Назад
ýíåðãèþ, âåùåñòâî îêàçûâàåòñÿ äèý
-
ëåêòðèêîì èëè ïîëóïðîâîäíèêîì.
Ðàçíèöà ìåæäó ýòèìè äâóìÿ òèïàìè
òâåðäûõ òåë â ñëó÷àå èäåàëüíûõ
êðèñòàëëîâ â îñíîâíîì êîëè÷åñòâåí
-
íàÿ øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû ó
äèýëåêòðèêîâ âûøå 3—4 ýÂ, ó ïî
-
ëóïðîâîäíèêîâ íèæå ýòîé öèôðû.
Ïîñêîëüêó, â ñîîòâåòñòâèè ñ
ïðèíöèïîì Ïàóëè, â îäíîì è òîì æå
ýëåêòðîííîì ñîñòîÿíèè ìîãóò íàõî
-
äèòüñÿ íå áîëåå äâóõ ýëåêòðîíîâ,
èìåþùèõ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâ
-
ëåííûå ñïèíû, êðèñòàëëû ñ íå÷åò
-
íûì ÷èñëîì ýëåêòðîíîâ íà ýëåìåí
-
òàðíóþ ÿ÷åéêó âñåãäà ñîçäàþò ÷àñ-
òè÷íî çàïîëíåííûå çîíû è, ñîîòâåòñ-
òâåííî, ÿâëÿþòñÿ ìåòàëëàìè. Îáðàò-
íîå â îáùåì ñëó÷àå íå âåðíî: èç-çà
ïåðåêðûòèÿ íåñêîëüêèõ çîí ìíîãèå
êðèñòàëëû, èìåþùèå ÷åòíîå ÷èñëî
ýëåêòðîíîâ íà ÿ÷åéêó, òåì íå ìåíåå
ÿâëÿþòñÿ ìåòàëëàìè.
Ýòîé êàðòèíå îäíîýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â òâåðäîì òåëå
ïðèñóùà îïðåäåëåííàÿ îãðàíè÷åííîñòü.  ãàìèëüòîíèàíå
$
H
0
â ïðîöåññå çàïîëíåíèÿ ýëåêòðîíàìè ñîñòîÿíèé ìåíÿåòñÿ
âêëàä ÷ëåíà, îïèñûâàþùåãî ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîå âçàèìî
-
äåéñòâèå.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ýòî âçàèìîäåéñòâèå ïðèâîäèò
ê ïîëíîé ïåðåñòðîéêå ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà, ÷òî â ñâîþ
î÷åðåäü ìîæåò ïðèâåñòè ê ïåðåõîäó èç ìåòàëëè÷åñêîãî â äèý
-
ëåêòðè÷åñêîå ñîñòîÿíèå (òàê íàçûâàåìûå ïåðåõîäû Ìîòòà
(ñì., íàïðèìåð, [63]). Ïîýòîìó îäíîýëåêòðîííûå ïåðåõîäû
îáû÷íî íå ó÷èòûâàþò ýòîò âêëàä, íàçûâàåìûé êîððåëÿöèîí
-
íîé ýíåðãèåé. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ðåøåíèå â ðàìêàõ ïðèáëèæå
-
íèÿ Õàðòðè-Ôîêà, ó÷èòûâàþùåãî êîððåëÿöèîííûå ýôôåêòû,
îáû÷íî îñóùåñòâèòü íå óäàåòñÿ. ×àñòî îãðàíè÷èâàþòñÿ ó÷å
-
òîì íåêîòîðîãî ñðåäíåãî ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ çàïîëíåí
-
íûõ ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé. Ýòî ïðèâîäèò ê ðàçãðàíè÷åíèþ
îïèñàíèÿ îäíîýëåêòðîííûõ ïåðåõîäîâ (áåç ó÷åòà âëèÿíèÿ ñà
-
ìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ) è ïåðåõîäîâ â ýêñèòîííûå ñîñòîÿíèÿ.
80
E
F
àá
-çîíà
-çîíà
-çîíà
-çîíà
ñ
v
v
ñ
Ðèñ. 15. Ðàñïðåäåëåíèå
ýíåðãåòè÷åñêèõ çîí â
òâåðäîì òåëå â îäíîýëåêò-
ðîííîì ïðèáëèæåíèè à -
äèýëåêòðèê; á - ìåòàëë.
Äâîéíîé øòðèõîâêîé îò-
ìå÷åíû çàïîëíåííûå
çîíû.
§ 5 Ïåðåõîäû ïîä äåéñòâèåì ñâåòà â
èäåàëüíîì êðèñòàëëå
5.1 Ìåæçîííûå ïåðåõîäû
Ðàññìîòðèì ïåðåõîäû ïîä äåéñòâèåì êâàíòà ñâåòà èç îä
-
íîé çîíû â äðóãóþ (òàê íàçûâàåìûå ìåæçîííûå ïåðåõîäû).
