Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

εω

δω ω

()

[ ( )] ( ) ( ),

=×

×− −

∑∑

fE fE

jif

(3.8)

Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî â ýòîì ïðèáëèæåíèè ïðàâàÿ ÷àñòü

óðàâíåíèÿ (3.8) íå ñîäåðæèò íèêàêèõ îïòè÷åñêèõ êîíñòàíò (â îòëè-

÷èå îò ôîðìóëû (3.7), â çíàìåíàòåëå êîòîðîé ñòîèò ïîêàçàòåëü ïðå-

ëîìëåíèÿ

n()ω

). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ïðèáëèæåíèè ñëàáîé ñâÿçè êîí-

äåíñèðîâàííîé ñðåäû ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì ïåðåõîäû ìåæäó

ðàçëè÷íûìè ñîñòîÿíèÿìè âíîñÿò àääèòèâíûé âêëàä â ìíèìóþ ÷àñòü

äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè

εω

()

. Ýòî âûäåëÿåò äèýëåêòðè÷åñ-

êóþ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäè îñòàëüíûõ îïòè÷åñêèõ ôóíêöèé è äåëàåò åå

íàèáîëåå óäîáíîé äëÿ òåîðåòè÷ååñêèõ ðàñ÷åòîâ.

Äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ìîæíî

âûðàçèòü ÷åðåç

εω

()

ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé Êðàìåðñà—Êðîíèãà.

Òîãäà äëÿ êîìïëåêñíîé

()εω

ïîëó÷àåì

()

[

εω

ωω

=+ ×

−+

−

∑∑

→+

jif

fE fE

()](),

(3.9)

Â ýòîì âûðàæåíèè ââåäåíà áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ: âå-

ëè÷èíà

, îïðåäåëÿþùàÿ ïðàâèëüíûé çíàê

. Â ðåàëüíûõ ñëó÷àÿõ,

ïîñêîëüêó âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ â òâåðäîì òåëå íå èìåþò áåñêî-

íå÷íîãî âðåìåíè æèçíè, ðîëü

èãðàåò âåëè÷èíà

2πτ

, ãäå

— âðå-

ìÿ æèçíè äàííîãî âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Áîëåå ïîäðîáíî îïèñà-

íèå âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ñ êîíå÷íûì âðåìåíåì æèçíè áóäåò äàíî

ïðè èññëåäîâàíèè ôîðìû ëèíèè ýêñèòîííîãî ïîãëîùåíèÿ.

Âûðàæåíèå (3.9) äàåò âîçìîæíîñòü ïðîàíàëèçèðîâàòü, êàêèå ïå-

ðåõîäû âíîñÿò âêëàä â äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè äèýëåêòðè-

÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè. Â ôîðìóëå (3.8) äëÿ ìíèìîé ÷àñòè äèýëåêò-

ðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñòîèò äåëüòà-ôóíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çà-

êîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ðåàëüíûõ ïåðåõîäîâ ìåæäó ðàçëè÷íû-

ìè ñîñòîÿíèÿìè. Ïîýòîìó â

â ýòîì ïðèáëèæåíèè âíîñÿò âêëàä

òîëüêî ïåðåõîäû ìåæäó òàêèìè ñîñòîÿíèÿìè, ðàçíèöà ýíåðãèé ìåæ-

äó êîòîðûìè íàõîäÿòñÿ â ðåçîíàíñå ñ ïàäàþùèì ñâåòîì. Ñ äðóãîé

ñòîðîíû, â äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè

âíîñÿò âêëàä âñå âîçìîæíûå ïåðåõîäû, â òîì ÷èñëå è òå, äëÿ êîòîðûõ

íå âûïîëíÿåòñÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðè ïåðåõîäå. Âêëàä òà-

êèõ ñîñòîÿíèé ïðîïîðöèîíàëåí

42 Ãëàâà 1. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ òâåðäûì òåëîì

∆tEE

≈−+=−22πω πωωhh

—âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ìîæåò íàðóøàòüñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ

ýíåðãèè (â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåëåííîñòè ìåæäó

íàáëþäàåìîé ýíåðãèåé

∆E

è âðåìåíåì èçìåðåíèÿ

∆t

, ñâÿçàííûõ ìåæ-

äó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì

∆∆Et≈ 2πh

). Òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ äàåò âîç-

ìîæíîñòü ãîâîðèòü, ÷òî äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðî-

íèöàåìîñòè

ñîîòâåòñòâóåò âèðòóàëüíûì ïåðåõîäàì. Â ÷àñòíîñòè,

äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè, êîòîðàÿ ÿâ-

ëÿåòñÿ ÷èñòî äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé, îïðåäåëÿåòñÿ â îñíîâíîì

âèðòóàëüíûìè ïåðåõîäàìè ñ ýíåðãèåé â îáëàñòè ôóíäàìåíòàëüíîãî

ïîãëîùåíèÿ.

Ïðè âûâîäå ôîðìóë (3.6)—(3.9) ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî âîëíîâûå

ôóíêöèè êîíå÷íîãî è íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèè íîðìèðîâàíû íà åäèíè-

öó äëÿ êàæäîãî èç àòîìîâ, ïîýòîìó â êà÷åñòâå ìíîæèòåëÿ âûñòóïàåò

— ÷èñëî àòîìîâ â åäèíèöå îáú¸ìà. Åñëè ïîëüçîâàòüñÿ âîëíîâûìè

ôóíêöèÿìè òâåðäîãî òåëà, íîðìèðîâàííûìè íà åäèíè÷íûé îáúåì,

ìíîæèòåëü

ïðîïàäàåò. Ïåðâûé ñïîñîá óäîáåí äëÿ îïèñàíèÿ âêëàäà

â äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü ëîêàëèçîâàííûõ ýëåêòðîííûõ

ñîñòîÿíèé, òàêèõ, êàê ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ äåôåêòîâ è ïðèìåñåé â

òâåðäîì òåëå. Âòîðîé ñïîñîá íåîáõîäèì ïðè îïèñàíèè ñîáñòâåííûõ

ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé, íàïðèìåð ñîñòîÿíèé íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà

èò.ä.

Ïîìèìî ðàçëè÷èÿ â íîðìèðîâêå âîëíîâûõ ôóíêöèé âêëàä ëîêà-

ëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé îòëè÷àåòñÿ îò âêëàäà ñîñòîÿíèé, ïðèíàäëåæà-

ùèõ âñåìó êðèñòàëëó, åùå îäíèì ìíîæèòåëåì — òàê íàçûâàåìîé

ïîïðàâêîé íà ýôôåêòèâíîå ïîëå. Ýòà ïîïðàâêà îáû÷íî çàïèñûâàåòñÿ

êàê

()

eff 0

. Ïðîèñõîæäåíèå åå ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî ýôôåê-

òèâíîå ïîëå

eff

, êîòîðîå èíäóöèðóåò ïåðåõîäû, ñîäåðæèò âêëàä,

ïðîïîðöèîíàëüíûé ïîëÿðèçàöèè, è íå ðàâíî ïðèëîæåííîìó ïîëþ

. Ïðîñòàÿ ìîäåëü Ëîðåíö—Ëîðåíöà, ïî êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ

ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå â ñôåðè÷åñêîé ïîëîñòè, íàõîäÿùåéñÿ â äèýëåêò-

ðè÷åñêîé ñðåäå ñ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ

∞

, äàåò

eff 0

∞

()ε 23

. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàå-

ìîñòè íàäî áðàòü âûñîêî÷àñòîòíóþ ïðîíèöàåìîñòü

∞

, ïîñêîëüêó

èîíû ïðàêòè÷åñêè íå óñïåâàþò çà èçìåíåíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.

Â îòëè÷èå îò ñòàòè÷åñêîé äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè

, â êîòî-

ðóþ âíîñÿò âêëàäû êàê ýëåêòðîííûå ïåðåõîäû, òàê è êîëåáàíèÿ

èîíîâ,

∞

ñîîòâåòñòâóåò îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè êðèñòàëëà è ñâÿçàíà

òîëüêî ñ ýëåêòðîííûìè ïåðåõîäàìè. Ñèìâîë

∞

îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñ-

òâóþùèå ÷àñòîòû ìíîãî áîëüøå õàðàêòåðíûõ ÷àñòîò äâèæåíèÿ èîíîâ

â òâåðäîì òåëå. Ýòè îáîçíà÷åíèÿ, óæå âñòðå÷àâøèåñÿ â ïðåäûäóùåì

ðàçäåëå, áóäóò øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè

§ 3. Ìèêðîñêîïè÷åñêîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì 43

ýêñèòîííûõ è ôîíîííûõ ýôôåêòîâ.

