Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

ñîîòâåòñòâåííî, à

– ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè. Ýòî êóáè÷åñêîå óðàâíå-

íèå èìååò ïðîñòûå ðåøåíèÿ äëÿ âûñîêîñèììåòðè÷íûõ íàïðàâëåíèé.

Çàâèñèìîñòü

E()k

ïîêàçàíà íà ðèñ. 12. Òàêîãî òèïà çàâèñèìîñòü õà-

ðàêòåðíà äëÿ âåðõíåé çàïîëíåííîé çîíû â ùåëî÷íîãàëîèäíûõ ñîåäè-

íåíèÿõ. Âèäíî, ÷òî ñîñòîÿíèÿ íà ïîòîëêå çîíû â

-òî÷êå ÿâëÿþòñÿ

òðåõêðàòíî âûðîæäåííûìè è îáðàçóþò ïîäçîíû ëåãêèõ è òÿæåëûõ

äûðîê.

Íà ïðèìåðå ïðèáëèæåíèÿ ñèëüíîé ñâÿçè ìîæíî ïîêàçàòü îáðàçî-

âàíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ çîí ïðè ñáëèæåíèè ñèñòåìû àòîìîâ. Äåëî â

òîì, ÷òî øèðèíà ýíåðãåòè÷åñêîé çîíû

12w

çàâèñèò îò ìåæàòîìíîãî

ðàññòîÿíèÿ, ýêñïîíåíöèàëüíî óâåëè÷èâàÿñü ñ óìåíüøåíèåì ïîñëåä-

íåãî. Ïðè ýòîì ìîæíî íàðèñîâàòü çàâèñèìîñòü ðàçðåøåííûõ çîí

ýíåðãèé êàê ôóíêöèþ ïîñòîÿííîé ðåøåòêè

ãèïîòåòè÷åñêîé ñèñòåìû

àòîìîâ (ðèñ. 13). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî àòîìíàÿ ñèñòåìà èìååò îäèí çà-

ïîëíåííûé è îäèí ñâîáîäíûé óðîâåíü. Ïðè ñáëèæåíèè àòîìîâ çà

ñ÷åò èçìåíåíèÿ

ñ ðàññòîÿíèåì êàæäûé èç óðîâíåé ðàñøèðÿåò-

ñÿ ïðè îäíîâðåìåííîì èçìåíåíèè èõ ïîëîæåíèÿ. Ïðèáëèæåíèå ñèëü-

íîé ñâÿçè, âî âñÿêîì ñëó÷àå, ïåðåñòàåò ðàáîòàòü, êîãäà ïîëó÷èâøèåñÿ

çîíû ýíåðãèé íà÷èíàþò ïåðåñåêàòüñÿ. Ïîñëå ïåðåñå÷åíèÿ óæå íåëüçÿ

ñêàçàòü, ÷òî íèæíÿÿ çîíà ñôîðìèðîâàíà èç íèæíåãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà,

à âåðõíÿÿ — èç âåðõíåãî. Êàæäàÿ èç çîí ïîñòðîåíà íà ñóïåðïîçèöèè

àòîìíûõ ôóíêöèé îáîèõ ñîñòîÿíèé. Òàêîå ÿâëåíèå êàê ðàç õàðàêòåð-

íî äëÿ âåðõíèõ âàëåíòíûõ çîí è íèæíèõ çîí ïðîâîäèìîñòè ìíîãèõ

êðèñòàëëîâ. Ýòî ïðîâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ñèëüíî óâåëè÷èâàòü áà-

çèñ àòîìíûõ ôóíêöèé äëÿ ðàñ÷åòà ýíåðãåòè÷åñêèõ ñïåêòðîâ.

Â îáùåì ñëó÷àå çàäà÷à ðàñ÷åòà ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â òâåðäîì

òåëå — ÷ðåçâû÷àéíî ãðîìîçäêàÿ çàäà÷à, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ðåøåíà

òîëüêî íà áîëüøèõ ÝÂÌ, äà è òî â äîñòàòî÷íî ãðóáûõ ïðèáëèæåíè-

ÿõ. Áîëüøàÿ ÷àñòü èç ýòèõ ïðèáëèæåíèé â ñâîåé îñíîâå ñîäåðæèò äâå

72 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

Σ∆ΛKX LΓΓ

E()k

Ðèñ. 12. Äèñïåðñèîííûå êðèâûå â ïðè-

áëèæåíèè ñèëüíîé ñâÿçè äëÿ çîíû,

ñôîðìèðîâàííîé

-ôóíêöÿìè àòîìîâ

(ÃÖÊ-ðåøåòêà)

Ðèñ. 13. Èçìåíåíèå ðàçðåøåííûõ

çîí ýíåðãèé â çàâèñèìîñòè îò ðàññ-

òîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè â àëìàçå.

