Васильев А.Н., Михайлин В.В. Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I
Подождите немного. Документ загружается.
ñëó÷àå âûðîæäåííûõ çîí óðàâíåíèå (6.8) çàìåíÿåòñÿ íà ñîîò
-
âåòñòâóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé.
Åñëè ðàññìàòðèâàþòñÿ ìàëûé âîëíîâîé âåêòîð
K
, ïðåä
-
ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýôôåêòèâíûå ìàññû äûðêè
mm
h
v
=-
è ýëåêò
-
ðîíà
mm
ce
=
ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè, è ÷òî ýêñ
-
òðåìóìû îáåèõ çîí íàõîäÿòñÿ â òî÷êå
G
(
k0=
), òî
E
mm
EE
e
h
cvmin
HF HF
()
()
() ()K
K
00=
+
+-
h
22
2
,
è ïðèâåäåííàÿ ýôôåêòèâíàÿ ìàññà
m
---
=+
111
mm
e
h
òàêæå ÿâ
-
ëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé è íå çàâèñèò îò
K
. Â ýòîì ïðîñ
-
òåéøåì ñëó÷àå óðàâíåíèå (6.8) èìååò òàêîé æå âèä, ÷òî è
óðàâíåíèå àòîìà âîäîðîäà. Ïîýòîìó åãî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ
èçâåñòíû.
Åñëè
m>0
, òî èìåþòñÿ ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé
En
n
=-
*
Ry
2
, ãäå
Ry
*
=m ee
422
2 h
— òàê íàçûâàåìàÿ ýêñè-
òîííàÿ ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà. Ýòà êîíñòàíòà îòëè÷àåòñÿ îò
îáû÷íîé ïîñòîÿííîé Ðèäáåðãà äëÿ àòîìà âîäîðîäà
Ry =»me
42
2135h ,
ýÂ ìíîæèòåëåì
mem
2
, ãäå
m
— ìàññà
ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà. Äëÿ èîíèçàöèîííîãî êîíòèíóóìà (íåñ-
âÿçàííûõ ñîñòîÿíèé) ýíåðãèÿ ðàâíà
Ek
k
= h
22
2m
, ãäå
k
—
èìïóëüñ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà è äûðêè. Ýêñè-
òîííûé áîðîâñêèé ðàäèóñ
ae
B
*
=e mh
22
â
emm
ðàç áîëüøå áî-
ðîâñêîãî ðàäèóñà àòîìà âîäîðîäà
ame
B
= h
22
(0,05 íì). Ðà-
äèóñ
n
-ãî ñîñòîÿíèÿ ðàâåí
Rna
nB
=
*2
.
Ïðèìåíèìîñòü ìîäåëè ýêñèòîíà Âàíüå-Ìîòòà òðåáóåò,
÷òîáû ðàäèóñ ñîñòîÿíèÿ
R
n
áûë áû ìíîãî áîëüøå ïîñòîÿííîé
ðåøåòêè
a
. Ýòî òðåáóåò âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ
nm
2
1em>>
.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ìîäåëü Âàíüå-Ìîòòà ïðèìåíèìà êàê äëÿ
êðèñòàëëîâ ñ áîëüøèì çíà÷åíèåì
e
è ìàëîé ïðèâåäåííîé ýô
-
ôåêòèâíîé ìàññîé, òàê è â ñëó÷àå áîëüøèõ çíà÷åíèé êâàíòî
-
âîãî ÷èñëà
n
(òî åñòü äëÿ ñîñòîÿíèé âáëèçè ïîðîãà èîíèçà
-
öèè).
Òåì ñàìûì ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå ýêñèòîíà Âàíüå-Ìîòòà
õàðàêòåðèçóþòñÿ ïîëíûì èìïóëüñîì ýêñèòîíà
K
è êâàíòîâû
-
ìè ÷èñëàìè
l={,, }nlm
, ñîîòâåòñòâóþùèìè êâàíòîâûì ÷èñëàì
àòîìà âîäîðîäà. Ñîñòîÿíèÿ ñ
n > 1
ÿâëÿþòñÿ âûðîæäåííûìè
êàê ïî îðáèòàëüíîìó êâàíòîâîìó ÷èñëó
l
(
01££ -ln
), òàê è
ïî
m
(
-£ £lml
). Ýíåðãèÿ ñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ çàâèñèò
110
òîëüêî îò
K
è
n
:
EE
K
mm
e
n
ng
e
h
K
=+
+
-
h
h
22
4
22 2
2( )
m
e
.
Çäåñü áûëà ââåäåíà øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû
E
g
, êîòîðàÿ â
èñïîëüçîâàííûõ âûøå îáîçíà÷åíèÿõ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýíåð
-
ãèè ñîñòîÿíèé Õàðòðè-Ôîêà:
EE E
gc v
=-
HF HF
() ()00
.
Ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ èìåþò òî÷êó ñãóùåíèÿ ó ãðàíèöû èîíè
-
çàöèè
E
min
()K
. Áåñêîíå÷íîå ÷èñëî óðîâíåé ñâÿçàííûõ ñîñòÿî
-
íèé ñâÿçàíî ñ ïðèðîäîé ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó
ýëåêòðîíîì è äûðêîé (íåýêðàíèðîâàííûé êóëîíîâñêèé ïî
-
òåíöèàë). Äëÿ áîëåå êîðîòêîäåéñòâóþùèõ ïîòåíöèàëîâ ÷èñëî
ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñòàíîâèòñÿ êîíå÷íûì è ìîæåò áûòü
äàæå ðàâíî íóëþ.
