Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

êðèñòàëëà, òàê è êðèñòàëëà ñ ïðèìåñíûì àòîìîì, îïðåäåëèòü ïðàâè-

ëà îòáîðà äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïåðåõîäà â ñèñòåìå ïîä äåéñòâè-

åì âíåøíèõ âîçìóùåíèé. Çà ïîñëåäîâàòåëüíûì èçëîæåíèåì òåîðèè

ãðóïï ìû îòñûëàåì ÷èòàòåëÿ ê âûøåóïîìÿíóòûì ó÷åáíèêàì, à çäåñü

íà ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ïðèìåðàõ ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ,

øèðîêî ïðèìåíÿåìûå â ñïåêòðîñêîïèè.

Èíòåðåñóþùèå íàñ ãðóïïû ñèììåòðèè êðèñòàëëà ÿâëÿþòñÿ ñîâî-

êóïíîñòÿìè îïåðàöèé ñèììåòðèè, ñîâìåùàþùèõ êðèñòàëë ñàì ñ ñî-

áîé. Ïðè ýòîì êðèñòàëë ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèáî êàê áåñêîíå÷íûé, ëèáî

íà íåãî íàëàãàþòñÿ öèêëè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ Áîðíà-Êàðìàíà,

ñîãëàñíî êîòîðûì âñå âîëíîâûå ôóíêöèè ñ÷èòàþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè

ñ ïåðèîäàìè, ìíîãî áîëüøèìè ïåðèîäîâ ðåøåòêè êðèñòàëëà è êðàò-

íûìè ïîñëåäíèì. Â îäíîìåðíîì ñëó÷àå öèêëè÷åñêèå óñëîâèÿ Áîðíà-

Êàðìàíà ýêâèâàëåíòíû çàìûêàíèþ äëèííîé öåïî÷êè àòîìîâ â êîëü-

öî. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òðàíñëÿöèé êðèñòàëëà íà âåêòîðû

na a a=++nnn

11 22 3 3

, (4.3)

ãäå

— îñíîâíûå âåêòîðû òðàíñëÿöèé êðèñòàëëà, à

— öå-

ëûå ÷èñëà, îáðàçóþò ãðóïïó òðàíñëÿöèé êðèñòàëëà. Êðîìå òðàíñëÿ-

öèé ñóùåñòâóþò îïåðàöèè ñèììåòðèè, ïåðåâîäÿùèå ýêâèâàëåíòíûå

âåêòîðû â êðèñòàëëå äðóã â äðóãà. Ýòè îïåðàöèè ñèììåòðèè îáðàçóþò

òî÷å÷íóþ ãðóïïó êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè. Â òî÷å÷íóþ ãðóïïó ñèì-

ìåòðèè ìîãóò âõîäèòü: èíâåðñèÿ, ïîâîðîòû âîêðóã îñè íà 60 è 90° è

êðàòíûå èì óãëû; îòðàæåíèÿ â ïëîñêîñòÿõ è íåêîòîðûå êîìáèíàöèè

èç ýòèõ ýëåìåíòîâ. Òî÷å÷íûå ãðóïïû êðèñòàëëîâ âñåãäà ñîäåðæàò êî-

íå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ. Òàê, îäíà èç ñàìûõ «áîãàòûõ» ãðóïï òî÷å÷-

íîé ñèììåòðèè — ãðóïïà

(ãðóïïà ñèììåòðèè êóáà) — ñîäåðæèò

48 ýëåìåíòîâ. Ïîëíàÿ ãðóïïà êðèñòàëëà, òàê íàçûâàåìàÿ ïðîñòðàíñò-

âåííàÿ ãðóïïà, ñîäåðæèò íàáîð ñîâîêóïíîñòåé ýëåìåíòîâ òðàíñëÿöèé

è ýëåìåíòîâ òî÷å÷íîé ñèììåòðèè. Íåêîòîðûå ãðóïïû (íàçûâàåìûå

íåñèììîðôíûìè â îòëè÷èå îò îñòàëüíûõ, èìåíóåìûõ ñèììîðôíûìè)

ñîäåðæàò òàê íàçûâàåìûå íåýëåìåíòàðíûå òðàíñëÿöèè, òî åñòü ñäâèã

íà ïîëîâèíó ïåðèîäà ñîâìåñòíî ñ îòðàæåíèåì â ïëîñêîñòè (ïëîñêîñ-

òè ñêîëüæåíèÿ), èëè ñäâèã íà îäíó òðåòü ïåðèîäà ñîâìåñòíî ñ ïîâîðî-

òîì âîêðóã íåêîòîðîé îñè íà 120° (âèíòîâûå îñè).

Òåîðèÿ ãðóïï ïîçâîëèëà ïðîâåñòè ïîëíóþ êëàññèôèêàöèþ êðèñ-

òàëëîâ. Âñå êðèñòàëëû îòíîñÿòñÿ ê ñåìè ñèñòåìàì èëè ñèíãîíèÿì: 1)

òðèêëèííîé, 2) ìîíîêëèííîé, 3) îðòîãîíàëüíîé, èëè ðîìáè÷åñêîé,

4) êâàäðàòè÷íîé, èëè òåòðàãîíàëüíîé, 5) ãåêñàãîíàëüíîé, 6) òðèãî-

íàëüíîé, èëè ðîìáîýäðè÷åñêîé, 7) êóáè÷åñêîé. Â çàâèñèìîñòè îò

òèïà ðåøåòêè — ïðîñòîé, áàçîöåíòðèðîâàííîé, îáúåìíîöåíòðèðî-

âàííîé èëè ãðàíåöåíòðèðîâàííîé — ýòè ñåìü ñèñòåì ïîäðàçäåëÿþòñÿ

íà 14 òèïîâ ðåøåòîê. Âíóòðè ýòèõ òèïîâ ìîæíî âûäåëèòü 230 ïðîñò-

ðàíñòâåííûõ ãðóïï. Òåì ñàìûì, íàïðèìåð, áîëüøèíñòâî

62 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

ùåëî÷íî-ãàëîèäíûõ êðèñòàëëîâ, îáëàäàþùèõ îäíîé è òîé æå ïðîñò-

ðàíñòâåííîé ãðóïïîé, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñèììåòðèè ñîâåðøåííî èäåí-

òè÷íû.