ðàññìîòðåííûå âûøå ìîäåëè. Òàê, â ïðèáëèæåíèè ïðèñîåäèíåííûõ

ïëîñêèõ âîëí (ÏÏÂ, APW) è ðÿäå äðóãèõ âåñü îáúåì êðèñòàëëà ðàç-

áèâàåòñÿ íà äâå ÷àñòè: íà ñôåðû âîêðóã àòîìîâ è ïðîñòðàíñòâî ìåæäó

àòîìíûìè ñôåðàìè (òàêîé ñïîñîá íàçûâàåòñÿ muffin-tin, ïî íàçâà-

íèþ ôîðìû äëÿ âûïå÷êè ñäîáû). Â ïåðâîé îáëàñòè â êà÷åñòâå áàçèñ-

íûõ èñïîëüçóþòñÿ àòîìíûå èëè èîííûå ôóíêöèè, âî âòîðîé — âîë-

íîâûå ôóíêöèè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Ýòè ôóíêöèè ñøèâàþòñÿ íà

ãðàíèöå ñôåð. Ïîýòîìó ïðèáëèæåííàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà

âíóòðè êðèñòàëëà îêàçûâàåòñÿ ñâÿçàííîé ñ îïðåäåëåííûìè àòîìíû-

ìè ñîñòîÿíèÿìè (èëè ñîñòîÿíèÿìè èîíîâ â èîííûõ êðèñòàëëàõ).

Â ñëîæíûõ êðèñòàëëàõ, ñîäåðæàùèõ áîëüøîå ÷èñëî àòîìîâ â

ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå, ÷àñòî îñíîâíóþ ðîëü èãðàþò âîëíîâûå ôóíê-

öèè ãðóïïû àòîìîâ (òàê íàçûâàåìîãî êëàñòåðà), êîòîðûå ìîãóò áûòü

èññëåäîâàíû íåçàâèñèìî îò îñòàëüíîãî îáúåìà êðèñòàëëà. Ïîýòîìó

äî ñèõ ïîð ïðè èçó÷åíèè ñëîæíûõ ñèñòåì, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü ðàñ-

ñ÷èòàíû êàê êðèñòàëëû, ïðèìåíÿþòñÿ ðàñ÷åòû ìîëåêóëÿðíûõ ñîñòî-

ÿíèé îòäåëüíûõ ãðóïï àòîìîâ.

4.5 Ïëîòíîñòü çîííûõ ñîñòîÿíèé â òâåðäîì òåëå

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà òâåðäîãî òåëà, êðî-

ìå çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò âîëíîâîãî âåêòîðà

()k

, ìîæíî èñïîëü-

çîâàòü ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé

gE()

, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì ðàçëè÷-

íûõ ñîñòîÿíèé, ïîïàäàþùèõ â åäèíè÷íûé èíòåðâàë ýíåðãèè îêîëî

gE gE gE

EEdk

() (), ()

()

(() )==−

∑

∫

δ k

Ω

, (4.6)

ãäå

Ω

– îáúåì çîíû Áðèëëþýíà,

– îáúåì ñèñòåìû. Èíòåãðàë â äàí-

íîé ôîðìóëå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â èíòåãðàë ïî ýëåìåíòàì

èçî-

ýíåðãåòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè â

-ïðîñòðàíñòâå è ïî ýíåðãèè. Âûïîë-

íÿÿ çàòåì èíòåãðèðîâàíèå ïî ýíåðãèè (ñ ó÷åòîì

-ôóíêöèè â (4.6)),

ïîëó÷àåì

()

∇

∫

. (4.7)

Îêîëî ýêñòðåìóìà èëè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè, êîòîðàÿ äîñòèãàåòñÿ ïðè

kk=

ext

, ýíåðãèþ

()k

ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä. Â îáùåì ñëó÷àå

êðèñòàëëà ïðîèçâîëüíîé ñèììåòðèè äëÿ íåâûðîæäåííîé çîíû ïîëó-

÷àåì

ij xy

()() ()()

kk k-kk-k=+













ext ext ext

∑

. (4.8)

Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê ãëàâíûì îñÿì òåíçîð îáðàòíîé ýôôåêòèâíîé

§ 4. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå 73

ìàññû

()m

−1

ìîæåò èìåòü ðàçëè÷íîå ÷èñëî (îò 0 äî 3) îòðèöàòåëü-

íûõ êîìïîíåíò. Â ïåðâîì ñëó÷àå (êîòîðûé îáîçíà÷àåòñÿ êàê

ýíåðãèÿ èìååò ìèíèìóì, à â ïîñëåäíåì ñëó÷àå (

) - ìàêñèìóì. Ïðî-

ìåæóòî÷íûå ñëó÷àè (

) ñîîòâåòñâóþò îñîáåííîñòÿì òèïà ñåä-

ëîâûõ òî÷åê. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé èìååò íå ìå-

íåå ÷åòûðåõ îñîáåííîñòåé äëÿ êàæäîé çîíû, ñâÿçàííûå ñ èçìåíåíèåì

òîïîëîãèè èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé. Êàæäàÿ èç ýòèõ îñîáåí-

