Васильев А.Н., Михайлин В.В. Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I
Подождите немного. Документ загружается.
ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé Êðàìåðñà— Êðîíèãà ÿâëÿåòñÿ îäíèì
èç îñíîâíûõ â îáëàñòè ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ (ðèñ.
4, 5).
Êàê ïðàâèëî, âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëàì (1.24)—(1.26)
ïðîâîäÿòñÿ êàê ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Ñèìïñîíà ñ âûäåëå
-
íèåì èç èíòåãðàëà îáëàñòè âáëèçè òî÷êè ñèíãóëÿðíîñòè, òàê è
ñ èñïîëüçîâàíèåì ñïåöèàëüíûõ ïðîöåäóð èíòåãðèðîâàíèÿ.
Øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ëèíåéíàÿ èëè êâàäðàòè÷íàÿ èíòåðïîëÿ
-
öèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, ÷òî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ
ëîãàðèôìîâ ïîä çíàêîì ñóìì. Ïîýòîìó ïðÿìîå âû÷èñëåíèå ïî
ñîîòíîøåíèÿì Êðàìåðñà—Êðîíèãà äëÿ
N
òî÷åê òðåáóåò ïî
-
ðÿäêà
N
2
óìíîæåíèé èëè âû÷èñëåíèé ëîãàðèôìà. Äëÿ óñêî
-
ðåíèÿ ðàñ÷åòà ìîæíî ïðèìåíÿòü ìåòîä [31, 32], îñíîâàííûé
íà áûñòðîì ïðåîáðàçîâàíèè Ôóðüå, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü
âû÷èñëåíèÿ ñ êîððåêöèåé â èíòåðàêòèâíîì ðåæèìå.
30
2,00
1,00
20
0
0,00
40
R
0,20
0
,10
0,00
0
10 40
h
à
5,00
0,00
02040
â
-Im
2,00
1,00
0,00
020
40
ã
j
n
e
e
e
e
e
-1
1
, 2
1
2
eV
,
h
n
e
V
,
H
n
eV
,
h
n
eV
,
á
Ðèñ. 4. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ñïåêòð îòðàæåíèÿ ìîíîêðèñòàëëà MgO
(à) [34] è âû÷èñëåíèå îïòè÷åñêèõ êîíñòàíò ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé
Êðàìåðñà—Êðîíèãà (ôàçîâûé óãîë
j
(á), ôóíêöèè
ee
12
,
(â) è
Im(
~
)-
-
e
1
(ã))
 ìàòåìàòèêå ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.21) è (1.22) íàçûâàþòñÿ
ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ãèëüáåðòà (ñì., íàïðèìåð, [33]). Ïðåîáðà-
çîâàíèå Ãèëüáåðòà îò
sin wt
ðàâíî
cos wt
,àîò
cos wt
ðàâíî
-sin wt
. Åñëè ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ
()
f w
ïðåäñòàâëåíà èíòåã-
ðàëîì Ôóðüå
( ) () ()
[]
fattbttdtwww=+
-¥
¥
ò
cos sin
,
òî åå ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà èìååò âèä
( ) () ()
[]
gbttattdtwww=-
-¥
¥
ò
cos sin
.
Ïîýòîìó ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèé ïðåîáðàçîâàíèé Êðàìåð
-
ñà—Êðîíèãà ñâîäèòñÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó ïðèìåíåíèþ ïðÿ
-
ìîãî è îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå. Åñëè ïðèìåíÿòü àë
-
ãîðèòì áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (ÁÏÔ), òî ïîòðåáó
-
åòñÿ òîëüêî
NNln
óìíîæåíèé.
Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (1.21) è (1.22) ïîçâîëÿþò
ïîëó÷èòü ðÿä èíòåðåñíûõ èíòåãðàëüíûõ ñîîòíîøåíèé (ñì.,
31
0 5 10 15 20 25 30
1,4 10´
6
1,0 10´
6
1,0 10´
6
8´10
5
6´10
5
4´10
5
2´10
5
0
-1
Ïîãëîùåíèå, ñì
0
0,5
1,0
Ýíåðãèÿ ôîòîíà, ýÂ
0
5
10
15
PbWO
4
10
0
20
30
40
50
Îòðàæåíèå, %
0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30
0 5 10 15 20 25 30
Ýíåðãèÿ ôîòîíà, ýÂ
Im(-1/ )e
ee,
12
Ðèñ. 5. Ñïåêòð îòðàæåíèÿ âîëüôðàìàòà ñâèíöà [36] è ïåðåñ÷èòàí-
íûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ÁÏÔ îïòè÷åñêèå ôóíêöèè.