Ïðè ýòîì áóäåì ðàáîòàòü â ðàìêàõ îäíîýëåêòðîííîãî ïðèáëè
-
æåíèÿ. Âîëíîâûå ôóíêöèè ýëåêòðîíà îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèÿ
-
ìè Áëîõà (4.4)
y
aak
kr
k
r=
-
Veu
i12
(),
êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ýíåðãèè
E
a
()k
. Çäåñü
a
íîìåð ýíåð-
ãåòè÷åñêîé çîíû,
k
âîëíîâîé âåêòîð, îïðåäåëåííûé â çîíå
Áðèëëþýíà. Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåõîäà èç íà÷àëüíîãî ñîñ-
òîÿíèÿ
k
i
,
a
i
â êîíå÷íîå
k
f
,
a
f
èìååò âèä
fiV e u u e dr
i
i
V
f
ff ii
i
er r er r
kr
kk
kr
=
-
-
*
ò
13
aa
() () .
Çäåñü èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî âñåìó îáúåìó êðèñòàëëà. Ïîëüçó
-
ÿñü ïåðèîäè÷íîñòüþ ôóíêöèé
u
ka
, ìîæíî ñâåñòè ýòîò èíòåã
-
ðàë ê èíòåãðàëó òîëüêî ïî ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå êðèñòàëëà.
Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì âåêòîð
r
r= -rn
ðàäèóñ-âåêòîð êàêîé-
ëèáî òî÷êè
r
â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå îòíîñèòåëüíî öåíòðà
ÿ÷åéêè. Ïðè ýòîì
n
ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç âåêòîðîâ òðàíñëÿöèé
(4.3). Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ðàçáèâàåòñÿ íà ñóììó ïî ÿ÷åéêàì
îáúåìà
v
:
fi
Ve u u e
ii
fi
ff ii
f
er
e
kkr
n
kk
k
=
=
-
--
*
-
å
1
() (
() ()
aa
rr r
rr r
k
i
d
v
)
.
r
r
r
3
ò
×ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé
en
, âûïàäàåò èç-çà îðòîãîíàëüíîñòè
81
82
ôóíêöèé
u
ka
. Ñóììà ïî
n
ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â ñóììó
d
-ôóíêöèé, ÷òî ïðèâîäèò ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ýëåêòðî
-
íà:
e
V
i
f
i
fi
--
åå
=--
()
().
kkr
nb
kkb
8
3
p
d
Çäåñü
bb b b=+ +mm m
11 22 3 3
, ãäå
b
1
,
b
2
è
b
3
áàçèñíûå âåêòî
-
ðû îáðàòíîé ðåøåòêè. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî âîëíîâûå âåêòî
-
ðû
k
i
è
k
f
îïðåäåëåíû â ïðåäåëàõ ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà, íàõî
-
äèì, ÷òî â ñóììå
d
-ôóíêöèé îñòàåòñÿ òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ
d()kk
f
i
-
. Ýòî ñïðàâåäëèâî òîëüêî â èñïîëüçîâàííîì íàìè äëèí
-
íîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè. Ïðè áîëåå òî÷íîì ðàññìîòðåíèè èì
-
ïóëüñ ýëåêòðîíà ìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó èìïóëüñà ïîãëîùàåìîãî
ôîòîíà, ÷òî èçìåíÿåò
d
-ôóíêöèþ íà
dw()kks
f
i
nc--
, ãäå s åäè
-
íè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôîòîíà. Òåì ñà
-
ìûì â ñóììå èç
d
-ôóíêöèé îñòàþòñÿ è ÷ëåíû, îïèñûâàþùèå òàê íà-
çûâàåìûå ïðîöåññû ïåðåáðîñà. Åñëè
k
i
âûáðàí â ïðåäåëàõ ïåðâîé
çîíû Áðèëëþýíà, òî ñ ó÷åòîì èìïóëüñà ôîòîíà
k
f
ìîæåò âûéòè çà
ïðåäåëû ýòîé çîíû. Äëÿ ïðèâåäåíèÿ ýòîãî âåêòîðà â ïåðâóþ çîíó
íåîáõîäèìî âû÷åñòü èç íåãî âåêòîð îáðàòíîé ðåøåòêè. Âîëíîâûì
âåêòîðîì ôîòîíà íåâîçìîæíî ïðåíåáðåãàòü òåì ñàìûì, èñïîëü-
çîâàòü äëèííîâîëíîâîå ïðèáëèæåíèå) â ñëó÷àå, åñëè äëèíà âîëíû
ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìîé èëè ìåíüøå ïîñòîÿí-
íîé ðåøåòêè, òî åñòü äëÿ äîñòàòî÷íî æåñòêîãî ðåíòãåíîâñêîãî èç-
ëó÷åíèÿ.
Ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè (3.8) ïðèíè-
ìàåò âèä
ew p dw
aa
2
2
41() () [ ( )]( )( ()
,,
=-+-
å
ed k k
k
fi f
ii
fi
fE fE E Eh
f
( )),k
ãäå
dk
kkfi
v
ev u u d
ff ii
() () () .=
-*
ò
13
aa
rr r r
rr r
Ïåðåõîäÿ îò ñóììû ïî èìïóëüñàì ê èíòåãðàëó ñ ïîìîùüþ ñîîòíî
-
øåíèÿ
KK
k
å
ò
=
V
dk
B
8
3
3
p
W
, ïîëó÷àåì
ew
p
dw
aa
2
3
2
1
2
1
() ()
[()]()(
,
´- +
ò
å
dk
fE fE E
fi
f
ii
fi
ed k
h () ()).kk- E
f
(5.1)
Ýòà ôîðìóëà îïèñûâàåò ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðî
-
íèöàåìîñòè äëÿ ïåðåõîäîâ ýëåêòðîíà èç îäíîé çîíû â äðóãóþ.
Èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåé çîíå Áðèëëþýíà.
Äëÿ ìåòàëëè÷åñêèõ êðèñòàëëîâ âîçìîæíû ïåðåõîäû
ëèáî èç ÷àñòè÷íî çàïîëíåííîé ýíåðãåòè÷åñêîé çîíû, ëèáî â
íåå. Ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå èíòåãðèðîâàíèå èç-çà íàëè÷èÿ
ìíîæèòåëÿ
[]1 - ff
f
i
ïðîèçâîäèòñÿ ëèáî âíóòðè, ëèáî âíå ïî
-
âåðõíîñòè Ôåðìè ìåòàëëà.
Äëÿ äèýëåêòðèêîâ âîçìîæíû ëèøü ìåæçîííûå ïåðåõîäû
èç çàïîëíåííîé âàëåíòíîé çîíû
(( ) )fE
i
= 1
â ñâîáîäíóþ çîíó
ïðîâîäèìîñòè
(( ) )fE
f
= 0
. Â ñèëó ýòîãî ïðè íèçêèõ òåìïåðàòó
-
ðàõ ìíîæèòåëü
[]1 - ff
f
i
ìîæíî îïóñòèòü, îãðàíè÷èâ
ñóììèðîâàíèå ëèøü óêàçàííûìè çîíàìè. Äëÿ äèýëåêòðèêîâ
ýòî âîçìîæíî ïðè âñåõ òåìïåðàòóðàõ, à äëÿ ÷èñòûõ ïîëóïðî-
âîäíèêîâ ýòîò ìíîæèòåëü îïèñûâàåò ïîÿâëåíèå íåêîòîðîãî
÷èñëà ñâîáîäíûõ ðàâíîâåñíûõ ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñ-
òè è, ñîîòâåòñòâåííî, òàêîãî æå ÷èñëà (äëÿ ïîëóïðîâîäíèêîâ
áåç ïðèìåñåé) ñâîáîäíûõ ñîñòîÿíèé íà ïîòîëêå âàëåíòíîé
çîíû. Òàêèå ñâîáîäíûå ñîñòîÿíèÿ íàçûâàþòñÿ äûðêàìè. Â
äàëüíåéøåì â îñíîâíîì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ äèýëåêòðèêè,
ïîýòîìó ìû áóäåì ñ÷èòàòü íèæíþþ çîíó ïîëíîñòüþ çàïîëíåí-
íîé, à âåðõíþþ – ñâîáîäíîé.
Ïðè ïîãëîùåíèè êâàíòà ñâåòà ïðîèñõîäÿò ïåðåõîäû ýëåê
-
òðîíà èç ñîñòîÿíèÿ
a
i
â ñîñòîÿíèå
a
f
. Òàêîå îïèñàíèå èñïîëü
-
çóåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ
êàê ñîñòîÿíèå
N
ýëåêòðîíîâ, çàïîëíÿþùèõ âñå âàëåíòíûå ñîñ
-
òîÿíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïîëíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ âî âñåõ ñîñòî
-
ÿíèÿõ íå ìåíÿåòñÿ, à èçìåíÿþòñÿ ëèøü èõ ñîñòîÿíèÿ. Äàëåå
ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè ìû áóäåì îòìå÷àòü
èíäåêñîì
c
, à â âàëåíòíîé çîíå —
v
.
Îäíàêî ÷àñòî óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü ñîñòîÿíèå òâåðäîãî
òåëà, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèÿ âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé. Íåâîç
-
áóæäåííîå ñîñòîÿíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå çàïîëíåííûì âàëåíò
-
íûì çîíàì, ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê âàêóóì, â êîòîðîì îòñóòñòâó
-
þò âîçáóæäåíèÿ. Ïîãëîùåíèå ôîòîíà (èëè äðóãîé ïåðåõîä
òâåðäîãî òåëà â âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå ïðèâîäèò â ïîÿâëå
-
íèþ ïàðû: ýëåêòðîí
e
â çîíå ïðîâîäèìîñòè è äûðêà
h
â
83
âàëåíòíîé çîíå. Äàëåå ïðè
ðàáîòå ñ îäíîýëåêòðîííû
-
ìè ñîñòîÿíèÿìè áóäåì èñ
-
ïîëüçîâàòü èíäåêñû
c
è
v
äëÿ îïèñàíèÿ âîçáóæäå
-
íèé —
e
è
h
.