íîñòåé ïðèâîäèò ê íåàíàëèòè÷åñêèì äîáàâêàì ê ïëîòíîñòè ñîñòîÿ-

íèé, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ îñîáåííîñòÿìè Âàí Õîâà. Ýòè îñîáåííîñòè

âïåðâûå îáñóæäàëèñü Âàí Õîâîì (1953) äëÿ êîëåáàíèé ðåøåòêè. Â

òðåõìåðíîì ñëó÷àå ýòè äîáàâêè èìåþò âèä

MgEEEEE

MgEEEE

:()~ ( ),

:()~ (

∆

−−

−− −

ext ext

θ E

MgEEEEE

MgEEEE

:()~ ( ),

:()~ (

∆

−− −

−

ext ext

ext e

− E),

(4.9)

ãäå

θ()

≤







Òåì ñàìûì âêëàä îò êàæäîé çîíû â ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé èìååò âèä,

ñõåìàòè÷åñêè ïîêàçàííûé íà ðèñ. 14.

Ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé äëÿ çîíû, ïîñòðîåííîé èç âûðîæäåííûõ

ôóíêöèé, èìååò áîëüøîå ÷èñëî îñîáåííîñòåé Âàí Õîâà. Â ÷àñòíîñòè,

ïëîòíîòè ñîñòîÿíèé äëÿ âàëåíòíûõ çîí êðèñòàëëîâ ñ ÃÖÊ è ÎÖÊ ðå-

øåòêàìè ïîêàçàíû íà ðèñ. 14á è 14â.

Â äâóìåðíîì è îäíîìåðíîì ñëó÷àÿõ îñîáåííîñòè Âàí Õîâà âûðà-

æåíû ÿð÷å. Íàïðèìåð, â äâóìåðíîì ñëó÷àå

∆E

â ôîðìóëàõ (4.9) çà-

ìåíÿåòñÿ íà

ln ∆E

, à â îäíîìåðíîì – íà

()∆E

−12

. Õîòÿ îêðóæàþùèé

ìèð ÿâíî ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíûì, äâóìåðíûé è îäíîìåðíûé ñëó÷àè

ïðåäñòàâëÿþò íå òîëüêî àêàäåìè-

÷åñêèé èíòåðåñ. Òàê, ïëîòíîñòè

ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â ïîëèìåð-

íûõ öåïî÷êàõ èëè ñîñòîÿíèé âäîëü

äèñëîêàöèé îïèñûâàþòñÿ îäíîìåð-

íûì ñëó÷àåì, à ïîâåðõíîñòíûå ñîñ-

òîÿíèÿ — äâóìåðíûì.

Ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé â ìîäåëè

ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ ñ ýôôåêòèâ-

íîé ìàññîé

∗

ðàâíà

74 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

MM MM

gE()

Ðèñ. 14. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæå-

íèå îñîáåííîñòåé Âàí Õîâà â ïðî-

ñòîé çîíå, îáðàçîâàííîé íåâûðîæ-

äåííûì ñîñòîÿíèåì.

free

()

∗

π h

. (4.10)

Ñ ó÷åòîì âûðîæäåíèÿ ïî ñïèíó ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé óäâàèâàåòñÿ.

4.6 Çàïîëíåíèå îäíîýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â òâåðäîì òåëå

Èòàê, â ðåçóëüòàòå êàêîãî-ëèáî ðàñ÷åòà ïîëó÷àåòñÿ êàðòèíà îä-

íîýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì çîí ýíåðãèé â òâåð-

äîì òåëå. Ïîñëå ýòîãî íåîáõîäèìî çàïîëíèòü ïîëó÷åííûå îäíîýëåêò-

ðîííûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíàìè òâåðäîãî òåëà. Ïðè ýòîì â ïðèíöèïå

âîçìîæíû äâå ñèòóàöèè (ðèñ. 15). Åñëè âåðõíÿÿ çîíà, â êîòîðîé åùå

íàõîäÿòñÿ ýëåêòðîíû, çàïîëíåíà ëèøü ÷àñòè÷íî, äî óðîâíÿ, èìåþùå-

ãî ýíåðãèþ

(ýíåðãèÿ Ôåðìè), òî òàêîå âåùåñòâî îêàçûâàåòñÿ ìå-

òàëëîì, ïîñêîëüêó äëÿ ïåðåâîäà ýëåêòðîíà â íåçàíÿòîå ñîñòîÿíèå, â

êîòîðîì îí ìîæåò äâèãàòüñÿ ïî êðèñòàëëó, òðåáóåòñÿ î÷åíü ìàëàÿ

ýíåðãèÿ. Â òîì ñëó÷àå, åñëè âåðõíÿÿ âàëåíòíàÿ çîíà çàïîëíåíà ïîë-

íîñòüþ è, ÷òîáû äîñòè÷ü ñëåäóþùåãî ýëåêòðîííîãî ñîñòîÿíèÿ, â êî-

òîðîì ýëåêòðîíû ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ ïî êðèñòàëëó, ýëåêòðîíó íåîá-