Âñå ïðèìåíåíèÿ òåîðèè ãðóïï â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îñíîâàíû íà

òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï. Èç òîãî ôàêòà, ÷òî êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðå-

øåòêà êðèñòàëëà ïîä äåéñòâèåì îïåðàöèé ñèììåòðèè ñîâìåùàåòñÿ

ñàìà ñ ñîáîé, íå ñëåäóåò, ÷òî âîëíîâûå ôóíêöèè âåäóò ñåáÿ òàê æå. Â

ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îíè ïîä äåéñòâèåì îïåðàòîðîâ ñèììåòðèè äîìíî-

æàþòñÿ íà íåêîòîðûé ôàçîâûé ìíîæèòåëü, â áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ

âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ èñõîäíûõ ôóíêöèé. Â ñèñ-

òåìå âîëíîâûõ ôóíêöèé ìîæíî âûäåëèòü áàçèñ ôóíêöèé. Ïîä äåéñò-

âèåì îïåðàöèé ñèììåòðèè

êàæäàÿ áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ

ïðåîáðà-

çóåòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áàçèñíûõ ôóíêöèé:

()PS

ki k

ψψ=

∑

Êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ

îáðàçóþò ìàòðèöó äëÿ êàæäîãî

ýëåìåíòà ãðóïïû

. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ ìàòðèö äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ

ãðóïïû íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû.

Ïðåäñòàâëåíèå

Γ()S

íàçûâàåòñÿ ïðèâîäèìûì, åñëè ñ ïîìîùüþ

óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî òàê ïðåîáðàçîâàòü áàçèñ

{}

, ÷òî

âñå ýëåìåíòû ïðåäñòàâëåíèÿ

Γ()S

äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ

ãðóïïû ïðè-

íèìàþò âèä

()

′

′′













ïðè÷åì âîëíîâûå ôóíêöèè êàæäîé èç ÷àñòåé

′Γ

′′Γ

ïðåîáðàçóþòñÿ

÷åðåç ôóíêöèè ñâîåé æå ÷àñòè. Ñóììà ðàçìåðíîñòåé ìàòðèö

′Γ

′′Γ

ðàâíà ðàçìåðíîñòè ìàòðèöû

. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëåíèå íà-

çûâàåòñÿ íåïðèâîäèìûì. Íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ èãðàþò îñ-

íîâíóþ ðîëü â ïðèìåíåíèÿõ òåîðèè ãðóïï â ôèçèêå. Ýòî ñâÿçàíî ñ

òåì, ÷òî âîëíîâûå ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåííîìó óðîâ-

íþ ýíåðãèè, ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ.

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ìîæíî ïðè-

âåñòè àòîìíûå ôóíêöèè

- è ò. ä. Ïðè ýòîì

-ôóíêöèè îáðàçóþò

îäíîìåðíîå íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå,

-ôóíêöèè — òðåõìåðíîå

íåïðèâîäèìîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû âðàùåíèé âîêðóã öåíòðà àòîìà

íà ïðîèçâîëüíûå óãëû. Ïðè íàëîæåíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñèììåòðèÿ

ñèñòåìû ïîíèæàåòñÿ — îñòàþòñÿ òîëüêî âðàùåíèÿ âîêðóã íàïðàâëå-

íèÿ ìàãíèòíîãî íîëÿ. Â ýòîé íîâîé ãðóïïå âñå ìíîãîìåðíûå

-è

ò.ä. ïðåäñòàâëåíèÿ îêàçûâàþòñÿ óæå ïðèâîäèìûìè. Ôèçè÷åñêè ýòî

âûëèâàåòñÿ â ðàñùåïëåíèè

()21l +

-êðàòíî âûðîæäåííîãî óðîâíÿ íà

21l +

ïîäóðîâíåé.

§ 4. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå 63

Â êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñâî-

áîäíîãî ýëåêòðîíà

−12

exp( )kr

(

ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâî÷íûì îáúå-

ìîì ñèñòåìû), êîòîðàÿ ïðåîáðàçóåòñÿ ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëå-

íèþ ãðóïïû òðàíñëÿöèé íà ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû. Ïîä äåéñòâèåì

òðàíñëÿöèè íà âåêòîð

âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ óìíîæàåòñÿ íà

exp( )ika

Åñëè â ïåðâîì ïðèìåðå íîìåðîì íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿ-

ëîñü îðáèòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî

, òî â ïîñëåäíåì ñëó÷àå — âîëíî-

âîé âåêòîð

, êîòîðûé ìîæåò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ.