Åñëè íà÷àëî ýíåðãèè â
êàðòèíå îäíîýëåêòðîííûõ
ñîñòîÿíèé âûáðàíî íà ïî
-
òîëêå âàëåíòíîé çîíû,
ýíåðãèÿ òàêîãî ýëåêòðîíà
E
ee
()k
ñîâïàäàåò ýíåðãè
-
åé îäíîýëåêòðîííîãî ñîñ
-
òîÿíèÿ â çîíå ïðîâîäèìîñ
-
òè
E
cc
()k
, â òî âðåìÿ êàê
E
hh
()k
ðàâíà ïî àáñîëþò-
íîé âåëè÷èíå è ïðîòèâî-
ïîëîæíà ïî çíàêó ýíåðãèè
ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîñòîÿíèÿ â âàëåíòíîé çîíå:
EE
hh
vv
() ( )kk=- -
. Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèè êàê ýëåêòðîíà,
òàê è äûðêè îêàçûâàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè âåëè÷èíàìè. Èì-
ïóëüñ äûðêè ðàâåí ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëî-
æåí ïî íàïðàâëåíèþ èìïóëüñó ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîýëåêò-
ðîííîãî ñîñòîÿíèÿ:
kk
h
v
=-
(åñëè ïîëíûé èìïóëüñ ñèñòåìû
èç
N
ýëåêòðîíîâ ðàâåí íóëþ, òî èìïóëüñ ñèñòåìû èç
N -1
ýëåêòðîíîâ ïðîòèâîïîëîæåí èìïóëüñó óäàëåííîãî ýëåêòðî-
íà).
Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà ïðè ïîãëîùåíèè
äëèííîâîëíîâîãî ôîòîíà íà ÿçûêå âîçáóæäåííûõ ýëåêòðîí
-
íî-äûðî÷íûõ ïàð ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàê
hw=-= +EE E E
cc vv ee
hh
() () () ()kk k k
,
0 =-=+kkkk
cv e
h
.
Ïåðåõîäû ýòîãî òèïà íàçûâàþòñÿ ïðÿìûìè ìåæçîííûìè
ïåðåõîäàìè, ïîñêîëüêó íà ãðàôèêå çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îä
-
íîýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé
E
a
îò êâàçèèìïóëüñà
k
(ðèñ. 16)
ýòè ïåðåõîäû èçîáðàæàþòñÿ âåðòèêàëüíûìè ëèíèÿìè èç-çà
ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ýëåêòðîíà.
Èç-çà íàëè÷èÿ
dw(()())h +-EE
i
f
kk
â ôîðìóëå (5.1) ïå
-
ðåõîäû èìåþò ïîðîãîâûé õàðàêòåð, ïîñêîëüêó çîíà ïðîâîäè
-
ìîñòè è âàëåíòíàÿ çîíà ðàçäåëåíû ïî ýíåðãèè. Ôóíêöèÿ
84
L
X
W
Z
L
L
W
X
L
'
L
'
L
'
'
X
X
X'
X'
W
W
W
W
G
D
D
G
L
L
G
D
D
L
G
D
D
'
'
'
3
2
1
3
2
3
1
25
1
15
5
2
1
5
1
5
1
3
5
4
3
1
3
3
1
Ek()
Ðèñ. 16. Ïðÿìûå ìåæçîííûå ïåðåõî
-
äû â äèýëåêòðèêå ñî ñòðóêòóðîé
NaCl.
EE
f
i
() ()kk-
èìååò ìèíèìóì ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè
k
min
, è ïåðåõîäû íà÷èíàþòñÿ äëÿ äàííîé ïàðû âåòâåé ïðè
hw= -EE
cf
vi
,
,
() ()kk
min min
. Åñëè ýêñòðåìóìû çîí (ìèíèìóì
çîíû ïðîâîäèìîñòè è ìàêñèìóì âàëåíòíîé çîíû) äîñòèãàþòñÿ
â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ çîíû Áðèëëþýíà, òî çíà÷åíèå ïîðîãîâîé
ýíåðãèè ìîæåò áûòü áîëüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ïî
ýíåðãèè ìåæäó âàëåíòíîé çîíîé è çîíîé ïðîâîäèìîñòè. Êâà
-
çèèìïóëüñ
k
min
îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ
Ñ-Ñ=
kk
kkEE
cf
vi
,
,
() () 0
. (5.2)
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, îïðåäåëÿåò âñå ýêñòðå
-
ìóìû
k
ext
ðàçíîñòè ýíåðãèé çîí. Ýòî óðàâíåíèå, âî âñÿêîì
ñëó÷àå, óäîâëåòâîðÿåòñÿ â öåíòðå çîíû Áðèëëþýíà
G
è â òî÷
-
êàõ âûñîêîé ñèììåòðèè íà åå ãðàíèöàõ, â êîòîðûõ â ñèëó ñèì
-
ìåòðèéíûõ ñîîáðàæåíèé çàíóëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè
E
a
()k
:
Ñ=Ñ=
kk
kkEE
cf
vi
,
,
() () 0
.