õîäèìî ïðèîáðåñòè çàìåòíóþ ýíåðãèþ, âåùåñòâî îêàçûâàåòñÿ äèýëåê-

òðèêîì èëè ïîëóïðîâîäíèêîì. Ðàçíèöà ìåæäó ýòèìè äâóìÿ òèïàìè

òâåðäûõ òåë â ñëó÷àå èäåàëüíûõ êðèñòàëëîâ â îñíîâíîì êîëè÷åñòâåí-

íàÿ — øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû ó äèýëåêòðèêîâ âûøå 3—4 ýÂ, ó

ïîëóïðîâîäíèêîâ — íèæå ýòîé öèôðû.

Ïîñêîëüêó, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöè-

ïîì Ïàóëè, â îäíîì è òîì æå ýëåêòðîííîì

ñîñòîÿíèè ìîãóò íàõîäèòüñÿ íå áîëåå äâóõ

ýëåêòðîíîâ, èìåþùèõ ïðîòèâîïîëîæíî

íàïðàâëåííûå ñïèíû, êðèñòàëëû ñ íå÷åò-

íûì ÷èñëîì ýëåêòðîíîâ íà ýëåìåíòàðíóþ

ÿ÷åéêó âñåãäà ñîçäàþò ÷àñòè÷íî çàïîëíåí-

íûå çîíû è, ñîîòâåòñòâåííî, ÿâëÿþòñÿ ìå-

òàëëàìè. Îáðàòíîå â îáùåì ñëó÷àå íå âåð-

íî: èç-çà ïåðåêðûòèÿ íåñêîëüêèõ çîí ìíî-

ãèå êðèñòàëëû, èìåþùèå ÷åòíîå ÷èñëî ýëåê-

òðîíîâ íà ÿ÷åéêó, òåì íå ìåíåå ÿâëÿþòñÿ

ìåòàëëàìè.

Ýòîé êàðòèíå îäíîýëåêòðîííûõ ñîñòîÿ-

íèé â òâåðäîì òåëå ïðèñóùà îïðåäåëåííàÿ

îãðàíè÷åííîñòü. Â ãàìèëüòîíèàíå

â ïðî-

öåññå çàïîëíåíèÿ ýëåêòðîíàìè ñîñòîÿíèé

ìåíÿåòñÿ âêëàä ÷ëåíà, îïèñûâàþùåãî ýëåê-

òðîí-ýëåêòðîííîå âçàèìîäåéñòâèå. Â íåêî-

òîðûõ ñëó÷àÿõ ýòî âçàèìîäåéñòâèå ïðèâî-

äèò ê ïîëíîé ïåðåñòðîéêå ýíåðãåòè÷åñêîãî

§ 4. Ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå 75

àá

-çîíà

Ðèñ 15. Ðàñïðåäåëåíèå

ýíåðãåòè÷åñêèõ çîí â

òâåðäîì òåëå â îäíîýëåêò-

ðîííîì ïðèáëèæåíèè à -

äèýëåêòðèê; á - ìåòàëë.

Äâîéíîé øòðèõîâêîé îò-

ìå÷åíû çàïîëíåííûå

çîíû.

ñïåêòðà, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü ìîæåò ïðèâåñòè ê ïåðåõîäó èç ìåòàëëè-

÷åñêîãî â äèýëåêòðè÷åñêîå ñîñòîÿíèå (òàê íàçûâàåìûå ïåðåõîäû

Ìîòòà (ñì., íàïðèìåð, Ìîòò, Äåâèñ, 1971). Ïîýòîìó îäíîýëåêòðîí-

íûå ïåðåõîäû îáû÷íî íå ó÷èòûâàþò ýòîò âêëàä, íàçûâàåìûé êîððå-

ëÿöèîííîé ýíåðãèåé. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ðåøåíèå â ðàìêàõ ïðèáëèæå-

íèÿ Õàðòðè-Ôîêà, ó÷èòûâàþùåãî êîððåëÿöèîííûå ýôôåêòû, îáû÷-

íî îñóùåñòâèòü íå óäàåòñÿ. ×àñòî îãðàíè÷èâàþòñÿ ó÷åòîì íåêîòîðîãî

ñðåäíåãî ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ çàïîëíåííûõ ýëåêòðîííûõ ñîñòî-

ÿíèé. Ýòî ïðèâîäèò ê ðàçãðàíè÷åíèþ îïèñàíèÿ îäíîýëåêòðîííûõ ïå-

ðåõîäîâ (áåç ó÷åòà âëèÿíèÿ ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ) è ïåðåõîäîâ â

ýêñèòîííûå ñîñòîÿíèÿ.