Âåðíåìñÿ ê ïðîñòðàíñòâåííîé ãðóïïå êðèñòàëëà. Íåïðèâîäèìûå

ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû òðàíñëÿöèé êðèñòàëëà òîæå êëàññèôèöèðóþò-

ñÿ âîëíîâûì âåêòîðîì

. Îäíàêî òåïåðü âîëíîâîé âåêòîð ìîæåò ïðè-

íèìàòü çíà÷åíèÿ òîëüêî â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè — òàê íàçûâàåìîé

ïåðâîé çîíå Áðèëëþýíà (ñëîâî «ïåðâàÿ» ÷àñòî îïóñêàåòñÿ). Â îäíî-

ìåðíîì ñëó÷àå ïåðâîé çîíîé Áðèëëþýíà ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê

(,)−π πaa

, ãäå

— ïåðèîä îäíîìåðíîé öåïî÷êè. Ôîðìà çîíû Áðèë-

ëþýíà â òðåõìåðíîì ñëó÷àå ÷àñòî ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíîé. Íà

ðèñ. 8 ïðèâåäåíû çîíû Áðèëëþýíà äëÿ ãðàíåöåíòðèðîâàííîãî è îáú-

åìíîöåíòðèðîâàííîãî êóáè÷åñêèõ êðèñòàëëîâ. Äëÿ óäîáñòâà îáîçíà-

÷åíèé ðÿä âûñîêîñèììåòðè÷íûõ òî÷åê çîíû Áðèëëþýíà èìåíóåòñÿ

ãðå÷åñêèìè èëè ëàòèíñêèìè áóêâàìè. Öåíòð çîíû Áðèëëþýíà (òî÷êà

k =0

) âñåãäà íàçûâàåòñÿ

-òî÷êîé. Îáîçíà÷åíèÿ ðÿäà äðóãèõ òî÷åê

ñèììåòðèè ïðèâåäåíû íà ðèñ. 8. Îáû÷íî âíóòðåííèå òî÷êè, ñîîòâåòñ-

òâóþùèå îñÿì âûñîêîé ñèììåòðèè, îáîçíà÷àþòñÿ ãðå÷åñêèìè áóêâà-

ìè (

∆

è ò. ä.), à òî÷êè, ëåæàùèå íà ãðàíèöàõ çîíû Áðèëëþýíà -

ëàòèíñêèìè (X, K,Lèò.ä.).

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â îäíîýëåêòðîííîì ïðèáëèæåíèè âîëíîâàÿ

64 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

∆

Ðèñ. 8. Çîíû Áðèëëþýíà äëÿ ÃÖÊ (à) è ïðîñòîé êóáè÷åñêîé ðåøåòêè (á).

Ïðèâåäåíû îáîçíà÷åíèÿ âûñîêîñèììåòðè÷íûõ òî÷åê.

ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå èìååò âèä

Vu e() ()=

−12

. (4.4)

Çäåñü

sskk

rrn() ( )=+

— ïðîñòðàíñòâåííî-ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ

ñ ïåðèîäàìè, ðàâíûìè âåêòîðàì îñíîâíûõ òðàíñëÿöèé (4.3). Ôóíê-

öèÿ (4.4) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Áëîõà. Êîíêðåòíûé âèä ôóíêöèè

r()

îïðåäåëÿåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì

. Áëîõîâñêàÿ âîëíîâàÿ ôóí-

êöèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ íå òîëüêî âîëíîâûì âåêòîðîì

, íî è íîìåðîì

çîíû

(àíàëîãè÷íûì ãëàâíîìó êâàíòîâîìó ÷èñëó â àòîìå).

Â ïðîèçâîëüíûõ òî÷êàõ çîíû Áðèëëþýíà óðîâíè ýíåðãèè íå âû-

ðîæäåíû, ò. å. íà êàæäîì óðîâíå ìîæåò íàõîäèòüñÿ ïî äâà ýëåêòðîíà

ñ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè ñïèíàìè. Îäíàêî â òî÷êàõ âûñî-

êîé ñèììåòðèè âîçìîæíî âûðîæäåíèå, îïðåäåëÿåìîå ïðîñòðàíñòâåí-

íîé ãðóïïîé êðèñòàëëà. Äëÿ áîëüøèíñòâà ãðóïï ìàêñèìàëüíàÿ êðàò-

íîñòü âûðîæäåíèÿ ðàâíà òðåì. Ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåêòðîí-

íûå ñîñòîÿíèÿ ÷àùå âñåãî íóìåðóþò ñîãëàñíî íóìåðàöèè íåïðèâîäè-

ìûõ ïðåäñòàâëåíèé. Òàê, â

-òî÷êå â ãðàíåöåíòðèðîâàííûõ êóáè÷åñ-

êèõ (ÃÖÊ) êðèñòàëëàõ (íàïðèìåð, â NaCl) âîçìîæíû îäíîêðàòíî

âûðîæäåííûå ñîñòîÿíèÿ

, äâóõêðàòíî âûðîæäåííûå ñîñòîÿ-

íèÿ

è òðåõêðàòíî âûðîæäåííûå

. Â çàâèñèìîñòè îò ïîâå-

äåíèÿ ôóíêöèé ïîä äåéñòâèåì îïåðàöèè èíâåðñèè îáîçíà÷åíèÿ ñîîò-

âåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèé ìîãóò èìåòü äîïîëíèòåëüíûé çíà÷îê «—»