Óðàâíåíèå (5.2) ìîæåò òàêæå óäîâëåòâîðÿòüñÿ â îäíîé èç òî-
÷åê âäîëü îñåé ñèììåòðèè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêîâ,
âäîëü êîòîðûõ îáðàùàþòñÿ â íîëü êîìïîíåíòû ãðàäèåíòîâ,
ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñÿì.
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòè
e
2
îò ÷àñòîòû ïåðåéäåì ê
èíòåãðèðîâàíèþ ïî ïîâåðõíîñòÿì ïîñòîÿííîé ðàçíîñòè ýíåð-
ãèé âåòâåé çîíû ïðîâîäèìîñòè è âàëåíòíîé çîíû (ýòî ïðåîá-
ðàçîâàíèå àíàëîãè÷íî ïåðåõîäó îò ôîðìóëû (4.6) ê (4.7)). Â
òàêîì ñëó÷àå èíòåãðàë îò
d
-ôóíêöèè ñíèìàåòñÿ, è ìû ïðèõî
-
äèì ê ðàâåíñòâó
ew
p
w
2
2
1
2
()
()
() ()
() ()
=
Ñ-Ñ
-=
ò
ed k
kk
k
kk
kk
fi
f
i
EE
dS
EE
fi
h
aa
fi
,
å
. (5.3)
Åñëè ïåðåõîäû ìåæäó ýêñòðåìàëüíûìè òî÷êàìè âåòâåé
a
i
è
a
f
ðàçðåøåíû, òî âûðàæåíèå
ed k
fi
()
ext
2
îòëè÷íî îò íóëÿ è
åãî ìîæíî âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà ïðè èíòåãðèðîâàíèè
âáëèçè ýêñòðåìóìà. Âêëàä ýòèõ âåòâåé â
e
2
îêàçûâàåòñÿ ðàâ
-
íûì
85
1
2
2
2
p
ed k
ed k
kk
k
kk
kk
fi
fi
f
i
EE
dS
EE
fi
()
()
() ()
() (
ext
Ñ-Ñ
- ) =
ò
hw
.
Ïîëó÷àþùèéñÿ çäåñü èíòåãðàë ïî àíàëîãèè ñ ïëîòíîñòüþ ñîñ
-
òîÿíèé íàçûâàåòñÿ êîìáèíèðîâàííîé ìåæçîííîé ïëîòíîñòüþ
ñîñòîÿíèé. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì êîìáèíèðîâàííàÿ ìåæçîí
-
íàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé áóäåò èìåòü íå ìåíåå ÷åòûðåõ îñî
-
áåííîñòåé Âàí Õîâà äëÿ êàæäîé ïàðû âåòâåé. Âáëèçè îò ýêñ
-
òðåìóìà ìîæíî ðàçëîæèòü
EE
f
i
() ()kk-
â ðÿä àíàëîãè÷íî
ðàçëîæåíèþ (4.8). Êîýôôèöèåíòû ñîîòâåòñòâóþùåé êâàäðà
-
òè÷íîé ôîðìû îïðåäåëÿþò òåíçîð îáðàòíûõ ïðèâåäåííûõ
ìàññ
m
ij
-1
. Ýòîò òåíçîð (â ñëó÷àå, åñëè ýêñòðåìóìû îáåèõ âåò
-
âåé äîñòèãàþòñÿ â îäíîé è òîé æå òî÷êå) ðàâåí ðàçíîñòè òåíçî
-
ðîâ îáðàòíûõ ýôôåêòèâíûõ ìàññ äâóõ âåòâåé:
m
ij c ij v ij
mm
-- -
=-
11 1
,,
, èëè, íà ÿçûêå ýëåêòðîííî-äûðî÷íûõ âîç-
áóæäåíèé,
m
ij e ij
hij
mm
-- -
=+
11 1
,
,
. Òàêèì îáðàçîì ïðèâåäåííàÿ
ìåæçîííàÿ ìàññà îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå êàê ìàññû ýëåêòðîíà,
òàê è ìàññû äûðêè.