Íèæå íàì ïîíàäîáèòñÿ çíàòü íå òîëüêî çíà÷åíèÿ ýíåðãèé,
íî è ïîâåäåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè , â ÷àñòíîñòè, ïîâåäåíèå
F
lK
âáëèçè íóëÿ. Êàê ñëåäóåò èç ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðå-
äèíãåðà äëÿ àòîìà âîäîðîäà,
FRa
B
l
lK
R()~( )
*
äëÿ
R ® 0
.
Îòñþäà ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ýëåê-
òðîíà è äûðêè â îäíîé òî÷êå îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî äëÿ
s
-ñîñ-
òîÿíèé (
l = 0
).
Èîíèçîâàííûå ñîñòîÿíèÿ ýêñèòîíà îáðàçóþò èîíèçàöèîí-
íûé êîíòèíóóì è ìîãóò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ëèáî ïîëíûì èì-
ïóëüñîì ýêñèòîíà
K
è èìïóëüñîì îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ
ýëåêòðîíà è äûðêè
k
, ëèáî èìïóëüñàìè îòäåëüíûõ ÷àñòèö
k
e
è
k
h
:
EE
K
mm
k
E
k
m
k
m
g
e
h
g
e
e
h
h
kK
=+
+
+=++
hh
h
h
22 22
22
22
2222()m
.
Ýíåðãèÿ èîíèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé çàâèñèò îò èìïóëüñîâ ýëåê
-
òðîíà è äûðêè òàê, êàê áóäòî ýëåêòðîí è äûðêà ñ èìïóëüñàìè
k
e
è
k
h
íå âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì. Îäíàêî âîëíîâàÿ
ôóíêöèÿ
F
lK
R()
îòëè÷àåòñÿ îò âîëíîâîé ôóíêöèè íåâçàèìî
-
äåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Ýòî ïîäðîáíî áóäåò ðàññìîòðåíî íèæå.
Ïðè ðàññìîòðåíèè ýêñèòîíîâ Ôðåíêåëÿ áîëüøîå âíèìà
-
íèå óäåëÿëîñü
LT
-ðàñùåïëåíèþ. Äëÿ ýêñèòîíîâ Âàíüå-Ìîòòà
òàêæå âîçìîæíî
LT
-ðàñùåïëåíèå. Îíî îêàçûâàåòñÿ íàìíîãî
111
ñëàáåå, ïîñêîëüêó îïðåäåëÿåòñÿ îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì
ýëåêòðîíà è äûðêè, êîòîðîå âîçìîæíî òîëüêî äëÿ ñîâïàäàþ
-
ùèõ êîîðäèíàò ýëåòðîíîâ è äûðîê. Ïîýòîìó
LT
-ðàñùåïëåíèå
îêàçûâàåòñÿ ïîðÿäêà
40
2
2
ppF v
nK
()
è ìàëî, ïîñêîëüêó
F
nK
()0
ìàëî è îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ òîëüêî äëÿ
s
-ñîñòîÿíèé. Ïî
-
ýòîìó òàêèì ðàñùåïëåíèåì îáû÷íî ïðåíåáðåãàþò.
Ðàññìîòðèì îïòè÷åñêèå ôóíêöèè ýêñèòîíîâ Âàíüå-Ìîò
-
òà. Âïåðâûå îíè áûëè ðàññìîòðåíû â [75]. Êàê è âî âñåõ ñëó
-
÷àÿõ, êîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ èäåàëûíàÿ íåäåôîðìèðóåìàÿ ðå
-
øåòêà, ïåðåõîä ïðîèñõîäèò â ñîñòîÿíèå ïîëíûì âîëíîâûì
âåêòîðîì
K = 0
.
Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåõîäà èç îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ
êðèñòàëëà
g
â âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå
l0
îêàçûâàåòñÿ ðàâ
-
íûì
egef g
ef gaa g ef
v
c
l
l
ll
0re k k0re
kre
0
k
0
k
k
k
0
==
==
*
*+
å
å
()
()
**
ò
å
º()kre
kk
k
yy
cv
dr
3
º
*
å
f
cvl0
k
ked k() ().
(6.9)
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
f
l0
k()
äëÿ ýêñèòîíà áîëüøîãî ðàäèóñà
îòëè÷íà îò íóëÿ ëèøü â íåáîëüøîé îáëàñòè çîíû Áðèëëþýíà
âîêðóã çíà÷åíèÿ
kk0=
m
()
, è ðàçëîæèì
i
-þ ïðîåêöèþ ìàòðè÷-
íîãî ýëåìåíòà äèïîëüíîãî ìîìåíòà
dk
cv
()
â ðÿä ïî
k
:
[]
[d k [d k 0
kk 0 [d k
k
k=k
cv i cv m i
mcvi
m
()] ( ())]
[()] ()]
(
=+
+- Ñ
0)
+K
Åñëè
dk
cv m
()¹ 0
, òî ïåðåõîä íàçûâàåòñÿ äèïîëüíî ðàçðåøåí
-
íûì; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå —
dk
cv m
()= 0
—äèïîëüíî çàïðå
-
ùåííûì.  ïåðâîì ñëó÷àå ìîæíî âûíåñòè
dk
cv m
()
çà çíàê èí
-
òåãðàëà â (6.9), è äëÿ äèïîëüíîãî ìîìåíòà ïåðåõîäà ïîëó÷àåì
eg f vF
cv m cv m
l
ll
0r d k k d k 0
0
k
0
==
*-*
å
() () () ()
12
.
Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåõîäà îòëè÷åí îò íóëÿ òîëüêî â
òàêèå ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ
F
l0
¹ 0
, ò. å. òîëüêî äëÿ
s
-ñîñòîÿ
-
íèé ýêñèòîíà Âàíüå–Ìîòòà. Çàìåòèì, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå
ñïðàâåäëèâî ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàìåòðà
aR
l
,ãäå
a
—
112
ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè,
R
l
— ðàäèóñ ýêñèòîíà, ïîñêîëüêó, åñëè
ýòîò ïàðàìåòð íå ÿâëÿåòñÿ ìàëûì, âûíîñèòü
dk
cv m
()
çà çíàê
ñóììû íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ îïðàâäàííûì.
Äëÿ äèïîëüíî çàïðåùåííûõ ïåðåõîäîâ ìàòðè÷íûé ýëå
-
ìåíò ïðèîáðåòàåò âèä
[]
egf
v
k
mcv
i
i
m
m
l
¶
¶
l
0r k k k d k
d
0
k
k=k
k
k=k
=-Ñ =
=
*
-
å
å
()[ ] ()
12
¶
¶
l
F
R
i
0
R
*
= 0
.
 ýòîì ñëó÷àå ïåðåõîäû ïðîèñõîäÿò íå â ñîñòîÿíèÿ
s
-òèïà, à
p
-òèïà, ïîñêîëüêó òîëüêî äëÿ òàêèõ ñîñòîÿíèé
ÑF
l0
îòëè÷íî
îò íóëÿ â òî÷êå
R = 0
. Çàìåòèì, ÷òî òåðìèí «äèïîëüíî çàïðå
-
ùåííûå ïåðåõîäû» èìååò â ñïåêòðîñêîïèè òâåðäîãî òåëà
ñìûñë, îòëè÷íûé îò ñìûñëà â àòîìíîé è ìîëåêóëÿðíîé ñïåêò-
ðîñêîïèè.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå, åñëè ïåðåõîä äèïîëüíî çàïðå-
ùåí, âîçìîæíû òîëüêî ìàãíèòíî-äèïîëüíûå è êâàäðóïîëüíûå
ïåðåõîäû.  íàøåì æå ñëó÷àå ïðîäîëæàåò ðàáîòàòü äèïîëü-
íîå ïðèáëèæåíèå, íî äëÿ äðóãèõ îáëàñòåé çîíû Áðèëëþýíà.
Åñëè ðàäèóñ ýêñèòîíà íå ñëèøêîì âåëèê ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîñ-
òîÿííîé ðåøåòêè, èíòåíñèâíîñòü äèïîëüíî çàïðåùåííûõ ïå-
ðåõîäîâ íå ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ äèïîëüíî ðàç-
ðåøåííûìè ïåðåõîäàìè.
Ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè äëÿ ñëó-
÷àÿ äèïîëüíî ðàçðåøåííûõ ïåðåõîäîâ ðàâíà
ew
p
dw
ll
l
2
2
22
4
() () ( )=-
å
v
FE
cv
d0
00
h
.
Äëÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ïðè ýíåðãèÿõ
hw= = -
*
EE n
ng0
Ry
2
ïîÿâëÿþòñÿ äèñêðåòíûå ëèíèè ñ èí
-
òåíñèâíîñòÿìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè
Fvan
nB0
0()
2
33
=
*
p
, ãäå
a
B
*
— áîðîâñêèé ðàäèóñ ýêñèòîíà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èíòåí
-
ñèâíîñòè ïåðåõîäîâ â
1s
-,
2s
-è
3s
-ñîñòîÿíèÿ ýêñèòîíà îòíîñÿò
-
ñÿ êàê
1
1
8
1
27
::
, òî åñòü èõ èíòåíñèâíîñòè áûñòðî ñïàäàþò. Â
ïðèáëèæåíèè íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêè âñå ëèíèè ÿâëÿþòñÿ
áåñêîíå÷íî óçêèìè; â äåéñòâèòåëüíîñòè îíè ïðèîáðåòàþò êî
-
íå÷íóþ øèðèíó çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ äðóãèìè êâàçè÷àñòè
-
öàìè, â ÷àñòíîñòè, ôîíîíàìè. Ïîýòîìó ëèíèè
113
âûñîêîâîçáóæäåííûõ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé (
n > 3
) ðàçìûâà
-
þòñÿ è îáðàçóþò êâàçèíåïðåðûâíûé ñïåêòð ñ êîíå÷íîé èíòåí
-
ñèâíîñòüþ. Õîòÿ èíòåíñèâíîñòü êàæäîé îòäåëüíîé ëèíèè ïà
-
äàåò êàê
n
-3
, èíòåíñèâíîñòü êâàçèíåïðåðûâíîãî ñïåêòðà îêà
-
çûâàåòñÿ êîíå÷íîé, ïîñêîëüêó ÷èñëî ñîñòîÿíèé, ïîïàäàþùèõ
èíòåðâàë ýíåðãèè
DE
, ðàâíî
()dE dn E n E
-*
=
13
2DDRy
.Îò
-
ñþäà ñëåäóåò, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ýêñèòîííîãî ïîãëîùåíèÿ äëÿ
áîëüøèõ
n
íå çàâèñèò îò ýíåðãèè è ðàâíà
va
B
2pRy
**
âïëîòü äî
E
g
, òî åñòü ýíåðãèè èîíèçàöèè ýêñèòîíà.