äëÿ íå÷åòíûõ ïî îòíîøåíèþ ê èíâåðñèè âîëíîâûõ ôóíêöèé. Ê ñîæà-

ëåíèþ, îáùàÿ ñèñòåìà îáîçíà÷åíèé äîâîëüíî ñëîæíà. Ñ íåé ìîæíî

ïîçíàêîìèòüñÿ â ðàáîòå Bouckaert, 1936. Ïðè óõîäå èç òî÷êè

k =0

áîëüøèíñòâî ñîñòîÿíèé ðàñùåïëÿåòñÿ. Îäíàêî, íàïðèìåð, åñëè âîë-

íîâîé âåêòîð

îñòàåòñÿ íà îñè âûñîêîé ñèììåòðèè, íàïðèìåð

∆

, ñíÿ-

òîå âûðîæäåíèÿ ìîæåò áûòü íåïîëíûì. Òàê, íà îñè

∆

âîçìîæíû îä-

íîêðàòíî âûðîæäåííûå ñîñòîÿíèÿ

∆

è äâóõêðàòíî âûðîæäåííîå

∆

. Ìîæíî âûâåñòè òàê íàçûâàåìûå ñîîòíîøåíèÿ ñîâìåñòíîñòè, êî-

òîðûå ïîêàçûâàþò, ÷òî, íàïðèìåð,

-ñîñòîÿíèÿ ïåðåõîäÿò â

∆

-cîñòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâåííî,

ðàñùåïëÿåòñÿ íà

∆

-ñîñòîÿ-

íèÿ,

–íà

∆

—íà

∆

(îòñþäà, êñòàòè, ïîëó÷àåòñÿ

îïðåäåëåííîå îáîñíîâàíèå èíäåêñàöèè

-ñîñòîÿíèé).

Ïîñêîëüêó èçîáðàçèòü çàâèñèìîñòü ýíåðãèè ñîñòîÿíèé îò âîëíî-

âîãî âåêòîðà âî âñåé çîíå Áðèëëþýíà íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì,

îáû÷íî îãðàíè÷èâàþòñÿ èçîáðàæåíèåì ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñ-

òè

E()k

òîëüêî âäîëü îïðåäåëåííûõ íàïðàâëåíèé â çîíå Áðèëëþýíà.

Ïðèâåäåííàÿ âûøå êëàññèôèêàöèÿ ñîñòîÿíèé ñïðàâåäëèâà äëÿ

ñëó÷àÿ, êîãäà íå ó÷èòûâàåòñÿ ñïèí-îðáèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå. Ïðè

ó÷åòå ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîèñõîäèò äîïîëíèòåëüíîå ðàñùåïëå-

íèå ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé. Òàê, øåñòèêðàòíî (ïðè ó÷åòå äâóõ âîç-

ìîæíûõ ïîëîæåíèé ñïèíà ýëåêòðîíà) âûðîæäåííîå ñîñòîÿíèå

§ 4. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå 65

ðàñïàäàåòñÿ íà äâóõêðàòíî âûðîæäåííîå

è ÷åòûðåõêðàòíî âû-

ðîæäåííîå

-ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâ-

ëåíèÿì òàê íàçûâàåìûõ äâîéíûõ ãðóïï (ó÷èòûâàþùèõ íàëè÷èå ñïè-

íîâîé ïåðåìåííîé). Èíäåêñû â ýòîì ñëó÷àå óæå íå èìåþò íàãëÿäíîé

èíòåðïðåòàöèè.

ðàñïàäàåòñÿ íà äâóõêðàòíî âûðîæäåííîå

è ÷åòûðåõêðàòíî âû-

ðîæäåííîå

-ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå íåïðèâîäèìûì ïðåäñòàâ-

ëåíèÿì òàê íàçûâàåìûõ äâîéíûõ ãðóïï (ó÷èòûâàþùèõ íàëè÷èå ñïè-

íîâîé ïåðåìåííîé). Èíäåêñû â ýòîì ñëó÷àå óæå íå èìåþò íàãëÿäíîé

èíòåðïðåòàöèè.

4.3 Ïðèáëèæåíèå ïî÷òè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ

Ïðåæäå ÷åì ðàññìàòðèâàòü îáùèé ñëó÷àé, ïîñìîòðèì, ê ÷åìó

ïðèâîäèò ïåðèîäè÷íîñòü ðåøåòêè â îäíîìåðíîì ñëó÷àå â äâóõ ïðåäå-

ëàõ. Âî-ïåðâûõ, ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìóþ ìîäåëü ïî÷òè ñâîáîä-

íûõ ýëåêòðîíîâ. Çàêîí äèñïåðñèè äëÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ èìååò

âèä

Ek k m

()= h

, ïðè÷åì

â ýòîé îáëàñòè èçìåíÿåòñÿ â áåñêîíå÷-

íûõ ïðåäåëàõ. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä

ikx−12

. Òåïåðü ââåäåì

ñëàáûé ïåðèîäè÷åñêèé ïîòåíöèàë

Ux Ux a() ( )=+

è ïîïûòàåìñÿ ïðè-

âåñòè áåñêîíå÷íóþ îáëàñòü èçìåíåíèÿ

ê ïåðâîé çîíå Áðèëëþýíà

(,)−π πaa

. Åñëè

ka<π

, òî âîëíîâîé âåêòîð ïîïàäàåò â ïåðâóþ çîíó

Áðèëëþýíà, è â íóëåâîì ïðèáëèæåíèè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä

ôóíêöèè Áëîõà ñ

()