76 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

§ 5 Ïåðåõîäû ïîä äåéñòâèåì ñâåòà â èäåàëüíîì

êðèñòàëëå

5.1 Ìåæçîííûå ïåðåõîäû

Ðàññìîòðèì ïåðåõîäû ïîä äåéñòâèåì êâàíòà ñâåòà èç îäíîé çîíû

â äðóãóþ (òàê íàçûâàåìûå ìåæçîííûå ïåðåõîäû). Ïðè ýòîì áóäåì

ðàáîòàòü â ðàìêàõ îäíîýëåêòðîííîãî ïðèáëèæåíèÿ. Âîëíîâûå ôóíê-

öèè ýëåêòðîíà îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè Áëîõà (4.4)

ααk

−

Veu

i12

(),

êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ýíåðãèè

()k

. Çäåñü

— íîìåð ýíåðãåòè÷åñ-

êîé çîíû,

— âîëíîâîé âåêòîð, îïðåäåëåííûé â çîíå Áðèëëþýíà.

Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïåðåõîäà èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ

â êîíå÷-

íîå

èìååò âèä

fiV e u u e dr

er r er r

−

∗

∫

αα

() () .

Çäåñü èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî âñåìó îáúåìó êðèñòàëëà. Ïîëüçóÿñü ïåðè-

îäè÷íîñòüþ ôóíêöèé

kα

, ìîæíî ñâåñòè ýòîò èíòåãðàë ê èíòåãðàëó

òîëüêî ïî ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå êðèñòàëëà. Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì âåê-

òîð

ρ= −rn

— ðàäèóñ-âåêòîð êàêîé-ëèáî òî÷êè

â ýëåìåíòàðíîé

ÿ÷åéêå îòíîñèòåëüíî öåíòðà ÿ÷åéêè. Ïðè ýòîì

ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç

âåêòîðîâ òðàíñëÿöèé (4.3). Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ðàçáèâàåòñÿ íà ñóì-

ìó ïî ÿ÷åéêàì îáúåìà

fiV e u u e

er e

kkr

−

−−

∗

−

∑

() (

() ()

αα

ρρ ρ

rr r

)

∫

×ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé

, âûïàäàåò èç-çà îðòîãîíàëüíîñòè ôóíê-

öèé

kα

. Ñóììà ïî

ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíà â ñóììó

-ôóíêöèé,

÷òî ïðèâîäèò ê çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ýëåêòðîíà:

−−

∑∑

=−−

()

().

kkr

kkb

Çäåñü

bb b b=++mmm

11 22 3 3

, ãäå

— áàçèñíûå âåêòîðû

îáðàòíîé ðåøåòêè. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî âîëíîâûå âåêòîðû

îïðåäåëåíû â ïðåäåëàõ ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà, íàõîäèì, ÷òî â

ñóììå

-ôóíêöèé îñòàåòñÿ òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ

δ()kk

−

. Ýòî ñïðà-

âåäëèâî òîëüêî â èñïîëüçîâàííîì íàìè äëèííîâîëíîâîì ïðèáëèæå-

íèè. Ïðè áîëåå òî÷íîì ðàññìîòðåíèè èìïóëüñ ýëåêòðîíà ìåíÿåòñÿ íà

âåëè÷èíó èìïóëüñà ïîãëîùàåìîãî ôîòîíà, ÷òî èçìåíÿåò

-ôóíêöèþ

íà

δω()kks

nc−−

, ãäå

— åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè ðàñï-

ðîñòðàíåíèÿ ôîòîíà. Òåì ñàìûì â ñóììå èç

-ôóíêöèé îñòàþòñÿ è

÷ëåíû, îïèñûâàþùèå òàê íàçûâàåìûå ïðîöåññû ïåðåáðîñà. Åñëè

âûáðàí â ïðåäåëàõ ïåðâîé çîíû Áðèëëþýíà, òî ñ ó÷åòîì èìïóëüñà

ôîòîíà

ìîæåò âûéòè çà ïðåäåëû ýòîé çîíû. Äëÿ ïðèâåäåíèÿ ýòîãî

âåêòîðà â ïåðâóþ çîíó íåîáõîäèìî âû÷åñòü èç íåãî âåêòîð îáðàòíîé

ðåøåòêè. Âîëíîâûì âåêòîðîì ôîòîíà íåâîçìîæíî ïðåíåáðåãàòü (è

òåì ñàìûì, èñïîëüçîâàòü äëèííîâîëíîâîå ïðèáëèæåíèå) â ñëó÷àå,

åñëè äëèíà âîëíû ïàäàþùåãî èçëó÷åíèÿ ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìîé èëè

ìåíüøå ïîñòîÿííîé ðåøåòêè, òî åñòü äëÿ äîñòàòî÷íî æåñòêîãî ðåíòãå-

íîâñêîãî èçëó÷åíèÿ.

Ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè (3.8) ïðèíèìàåò

âèä

εω π

δω

αα

() ()

[ ( )] ( ) ( ( )

=×

×− +

∑

ed k

fE fE Eh − E

( )),k

ãäå

kkfi

ev u u d() () () .=

−∗

∫

αα

ρρ ρ ρ

rr r

Ïåðåõîäÿ îò ñóììû ïî èìïóëüñàì ê èíòåãðàëó ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøå-

íèÿ

∑

∫

Ω

, ïîëó÷àåì

εω

δω

αα

() ()

[ ( )] ( ) (

=×

×− +

∫

∑

fE fE E

ed k

h () ()).kk− E

(5.1)

Ýòà ôîðìóëà îïèñûâàåò ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàå-

ìîñòè äëÿ ïåðåõîäîâ ýëåêòðîíà èç îäíîé çîíû â äðóãóþ. Èíòåãðèðî-

âàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåé çîíå Áðèëëþýíà.

Äëÿ ìåòàëëè÷åñêèõ êðèñòàëëîâ âîçìîæíû ïåðåõîäû ëèáî èç ÷àñ-

òè÷íî çàïîëíåííîé ýíåðãåòè÷åñêîé çîíû, ëèáî â íåå. Ïðè íóëåâîé

òåìïåðàòóðå èíòåãðèðîâàíèå èç-çà íàëè÷èÿ ìíîæèòåëÿ

[]1 − ff

78 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

ïðîèçâîäèòñÿ ëèáî âíóòðè, ëèáî âíå ïîâåðõíîñòè Ôåðìè ìåòàëëà.

Äëÿ äèýëåêòðèêîâ âîçìîæíû ëèøü ìåæçîííûå ïåðåõîäû èç çà-

ïîëíåííîé âàëåíòíîé çîíû

(( ) )fE

â ñâîáîäíóþ çîíó ïðîâîäèìîñ-

òè

(( ) )fE

. Â ñèëó ýòîãî ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ìíîæèòåëü

[]1 − ff

ìîæíî îïóñòèòü. Äëÿ äèýëåêòðèêîâ ýòî âîçìîæíî ïðè âñåõ

òåìïåðàòóðàõ, à äëÿ ÷èñòûõ ïîëóïðîâîäíèêîâ ýòîò ìíîæèòåëü îïè-

ñûâàåò ïîÿâëåíèå íåêîòîðîãî ÷èñëà ñâîáîäíûõ ðàâíîâåñíûõ ýëåêòðî-

íîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè è, ñîîòâåòñòâåííî, òàêîãî æå ÷èñëà (äëÿ ïî-

ëóïðîâîäíèêîâ áåç ïðèìåñåé) ñâîáîäíûõ ñîñòîÿíèé íà ïîòîëêå âà-

ëåíòíîé çîíû. Òàêèå ñâîáîäíûå ñîñòîÿíèÿ íàçûâàþòñÿ äûðêàìè. Â

äàëüíåéøåì â îñíîâíîì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ äèýëåêòðèêè, ïîýòî-

ìó ìû áóäåì ñ÷èòàòü íèæíþþ çîíó ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîé, à âåðõ-

íþþ – ñâîáîäíîé.

Ïðè ïîãëîùåíèè êâàíòà ñâåòà ïðîèñõîäÿò ïåðåõîäû ýëåêòðîíà

èç ñîñòîÿíèÿ

â ñîñòîÿíèå

. Òàêîå îïèñàíèå èñïîëüçóåòñÿ â ñëó-

÷àå, êîãäà îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñîñòîÿíèå

ýëåê-

òðîíîâ, çàïîëíÿþùèõ âñå âàëåíòíûå ñîñòîÿíèÿ. Â ýòîì ñëó÷àå ïîë-

íîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ âî âñåõ ñîñòîÿíèÿõ íå ìåíÿåòñÿ, à èçìåíÿþòñÿ

ëèøü èõ ñîñòîÿíèÿ. Äàëåå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñ-

òè ìû áóäåì îòìå÷àòü èíäåêñîì

, à â âàëåíòíîé çîíå —

Îäíàêî ÷àñòî óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü ñîñòîÿíèå òâåðäîãî òåëà,

èñïîëüçóÿ ïîíÿòèÿ âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé. Íåâîçáóæäåííîå ñîñ-

òîÿíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå çàïîëíåííûì âàëåíòíûì çîíàì, ðàññìàòðè-