íàïðèìåð, [35]). Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî âûøå,
e
2
íà áîëüøèõ
÷àñòîòàõ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü
() ()
ew
pw
e
1
2
2
0
1
2
-=-
¥
ò
xxdx
ïðè
w®¥
. (1.28)
Ñðàâíåíèå (1.28) ñ ñîîòíîøåíèåì (1.27) äàåò ïðàâèëî ñóìì â
ñëåäóþùåé ôîðìå:
() ()
m
e
dfdN
2
22
2
00
p
weww ww
¥¥
òò
º=
. (1.29)
Çäåñü ââåäåíà ñèëà îñöèëëÿòîðîâ
()
()
f
m
e
dw
we w
p
wº
2
22
2
, ïðèõî
-
äÿùèõñÿ íà èíòåðâàë ÷àñòîò
dw
. Ïðàâèëî ñóìì (1.29) âûðà
-
æàåò òîò ôàêò, ÷òî ñóììà âñåõ ñèë îñöèëëÿòîðîâ â åäèíèöå
îáúåìà ðàâíà ÷èñëó ýëåêòðîíîâ â åäèíèöå îáúåìà. Èíòåãðàë â
(1.29) äîëæåí áûòü ñõîäÿùèìñÿ, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
()
ew
2
ïðè áîëüøèõ ÷àñòîòàõ ïàäàåò ñ ðîñòîì
w
áûñòðåå, ÷åì
w
-2
.
 äðóãîì ïðåäåëå
w®0
äëÿ äèýëåêòðèêîâ (
s=0
) ìîæíî
ïîëó÷èòü:
()
()
e
p
ew
w
w
p
w
1
2
0
2
2
01
24
-= º
¥
-
ò
d
eN
m
, (1.30)
ãäå ÷åðòà îçíà÷àåò óñðåäíåíèå ñ ïîìîùüþ ñèëû îñöèëëÿòîðîâ:
()
w
w
ww
-
¥
º
ò
2
2
0
11
N
fd
.
 óðàâíåíèè (1.30)
()
e
1
0
— ñòàòè÷åñêàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðî
-
íèöàåìîñòü, îáû÷íî îáîçíà÷àåìàÿ êàê
e
0
. Íåîáõîäèìî îáðà
-
òèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå â (1.30) ïðîèçâîäèò
-
ñÿ ïî âñåìó äèàïàçîíó ÷àñòîò, â òîì ÷èñëå è ïî îáëàñòè ïîãëî
-
ùåíèÿ â ÈÊ-äèàïàçîíå ñ ó÷àñòèåì ôîíîíîâ. Âîîáùå ãîâîðÿ, â
îòëè÷èå îò ôîðìóëû (1.30), êîòîðàÿ ÷óâñòâèòåëüíà ê ïîâåäå
-
íèþ
()
ew
2
ïðè ñðàâíèòåëüíî íèçêèõ ÷àñòîòàõ, ïðàâèëî ñóìì
(1.29) â îñíîâíîì îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì
()
ew
2
ïðè âûñî
-
êèõ ÷àñòîòàõ. Îöåíêà òî÷íîñòè ðàñ÷åòà ïî ïðàâèëàì Êðàìåð
-
ñà—Êðîíèãà ñ ïîìîùüþ ýòèõ ïðàâèë ñóìì ïîìîãàåò âûáðàòü
àïïðîêñèìàöèþ äëÿ âûñîêî- è íèçêî÷àñòîòíûõ ÷àñòîòíûõ
32
äèàïàçîíîâ.
Ïðè àíàëèçå îïòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïðàâèë
ñóìì ÷àñòî ââîäèòñÿ ýôôåêòèâíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ
()
N
eff
w
è
ýôôåêòèâíàÿ ñòàòè÷åñêàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü
()
ew
eff
0
. Îíè ïîëó÷àþòñÿ ïî ôîðìóëàì (1.29) è (1.30), â êîòî
-
ðûõ âåðõíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ çàìåíåí íà ÷àñòîòó
w
.