Â äåéñòâèòåëüíîñòè êîððåêòíî ó÷åñòü ïîïðàâêó íà ýôôåêòèâíîå

ïîëå ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíî, ïîñêîëüêó â îáëàñòè ýëåêòðîííûõ ïåðåõî-

äîâ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ÷àñòîòíóþ äèñïåðñèþ

εω()

, íåñôåðè÷-

íîñòü ïîëîñòè, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ äåôåêò, è ò. ä. Ðàçíûå ìåòîäû

äàþò äîâîëüíî ñèëüíî ðàçëè÷àþùèåñÿ ðåçóëüòàòû. Ýêñïåðèìåíòàëü-

íàÿ ïðîâåðêà â ðÿäå ñëó÷àåâ ïðèâîäèò ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî ôîðìóëà

Ëîðåíö—Ëîðåíöà ïåðåîöåíèâàåò ïîïðàâêó íà ýôôåêòèâíîå ïîëå

(ñì., íàïð., Stoneham, 1975). Êðîìå òîãî, ýòà ïîïðàâêà, âîçìîæíî,

îêàçûâàåòñÿ ðàçíîé äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé äåôåêòà, â ÷àñòíîñòè

èç-çà íåîäèíàêîâîé ïðîòÿæåííîñòè ñîñòîÿíèé. Çäåñü ìû îãðàíè÷èì-

ñÿ ñäåëàííûìè çàìå÷àíèÿìè.

Ñäåëàííûå âûøå çàìå÷àíèÿ óêàçûâàþò íà âàæíîñòü ïðîñòðàíñò-

âåííîé äèñïåðñèè, òî åñòü ðàçëè÷íîãî îòêëèêà äèýëåêòðè÷åñêîé ñðå-

äû ïîä âîçäåéñòâèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ðàçëè÷íûìè ïðîñò-

ðàíñòâåííûìè ÷àñòîòàìè. Â äåéñòâèòåëüíîñòè, ïîïðàâêà íà ýôôåê-

òèâíîå ïîëå ñâÿçàíà ñ ïîïûòêîé íàéòè òàêóþ àìïëèòóäó äëèííîâîë-

íîâîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, êîòîðàÿ ïî ñâîåìó äåéñòâèþ áûëà

áû ýêâèâàëåíòíà ðåàëüíîé ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå â òâåðäîì òåëå,

êîòîðàÿ ñîäåðæèò áîëüøîå êîëè÷åñòâî êîðîòêîâîëíîâûõ êîìïîíåíò,

çíà÷èòåëüíî ìåíÿþùèõñÿ íà ìåæàòîìíûõ ðàññòîÿíèÿõ (áîëåå ïîä-

ðîáíî ñì. Àãðàíîâè÷, Ãèíçáóðã, 1979). Êîððåêòíûé ó÷åò ýòîãî ÿâëå-

íèÿ âîçìîæåí òîëüêî ïðè ðàñ÷åòå äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè

εω(,)k

äëÿ âñåõ çíà÷åíèé âîëíîâîãî âåêòîðà

. Ïðè ó÷åòå çàâèñèìîñòè

îò

ñâîéñòâà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ñóùåñòâåííî èçìåíÿ-

þòñÿ. Â ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå ñèëüíîé ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè âå-

ëè÷èíà

εω(,)k

íå óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì Êðàìåðñà-Êðîíèãà

(ýòè ñîîòíîøåíèÿ âñåãäà âûïîëíÿþòñÿ ëèøü äëÿ ôóíêöèè

εω

−1

(,)k

)

è ò.ä. Áîëåå ïîäðîáíî ýòè âîïðîñû îñâåùåíû â ðàáîòàõ Êèðæíèöà

(1976) è Äîëãîâà è Ìàêñèìîâà (1981).