âàåòñÿ êàê âàêóóì, â êîòîðîì îòñóòñòâóþò âîçáóæäåíèÿ. Ïîãëîùåíèå

ôîòîíà (èëè äðóãîé ïåðåõîä òâåðäîãî òåëà â âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå

ïðèâîäèò â ïîÿâëåíèþ ïàðû: ýëåêòðîí

â çîíå ïðîâîäèìîñòè è äûðêà

â âàëåíòíîé çîíå. Äàëåå ïðè ðàáîòå ñ îäíîýëåêòðîííûìè ñîñòîÿíèÿ-

ìè áóäåì èñïîëüçîâàòü èíäåêñû

, à äëÿ îïèñàíèÿ âîçáóæäåíèé —

Åñëè íà÷àëî ýíåðãèè â êàðòèíå îäíîýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé âûá-

ðàíî íà ïîòîëêå âàëåíòíîé çîíû, ýíåðãèÿ òàêîãî ýëåêòðîíà

()k

ñîâïàäàåò ýíåðãèåé îäíîýëåêòðîííîãî ñîñòîÿíèÿ â çîíå ïðîâîäèìîñ-

òè

()k

, â òî âðåìÿ êàê

()k

ðàâíà ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå è

ïðîòèâîïîëîæíà ïî çíàêó ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîñòîÿíèÿ â âà-

ëåíòíîé çîíå:

() ( )kk=− −

. Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèè êàê ýëåêò-

ðîíà, òàê è äûðêè îêàçûâàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè âåëè÷èíàìè. Èì-

ïóëüñ äûðêè ðàâåí ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæåí ïî

íàïðàâëåíèþ èìïóëüñó ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîýëåêòðîííîãî ñîñòîÿ-

íèÿ:

=−

(åñëè ïîëíûé èìïóëüñ ñèñòåìû èç

ýëåêòðîíîâ ðàâåí

íóëþ, òî èìïóëüñ ñèñòåìû èç

N − 1

ýëåêòðîíîâ ïðîòèâîïîëîæåí èì-

ïóëüñó óäàëåííîãî ýëåêòðîíà).

Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà ïðè ïîãëîùåíèè äëèí-

íîâîëíîâîãî ôîòîíà íà ÿçûêå âîçáóæäåííûõ ýëåêòðîííî-äûðî÷íûõ

ïàð ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàê

§ 5. Ïåðåõîäû ïîä äåéñòâèåì ñâåòà â èäåàëüíîì êðèñòàëëå 79

hω=−=+EEE E

cc vv ee

() () () ()kkk k

0 =−=+kkkk

cve

Ïåðåõîäû ýòîãî òèïà

íàçûâàþòñÿ ïðÿìûìè ìåæ-

çîííûìè ïåðåõîäàìè, ïîñ-

êîëüêó íà ãðàôèêå çàâèñè-

ìîñòè ýíåðãèè îäíîýëåêò-

ðîííûõ ñîñòîÿíèé

îò

êâàçèèìïóëüñà

(ðèñ. 16)

ýòè ïåðåõîäû èçîáðàæàþò-

ñÿ âåðòèêàëüíûìè ëèíèÿ-

ìè èç-çà ñîõðàíåíèÿ èì-

ïóëüñà ýëåêòðîíà.

Èç-çà íàëè÷èÿ

δω(()())h +−EE

ôîðìóëå (5.1) ïåðåõîäû

èìåþò ïîðîãîâûé õàðàê-

òåð, ïîñêîëüêó çîíà ïðîâî-

äèìîñòè è âàëåíòíàÿ çîíà

ðàçäåëåíû ïî ýíåðãèè.

Ôóíêöèÿ

() ()kk−

èìååò ìèíèìóì ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè

min

, è ïåðåõîäû íà÷è-

íàþòñÿ äëÿ äàííîé ïàðû âåòâåé ïðè

hω= −EE

() ()kk

min min

Åñëè ýêñòðåìóìû çîí (ìèíèìóì çîíû ïðîâîäèìîñòè è ìàêñèìóì âà-

ëåíòíîé çîíû) äîñòèãàþòñÿ â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ çîíû Áðèëëþýíà, òî

çíà÷åíèå ïîðîãîâîé ýíåðãèè ìîæåò áûòü áîëüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå

ðàññòîÿíèå ïî ýíåðãèè ìåæäó âàëåíòíîé çîíîé è çîíîé ïðîâîäèìîñ-

òè. Êâàçèèìïóëüñ

min

îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ

∇−∇=

kkEE

() () 0

. (5.2)

Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, îïðåäåëÿåò âñå ýêñòðåìóìû

ext

ðàçíîñòè ýíåðãèé çîí. Ýòî óðàâíåíèå, âî âñÿêîì ñëó÷àå, óäîâëåò-

âîðÿåòñÿ â öåíòðå çîíû Áðèëëþýíà

è â òî÷êàõ âûñîêîé ñèììåòðèè

íà åå ãðàíèöàõ, â êîòîðûõ â ñèëó ñèììåòðèéíûõ ñîîáðàæåíèé çàíó-

ëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè

()k

∇=∇=

kkEE

() () 0

Óðàâíåíèå (5.2) ìîæåò òàêæå óäîâëåòâîðÿòüñÿ â îäíîé èç òî÷åê

âäîëü îñåé ñèììåòðèè òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêîâ, âäîëü êîòî-

ðûõ îáðàùàþòñÿ â íîëü êîìïîíåíòû ãðàäèåíòîâ, ïåðïåíäèêóëÿðíûå

îñÿì.