. Åñëè âîëíîâîé âåêòîð ñâîáîäíîãî

ýëåêòðîíà íàõîäèòñÿ â ïðåäåëàõ âòîðîé çîíû Áðèëëþýíà (íàïðèìåð,

ππak a<′<2

), òî íåîáõîäèìî

ñäâèíóòü äèñïåðñèîííóþ êðèâóþ,

ââåäÿ êâàçèâîëíîâîé âåêòîð

kk a=′−2π

. Ïðè òàêîì ñäâèãå êâà-

çèâîëíîâîé âåêòîð ïîïàäàåò â ïåð-

âóþ çîíó Áðèëëþýíà, à ñîîòâåòñò-

âóþùàÿ âåòâü äèñïåðñèîííîé êðè-

âîé èìååò èíäåêñ «1». Âîëíîâàÿ

ôóíêöèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ìî-

æåò áûòü ïðèâåäåíà ê ôóíêöèè

Áëîõà ïîñëå âûäåëåíèÿ ïåðèîäè-

÷åñêîé ôóíêöèè

uxe

ixa

()

Ve Vuxe

ik x

ikx−

′

−

12 12

()

Ýòà îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ ïðèâåäå-

íèåì ê ïåðâîé çîíå Áðèëëþýíà è

ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà äëÿ âñåõ

âîëíîâûõ âåêòîðîâ. Â ðåçóëüòàòå

ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò

âîëíîâîãî âåêòîðà, ïîêàçàííóþ

ïóíêòèðíîé êðèâîé íà ðèñ. 9. Ôóí-

êöèÿ

Ek()

ñòàíîâèòñÿ ìíîãîçíà÷íîé

ôóíêöèåé, è åå âåòâè íóìåðóþòñÿ

îò íóëÿ äî áåñêîíå÷íîñòè.

66 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

-3 /π

-/π

π/

3/π

aaaa

Ðèñ. 9. Çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò

âîëíîâîãî âåêòîðà äëÿ îäíîìåðíî-

ãî ñëó÷àÿ â ìîäåëè ñâîáîäíûõ

ýëåêòðîíîâ (ïóíêòèð) è ïî÷òè ñâî-

áîäíûõ ýëåêòðîíîâ (ñïëîøíûå

ëèíèè).

Òàêàÿ êàðòèíà ñïðàâåäëèâà òîëüêî â ïðåäïîëîæåíèè ïðåíåáðå-

æåíèÿ ïîòåíöèàëîì

Ux()

. Â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî ïåðèîäè÷åñêîìó

âîçìóùåíèþ âîçíèêíóò ðàñùåïëåíèÿ ïåðåñåêàþùèõñÿ óðîâíåé, è çà-

âèñèìîñòü ýíåðãèè îò âîëíîâîãî âåêòîðà îêîí÷àòåëüíî ïðèîáðåòåò

âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 9 ñïëîøíîé ëèíèåé. Ñëàáûé ïîòåíöèàë èç-

ìåíÿåò òîëüêî îáëàñòè

âáëèçè ïåðåñåêàþùèõñÿ óðîâíåé. Ðàñùåïëå-

íèå ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòíîìó êîðíþ èç ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà

ïîòåíöèàëà

Ux()

è äàæå äëÿ ñëàáûõ ïîòåíöèàëîâ íå ÿâëÿåòñÿ ïðåíåá-

ðåæèìûì.

Ýòî ðàñùåïëåíèå ñîñòîÿíèé ñîçäàåò çàïðåùåííûå çîíû â ñïåêòðå

ýíåðãèé, òî åñòü çîíû, â êîòîðûõ íåò ðåøåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ áåñ-

êîíå÷íîé ñèñòåìå. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî â ïðèáëèæåíèè ïî÷òè

ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ òàêèå çàïðåùåííûå çîíû âîçíèêàþò òîëüêî â

îäíîìåðíîì ñëó÷àå. Â äâó- è òðåõìåðíûõ ñëó÷àÿõ àíàëîãè÷íîå ðàñ-

ùåïëåíèå âîçíèêàåò íà ãðàíèöàõ çîíû Áðèëëþýíà è â íåêîòîðûõ òî÷-

êàõ âûñîêîé ñèììåòðèè â çîíå Áðèëëþýíà, íî ïðè ýòîì ùåëè â ðàç-

ëè÷íûõ âûñîêîñèììåòðè÷íûõ òî÷êàõ ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî

äðóãà, è ïîýòîìó çîíû ðàçðåøåííûõ ýíåðãèé â îäíèõ íàïðàâëåíèÿõ

ïåðåêðûâàþòñÿ ñ çîíàìè çàïðåùåííûõ ýíåðãèé â äðóãèõ íàïðàâëåíè-

ÿõ â çîíå Áðèëëþýíà. Äèñïåðñèÿ ñîñòîÿíèé äëÿ ÃÖÊ-ðåøåòêè ñ ïàðà-

ìåòðàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè òâåðäîìó êñåíîíó, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 10.

Çàêîí äèñïåðñèè

Ek k m

()= h

ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí â âèäå,

áîëåå óäîáíîì äëÿ ïðîâåäåíèÿ îöåíîê:

Ek ka

() ( )= Ry

, ãäå ââåäåíà

ïîñòîÿííàÿ Ðèäáåðãà äëÿ àòîìà âîäîðîäà

Ry ==h

2136ma

ýÂ, à

ame

==h

0 053,

íì — áîðîâñêèé ðàäèóñ. Ïîëüçóÿñü ýòîé

§ 4. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå 67

Σ∆ΛKX LΓΓ

E(),ýÂk

Ðèñ. 10. Çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîíîâ äëÿ ïî÷òè ñâîáîäíûõ

ýëåêòðîíîâ â ÃÖÊ-ðåøåòêå ñ ïîñòîÿííîé ðåøåòêè, ñîîòâåòñòâó-

þùåé òâåðäîìó êñåíîíó.