3.2 Ïîëÿðèçàöèîííîå ïðèáëèæåíèå äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ

ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé ñ òâåðäûì òåëîì

Â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, èñõîäÿ èç ïðîñòûõ ïðåäïîëîæåíèé,

áûëî ïîëó÷åíî âûðàæåíèå (3.9) äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñ-

òè

εω()

. Â äàííîì ðàçäåëå áóäåò îáîáùåí âûâîä ñîîòâåòñòâóþùèõ

óðàâíåíèé, ïðè ýòîì îñíîâíîå âíèìàíèå áóäåò óäåëÿòüñÿ äðóãîé ñòî-

ðîíå âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ âåùåñòâîì. Â îñíîâ-

íîì ýòî ðàññìîòðåíèå áóäåò îñíîâàíî íà ðàáîòàõ Þ.Ë.Êëèìîíòîâè÷à

(1980).

Êàê è â ðàçäåëå 3.1, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñèñòåìà îïèñûâàåò-

ñÿ ãàìèëüòîíèàíîì (3.1), è ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå

âåêòîðû

èçâåñòíû. Ìàòðèöà ïëîòíîñòè ñèñòåìû áåç ó÷åòà âçàèìî-

äåéñòâèÿ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåç

. Óðàâíåíèå äëÿ ìàòðèöû

44 Ãëàâà 1. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ òâåðäûì òåëîì

ïëîòíîñòè èìååò îáû÷íûé âèä (Ëàíäàó, Ëèôøèö, 1958d):

nk km nk km

∂

HR RH=−

∑

(

)

Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñîñòîÿíèÿ

, èñïîëüçóåìûå â êà÷åñòâå

áåçèñíûõ, ñîîòâåòñòâóþò ìíîãî÷àñòè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì

ãàìèëüòîíèàíà

. Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ ìàòðèöû ïëîòíîñòè ñèñòå-

ìû, îïèñûâàåìîé ãàìèëüòîíèàíîì ñ ó÷åòîì âçàèìîäåéñòâèÿ, èìååò

ôîðìó

()

∂

nm nm

nk km nk km













=− −

∑

RHRRH

(

)(

)

int int

. (3.10)

Â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè ìàòðèöà ïëîòíîñòè ñèñòåìû äèàãîíàëü-

íà. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñîñòîÿíèé, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê ðàâíîâå-

ñèþ, ìîæíî çàïèñàòü

Rf f

nm n nm nm

=+δδ

. (3.11)

Ñóùåñòâåííî áîëåå àêêóðàòíîå îïèñàíèå ýâîëþöèè ìàòðèöû

ïëîòíîñòè, â òîì ÷èñëå è îöåíêà òî÷íîñòè ïðèìåíåííûõ ïðèáëèæå-

íèé, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà äðóãèìè ìåòîäàìè, íàïðèìåð, ñ èñïîëüçî-

âàíèåì òåõíèêè ïðîåêöèîííûõ îïåðàòîðîâ (ñì., íàïðèìåð,

Nakajima, 1958, Zwanzig, 1964, Grabert, 1982). Ïðèáëèæåíèå (3.11)

ñîîòâåòñòâóåò ðàññìîòðåíèþ ñèñòåìû íà âðåìåíàõ, áîëüøèõ âðåìåí

ïîïåðå÷íîé ðåëàêñàöèè, â òå÷åíèå êîòîðûõ ïðîïàäàþò íåäèàãîíàëü-

íûå ýëåìåíòû ìàòðèöû ïëîòíîñòè.

Â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå

óäîâëåòâîðÿ-

åò ðàñïðåäåëåíèþ Ãèááñà

EkT EkT

eZe

−−

∑

, (3.12)

ãäå

— ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, à

—àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà. Îò-

ìåòèì, ÷òî â äàííîì ðàçäåëå

îïèñûâàåò âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ

âñåé ñèñòåìû â ìíîãî÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè

è íå èìååò íèêàêîãî îò-

íîøåíèÿ ê ÷èñëàì çàïîëíåíèÿ îäíîýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé, ïîÿâëÿ-

þùèõñÿ â ïðèáëèæåíèè Õàðòðè–Ôîêà, êîòîðûå áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ

êàê

. Òåì ñàìûì ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå (

T =0

)

=δ

, ÷òî îç-

íà÷àåò íàõîæäåíèå âñåé ñèñòåìû â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè.

Âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà âçàèìîäåéñòâèÿ (3.3) ìîæåò áûòü çà-

ïèñàíî ÷åðåç îïåðàòîð òîêà

()

()jr r r=−

∑

P δ

ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ÷àñòèöàì ñ íîìåðàìè

. Òîãäà

§ 3. Ìèêðîñêîïè÷åñêîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì 45

(,)

()

int

H =−

∫

Ar jrtdr

. (3.13)

Îïåðàòîð òîêà

ñâÿçàí ñ âåêòîðîì ïîëÿðèçàöèè

Pr(,)t

ñîîòíîøåíèåì

(,)

∂

. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðàâåíñòâî â (3.13) è âûäåëÿÿ ïîëíóþ ïðî-

èçâîäíóþ ïî âðåìåíè, ïîëó÷àåì

(,) (,) ( )

int

H =− +

∫

Er Prttdr

∂

. (3.14)

Â äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáÿòñÿ ôóðüå-êîìïîíåíòû

int

ïî âðåìåíè.

Â ýòîì ñëó÷àå ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ìîæíî îïóñòèòü.

Âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ñâÿçàí ñ ìàòðèöåé ïëîòíîñòè ñèñòåìû ðà-

âåíñòâîì

Pr Dr Dr(,)()()()()tt t

mn nm

∑∑

Rfδ

, (3.15)

ãäå

— ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà äèïîëüíîãî ìîìåíòà

() ( )Dr r r r=−

∑

ii i

DDr

nm=

()

. (3.16)

Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â (3.15) ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ðàâíîâåñíîì ñîñòî-

ÿíèè âåêòîð ïîëÿðèçàöèè âñåé ñèñòåìû îáðàùàåòñÿ â íîëü (ñåãíåòîý-

ëåêòðè÷åñêèå ñèñòåìû çäåñü íå ðàññìàòðèâàþòñÿ).

Ôëóêòóàöèîííûå äîáàâêè ê ìàòðèöå ïëîòíîñòè ðàçäåëÿþòñÿ íà

ñóììó äâóõ ñëàãàåìûõ: èíäóöèðîâàííûõ ïîëåì

δf

ind

è ôëóêòóàöèé

èñòî÷íèêà

δf

src

. Ïðèðîäà ôëóêòóàöèé èñòî÷íèêà èìååò ôóíäàìåí-

òàëüíóþ ïðèðîäó è ñâÿçàíà ñ àòîìàðíîé ñòðóêòóðîé âåùåñòâà. Òåì

ñàìûì è ïîëÿðèçàöèÿ

â ñâîþ î÷åðåäü ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ÷àñòè: ïî-

ëÿðèçàöèþ

ind

, èíäóöèðîâàííóþ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, è ïîëÿ-

ðèçàöèþ èñòî÷íèêà

src

Âàæíóþ ðîëü èãðàþò âåëè÷èíû, óñðåäíåííûå ïî àíñàìáëþ ñèñ-

òåì. Òàêîå óñðåäíåíèå áóäåì îáîçíà÷àòü óãëîâûìè ñêîáêàìè

. ×òî-

áû ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ôëóêòóàöèé

èñòî÷íèêà

δδff

nm n m

src src*

() ( )

′′

′

, ìîæíî ðàññìîòðåòü äâóõâðåìåííóþ

ìàòðèöó ïëîòíîñòè ñèñòåìû

nm n m

(, )

′′

′

. Ïðè ñîâïàäàþùèõ âðåìå-

íàõ ýòà ìàòðèöà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç

t()

RRR

nm n m nn mm mm nn

tt t t

(,) [ () ()]

′′ ′ ′ ′ ′

δδ

Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ôëóêòóàöèé èñòî÷íèêà îïðåäåëÿåòñÿ êàê

