïðîíèöàåìîñòü â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ
÷èñòî äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé, îïðåäåëÿåòñÿ â îñíîâíîì
âèðòóàëüíûìè ïåðåõîäàìè ñ ýíåðãèåé â îáëàñòè
43
ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ.
Ïðè âûâîäå ôîðìóë (3.6)—(3.9) ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî
âîëíîâûå ôóíêöèè êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèè íîðìè
-
ðîâàíû íà åäèíèöó äëÿ êàæäîãî èç àòîìîâ, ïîýòîìó â êà÷åñòâå
ìíîæèòåëÿ âûñòóïàåò
N
— ÷èñëî àòîìîâ â åäèíèöå îáú¸ìà.
Åñëè ïîëüçîâàòüñÿ âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè òâåðäîãî òåëà,
íîðìèðîâàííûìè íà åäèíè÷íûé îáúåì, ìíîæèòåëü
N
ïðîïà
-
äàåò. Ïåðâûé ñïîñîá óäîáåí äëÿ îïèñàíèÿ âêëàäà â äèýëåêò
-
ðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîííûõ ñîñ
-
òîÿíèé, òàêèõ, êàê ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ äåôåêòîâ è ïðèìå
-
ñåé â òâåðäîì òåëå. Âòîðîé ñïîñîá íåîáõîäèì ïðè îïèñàíèè
ñîáñòâåííûõ ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé, íàïðèìåð ñîñòîÿíèé
íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà è ò. ä.
Ïîìèìî ðàçëè÷èÿ â íîðìèðîâêå âîëíîâûõ ôóíêöèé
âêëàä ëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé îòëè÷àåòñÿ îò âêëàäà ñîñòî
-
ÿíèé, ïðèíàäëåæàùèõ âñåìó êðèñòàëëó, åùå îäíèì ìíîæèòå-
ëåì — òàê íàçûâàåìîé ïîïðàâêîé íà ýôôåêòèâíîå ïîëå. Ýòà
ïîïðàâêà îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ êàê
()
EE
eff 0
2
. Ïðîèñõîæäå-
íèå åå ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî ýôôåêòèâíîå ïîëå
E
eff
, êîòî-
ðîå èíäóöèðóåò ïåðåõîäû, ñîäåðæèò âêëàä, ïðîïîðöèîíàëü-
íûé ïîëÿðèçàöèè, è íå ðàâíî ïðèëîæåííîìó ïîëþ
E
0
. Ïðîñ-
òàÿ ìîäåëü Ëîðåíö—Ëîðåíöà, ïî êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ ýëåêò-
ðè÷åñêîå ïîëå â ñôåðè÷åñêîé ïîëîñòè, íàõîäÿùåéñÿ â äèýëåê-
òðè÷åñêîé ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ
e
¥
, äàåò
EE
eff 0
=+
¥
()e 23
. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòè íàäî áðàòü âûñîêî÷àñòîòíóþ ïðîíèöàåìîñòü
e
¥
, ïîñêîëüêó èîíû ïðàêòè÷åñêè íå óñïåâàþò çà èçìåíåíèåì
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.  îòëè÷èå îò ñòàòè÷åñêîé äèýëåêòðè÷åñ
-
êîé ïðîíèöàåìîñòè
e
0
, â êîòîðóþ âíîñÿò âêëàäû êàê ýëåêò
-
ðîííûå ïåðåõîäû, òàê è êîëåáàíèÿ èîíîâ,
e
¥
ñîîòâåòñòâóåò
îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè êðèñòàëëà è ñâÿçàíà òîëüêî ñ ýëåêòðîí
-
íûìè ïåðåõîäàìè. Ñèìâîë
¥
îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå
÷àñòîòû ìíîãî áîëüøå õàðàêòåðíûõ ÷àñòîò äâèæåíèÿ èîíîâ â
òâåðäîì òåëå. Ýòè îáîçíà÷åíèÿ, óæå âñòðå÷àâøèåñÿ â ïðåäû
-
äóùåì ðàçäåëå, áóäóò øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðàññìîòðå
-
íèè ýêñèòîííûõ è ôîíîííûõ ýôôåêòîâ.