Äëÿ äèïîëüíî-ðàçðåøåííûõ ïåðåõîäîâ âêëàäû îñîáåí-
íîñòåé Âàí Õîâà â ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàå-
ìîñòè
e
2
èìåþò ðàçëè÷íóþ ôîðìó â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îò-
ðèöàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ïðèâåäåííîãî ê ãëàâíûì îñÿì
òåíçîðà
m
ij
-1
. Îáîçíà÷åíèÿ îñîáûõ òî÷åê ñîâïàäàþò ñ îáîçíà-
÷åíèÿìè, ïðèâåäåííûìè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå:
MEE
MEE
02
12
:()~ ( ),
:()~ (
D
D
ew w qw
ew wq
hh
h
--
--
ext ext
ext e
xt
ext ext
ext
-
-- -
h
hh
w
ew w qw
ew
),
:()~ ( ),
:()~
MEE
ME
22
32
D
D
--hhwq w(),E
ext
(5.4)
ãäå
EE E
cf
viext ext ext
=-
,
,
() ()kk
.
 ðÿäå ñëó÷àåâ ïî ñîîáðàæåíèÿì ñèììåòðèè ìàòðè÷íûé
ýëåìåíò äèïîëüíîãî ïåðåõîäà
dk
fi
()
ext
îáðàùàåòñÿ â íîëü â
òî÷êå ýêñòðåìóìà.  òàêîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñëå
-
äóþùóþ ñòåïåíü ðàçëîæåíèÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà ïåðåõîäà â
ðÿä ïî ñòåïåíÿì
kk-
ext
:
dk kk
fi
()~
ext ext
-
. Â èíòåãðàëå
(5.3) êâàäðàò
kk-
ext
îñòàåòñÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, è
86
ñèíãóëÿðíîñòü Âàí Õîâà â ýòîé òî÷êå ñòàíîâèòñÿ çíà÷èòåëüíî
ñëàáåå: ïîêàçàòåëü ñòåïåíè â (5.4) ìåíÿåòñÿ ñ
12
íà
32
. Îáðà
-
òèì âíèìàíèå íà òîò ôàêò, ÷òî â ñëó÷àå äèïîëüíî-çàïðåùåí
-
íûõ ïåðåõîäîâ â òâåðäîì òåëå íåò íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðè
-
âàòü ìàãíèòíî-äèïîëüíûå è êâàäðóïîëüíûå ïåðåõîäû â òî÷êå
ýêñòðåìóìà, ïîñêîëüêó íåáîëüøîé ñäâèã ïî
k
èç ýòîé òî÷êè
îáû÷íî ñíèìàåò çàïðåò íà ïåðåõîäû, è âêëàä â äèýëåêòðè÷åñ
-
êóþ ïðîíèöàåìîñòü ïðè ýíåðãèÿõ íåìíîãî âûøå ïîðîãîâîé
ýíåðãèè ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íûì è äëÿ äèïîëüíûõ ïåðåõîäîâ.
Ïîñêîëüêó ñïåêòð ýíåðãèé èìååò ìíîãî âåòâåé êàê â âà
-
ëåíòíîé çîíå, òàê è â çîíå ïðîâîäèìîñòè, â îïòè÷åñêîì ñïåêò
-
ðå ïîãëîùåíèÿ äîëæíî íàáëþäàòüñÿ áîëüøîå ÷èñëî îñîáåí
-
íîñòåé Âàí-Õîâà. Äëÿ ïðèìåðà íà ðèñ. 17 èçîáðàæåíû ðàññ÷è
-
òàííûé ñïåêòð
e
2
ãåðìàíèÿ è ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìûé
ñïåêòð. Íà ïóíêòèðíîé êðèâîé — òåîðåòè÷åñêîì ðàñ÷åòå ïå
-
ðåõîäîâ ìåæäó íèæíèìè äâóìÿ çîíàìè ïðîâîäèìîñòè è âà-
ëåíòíîé çîíîé îò÷åòëèâî ïðîÿâëÿþòñÿ îñîáåííîñòè Âàí-
Õîâà. Àíàëîãè÷íûå îñîáåííîñòè íàáëþäàþòñÿ è â ýêñïåðè-
ìåíòàëüíî èçìåðåííîì ñïåêòðå. Íåêîòîðîå ðàçëè÷èå â ïîëî-
æåíèè îñîáåííîñòåé ñâÿçàíî ñ ïðèáëèæåíèÿìè, ïðèìåíÿâøè-
ìèñÿ ïðè ðàñ÷åòàõ. Çàìåòèì, ÷òî îñòðûé ïèê â îáëàñòè ~ 3,7
ýÂ ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì áëèçêîãî ðàñïîëîæåíèÿ îñîáåííîñ-
òåé òèïà
M
1
è
M
2
. Íà ðèñóíêå âèäíî êà÷åñòâåííîå ñîãëàñèå
ìåæäó äâóìÿ òèïàìè êðèâûõ.