ôîðìóëîé ëåãêî îöåíèòü ýíåðãèþ, ïðè êîòîðîé âîçíèêàåò ïåðâîå ïå-

ðåñå÷åíèå âîëíîâîãî âåêòîðà ñ ãðàíèöåé çîíû Áðèëëþýíà

ka=π

Ea aa

() ( )ππ=Ry

è äëÿ ïîñòîÿííîé ðåøåòêè

= 0,25 íì èìååò

çíà÷åíèå ïîðÿäêà 6 ýÂ.

Ïðèáëèæåíèå ñëàáî ñâÿçàííûõ ýëåêòðîíîâ èìååò íå òîëüêî ìåòî-

äè÷åñêîå çíà÷åíèå, íî îíî àäåêâàòíî îïèñûâàåò âûñîêîëåæàùèå ñîñ-

òîÿíèÿ â çîíå ïðîâîäèìîñòè, ýíåðãèÿ êîòîðûõ áîëüøå 10–30 ýÂ. Áî-

ëåå òîãî, äëÿ òàêèõ ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé ïåðèîäè÷åñêèì ïîòåíöèà-

ëîì ìîæíî ÷àñòî ïðåíåáðå÷ü, è òàêèå ýëåêòðîíû ìîãóò ðàññìàòðè-

âàòüñÿ êàê ñâîáîäíûå (ñ ìàññîé

, ðàâíîé ìàññå ñâîáîäíûõ ýëåêòðî-

íîâ).

4.4 Ïðèáëèæåíèå ñèëüíî ñâÿçàííûõ ýëåêòðîíîâ

Äðóãîé ïðîñòåéøèé ïðèìåð — ïðèáëèæåíèå ñèëüíî ñâÿçàííûõ

ýëåêòðîíîâ. Îíî ïðèãîäíî äëÿ îïèñàíèÿ îñòîâíûõ ýëåêòðîíîâ. Â

ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îêðóæàþùèå àòîìû è èîíû

ñëàáî âîçäåéñòâóþò íà ýëåêòðîííîå ñîñòîÿíèå âûäåëåííîãî àòîìà.

Îäíîýëåêòðîííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ

èçîëèðîâàííîãî àòîìà, ñîîò-

âåòñòâóþùàÿ ñîñòîÿíèþ

ñ ýíåðãèåé

, óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

−

∇

+−













w() ()rrεϕ

αα

â êîòîðîå âõîäèò ïîòåíöèàë èîíà

w()r

, äåéñòâóþùèé íà ðàññìàòðèâà-

åìûé ýëåêòðîí (ïðè ýòîì ïðåíåáðåãàåì âñåìè êîððåëÿöèîííûìè è

îáìåííûìè ýôôåêòàìè).

Â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïåðåêðûâàíèåì âîë-

íîâûõ ôóíêöèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçíûì óçëàì ðåøåòêè, íàõîäÿùèì-

ñÿ â òî÷êàõ

′n

ϕϕ δδ

αβ αβ

∗

′

−−′=

∫

()( )rn rn

ãäå

′n

îïðåäåëåíû â (4.3). Ôóíêöèþ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ, óäîâ-

ëåòâîðÿþùóþ òåîðåìå Áëîõà, ìîæíî èñêàòü â âèäå

ψϕ

rn=−

−

∑

i12

()

ãäå

— ÷èñëî àòîìîâ â êðèñòàëëå (äëÿ ïðîñòîòû êðèñòàëë ïðåäïîëà-

ãàåòñÿ îäíîàòîìíûì). Ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå îòëè÷à-

åòñÿ îò ãàìèëüòîíèàíà îäíîãî àòîìà íàëè÷èåì ïîòåíöèàëüíûõ ýíåð-

ãèé îò ñîñåäíèõ àòîìîâ:

()H =− ∇ + +

∑

w rn

68 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè èìååò âèä

Ee wdr

αα α α

εϕ ϕ() ( ) ( ) ()krnrmr

m0n

=+ + −

∗

≠

∑

∫

∑

×àñòî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïðèáëèæåíèåì áëèæàéøèõ ñîñåäåé, òî

åñòü îãðàíè÷èòü ñóììèðîâàíèå ïî

òîëüêî ïåðâîé êîîðäèíàöèîííîé

ñôåðîé (â òî æå âðåìÿ â ñóììå ïî

ìîæíî îñòàâèòü âñå ÷ëåíû, ïîñ-

êîëüêó ïîòåíöèàë

w()r

, èìåþùèé íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ äàëüíî-

äåéñòâóþùèé õàðàêòåð, ñïàäàåò ñóùåñòâåííî ìåäëåííåå, ÷åì àòîì-

íûå âîëíîâûå ôóíêöèè

()r

). Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïðîñòîé êóáè÷åñ-

êîé ðåøåòêè çàêîí äèñïåðñèè èìååò ñëåäóþùèé âèä:

E wwkakaka

ax y zαα

ε( ) [cos cos cos ]k =−− + +

, (4.5)

ãäå

wwdr

0=− − >

∗

≠

∑

∫

ϕϕ

αα

() ( ) ()rrmr

wwdr

=− + −

∗

≠

∑

∫

ϕϕ

αα

() ( )()ra rm r

Âåëè÷èíà

îïðåäåëÿåò ñäâèã ñåðåäèíû çîíû ïî îòíîøåíèþ ê îñòîâ-

íîìó óðîâíþ èçîëèðîâàííîãî àòîìà, à

12w

— øèðèíó çîíû ðàçðå-

øåííûõ ýíåðãèé.