 äåéñòâèòåëüíîñòè êîððåêòíî ó÷åñòü ïîïðàâêó íà ýô
-
ôåêòèâíîå ïîëå äîñòàòî÷íî òðóäíî, ïîñêîëüêó â îáëàñòè ýëåê
-
òðîííûõ ïåðåõîäîâ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ÷àñòîòíóþ äèñïåð
-
ñèþ
ew()
, íåñôåðè÷íîñòü ïîëîñòè, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ äå
-
ôåêò, è ò. ä. Ðàçíûå ìåòîäû äàþò äîâîëüíî ñèëüíî
44
ðàçëè÷àþùèåñÿ ðåçóëüòàòû. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà â
ðÿäå ñëó÷àåâ ïðèâîäèò ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ôîðìóëà Ëî
-
ðåíö—Ëîðåíöà ïåðåîöåíèâàåò ïîïðàâêó íà ýôôåêòèâíîå
ïîëå (ñì., íàïð., [5]). Êðîìå òîãî, ýòà ïîïðàâêà, âîçìîæíî,
îêàçûâàåòñÿ ðàçíîé äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé äåôåêòà, â ÷àñ
-
òíîñòè èç-çà íåîäèíàêîâîé ïðîòÿæåííîñòè ñîñòîÿíèé. Çäåñü
ìû îãðàíè÷èìñÿ ñäåëàííûìè êîììåíòàðèÿìè.
Ñäåëàííûå âûøå çàìå÷àíèÿ óêàçûâàþò íà âàæíîñòü
ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè, òî åñòü ðàçëè÷íîãî îòêëèêà äèý
-
ëåêòðè÷åñêîé ñðåäû ïîä âîçäåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ïîëÿ ñ ðàçëè÷íûìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ÷àñòîòàìè.  äåéñòâè
-
òåëüíîñòè, ïîïðàâêà íà ýôôåêòèâíîå ïîëå ñâÿçàíà ñ ïîïûòêîé
íàéòè òàêóþ àìïëèòóäó äëèííîâîëíîâîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ïîëÿ, êîòîðàÿ ïî ñâîåìó äåéñòâèþ áûëà áû ýêâèâàëåíòíà ðå
-
àëüíîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå â òâåðäîì òåëå. Òàêàÿ âîëíà
ñîäåðæèò áîëüøîå êîëè÷åñòâî êîðîòêîâîëíîâûõ êîìïîíåíò,
áûñòðî îñöèëëèðóþùèõ íà ìåæàòîìíûõ ðàññòîÿíèÿõ (áîëåå
ïîäðîáíî ñì. [10]). Êîððåêòíûé ó÷åò ýòîãî ÿâëåíèÿ âîçìîæåí
òîëüêî ïðè ðàñ÷åòå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè
ew(, )k
äëÿ âñåõ çíà÷åíèé âîëíîâîãî âåêòîðà
k
. Ïðè ó÷åòå çàâèñèìîñ-
òè îò
k
ñâîéñòâà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñóùåñòâåííî
èçìåíÿþòñÿ.  ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå ñèëüíîé ïðîñòðàíñòâåííîé
äèñïåðñèè âåëè÷èíà
ew(, )k
íå óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì
Êðàìåðñà-Êðîíèãà (ýòè ñîîòíîøåíèÿ âñåãäà âûïîëíÿþòñÿ
ëèøü äëÿ ôóíêöèè
ew
-1
(,)k
) è ò.ä. Áîëåå ïîäðîáíî ýòè âîïðî-
ñû îñâåùåíû â ðàáîòàõ [46, 47].
3.2 Ïîëÿðèçàöèîííîå ïðèáëèæåíèå äëÿ
âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé ñ
òâåðäûì òåëîì
 ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, èñõîäÿ èç ïðîñòûõ ïðåäïîëîæå
-
íèé, áûëî ïîëó÷åíî âûðàæåíèå (3.9) äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòè
ew()
. Â äàííîì ðàçäåëå áóäåò îáîáùåí âûâîä
ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé, ïðè ýòîì îñíîâíîå âíèìàíèå áó
-
äåò óäåëÿòüñÿ äðóãîé ñòîðîíå âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîìàãíèò
-
íîãî ïîëÿ ñ âåùåñòâîì. Â îñíîâíîì ýòî ðàññìîòðåíèå áóäåò îñ
-
íîâàíî íà ðàáîòàõ Þ.Ë.Êëèìîíòîâè÷à [48]).