Âûøå ïîðîãà èîíèçàöèè ýíåðãèÿ ýêñèòîííîãî ñîñòîÿíèÿ
ñîâïàäàåò ñ ýíåðãèåé íåâçàèìîäåéñòâóþùåé ýëåêòðîííî-äû
-
ðî÷íîé ïàðû. Íî âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíà è äûðêè ñóùåñò
-
âåííî ìåíÿåò âîëíîâóþ ôóíêöèþ
F
k0
0()
. Äëÿ âîäîðîäîïîäîá
-
íûõ ñîñòîÿíèé ñ ýíåðãèåé âûøå
E
g
âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ
ýëåêòðîíà è äûðêè â îäíîé òî÷êå
F
k0
0()
2
ðàâíà [49]
vpa pa paexp( ) ( )sh
, ãäå
a=
*-
()ak
B
1
è
kE
g
=-
-
hh
112
2[( )]mw
;
ïðè ýòîì
a®¥
äëÿ
hw®E
g
, òî åñòü ýòà âåðîÿòíîñòü ðàñòåò ñ
ïðèáëèæåíèåì ýíåðãèè ê ïîðîãó èîíèçàöèè ñâåðõó êàê
()hw-
-
E
g
12
, ÷òî ïîëíîñòüþ êîìïåíñèðóåò óìåíüøåíèå ïðè-
âåäåííîé ìåæçîííîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ïî çàêîíó
()hw-E
g
12
. ïðåäåëå
hw®E
g
ñî ñòîðîíû êîíòèíóóìà çíà÷å-
íèå
e
2
ðàâíî
e
p
p
dw
m
p
2
3
3
22
1
2
2
2
»--
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
=
*
*
ò
()
dk
v
ak
E
k
v
a
kd
B
g
B
h
h
()
k
kE
k
v
a
v
a
g
BB
0
2
23
2
22
¥
***
ò
--
=
==
dmw
m
m
pp
()
.
hh
h
h Ry
Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòðû
ew
2
()
âûøå è íèæå
E
g
ïëàâíî, áåçî
âñÿêèõ îñîáåííîñòåé ïåðåõîäÿò äðóã â äðóãà (ðèñ. 20à). Òåì
ñàìûì ïðè íàëè÷èè ñèëüíûõ ýêñèòîííûõ ýôôåêòîâ îñîáåí
-
íîñòè Âàí Õîâà
ew w
2
12
()~( )h - E
g
íå íàáëþäàþòñÿ ñîâñåì,
òî åñòü ãðàíèöà ìåæäó ñâÿçàííûìè è èîíèçîâàííûìè ñîñòîÿ
-
íèÿìè íèêàê íå ïðîÿâëÿåòñÿ â ñïåêòðàõ
~
()ew
è â ñïåêòðàõ
114
ïîãëîùåíèÿ. Âëèÿíèå ýêñèòîí
-
íûõ ýôôåêòîâ îùóùàåòñÿ â îá
-
ëàñòè
2Ry
*
âûøå
E
g
è òîëüêî
ïðè
hw- >>
*
E
g
Ry ew
2
()
ñòàíî
-
âèòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíûì
()hw-E
g
12
.
 ñëó÷àå äèïîëüíî çàïðå
-
ùåííûõ ïåðåõîäîâ íèæíèì ñîñ
-
òîÿíèåì, âîçáóæäàåìûì ñâåòîì,
ÿâëÿåòñÿ
2p
-ñîñòîÿíèå ýêñèòîíà,
è èíòåíñèâíîñòè ïåðåõîäîâ ïðî
-
ïîðöèîíàëüíû
v
a
n
n
B
p
*
-
5
2
5
1
â îáëàñòè äèñêðåòíûõ ïåðåõîäîâ,
è ïðîïîðöèîíàëüíû
Ñ=+
=
R
k0
R0
Fv
2
22
1pa a pa pa()exp()()sh
â îáëàñòè íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà. Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå,
êâàçèíåïðåðûâíûé ñïåêòð äëÿ
hw<E
g
áåç ñèíãóëÿðíîñòåé
ïåðåõîäèò â íåïðåðûâíûé äëÿ
hw>E
g
:
ew p
¶
¶
w
2
2
25
2()=
-+
*
**
d
k
cv
g
B
E
a
h Ry
Ry
, ïðè
hw- <<
*
E
g
Ry
.