Äëÿ äëèííîâîëíîâûõ ñîñòîÿíèé (

ka <<1

) ìîæíî ðàçëîæèòü

()k

â ðÿä ïî

Eww

aαα

ε()k =−− +

∗

ãäå ââåäåíî ïîíÿòèå ýôôåêòèâíîé ìàññû

maw

∗

≡ h

. Çíàê ýô-

ôåêòèâíîé ìàññû ïðè

k =0

çàâèñèò îò çíàêà

, ò. å. îíà ìîæåò áûòü è

îòðèöàòåëüíîé. Ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîííîãî âîçáóæäåíèÿ èìå-

åò â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðåäåëå ñìûñë ìàññû âî âòîðîì çàêîíå Íüþ-

òîíà äëÿ ýëåêòðîííîãî âîçáóæäåíèÿ. Ýòî ïîíÿòèå ïðèìåíèìî òîëüêî

â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò ýêñòðåìóìà (

ka <<1

). Â ñëó÷àå îòðè-

öàòåëüíîé ýôôåêòèâíîé ìàññû îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûé ýëåêòðîí

âåäåò ñåáÿ â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå êàê ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííàÿ

÷àñòèöà. Ïîëîæèòåëüíàÿ ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ñîîòâåòñòâóåò äíó çîíû

ðàçðåøåííûõ ýíåðãèé, à îòðèöàòåëüíàÿ — ïîòîëêó çîíû. Ïîñêîëüêó

ïðèáëèæåíèå ñèëüíî ñâÿçàííûõ ýëåêòðîíîâ ñïðàâåäëèâî òîëüêî ïðè

ìàëîì ïåðåêðûòèè âîëíîâûõ ôóíêöèé, âåëè÷èíà

äîëæíà áûòü îò-

íîñèòåëüíî ìàëîé. Âñëåäñòâèå ýòîãî äàííîå ïðèáëèæåíèå ñïðàâåäëè-

âî òîëüêî äëÿ óçêèõ çîí, è ïîýòîìó ýôôåêòèâíûå ìàññû ýëåêòðîíà â

§ 4. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå 69

òàêèõ çîíàõ ìíîãî áîëüøå ìàññû ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà.

Âûðàæåíèå (4.5) äîñòèãàåò ýêñòðåìóìà è âî âñåõ óãëàõ çîíû

Áðèëëþýíà, òî åñòü â òî÷êàõ

kkk a

xyz

===π

. Âáëèçè ýòèõ ýêñòðå-

ìóìîâ çàêîí äèñïåðñèè èìååò âèä

kakaka

xyz

αα

πππ

()

()()()

k =−+

−+−+−

∗∗

222

ãäå

mm aw

∗∗ ∗

=− =−h

Êðîìå ýòèõ äâóõ ýêñòðåìóìîâ, çàâèñèìîñòü ýíåðãèè îò èìïóëüñà

(4.5) èìååò íåñêîëüêî ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê, â êîòîðûõ îáðàùàþòñÿ â

íîëü ïðîèçâîäíûå

∂∂

E k

. Íàïðèìåð, â òî÷êå

kk a

==π

èìååì

αα

()

k =−+

++ +

−

∗∗∗

∗∗

Ïîñêîëüêó

∗

∗∗

èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè, ýíåðãåòè÷åñêèå

ïîâåðõíîñòè âáëèçè îò òàêèõ òî÷åê ïðåäñòàâëÿþò èç ñåáÿ ãèïåðáîëî-

èäû. Òàêèå ñòàöèîíàðíûå òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ ýôôåêòèâíûå ìàññû ïî

ðàçíûì íàïðàâëåíèÿì èìåþò ðàçëè÷íûå çíàêè, íàçûâàþòñÿ ñåäëîâû-

ìè òî÷êàìè. Â òðåõìåðíîì ñëó÷àå ñåäëîâûå òî÷êè ìîãóò áûòü äâóõ

òèïîâ: ñ îäíîé îòðèöàòåëüíîé è äâóìÿ ïîëîæèòåëüíûìè ìàññàìè, è ñ

äâóìÿ ïîëîæèòåëüíûìè è îäíîé îòðèöàòåëüíîé ìàññîé. Â îêðåñòíîñ-

òè ñåäëîâîé òî÷êè äâèæåíèå ýëåêòðîíà äîñòàòî÷íî íåîáû÷íî: åñëè

ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïðèëîæåíî â îäíîì

íàïðàâëåíèè, ýëåêòðîí âåäåò ñåáÿ êàê

îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà, à â

äðóãîì íàïðàâëåíèè – êàê ïîëîæèòåëü-

íî çàðÿæåííàÿ.