Êàê è â ðàçäåëå 3.1, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñèñòåìà îïè
-
ñûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì (3.1), è ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è
ñîáñòâåííûå âåêòîðû
$
H
0
èçâåñòíû. Ìàòðèöà ïëîòíîñòè ñèñòå
-
ìû áåç ó÷åòà âçàèìîäåéñòâèÿ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåç
R
ij
.
45
Óðàâíåíèå äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè èìååò îáû÷íûé âèä [49]:
i
t
nm
nk km nk km
k
h
¶
¶
R
HR RH=-
å
(
$$
)
.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñîñòîÿíèÿ
n
, èñïîëüçóåìûå â êà
-
÷åñòâå áàçèñíûõ, ñîîòâåòñòâóþò ìíîãî÷àñòè÷íûì ñîáñòâåí
-
íûì çíà÷åíèÿì ãàìèëüòîíèàíà
$
H
0
. Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ ìàò
-
ðèöû ïëîòíîñòè ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé ãàìèëüòîíèàíîì ñ
ó÷åòîì âçàèìîäåéñòâèÿ, èìååò ôîðìó
()
¶
¶
w
t
i
i
nm nm
nk km nk km
k
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
=
=- -
å
R
HRRH
h
(
$
)(
$
).
int int
(3.10)
 ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè ìàòðèöà ïëîòíîñòè ñèñòåìû äè-
àãîíàëüíà. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñîñòîÿíèé, äîñòàòî÷íî áëèç-
êèõ ê ðàâíîâåñèþ, ìîæíî çàïèñàòü
Rf f
nm n nm nm
=+dd
. (3.11)
Ñóùåñòâåííî áîëåå àêêóðàòíîå îïèñàíèå ýâîëþöèè ìàò-
ðèöû ïëîòíîñòè, â òîì ÷èñëå è îöåíêà òî÷íîñòè ïðèìåíåííûõ
ïðèáëèæåíèé, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà äðóãèìè ìåòîäàìè, íàï-
ðèìåð, ñ èñïîëüçîâàíèåì òåõíèêè ïðîåêöèîííûõ îïåðàòîðîâ
(ñì., íàïðèìåð, [50–52]). Ïðèáëèæåíèå (3.11) ñîîòâåòñòâóåò
ðàññìîòðåíèþ ñèñòåìû íà âðåìåíàõ, áîëüøèõ òàê
íàçûâàåìûõ "âðåìåí ïîïåðå÷íîé ðåëàêñàöèè", â òå÷åíèå êîòî
-
ðûõ ïðîïàäàþò íåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñ
-
òè.
 ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå
ff
nn
=
0
óäîâ
-
ëåòâîðÿåò ðàñïðåäåëåíèþ Ãèááñà
f
n
EkT EkT
n
Z
eZe
n
B
n
B
0
1
==
--
å
,
, (3.12)
ãäå
k
B
— ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, à
T
—àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòó
-
ðà. Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì ðàçäåëå
f
n
îïèñûâàåò âåðîÿòíîñòü
íàõîæäåíèÿ âñåé ñèñòåìû â ìíîãî÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè
n
èíå
èìååò íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê ÷èñëàì çàïîëíåíèÿ îäíîýëåêò
-
ðîííûõ ñîñòîÿíèé, ïîÿâëÿþùèõñÿ â ïðèáëèæåíèè Õàðò
-
ðè–Ôîêà, êîòîðûå áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ êàê
f
a
. Òåì ñàìûì ïðè
46
íóëåâîé òåìïåðàòóðå (
T = 0
)
f
nn
=d
0
, ÷òî îçíà÷àåò íàõîæäå
-
íèå âñåé ñèñòåìû â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè.
Âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà âçàèìîäåéñòâèÿ (3.3) ìîæåò
áûòü çàïèñàíî ÷åðåç îïåðàòîð òîêà
$
()
$
()jr r r=-
å
e
m
i
i
i
i
i
P d
,
ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ÷àñòèöàì ñ íîìåðàìè
i
.
Òîãäà
$
(,)
$
()
int
H =-
ò
Ar jrtdr
3
. (3.13)
Îïåðàòîð òîêà
$
j
ñâÿçàí ñ âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèè
Pr(,)t
ñîîòíî
-
øåíèåì
$
(,)
j
Pr
=
¶
¶
t
t
. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàâåíñòâî â (3.13) è âûäå
-
ëÿÿ ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì
$
(,) (,) ( )
int
H =- +
ò
Er Prttdr
t
3
¶
¶
K
. (3.14)
 äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáÿòñÿ ôóðüå-êîìïîíåíòû
$
int
H
ïî
âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ìîæíî îïóñ-
òèòü.
Âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ñâÿçàí ñ ìàòðèöåé ïëîòíîñòè ñèñòå-
ìû ðàâåíñòâîì
Pr Dr Dr(,)()()()()tt t
mn nm
nm
mn nm
nm
==
åå
Rfd
, (3.15)
ãäå
D
nm
— ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà äèïîëüíîãî ìîìåíòà
$
() ( )Dr r r r=-
å
e
ii i
i
d
,
DDr
nm
nm=
$
()
. (3.16)
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â (3.15) ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ðàâíîâåñíîì
ñîñòîÿíèè âåêòîð ïîëÿðèçàöèè âñåé ñèñòåìû îáðàùàåòñÿ â
íîëü (ñåãíåòîýëåêòðè÷åñêèå ñèñòåìû çäåñü íå ðàññìàòðèâàþò
-
ñÿ).
Ôëóêòóàöèîííûå äîáàâêè ê ìàòðèöå ïëîòíîñòè ðàçäåëÿ
-
þòñÿ íà ñóììó äâóõ ñëàãàåìûõ: èíäóöèðîâàííûõ ïîëåì
df
nm
ind
è ôëóêòóàöèé èñòî÷íèêà
df
nm
src
. Ôëóêòóàöèè èñòî÷íèêà èìåþò
ôóíäàìåíòàëüíóþ ïðèðîäó è ñâÿçàíû ñ àòîìàðíîé ñòðóêòó
-
ðîé âåùåñòâà. Òåì ñàìûì è ïîëÿðèçàöèÿ
P
â ñâîþ î÷åðåäü ðàç
-
áèâàåòñÿ íà äâå ÷àñòè: ïîëÿðèçàöèþ
P
ind
, èíäóöèðîâàííóþ
47
ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, è ïîëÿðèçàöèþ èñòî÷íèêà
P
src
.
Âàæíóþ ðîëü èãðàþò âåëè÷èíû, óñðåäíåííûå ïî àíñàìá
-
ëþ ñèñòåì. Òàêîå óñðåäíåíèå áóäåì îáîçíà÷àòü óãëîâûìè
ñêîáêàìè
K
. ×òîáû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êîððåëÿöèîí
-
íûõ ôóíêöèé ôëóêòóàöèé èñòî÷íèêà
ddff
nm n m
tt
src src*
() ( )
¢¢
¢
,
ìîæíî ðàññìîòðåòü äâóõâðåìåííóþ ìàòðèöó ïëîòíîñòè ñèñòå
-
ìû
R
nm n m
tt
,
(, )
¢¢
¢
. Ïðè ñîâïàäàþùèõ âðåìåíàõ ýòà ìàòðèöà âû
-
ðàæàåòñÿ ÷åðåç
R
nm
t()
:
RRR
nm n m nn mm mm nn
tt t t
,
(,) [ () ()]
¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢
=+
1
2
dd
.
Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ôëóêòóàöèé èñòî÷íèêà îïðåäåëÿ
-
åòñÿ êàê ðàçíèöà ìåæäó äâóõâðåìåííîé ìàòðèöåé ïëîòíîñòè è
ïðîèçâåäåíèåì äâóõ îäíîâðåìåííûõ ìàòðèö ïëîòíîñòè:
ddff R RR
nm n m nm n m nm n
tt tt t
src src*
() ( ) (, ) ()
,
¢¢ ¢¢ ¢¢
¢
=
¢
-
m
t()
¢
.
Îòñþäà äëÿ ñîâïàäàþùèõ âðåìåí ïîëó÷àåì
dd
dd
ff
RR
nm n m
nn mm mm nn
tt
tt
src src*
() ()
[() (
¢¢
¢¢ ¢¢
=
=+
1
2
)] ( ) ( ).-
¢¢
RR
nm n m
tt
Åñëè ðàññìàòðèâàåìîå ñîñòîÿíèå íåðàâíîâåñíî, íî äîñòàòî÷íî
áëèçêî îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî
dd
dd d
ff
ff
nm n m
nn mm m n
tt
tt
src src*
() ()
[() ()]
¢¢
¢¢
=
=+-
1
2
nm n m n n
ttd
¢¢ ¢
ff() ().