Îäíèì èç íàèáîëåå ÷àñòî ïðèìåíÿåìûì ïðèáëèæåíèåì
ïðè âû÷èñëåíèè
e
2
ÿâëÿ-
åòñÿ ïðèáëèæåíèå ïîñòî
-
ÿííîãî (íå çàâèñÿùåãî îò
èìïóëüñà) ìàòðè÷íîãî
ýëåìåíòà
d
fi
. Ýòî ïðèáëè
-
æåíèå íèêàê íå ìîæåò
áûòü îáîñíîâàíî, åñëè èì
-
ïóëüñ ìåíÿåòñÿ â ïðåäå
-
ëàõ âñåé çîíû Áðèëëþý
-
íà, íî èñïîëüçóåòñÿ èç-çà
íåòî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèé
u
a
()r
. Â òàêîì
ïðèáëèæåíèè
e
2
ïðîïîð
-
öèîíàëüíî ñóììå äëÿ âñåõ
ïàð âåòâåé îò ïðèâåäåííîé
ìåæçîííîé ïëîòíîñòè ñîñ
-
òîÿíèé. Ñèëà
87
40
30
20
10
0
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
h
Â
X
X
e
()w
L
w
L
G
G
G
G
L
L
L
L
2
2
5
2
2
5
1
5
3
3
SS
4
1
4
1
'
'
'
'
'
3
1
3
1
®
®
®
®
®
®
®
Ðèñ. 17. Ýêñïåðèìåíòàëüíî èçìåðåí
-
íûé ñïåêòð
e
2
äëÿ Ge è òåîðåòè÷åñ
-
êèé ðàñ÷åò
e
2
(ïî [64]).
îñöèëëÿòîðà äëÿ ñîîò
-
âåòñòâóþùèõ ïåðåõî
-
äîâ íå ïàäàåò äî íóëÿ ñ
ïîñòîì ýíåðãèè, è òåì
ñàìûì íå ìîæåò áûòü
óäîâëåòâîðåíî ïðàâè
-
ëî ñóìì, ÷òî îçíà÷àåò
íåïðèìåíèìîñòü ïðèá
-
ëèæåíèÿ ïîñòîÿííîãî
ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà â
øèðîêîé îáëàñòè ýíåð
-
ãèé. Ó÷åò çàâèñèìîñòè
ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà
ïåðåõîäà îò âîëíîâîãî
âåêòîðà ìîæåò çíà÷è
-
òåëüíî èçìåíèòü ðå-
çóëüòàò ðàñ÷åòà îïòè-
÷åñêèõ ôóíêöèé (íà
ðèñ. 18 ïîêàçàíû ðå-
çóëüòàòû ðàñ÷åòà
[65]).
 ìåòàëëàõ îñî-
áåííîñòè îïòè÷åñêèõ
ôóíêöèé ìîãóò áûòü
ñâÿçàíû íå òîëüêî ñ êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè êîìáèíèðîâàííîé
ìåæçîííîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé, íî è ñ ðåçêèì ñêà÷êîì ýëåêò-
ðîííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
fE()
íà ïîâåðõíîñòè Ôåðìè.
Îäíàêî òàêîé ýôôåêò âîçìîæåí ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïî
-
âåðõíîñòü Ôåðìè äîñòàòî÷íî áëèçêà ê îäíîé èç ïîâåðõíîñòåé
ïîñòîÿííîé ðàçíîñòè ýíåðãèé
S
w
. Òåì ñàìûì ïðè ñîîòâåòñòâó
-
þùåé ýíåðãèè ïðîèñõîäèò ðåçêèé ñêà÷îê ÷èñëà âîçìîæíûõ
ïåðåõîäîâ, ó÷àñòâóþùèõ â ïîãëîùåíèè ñâåòà. Òàêîå ÿâëåíèå
ìîæåò âîçíèêàòü â ìåòàëëàõ ñ ïëîñêèìè âàëåíòíûìè çîíàìè.
Îñîáîå çíà÷åíèå èìååò îñîáåííîñòü Âàí Õîâà â ñàìîì íà
-
÷àëå ïîãëîùåíèÿ (íà ïîðîãå ïîãëîùåíèÿ), â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî
ïðè ýòîì ïîãëîùåíèå äîëæíî ðåçêî îáðûâàòüñÿ â ñòîðîíó
ìåíüøèõ ýíåðãèé ïî çàêîíó
()hw-E
g
12
äëÿ ðàçðåøåííûõ ïå
-
ðåõîäîâ è
()hw-E
g
32
äëÿ çàïðåùåííûõ. Îäíàêî çäåñü óæå
íà÷èíàþòñÿ òðóäíîñòè ïðèìåíåíèÿ îäíîýëåêòðîííîé ìîäåëè
áåç ó÷åòà êîððåëÿöèîííûõ ýôôåêòîâ. Åñëè äëÿ ðÿäà ïîëóïðî
-
âîäíèêîâ, íàïðèìåð Ge, ïîâåäåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíî
88
X-X
5' 3
GG
15 1
-
GG
15 25
-
K-K,X-X
4 1 4' 3
GG
15 25
-
K-K
11
K-K
31
L-L
32'
W-W
13
W-W
33
X-X
5' 2
L-L
31
L-L
33
e
2
0
5
10
1
5
Ýíåðãèÿ, ýÂ
Ðèñ. 18. Ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé
ïðîíèöàåìîñòè CaS ñ ó÷åòîì (òîëñòàÿ
ëèíèÿ) è áåç ó÷åòà (òîíêàÿ ëèíèÿ) çàâè-
ñèìîñòè ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà ïåðåõîäà
îò âîëíîâîãî âåêòîðà [65].