Ýòè äâå ôóíêöèè èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê ÷èñëî ýëåêòðîíîâ,
ó÷àñòâóþùèõ â ïåðåõîäàõ â äèàïàçîíå ÷àñòîò îò 0 äî
w
è êàê
âêëàä òàêèõ ýëåêòðîíîâ â
e
0
. Áûñòðûé ñòóïåí÷àòûé ðîñò òà
-
êèõ ôóíêöèé óêàçûâàåò íà íà÷àëî ïåðåõîäîâ èç âñå áîëåå ãëó
-
áîêèõ îáîëî÷åê. Ê ñîæàëåíèþ, òî÷íîå îïðåäåëåíèå òàêèõ
ôóíêöèé îêàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì. Áîëåå òîãî, îíè êðàéíå
÷óâñòâèòåëüíû (îñîáåííî
()
N
eff
w
) ê îøèáêàì ïîäãîíêè ïðè
âû÷èñëåíèè ïðåîáðàçîâàíèé Êðàìåðñà—Êðîíèãà.
Ïðàâèëà ñóìì, àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿì (1.29) è
(1.30), ìîæíî çàïèñàòü è äëÿ
()
n w
è
()
kw
, à òàêæå äëÿ äðóãèõ
îïòè÷åñêèõ ôóíêöèé (íàïðèìåð, èñïîëüçóåìîé íèæå ôóíê-
öèè ïîòåðü ýíåðãèè
()
()
Im -
-
ew
1
).
33
§ 2 Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîòåðè ýíåðãèè
ýëåêòðîíîâ
Ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç âåùåñòâî çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà
èíòåíñèâíî âçàèìîäåéñòâóåò ñî âñåìè âîçìîæíûìè âîçáóæäå
-
íèÿìè. Ðàññìàòðèâàÿ òîëüêî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå âçàèìîäåéñ
-
òâèå ÷åðåç ïðîäîëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, íåîáõîäèìî ó÷è
-
òûâàòü ïîëÿðèçàöèþ âåùåñòâà (ñì., íàïð. [37–39]). Ìîæíî
ïîêàçàòü, ÷òî ïîòåðè ýíåðãèè ýëåêòðîíà íà ñîçäàíèå âîçáóæ-
äåíèÿ ñ èìïóëüñîì
hq
è ýíåðãèåé
hw
ïðîïîðöèîíàëüíû
()
()
()
Im
~
,
,
~
,
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
1
2
2
ew
ew
ew
q
q
q
. (2.1)
Âîîáùå ãîâîðÿ,
()
~
,ewq
â ýòîé ôîðìóëå äîëæíà ñîîòâåòñòâî-
âàòü ïðîäîëüíîé, à íå ïîïåðå÷íîé ÷àñòè òåíçîðà äèýëåêòðè-
÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè (áîëåå ïîäðîáíî ðàçëè÷èå ìåæäó ýòè-
ìè äâóìÿ òåíçîðàìè ðàññìàòðèâàåòñÿ â ñëåäóþùåé ãëàâå).
Ôîðìóëà (2.1) ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì
~
e
-1
â âûðàæåíèè (1.6) äëÿ
ïðîäîëüíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
E
l
. Ýëåêòðîí (èëè äðóãàÿ
çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà) ñîçäàåò â êðèñòàëëå ïîëå ñ ïîòåíöèàëîì
je()
$
rer=-
, ãäå
$
e
- îïåðàòîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè.
Ôóðüå-êîìïîíåíòà ýòîãî ïîëÿ èìååò âèä
()
4
2
peweq
~
,q
, ãäå
()
~
,ewq
- ôóðüå îáðàç îïðåàòîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàå
-
ìîñòè ïî ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì è âðåìåíè. Äëÿ
îöåíêè ïîòåðü ýíåðãèè ýëåêòðîíà â ôîðìóëå (2.1) ìîæíî ïî
-
ëîæèòü
q = 0
è ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî âñåì ÷àñòîòàì:
()
--
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ò
dE
dx
d~Im
~
w
ew
1
.
Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ñâîéñòâà ôóíêöèè
()
()
Im
~
-
-
ew
1
. Âî-ïåðâûõ, ñîãëàñíî (2.1), ïîòåðè ýíåðãèè
34
êâàíòàìè
hw
îòëè÷íû îò íóëÿ â äâóõ ñëó÷àÿõ. Åñëè
()
ew
2
0¹
,
òî âîçáóæäàþòñÿ òàêèå ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå äàþò
âêëàä â
()
ew
2
íà ñîîòâåòñòâóþùåé ÷àñòîòå. Òåì ñàìûì ïîòåðè
ýíåðãèè ïðèâîäÿò ê ðîæäåíèþ íîâûõ ýëåêòðîííûõ âîçáóæäå
-
íèé. Ïðàâäà, âêëàä ðàçíûõ ñîñòîÿíèé ìåíÿåòñÿ â ñèëó èçìå
-
íåíèÿ
()
1
2
~
ew
ñ ÷àñòîòîé.  ÷àñòíîñòè, îí âîçðàñòàåò ñ óìåíü
-
øåíèåì
()
~
ew
2
. Íàèáîëåå èíòåðåñíûé âêëàä â ïîòåðè ýíåðãèè
âîçìîæåí è ïðè
()
ew
2
0=
. Åñëè îïðåäåëèòü
w
pl
êàê êîðåíü
óðàâíåíèÿ
()
ew
1
0
pl
=
,òî
()
()
()()[]
ew
ew
pw
dw-w dw w
2
2
~
»-+
pl
pl pl
2
.
×àñòîòà, íà êîòîðîé
e
1
îáðàùàåòñÿ â íîëü, íàçûâàåòñÿ
ïëàçìåííîé ÷àñòîòîé. Ïðè ýòîì âîçáóæäàþòñÿ îñîáûå êâàçè-
÷àñòèöû — ïëàçìîíû, ÿâëÿþùèåñÿ ïðîäîëüíûìè êîëåáàíèÿ-
ìè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Ñëó÷àé
()
ew
2
0=
ñîîòâåòñòâóåò ìîäå-
ëè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Ïðè ýòîì
()
ew
p
w
=-1
4
2
2
Ne
m
, (2.2)
ãäå
N
— êîíöåíòðàöèÿ è
m
— ìàññà ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ.
Èç (2.2) ïîëó÷àåì
w
p
pl
=
4
2
Ne
m
. (2.3)
Åñëè ïîãëîùåíèå îòëè÷íî îò íóëÿ,
()
ew
2
0¹
, òî âñå ðàâíî
íà áîëüøèõ ÷àñòîòàõ
()
ew
2
0®
. Â ýòîé îáëàñòè ñîîòíîøåíèå
(2.2) ñâÿçàíî ñ ïðàâèëàìè ñóìì, ñëåäóþùèìè èç äèñïåðñèîí
-
íûõ ñîîòíîøåíèé Êðàìåðñà—Êðîíèíãà (1.24).  êà÷åñòâå
N
çäåñü ñòîèò ïëîòíîñòü âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ, ïåðåõîäû ñ êî
-
òîðûõ ê
w
pl
óæå èñ÷åðïàíû. Îäíàêî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ
âûðàæåíèå äëÿ
w
pl
(2.3) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèøü ãðóáóþ
îöåíêó. Äàæå â ìåòàëëàõ ýòî ñîîòíîøåíèå â áîëüøèíñòâå ñëó
-
÷àåâ íå ïðèìåíèìî.  äåéñòâèòåëüíîñòè ïëàçìåííóþ ÷àñòîòó
íåîáõîäèìî îïðåäåëÿòü èç óñëîâèÿ
()
ew
1
0
pl
=
. Â ñèëó êîìï
-
ëåêñíîñòè
~
e
âûðàæåíèå äëÿ ïëàçìåííîé ÷àñòîòû òàêæå ïîëó
-
÷àåòñÿ êîìïëåêñíûì, ïðè÷åì ìíèìàÿ ÷àñòü
~
w
pl
ðàñòåò ñ
35
ðîñòîì
()
ew
2
Re
pl
. Òåì ñàìûì
ïëàçìîíû ñòàíîâÿòñÿ êîðîòêî
-
æèâóùèìè. Â áîëüøèíñòâå
äèýëåêòðèêîâ ìàêñèìóì íà
÷àñòîòå
w
pl
èìååò ïîëóøèðèíó
ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ýëåêòðîí
-
-âîëüò (ñì., íàïðèìåð, ðèñ.