Äëÿ èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòè

îò ÷àñòîòû ïåðåéäåì ê

80 Ãëàâà 2. Ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðóåìîé ðåøåòêå

Ðèñ. 16. Ïðÿìûå ìåæçîííûå ïåðåõîäû â äè-

ýëåêòðèêå ñî ñòðóêòóðîé NaCl.

èíòåãðèðîâàíèþ ïî ïîâåðõíîñòÿì ïîñòîÿííîé ðàçíîñòè ýíåðãèé âåò-

âåé çîíû ïðîâîäèìîñòè è âàëåíòíîé çîíû (ýòî ïðåîáðàçîâàíèå àíàëî-

ãè÷íî ïåðåõîäó îò ôîðìóëû (4.6) ê (4.7)). Â òàêîì ñëó÷àå èíòåãðàë

îò

-ôóíêöèè ñíèìàåòñÿ, è ìû ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó

εω

()

() ()

∇−∇

−=

∫

ed k

αα,

∑

. (5.3)

Åñëè ïåðåõîäû ìåæäó ýêñòðåìàëüíûìè òî÷êàìè âåòâåé

ðàçðåøåíû, òî âûðàæåíèå

ed k

()

ext

îòëè÷íî îò íóëÿ è åãî ìîæíî

âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà ïðè èíòåãðèðîâàíèè âáëèçè ýêñòðåìóìà.

Âêëàä ýòèõ âåòâåé â

îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì

ed k

()

() ()

() (

ext

∇−∇

− )=

∫

hω

Ïîëó÷àþùèéñÿ çäåñü èíòåãðàë ïî àíàëîãèè ñ ïëîòíîñòüþ ñîñòîÿíèé

íàçûâàåòñÿ êîìáèíèðîâàííîé ìåæçîííîé ïëîòíîñòüþ ñîñòîÿíèé. Â

ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì êîìáèíèðîâàííàÿ ìåæçîííàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿ-

íèé áóäåò èìåòü íå ìåíåå ÷åòûðåõ îñîáåííîñòåé Âàí Õîâà äëÿ êàæäîé

ïàðû âåòâåé. Âáëèçè îò ýêñòðåìóìà ìîæíî ðàçëîæèòü

() ()kk−

ðÿä àíàëîãè÷íî ðàçëîæåíèþ (4.8). Êîýôôèöèåíòû ñîîòâåòñòâóþùåé

êâàäðàòè÷íîé ôîðìû îïðåäåëÿþò òåíçîð îáðàòíûõ ïðèâåäåííûõ

ìàññ

−1

. Ýòîò òåíçîð (â ñëó÷àå, åñëè ýêñòðåìóìû îáåèõ âåòâåé äîñòè-

ãàþòñÿ â îäíîé è òîé æå òî÷êå) ðàâåí ðàçíîñòè òåíçîðîâ îáðàòíûõ ýô-

ôåêòèâíûõ ìàññ äâóõ âåòâåé:

ij c ij v ij

−− −

=−

11 1

, èëè, íà ÿçûêå ýëåêò-

ðîííî-äûðî÷íûõ âîçáóæäåíèé,

ij e ij

hij

−− −

11 1

. Òàêèì îáðàçîì

ïðèâåäåííàÿ ìåæçîííàÿ ìàññà îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå êàê ìàññû ýëåêò-

ðîíà, òàê è ìàññû äûðêè.

Äëÿ äèïîëüíî-ðàçðåøåííûõ ïåðåõîäîâ âêëàäû îñîáåííîñòåé

Âàí Õîâà â ìíèìóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè

èìåþò

ðàçëè÷íóþ ôîðìó â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà îòðèöàòåëüíûõ ñîñòàâëÿþ-

ùèõ ïðèâåäåííîãî ê ãëàâíûì îñÿì òåíçîðà

−1

. Îáîçíà÷åíèÿ îñîáûõ

òî÷åê ñîâïàäàþò ñ îáîçíà÷åíèÿìè, ïðèâåäåííûìè â ïðåäûäóùåì ïà-

ðàãðàôå:

§ 5. Ïåðåõîäû ïîä äåéñòâèåì ñâåòà â èäåàëüíîì êðèñòàëëå 81