èçìåðåííîãî
e
2
íà êðàþ êà÷åñòâåííî (ñ òî÷íîñòüþ äî îòíîñè
-
òåëüíî ìàëûõ ýôôåêòîâ, ñâÿçàííûõ ñ íåïðÿìûìè ïåðåõîäà
-
ìè) ñîâïàäàåò ñ òåîðåòè÷åñêèìè ðàñ÷åòàìè, òî äëÿ ìíîãèõ øè
-
ðîêîçîííûõ êðèñòàëëîâ (êðèñòàëëîâ ñ áîëüøåé øèðèíîé çàï
-
ðåùåííîé çîíû,
E
g
>
5 ýÂ) íàáëþäàþòñÿ ðåçêèå îòëè÷èÿ ìåæ
-
äó ýêñïåðèìåíòîì è ïðîñòîé òåîðèåé. Íàïðèìåð, â ýêñïåðè
-
ìåíòàëüíî íàáëþäàåìûõ ñïåêòðàõ ïîãëîùåíèÿ ùåëî÷íî-ãàëî
-
èäíûõ êðèñòàëëîâ èìåþòñÿ ðåçêèå ìàêñèìóìû íà êðàþ ôóí
-
äàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü îáúÿñíå
-
íû â ðàìêàõ ïðîñòûõ îäíîýëåêòðîííûõ ïðåäñòàâëåíèé áåç
ó÷åòà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè.
5.2 Ïðîñòðàíñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ ìåæçîííîé
äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè
Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, â ñïåêòðîñêîïèè òâåðäûõ òåë âàæ
-
íóþ ðîëü èãðàåò íå òîëüêî ÷àñòîòíàÿ, íî è ïðîñòðàíñòâåííàÿ
äèñïåðñèÿ îïòè÷åñêèõ ôóíêöèé, â ÷àñòíîñòè,
ew
2
(,)k
. Ó÷åò
ýòîãî ÿâëåíèÿ âàæåí íå òîëüêî ïðè îïèñàíèè âçàèìîäåéñòâèÿ
òâåðäîãî òåëà ñ ïîïåðå÷íûìè ôîòîíàìè êâàíòàìè ñâåòà, íî è
ïðè ðàññìîòðåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïðîäîëüíûìè ôîòîíàìè
êóëîíîâñêîãî ïîëÿ. Ïîãëîùåíèå òàêèõ ôîòîíîâ ñ ýíåðãèåé
hw
è èìïóëüñîì
hk
ïðèâîäèò ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïîòåðÿì ýíåð-
ãèè è èìïóëüñà ïðîëåòàþùåé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû. Âûðàæå-
íèå äëÿ
ew
2
(,)k
ñ ó÷åòîì çàâèñèìîñòè îò âîëíîâîãî âåêòîðà
k
àíàëîãè÷íî (5.1) ñ åäèíñòâåííûì ðàçëè÷èåì, ÷òî âîëíîâîé
âåêòîð ïðîäîëüíîãî ôîòîíà âîéäåò â çàêîí ñîõðàíåíèÿ èì-
ïóëüñà:
kkkkk=-=+
cv e
h
.
Åñòåñòâåííî, ÷òî ýòî èçìåíåíèå èçìåíÿåò ïîðîã ïîãëîùå
-
íèÿ, ïîñêîëüêó
k
âîéäåò â óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýêñòðå
-
ìóìà. Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò
d
fi
òàêæå çàâèñèò îò
k
. Íî äàæå â
ýòîì ñëó÷àå â
ew
2
(,)k
ïðîÿâëÿþòñÿ îñîáåííîñòè Âàí Õîâà ïî
w
, ïîëîæåíèå êîòîðûõ çàâèñèò îò
k
.  ÷àñòíîñòè, åñëè ðàññ
-
ìàòðèâàòü òîëüêî îáëàñòü âáëèçè ïîðîãà, òî äëÿ ðàçðåøåííûõ
ïåðåõîäîâ áóäåò íàáëþäàòüñÿ êîðíåâàÿ îñîáåííîñòü. Â ïðîñ
-
òåéøåì ñëó÷àå äèñïåðñèîííûå êðèâûå äëÿ ýëåêòðîíîâ è äû
-
ðîê ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ïàðàáîëè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè:
EE
m
E
m
eg
e
h
h
()
()
,()k
kk
k
k
=+
-
=
h
h
2
0
2
22
22
.
89