4–6), ò.å. âðåìÿ æèçíè ïëàç
-
ìîíà ïîðÿäêà
10
15-
ñåê. Òîëü
-
êî â ìåòàëëàõ ïëàçìîí ÿâëÿåò
-
ñÿ îòíîñèòåëüíî äîëãîæèâó
-
ùèì âîçáóæäåíèåì, è èìåííî
òàì îí íàèáîëåå äîñòîâåðíî
îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç õàðàêòå
-
ðèñòè÷åñêèå ïîòåðè ýëåêòðî
-
íîâ.
Íà ïðèìåðå ïëàçìîíà ìîæíî íàèáîëåå ïðîñòî îöåíèòü
âëèÿíèå ïîâåðõíîñòè íà âîçáóæäåíèÿ â òâåðäîì òåëå, ïîñ-
êîëüêó åå âëèÿíèå íà äðóãèå ýëåêòðîííûå âîçáóæäåíèÿ (îáðà-
çîâàíèå òàììîâñêèõ ñîñòîÿíèé) îöåíèòü ìîæíî ëèøü íà óðîâ-
íå ìèêðîñêîïè÷åñêîé òåîðèè. Äëÿ ïëàçìåííûõ âîëí â äèýëåê-
òðèêå, îãðàíè÷åííîì ïëîñêîñòüþ è çàíèìàþùåì ïîëóïðîñò-
ðàíñòâî, óðàâíåíèå äëÿ ÷àñòîòû ïðîäîëüíûõ âîëí èìååò âèä
()
~
ew
ps
+=10
. (2.4)
B ðàìêàõ ïðèáëèæåíèé, äëÿ êîòîðûõ ïîëó÷åíî âûðàæåíèå
(2.3), èìååì (ñì., íàïð. [41])
w
p
ps
=
2
2
Ne
m
,
ò. å.
ww
ps
pl
2=
.  ñëó÷àå æå, êîãäà àñèìïòîòèêà (2.2) âáëè
-
çè
w
ps
íå ðàáîòàåò, íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ òî÷íûì óðàâíå
-
íèåì (2.4), à îòíîøåíèå ÷àñòîò ïîâåðõíîñòíûõ è îáúåìíûõ
ïëàçìîíîâ îòëè÷àåòñÿ îò
12
.
Ôóíêöèÿ
()
ew
ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íîëü íå òîëüêî â îáëàñ
-
òè ýíåðãèé ýëåêòðîííûõ ïåðåõîäîâ, íî è â îáëàñòè ôîíîííûõ
êîëåáàíèé ðåøåòêè. Â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè â ôîíîííîé îá
-
ëàñòè äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü èîííûõ êðèñòàëëîâ
èìååò âèä (ñì., íàïðèìåð, [1], à òàêæå ÷àñòü 3 äàííîãî
ïîñîáèÿ):
36
1,0
0,6
0,2
01020
-
Im
n
1
_
h
,
eV
e
Ðèñ. 6. Ñïåêòð õàðàêòåðèñòè÷åñ
-
êèõ ïîòåðü äëÿ Ge [40]
()
()
ew e
ee
w
=+
-
-
¥
¥0
2
W
W
TO
2
TO
2
. (2.5)
Ïðè ýòîì
()
()
()()
[]
ew
ew
p
ee
dw- dw
2
2
0
11
~
»-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-+
¥
W
WW
LO
LO LO
2
,
ãäå
e
0
– ñòàòè÷åñêàÿ è
e
¥
– âûñîêî÷àñòîòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêèå
ïðîíèöàåìîñòè,
W
LO
– ÷àñòîòà ïðîäîëüíîãî, à
W
TO
– ïîïåðå÷
-
íîãî îïòè÷åñêîãî ôîíîíà, ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøå
-
íèåì
WW
LO TO
22
0
=
¥
e
e
. ×àñòîòà
W
TO
ñîîòâåòñòâóåò ïîëþñó äèý
-
ëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè (2.5), à
W
LO
– íóëþ ýòîé ôóíê
-
öèè.