Íà ðèñ. 11 èçîáðàæåíû èçîýíåðãåòè-

÷åñêèå ïîâåðõíîñòè â äâóìåðíîé çîíå

Áðèëëþýíà äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ðåøåò-

êè. Äëÿ ýíåðãèé âáëèçè äíà çîíû (ìû

ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé

∗

), òî åñòü

äëÿ ìàëûõ

, èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõ-

íîñòè ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè ýëëèïñàìè

âîêðóã

-òî÷êè (â òðåõìåðíîì ñëó÷àå

îíè ÿâëÿþòñÿ ýëëèïñîèäàìè èëè, äëÿ êó-

áè÷åñêîé ðåøåòêè – ñôåðàìè). Ñ ðîñòîì

70 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

π/a

−π/a

Ðèñ. 11. Èçîýíåðãåòè÷åñêèå

ïîâåðõíîñòè â ïðîñòîé äâó-

ìåðíîé êóáè÷åñêîé ðåøåòêå

â ïðèáëèæåíèè ñèëüíîé ñâÿ-

ýíåðãèè èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè äåôîðìèðóþòñÿ, è ïðè ýíåð-

ãèè, ðàâíîé ýíåðãèè îäíîé èç ñåäëîâûõ òî÷åê, ýòè ïîâåðõíîñòè íà÷è-

íàþò ïåðåñåjàòü ãðàíèöó çîíû Áðèëëþýíà. Èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåð-

õíîñòè èç çàìêíóòûõ ïðåâðàùàþòñÿ â îòêðûòûå, òî åñòü ìåíÿåòñÿ èõ

òîïîëîãèÿ. Â ñõåìå ðàñøèðåííûõ çîí Áðèëëþýíà îíè ïðåäñòàâëÿþò

èç ñåáÿ ðàçíîîáðàçíûå ïåðèîäè÷åñêèå ñòðóêòóðû: ãîôðèðîâàííûå

öèëèíäðû è ïëîñêîñòè, à òàêæå äðóãèå ñòðóêòóðû äîñòàòî÷íî îáùåãî

âèäà. Ñ äàëüíåéøèì ðîñòîì ýíåðãèè òîïîëîãèÿ ýòèõ èçîýíåðãåòè÷åñ-

êèõ ïîâåðõíîñòåé ìåíÿåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå åùå ðàç. Ïðè ïîñëåäíåé

ñìåíå òîïîëîãèè ïîâåðõíîñòè ñòàíîâÿòñÿ îïÿòü çàìêíóòûìè. Íà ðèñ.

11 ÷åòûðå ÷àñòè ýëëèïñîâ îêîëî óãëîâûõ òî÷åê çîíû Áðèëëþýíà êàê

ðàç è ñîîòâåòñòâóþò òàêèì çàìêíóòûì ïîâåðõíîñòÿì. Èç-çà ïåðèî-

äè÷íîñòè â ïðîñòðàíñòâå êâàçèèìïóëüñà ýòè ÷àñòè ýëëèïñà ìîãóò

áûòü îáúåäèíåíû â îäèí ýëëèïñ âîêðóã ëþáîãî èç óãëîâ çîíû Áðèë-

ëþýíà.

Óïîìÿíóòûå âûøå èçìåíåíèÿ òîïîëîãèè èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïî-

âåðõíîñòåé ñ ðîñòîì ýíåðãèè îò äíà çîíû äî ïîòîëêà âîâñå íå ÿâëÿþò-

ñÿ ñëåäñòâèåì ìîäåëè ñèëüíîé ñâÿçè, íî ÿâëÿþòñÿ òèïè÷íûìè äëÿ

âñåõ òîïîâ îäíîýëåêòðîííîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ýòî óòâåðæäåíèå ñîñòàâ-

ëÿåò ñîäåðæàíèå òåîðåìû Âàí Õîâà (1953). Èçìåíåíèå òîïîëîãèè

ïðîèñõîäèò òàêæå è íà ïîòîëêå è äíå çîíû, ãäå èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïî-

âåðõíîñòè èñ÷åçàþò èëè ïîÿâëÿþòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ñ ðîñòîì ýíåð-

ãèè. Òåì ñàìûì, ñ êàæäîé çîíîé ñâÿçàíû êàê ìèíèìóì ÷åòûðå èçìå-

íåíèÿ òîïîëîãèè èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé.

Âûøå ðàññìàòðèâàëñÿ ëèøü ñëó÷àé, êîãäà ñîñòîÿíèå àòîìà, ôîð-

ìèðóþùåå çîíó, íå ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííûì. Ïðè íàëè÷èè âûðîæäå-

íèÿ (íàïðèìåð, åñëè çîíà ôîðìèðóåòñÿ èç

èëè

-ñîñòîÿíèé àòîìà)

óðàâíåíèå (4.5) ïðåâðàøàåòñÿ â ñèñòåìó óðàâíåíèé, è äëÿ îïðåäåëå-

íèÿ ýíåðãèè ìîæíî çàïèñàòü ñåêóëÿðíîå óðàâíåíèå. Íàïðèìåð, â

ñëó÷àå ôîðìèðîâàíèÿ çîíû èç

-ñîñòîÿíèé äëÿ êðèñòàëëà ÃÖÊ-ñò-

ðóêòóðû ìîæíî ïîëó÷èòü (Ïàíòåëèäåñ, 1975):

H xyz E H yx H zx

Hxy Hyzx E Hzy

122

21 2

(,,) (,) (, )

(,) (,,) (, )

−

Hxz Hyz Hzxy E

221

(,) (,) (,,)

−

Hxyz w w xy xy xz

( , , ) ( )[cos( ) cos( ) cos( )

cos(

= − ++ −+ ++

xz w yz yz−− ++ −)] [cos( ) cos( )],2

Hxy w w x y xy

( , ) ( )[cos( ) cos( )],=+ +− −

xkdykdzkd

xyz

===,,.

Çäåñü

– èíòåãðàëû òèïà äëÿ

-ôóíêöèé, îðèåíòèðîâàííûõ

âäîëü îñè, ñîåäèíÿþùåé àòîìû, è ïåðïåíäèêóëÿðíî åé,

§ 4. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå 71