Îñîáåííîñòè Âàí Õîâà íå íàáëþäàþòñÿ è â ýòîì ñëó÷àå. Êà
-
÷åñòâåííî ôîðìà ñïåêòðà ñ ó÷åòîì óøèðåíèÿ ëèíèé ïîêàçàíà
íà ðèñ. 20á. Èíòåíñèâíîñòè ïåðâûõ äâóõ ëèíèé, ñîîòâåòñòâó
-
þùèõ ïåðåõîäàì â
2p
-è
3p
-ñîñòîÿíèÿ, îòíîñÿòñÿ êàê
():( ) :
3
32
8
243
68
32 31=»
.
Äëÿ ìíîãèõ ïîëóïðîâîäíèêîâ ýêñèòîííàÿ ïîñòîÿííàÿ
Ðèäáåðãà ìàëà, íàïðèìåð â ãåðìàíèè
Ry
*
»
0,016 ýÂ [76].
Êðîìå òîãî, ýêñèòîííûé ðàäèóñ â Ge
a
B
*
~ 4 íì è çíà÷èòåëüíî
ïðåâûøàåò ïîñòîÿííóþ ðåøåòêè. Ïîýòîìó â ïîëóïðîâîäíè
-
êàõ, ñ îäíîé ñòîðîíû, õîðîøî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ïðèìå
-
íèìîñòè ìîäåëè ýêñèòîíîâ Âàíüå—Ìîòòà, à, ñ äðóãîé
115
1s
2s
3s
¥s
¥p
E -Ry
E -Ry
E
E
h
n
hn
2p
3p
e
e
2
2
à
á
g
g
g
g
*
*
Ðèñ. 20. Ýêñèòîííûé ñïåêòð
ïîãëîùåíèÿ ïî ìîäåëè Ýë
-
ëèîòà-Âàíüå â ñëó÷àå ðàçðå
-
øåííûõ (à) è çàïðåùåííûõ
(á) ïåðåõîäîâ. Ïóíêòèðîì
èçîáðàæåíû êðèâûå
e
2
áåç
ó÷åòà ýêñèòîííûõ ýôôåêòîâ.
ñòîðîíû, îíè ñëàáî ïðîÿâëÿþòñÿ â îïòè÷åñêîì ïîãëîùåíèè.
Íàïðîòèâ, â áîëåå øèðîêîçîííûõ êðèñòàëëàõ
Ry
*
âîçðàñòà
-
åò. Òàê, â
Cu O
2
— âåùåñòâå, â êîòîðîì âïåðâûå íàáëþäàëîñü
áîëüøîå ÷èñëî ýêñèòîííûõ ëèíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ áîëü
-
øèì
n
,
Ry
*
ïîðÿäêà 0,1 ý [77]; à â ùåëî÷íî-ãàëîèäíûõ êðèñ
-
òàëëàõ äîñòèãàåò 0,5 ýÂ. Ñîîòâåòñòâåííî óìåíüøàåòñÿ è ðàäè
-
óñ ñîñòîÿíèÿ. Ïîýòîìó â ýòèõ êðèñòàëëàõ îáëàñòü âëèÿíèÿ ýê
-
ñèòîííûõ ñîñòîÿíèé ñîñòàâëÿåò 1,5—2 ýÂ, è îñîáåííîñòè Âàí
Õîâà â ïðèíöèïå íàáëþäàòü íåâîçìîæíî.
Çäåñü íåîáõîäèìî ñäåëàòü ñëåäóþùåå çàìå÷àíèå. Äëÿ
îöåíêè øèðèíû çàïðåùåííîé çîíû
E
g
âî ìíîãèõ êðèñòàëëàõ,
â òîì ÷èñëå è â øèðîêîçîííûõ, ÷àñòî èñïîëüçóþò ìîäåëü ýê
-
ñèòîíîâ Âàíüå—Ìîòòà, ïðè÷åì îãðàíè÷èâàþòñÿ èíîãäà ïåð
-
âûìè äâóìÿ-òðåìÿ ïèêàìè ýêñèòîííîé ñåðèè, ïîëó÷àÿ èç íèõ
çíà÷åíèå
Ry
*
. Ïðè ýòîì íå ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî
1s
-ñîñòîÿíèå èìå
-
åò ìàëûé ðàäèóñ è ê íåìó ìîäåëü ýêñèòîíà áîëüøîãî ðàäèóñà
îáû÷íî ïëîõî ïðèìåíèìà. Ïîýòîìó ê òàêîãî ðîäà îöåíêàì øè-
ðèíû çàïðåùåííîé çîíû ñëåäóåò îòíîñèòüñÿ ñ îñòîðîæíîñ-
òüþ. Îïðåäåëåííûì êðèòåðèåì ïðèìåíèìîñòè ìîäåëè Âàíüå-
Ìîòòà ìîæåò ñëóæèòü îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïîä
1s
-è
2s
-ïèêà-
ìè, êîòîðîå äîëæíî ñîñòàâëÿòü 8:1.