Ôóíêöèÿ ïîòåðü ýíåðãèè ýëåêòðîíà ïîêàçûâàåò â ýòîì
ñëó÷àå íà èñïóñêàíèå è ïîãëîùåíèå ïðîäîëüíûõ îïòè÷åñêèõ
ôîíîíîâ. Òàêèì îáðàçîì, áûñòðûé ýëåêòðîí ïðè ïðîõîæäå-
íèè ÷åðåç âåùåñòâî òåðÿåò ñâîþ ýíåðãèþ íà ñîçäàíèå âñåãî
êîìïëåêñà ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé, âçàèìîäåéñòâóþùèõ
ñ ýëåêòðîíîì ÷åðåç ïðîäîëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå: ïðîäîëü-
íûõ îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ, ýëåêòðîííî-äûðî÷íûõ âîçáóæäå-
íèé è ïëàçìîíîâ. Ïðîâåäåííîå âûøå ðàññìîòðåíèå áûëî
ñïðàâåäëèâî äëÿ ýëåêòðîíîâ äîñòàòî÷íî âûñîêèõ ýíåðãèé, òà-
êèõ, ÷òî èñïóñêàíèå âîçáóæäåíèÿ ñ ýíåðãèåé â íåñêîëüêî
ýëåêòðîí-âîëüò íåçíà÷èòåëüíî ìåíÿëî èìïóëüñ âîçáóæäåíèÿ.
Äëÿ ðàññåÿíèÿ áîëåå íèçêîýíåðãåòè÷íûõ ýëåêòðîíîâ íåîáõî
-
äèìî ó÷èòûâàòü ðîæäåíèå íå òîëüêî äëèííîâîëíîâûõ âîç
-
áóæäåíèé, íî è êîðîòêîâîëíîâûõ, ïîýòîìó ôóíêöèÿ ïîòåðü
óæå íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç
()
~
ew
, à ëèøü ÷åðåç
()
~
,ewq
. Ïîäðîáíî
âñå ýòè ïðîöåññû ðàññìîòðåíû â äðóãîé ÷àñòè ïîñîáèÿ.
37
§ 3 Ìèêðîñêîïè÷åñêîå îïèñàíèå
âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì
3.1 Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü
Âçàèìîäåéñòâèå ñâåòà ñ âåùåñòâîì îïèñûâàåòñÿ îáû÷íî â
ïîëóêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ýòèõ
ïðîöåññîâ ìîæíî íàéòè â ðÿäå êíèã [42–45]. Çäåñü ìû ââåäåì
îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, êàñàþùèåñÿ ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Â ïî
-
ëóêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû «ýëåêò-
ðîìàãíèòíîå ïîëå ïëþñ òâåðäîå òåëî» ìîæåò áûòü ðàçáèò íà
ñóììó òðåõ ñëàãàåìûõ:
$$ $ $
int
HH H H=++
0R
, (3.1)
ãäå
$
H
0
— ãàìèëüòîíèàí, îïèñûâàþùèé òâåðäîå òåëî áåç èçëó-
÷åíèÿ,
$
H
R
— ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ïîëÿ,
$
int
H
— ÷ëåí, îïèñûâàþùèé âçàèìîäåéñòâèå ñâåòà ñ âå-
ùåñòâîì. Ïîëóêëàññè÷åñêîå îïèñàíèå ïðåäóñìàòðèâàåò, âî-
ïåðâûõ, êâàçèêëàññè÷åñêîå îïèñàíèå ïîëÿ èçëó÷åíèÿ. Âî-âòî-
ðûõ, ÷ëåí
$
int
H
ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèøü êàê âîçìóùåíèå. Ïðè
òàêîì îïèñàíèè îïóñêàþòñÿ ýôôåêòû îáðàçîâàíèÿ ïîëÿðèòî
-
íîâ ðàçíîãî òèïà — ñîñòîÿíèé, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ñìåñü
ýëåêòðîííûõ èëè ôîíîííûõ âîçáóæäåíèé ñ ôîòîíàìè. Âçàè
-
ìîäåéñòâèå ïîäîáíîãî òèïà íà ïðèìåðå ýêñèòîííîãî ïîëÿðè
-
òîíà áóäåò ðàçîáðàíî â ñëåäóþùåé ÷àñòè.