(3.17)
Ýòà ôîðìóëà àíàëîãè÷íà òîìó, ÷òî ïðè ïóàññîíîâñêîì ðàñï
-
ðåäåëåíèè ñðåäíèé êâàäðàò ÷èñëà ñîáûòèé
()DNNN
22
2
=-
ðàâåí
N
.
 ôîðìóëå (3.17) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âðåìåííàÿ çàâèñè
-
ìîñòü ôóíêöèé
f
n
t()
îòíîñèòåëüíî ìåäëåííàÿ (ïî ñðàâíåíèþ ñ
âðåìåíàìè ïîðÿäêà
2
1
pw
nm
-
).
Ôëóêòóàöèîííûå èñòî÷íèêè
df
nm
src
èìåþòñÿ è â ñèñòåìå
áåç âçàèìîäåéñòâèÿ (
$
int
H = 0
), è ïîýòîìó êîððåëÿòîð óäîâëåò
-
âîðÿåò óðàâíåíèþ
¶
¶
wdd
t
is t t
nm nm n m
++
æ
è
ç
ö
ø
÷
¢
=
¢¢
ff
src src*
() ( ) 0
48
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (3.17) (
s > 0
– ìàëàÿ äîáàâêà, îáåñïå
-
÷èâàþùàÿ îñëàáëåíèå êîððåëÿöèé íà áîëüøèõ âðåìåíàõ).
Ïðåäïîëàãàÿ ñòàöèîíàðíîñòü ñèñòåìû, ìîæíî ïåðåéòè ê
ôóðüå-êîìïîíåíòàì ïî âðåìåíè, è äëÿ
w¹0
ïîëó÷àåì
()()()dd pdwwdd
w
ff ff
nm n m nm nn mm m n
src src
¢¢ ¢ ¢
=- +
, (3.18)
ãäå
()K
w
îáîçíà÷àåò ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü, îïðåäåëÿåìóþ
â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå ñîîòíîøåíèåì
xy xy xy
ww w w w
pdww
¢
-
¢
== +
¢
*
() ( )2
, (3.19)
è ñâÿçàííóþ ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé
xt yt()()+t
(â ñòà
-
öèîíàðîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
xt yt x y( ) () () ()+=tt0
, òî åñòü êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ
çàâèñèò òîëüêî îò t è íå çàâèñèò îò âðåìåíè
t
) Ôóðüå-ïðåîáðà
-
çîâàíèåì
( ) () ()xy x y e d
i
w
wt
tt=
-¥
¥
ò
0
. (3.20)
Èñïîëüçóÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ìîæíî âûðàçèòü êîððå-
ëÿöèîííóþ ôóíêöèþ ÷åðåç ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü:
xty
xy e d xy e d
it it
() ()
() () .
0
1
2
1
2
2
0
=
==
-
-¥
¥
-
¥
òò
p
w
p
w
w
w
w
w
(3.21)
Çäåñü îòäåëüíî âûïèñàíî èíòåãðèðîâàíèå òîëüêî ïî ïîëîæè
-
òåëüíûì ÷àñòîòàì, ÷òî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïèñàíèè ñïåê
-
òðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê. Íåîáõîäèìî íàïîìíèòü, ÷òî
() () ()
*
xy yx yx
www
==
-
. (3.22)
Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé, òî
f
n
ìåä
-
ëåííî ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì, è ôîðìóëû (3.18)—(3.22) âû
-
ïîëíÿþòñÿ ëèøü ïðèáëèæåííî, ñ òî÷íîñòüþ äî îòíîøåíèÿ
áûñòðûõ õàðàêòåðíûõ âðåìåí
2
1
pw
nm
-
êî âðåìåíè ðåëàêñàöèè.
Ìàëîñòü ýòîãî ïàðàìåòðà ñâÿçàíà ñ ïðåäïîëîæåíèåì ìàëîñòè
âûäåëåííîãî ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ
$
int
H
. Â òàêîì
ñëó÷àå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè òèïà
xt yt()()+t
ñëàáî çà
-
âèñÿò îò âðåìåíè
t
è ñóùåñòâåííî — îò âðåìåíè
t
. Ïåðåõîäÿ ê
49