Çäåñü ðàññìîòðåíû îñíîâíûå ÷åðòû ýêñèòîííûõ ýôôåê-
òîâ, êîòîðûå ïðîÿâëÿþòñÿ âáëèçè ìèíèìóìà
EE
cv
HF HF
-
—
îñîáîé òî÷êè
M
0
-òèïà ïî êëàññèôèêàöèè §5.  ñëó÷àå íåèçîò-
ðîïíûõ, âûðîæäåííûõ çîí ðàñ÷åò ýêñèòîííûõ ýôôåêòîâ çíà-
÷èòåëüíî óñëîæíÿåòñÿ, îäíàêî îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè
e
2
ìåíÿþòñÿ ìàëî. Âáëèçè îñòàëüíûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê (
M
1
,
M
2
,
M
3
) òîæå âîçìîæíî âîçíèêíîâåíèå ýêñèòîííûõ ýôôåê
-
òîâ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê èçìåíåíèþ ôîðìû ñïåêòðà ïîãëîùå
-
íèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññìîòðåííûì â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå.
Òàê, â êðèòè÷åñêîé òî÷êå
M
3
ýëåêòðîí è äûðêà ýôôåêòèâíî
îòòàëêèâàþòñÿ äðóã îò äðóãà, ÷òî ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ âå
-
ðîÿòíîñòè èõ íàõîæäåíèÿ â îäíîé òî÷êå è, ñëåäîâàòåëüíî, ê
óìåíüøåíèþ âêëàäà îò ñîîòâåòñòâóþùåé ïàðû çîí â
e
2
. Åñòåñ
-
òâåííî, ÷òî â ýòîé òî÷êå íå îáðàçóåòñÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé.
Âåëè÷èíà
F
l0
0()
2
óìåíüøàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî áûñòðî (êàê
e
x-1
) ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå
M
3
(~ )xE
M
3
- hw
, è ïîýòî
-
ìó âêëàä â
ew
2
()
ïëàâíî ïåðåõîäèò â íîëü.
Óâåëè÷åíèå
ew
2
()
ïðè ýíåðãèÿõ
hw
âîêðóã òî÷êè
M
0
èèõ
óìåíüøåíèå íèæå òî÷êè
M
3
ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì,
116
ïîñêîëüêó
ew
2
()
äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ïðàâèëó ñóìì. Òåì
ñàìûì, óñèëåíèå ýêñèòîííûõ ýôôåêòîâ íèæå ïîðîãà
E
g
ñíå
-
îáõîäèìîñòüþ ïðèâîäèò ê ïåðåðàñïðåäåëåíèþ ñèë îñöèëëÿòî
-
ðîâ âî âñåì ñïåêòðå.  ïðåäåëå î÷åíü ñèëüíîé ýëåêòðîí-ôî
-
íîííîé ñâÿçè âñå ñèëû îñöèëëÿòîðîâ êîíöåíòðèðóþòñÿ â îä
-
íîé ëèíèè, êîòîðàÿ â ýòîì ïðåäåëå îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ ýê
-
ñèòîíà Ôðåíêåëÿ. Ñèëû îñöèëëÿòîðîâ äëÿ ïåðåõîäîâ â ñîñòî
-
ÿíèÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ñòàíîâÿòñÿ ìàëûìè.
 êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ
M
1
è
M
2
â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíî
-
øåíèÿ ýôôåêòèâíûõ ìàññ òàêæå âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå ðå
-
çîíàíñíûõ ñîñòîÿíèé. Ýòè ñîñòîÿíèÿ ïðèâîäÿò ê ïèêàì â ïîã
-
ëîùåíèè. Îäíàêî, ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ ýòèõ ñîñòîÿíèé ëåæèò
âûøå ìèíèìàëüíîé ýíåðãèè âîçáóæäåíèÿ îñíîâíîãî
ñîñòîÿíèÿ, ñîñòîÿíèÿ áóäóò àâòîèîíèçàöèîííûìè — îíè ðàñ
-
ïàäàþòñÿ íà äðóãèå ýëåêòðîííûå âîçáóæäåíèÿ. Ýòî ïðèâîäèò
ê êîíå÷íîé øèðèíå ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé
äàæå â íåäåôîðìèðóåìîì êðèñòàëëå. Ìåòîäû ðàñ÷åòà ôîðì
ëèíèé ïîäîáíûõ ñîñòîÿíèé èçëîæåíû â ñëåäóþùåì ïàðàãðà-
ôå.
6.4 Ýêñèòîíû â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ
Âûøå áûëè ðàññìîòðåíû äâå êðàéíèå ìîäåëè: ìîäåëè ýê-
ñèòîíà Ôðåíêåëÿ è ýêñèòîíà Âàíüå-Ìîòòà. Åñòåñòâåííî, ÷òî â
áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ äëÿ ðåàëüíûõ êðèñòàëëîâ ýòè ïðîñòûå
ìîäåëè â ÷èñòîì âèäå íåïðèìåíèìû.  äàííîì ðàçäåëå ìû
ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ýôôåêòû, îïóùåííûå â ïðåäûäóùèõ
ðàçäåëàõ.