Ñîãëàñíî òåì æå ïîëóêëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì äëÿ
âû÷èñëåíèÿ
$
int
H
ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ýëåêòðî
-
ìàãíèòíîå ïîëå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê âíåøíÿÿ ñèñòåìà, ïîýòî
-
ìó ÷ëåí
$
H
R
â (3.1) îïóñêàåòñÿ. Ïðè ïîìåùåíèè òâåðäîãî òåëà
â ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ãàìèëüòîíèàíå, îïèñûâàþùåì
òâåðäîå òåëî, ïðîèñõîäèò çàìåíà îïåðàòîðîâ èìïóëüñà âñåõ
÷àñòèö
$
p
i
íà îïåðàòîðû îáîáùåííîãî èìïóëüñà
38
$
$
()P
ii
i
i
e
c
=+pAr
, ãäå
Ar(,)t
— âåêòîð-ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàã
-
íèòíîãî ïîëÿ,
e
i
è
ã
i
- çàðÿä è êîîðäèíàòû
i
-é ÷àñòèöû.  íå
-
ðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè îáîáùåííûå èìïóëüñû âõîäÿò
â ãàìèëüòîíèàí â âèäå ñóììû êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ÷àñòèö:
$
$
()
$
()
p
Ar A r
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
mm
e
mc
e
mc
22 2
2
2
22
2
ååå
=- +
P
P
i
å
. (3.2)
Ïðè âû÷èñëåíèè âòîðîãî ÷ëåíà ó÷òåíî, ÷òî äëÿ ïîïåðå÷íîéý
-
ëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû
divA = 0
, è ïîýòîìó
Ar()
i
è
$
P
i
êîììó
-
òèðóþò äðóã ñ äðóãîì.  ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî ñëàáûõ èíòåí
-
ñèâíîñòåé ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ íåëèíåéíûé ïî âåê
-
òîð-ïîòåíöèàëó ÷ëåí â (3.2) ìîæíî îïóñòèòü. Åãî âëèÿíèå
ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì â îñíîâíîì ïðè èñïîëüçîâàíèè
ìîùíîãî èçëó÷åíèÿ ëàçåðîâ. Òàêèì îáðàçîì, â ïîëóêëàññè-
÷åñêîì ïðèáëèæåíèè
$
()
$
int
H =-
å
e
mc
i
i
ii
i
2
Ar P
. (3.3)
Âûðàæåíèå äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè òâåðäî-
ãî òåëà ìîæíî ïîëó÷èòü ìíîãèìè ñïîñîáàìè. Ìû âûáåðåì íå
î÷åíü ñòðîãèé, íî íàãëÿäíûé ïóòü ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Áî-
ëåå ïîñëåäîâàòåëüíî ýòè ôîðìóëû áóäóò ðàññìîòðåíû â ñëå-
äóþùèõ ðàçäåëàõ ýòîãî ïàðàãðàôà. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì
ïîãëîùåíèå íà ñèñòåìå àòîìîâ, ñëàáî âçàèìîäåéñòâóþùèõ
äðóã ñ äðóãîì.
Êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ
aw()
ìîæío âûðàçèòü ÷åðåç ñå
-
÷åíèå ïîãëîùåíèÿ íà îäíîì àòîìå
sw aw() ()= N
, ãäå
N
— ÷èñ
-
ëî àòîìîâ â ýëåìåíòå îáúåìà. Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ïëîñ
-
êîïîëÿðèçîâàííóþ ïàäàþùóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â
íàïðàâëåíèè îñè
x
(ïðè ýòîì
~
(knic
x
=+k)w
). Âåêòîð-ïîòåí
-
öèàë òàêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ðàâåí
Ar e(,) cos( )exp( )t A t nxc xc=--ww wk
ãäå
e
— âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ëåæàùèé â ïëîñêîñòè
yz
.
Ïîòîê ýíåðãèè â ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå îïèñûâàåòñÿ ñîîò
-
íîøåíèåì (1.16), à ïîòîê ôîòîíîâ âûðàæàåòñÿ âåëè÷èíîé
39