Ñäåëàåì íåñêîëüêî çàìå÷àíèé ïî ïîâîäó âîçìîæíûõ ñïè
-
íîâûõ ñîñòîÿíèé ýêñèòîíà ([71, 78]). Ïîñêîëüêó ýëåêòðîí è
äûðêà èìåþò ñïèí, ðàâíûé
1
2
, òî âîçìîæíî âîçíèêíîâåíèå
âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ñ ïîëíûì ñïèíîì
S = 0
èëè
S = 1
.Â
ïåðâîì ñëó÷àå ýêñèòîí íàçûâàåòñÿ ñèíãëåòíûì ýêñèòîíîì, âî
âòîðîì — òðèïëåòíûì. Ïðè îïòè÷åñêîì âîçáóæäåíèè ñïèí
ýëåêòðîíà ïðè ïåðåõîäå èç âàëåíòíîé çîíû â çîíó ïðîâîäè
-
ìîñòè íå ìåíÿåòñÿ. Èñõîäíîå ñîñòîÿíèå
g
îáëàäàåò ðàâíûì
íóëþ ñïèíîì, ïîýòîìó ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ ôîòîíàìè íàá
-
ëþäàþòñÿ òîëüêî ñèíãëåòíûå ýêñèòîíû. Â òî æå âðåìÿ òðèï
-
ëåòíûå ýêñèòîíû èãðàþò çíà÷èòåëüíóþ ðîëü â ïðîöåññàõ ïå
-
ðåíîñà ýíåðãèè è â ëþìèíåñöåíöèè (îñîáåííî â ìîëåêóëÿð
-
íûõ êðèñòàëëàõ). Ïðè âûâîäå âûðàæåíèé äëÿ ýíåðãèè ýêñè
-
òîíîâ íåîáõîäèìî ê êîîðäèíàòàì ïðèïèñàòü ñïèíîâûå êîìïî
-
íåíòû è âåçäå, ãäå âõîäèò èíòåãðèðîâàíèå ïî
r
, ïðîèçâîäèòü
117
ñóììèðîâàíèå ïî ñïèíó ñîîòâåòñòâóþùåãî ýëåêòðîíà. Ïðè
ýòîì îò ñïèíîâîãî ñîñòîÿíèÿ ýêñèòîíà áóäåò çàâèñåòü îáìåí
-
íûé ÷ëåí. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî äëÿ òðèïëåòíûõ ñîñòîÿ
-
íèé
w
ex
â óðàâíåíèè (6.3) èñ÷åçàåò, à äëÿ ñèíãëåòíûõ — óäâà
-
èâàåòñÿ. Ïîñêîëüêó
w
ex
()00>
, ñèíãëåòíîå ñîñòîÿíèå ëåæèò
âûøå ïî ýíåðãèè, ÷åì òðèïëåòíîå, íà âåëè÷èíó
2 ew
iKm
m0
m
ex
()
¹
å
. Îáìåííîå âçàèìîäåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ êîí
-
òàêòíûì, ïîýòîìó îíî ñóùåñòâåííî òîëüêî â
s
-ñîñòîÿíèÿõ ýê
-
ñèòîíà è ïðîïîðöèîíàëüíî
()aa
B
* 3
.
Çäåñü áûë ðàññìîòðåí ñïåêòð ýêñèòîííûõ ñîñòîÿíèé â
ñëó÷àå, êîãäà çîíà ïðîâîäèìîñòè è âàëåíòíàÿ çîíà ñîñòîÿò èç
îäíîé âåòâè êàæäàÿ. Îäíàêî ÷àñòî âàëåíòíàÿ çîíà â òî÷êå
ìàêñèìóìà — â
G
-òî÷êå — ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé. Ñïèí-îð
-
áèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòè÷íî ñíèìàåò ýòî âûðîæäåíèå,
è âàëåíòíàÿ çîíà ðàñùåïëÿåòñÿ íà ïîäçîíû. Ýòî ïðèâîäèò ê
òîìó, ÷òî âî ìíîãèõ êðèñòàëëàõ íàáëþäàþòñÿ äâå-òðè ýêñè-
òîííûå ñåðèè âáëèçè êðàÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî ïîãëîùåíèÿ,
ïðè÷åì îíè èìåþò ðàçëè÷íûå ïîñòîÿííûå Ðèäáåðãà è ðàçëè÷-
íûå ýíåðãèè òî÷åê ñãóùåíèÿ êâàçèäèñêðåòíîãî ñïåêòðà. Íàá-
ëþäåíèå íåñêîëüêèõ ñåðèé ïîçâîëÿåò ñ áîëüøîé äîñòîâåðíîñ-
òüþ ãîâîðèòü î ñòðóêòóðå âàëåíòíîé çîíû âáëèçè ìàêñèìóìà.
Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ýôôåêòèâíîé ìàññû è àïïðîêñè-
ìàöèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ââåäåíèåì ìàêðîñêîïè-
÷åñêîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè âîçìîæíû ëèøü äëÿ
ïîòåíöèàëîâ, ïëàâíî ìåíÿþùèõñÿ íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà
ìåæàòîìíûõ. Äëÿ êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà âáëèçè
r = 0
ýòî
óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ, ïîýòîìó äàæå â êðèñòàëëàõ ñ õîðîøî
âûðàæåííûìè âîäîðîäîïîäîáíûìè ñåðèÿìè ïåðâûé óðîâåíü
1s
âûïàäàåò èç îáùåé çàêîíîìåðíîñòè. ×òîáû ïîíÿòü, êàê
ìîæíî îòêîððåêòèðîâàòü ïîòåíöèàë, òðåáóåòñÿ ïîäðîáíåå îá
-
ñóäèòü ïîëÿðèçàöèþ îêðóæàþùåãî êðèñòàëëà.
Ïðîäîëüíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, âîçíèêàþùåå ïðè âçàè
-
ìîäåéñòâèè ýëåêòðîíà ñ äûðêîé, ýêðàíèðóåòñÿ â êðèñòàëëå,
÷òî ó÷èòûâàåòñÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ
e
â çíàìå
-
íàòåëå êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîñêîëüêó
e
çàâèñèò îò
÷àñòîòû ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ
w
, ïîëÿðèçàöèÿ êðèñòàëëà òàê
-
æå áóäåò çàâèñåòü îò õàðàêòåðíûõ ÷àñòîò îòíîñèòåëüíîãî äâè
-
æåíèÿ ýëåêòðîíà è äûðêè. Åñëè ðàäèóñ ýêñèòîííîãî ñîñòîÿ
-
íèÿ ìàë (ïîðÿäêà ìåæàòîìíîãî ðàññòîÿíèÿ), õàðàêòåðíûå
÷àñòîòû ìíîãî áîëüøå ÷àñòîò èîííîé ïîäñèñòåìû (ìû áóäåì
118
èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå
W
L
äëÿ õàðàêòåðíîé ÷àñòîòû ôîíî
-
íîâ), è â êà÷åñòâå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè âûñòóïàåò
e
¥
, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè äèýëåêòðèêà. Äëÿ
áîëüøèõ ðàäèóñîâ ýêñèòîíà õàðàêòåðíûå ÷àñòîòû äâèæåíèÿ
ñòàíîâÿòñÿ ìåíüøå, è â ïîëÿðèçàöèè íà÷èíàåò ó÷àñòâîâàòü
èîííàÿ ïîäñèñòåìà êðèñòàëëà. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå äèýëåêò
-
ðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè âûñòóïàåò ñòàòè÷åñêàÿ äèýëåêòðè
-
÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü
e
0
, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îáëàñòè ÷àñòîò
íèæå ÷àñòîòû èíôðàêðàñíîãî ïîãëîùåíèÿ (
w<W
L
). Âîîáùå
ãîâîðÿ, èç èíòóèòèâíûõ ñîîáðàæåíèé ìîæíî çàïèñàòü ïîòåí
-
öèàë âçàèìîäåéñòâèÿ â âèäå
()
w
e
rr
eh
Coul
=
2
ew ()
, (6.10)
ãäå
w
eh
r()
— õàðàêòåðíàÿ ÷àñòîòà äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà è äûð
-
êè, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè
r
äðóã îò äðóãà. Åå ìîæíî
îöåíèòü, çíàÿ, ÷òî óãëîâîé ìîìåíò ïîðÿäêà
h
, à ìîìåíò èíåð-
öèè ïîðÿäêà
mr
2
:
wm
eh
rr()» h
2
. Äëÿ êðèñòàëëîâ ñ øèðîêîé
çàïðåùåííîé çîíîé ýòà ÷àñòîòà ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìîé ñ òèïè÷-
íîé ÷àñòîòîé êîëåáàíèé ðåøåòêè
W
L
íà ðàññòîÿíèÿõ
r
ïîðÿäêà
íåñêîëüêèõ íàíîìåòðîâ. Â ðàáîòå [79] ïðåäëîæåí áîëåå ïðÿ-
ìîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ èíòåðïîëÿöèîííîé ôîðìóëû, îïèñû-
âàþùåé ïåðåõîä îò ïîòåíöèàëà
er
2
0
e
íà áîëüøèõ ðàññòîÿíè-
ÿõ ê ïîòåíöèàëó
er
2
e
¥
äëÿ ìàëûõ ðàññòîÿíèé. Ýòà ôîðìóëà
èìååò âèä (6.10), ãäå
e()r
îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
1111
1
2
0
eeee
r
r
()r
ee
r
r
eh
=- -
é
ë
ê
ù
û
ú
-
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
¥¥
-
-
, (6.11)
à
r
aa
= h 2m
L
W
. Èíòåðïîëÿöèîííûå ôîðìóëû òàêîãî òèïà
ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ è äëÿ äðóãèõ ôîðì îïèñàíèÿ ÷àñòîòíîé çà
-
âèñèìîñòè
ew()
. Íàïðèìåð, â [80] ðàññìîòðåíî âëèÿíèå ëîêà
-
ëèçîâàííûõ ýêñèòîííûõ ñîñòîÿíèé (ôðåíêåëåâñêèõ ýêñèòî
-
íîâ), èìåþùèõ ýíåðãèþ âîçáóæäåíèÿ
E
L0
, íà ïîëÿðèçàöèþ
êðèñòàëëà, è ïîëó÷åíà ôîðìóëà (6.11) ñ çàìåíîé
ee
0
®
¥
,
e
¥
® 1
,
W
LL
E®
0
h
. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíà è äûðêè ñ
ôðåíêåëåâñêèìè ýêñèòîíàìè èìååò ìåñòî òîëüêî äëÿ áîëüøèõ
õàðàêòåðíûõ ÷àñòîò äâèæåíèÿ, òî åñòü äëÿ ðàññòîÿíèé, ñðàâ
-
íèìûõ ñ ìåæàòîìíûìè. Íà òàêèõ ðàññòîÿíèÿõ ïðèìåíèìîñòü
119