ðàçíèöà ìåæäó äâóõâðåìåííîé ìàòðèöåé ïëîòíîñòè è ïðîèçâåäåíèåì

äâóõ îäíîâðåìåííûõ ìàòðèö ïëîòíîñòè:

46 Ãëàâà 1. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ òâåðäûì òåëîì

δδff R RR

nm n m nm n m nm n

tt tt t

src src*

() ( ) (, ) ()

′′ ′′ ′′

′= ′−

t()′

Îòñþäà äëÿ ñîâïàäàþùèõ âðåìåí ïîëó÷àåì

δδ δ δff R R

nm n m nn mm mm nn

tt t t

src src*

() () [ () ()

′′ ′ ′ ′ ′

]()().−

′′

nm n m

Åñëè ðàññìàòðèâàåìîå ñîñòîÿíèå íåðàâíîâåñíî, íî äîñòàòî÷íî áëèç-

êî îò ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî

δδ

δδ δ

nm n m

nn mm m n

src src*

() ()

[() ()]

′′

=+−

nm n m n n

ttδ

′′ ′

ff() ().

(3.17)

Ýòà ôîðìóëà àíàëîãè÷íà òîìó, ÷òî ïðè ïóàññîíîâñêîì ðàñïðåäåëå-

íèè ñðåäíèé êâàäðàò ÷èñëà ñîáûòèé

()∆NNN

=−

ðàâåí

Â ôîðìóëå (3.17) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü

ôóíêöèé

t()

îòíîñèòåëüíî ìåäëåííàÿ (ïî ñðàâíåíèþ ñ âðåìåíàìè

ïîðÿäêà

πω

−

Ôëóêòóàöèîííûå èñòî÷íèêè

δf

src

èìåþòñÿ è â ñèñòåìå áåç âçàè-

ìîäåéñòâèÿ (

int

H = 0

), è ïîýòîìó êîððåëÿòîð óäîâëåòâîðÿåò óðàâíå-

íèþ

∂

ωδδ

is t t

nm nm n m













′=

′′

src src*

() ( ) 0

ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì (3.17) (

s >0

– ìàëàÿ äîáàâêà, îáåñïå÷èâàþùàÿ

îñëàáëåíèå êîððåëÿöèé íà áîëüøèõ âðåìåíàõ). Ïðåäïîëàãàÿ ñòàöèî-

íàðíîñòü ñèñòåìû, ìîæíî ïåðåéòè ê ôóðüå-êîìïîíåíòàì ïî âðåìåíè,

è äëÿ

ω≠0

ïîëó÷àåì

()()()δδ πδωωδδ

ff ff

nm n m nm nn mm m n

src src

′′ ′ ′

=− +

, (3.18)

ãäå

()K

îáîçíà÷àåò ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü, îïðåäåëÿåìóþ â ñòà-

öèîíàðíîì ñëó÷àå ñîîòíîøåíèåì

xy xy xy

ωω ω ω ω

πδωω

′

−

′

== +′

() ( )2

, (3.19)

è ñâÿçàííóþ ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé

xt yt()()+τ

(â ñòàöèîíà-

ðîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå

xt yt x y( ) () () ()+=ττ0

,òî

åñòü ýòà ôóíêöèÿ íå çàâèñèò îò âðåìåíè

) Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèåì

( ) () ()xy x y e d

ωτ

ττ=

−∞

∞

∫

. (3.20)

Èñïîëüçóÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ìîæíî âûðàçèòü

§ 3. Ìèêðîñêîïè÷åñêîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì 47

êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ ÷åðåç ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü:

xty xye d xye d

it it

()() () ()0

−

−∞

∞

−

∞

∫∫

. (3.21)

Çäåñü îòäåëüíî âûïèñàíî èíòåãðèðîâàíèå òîëüêî ïî ïîëîæèòåëüíûì

÷àñòîòàì, ÷òî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè îïèñàíèè ñïåêòðàëüíûõ õàðàê-

òåðèñòèê. Íåîáõîäèìî íàïîìíèòü, ÷òî

() () ()

xy yx yx

ωωω

−

. (3.22)

Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé, òî

ìåäëåííî

ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì, è ôîðìóëû (3.18)—(3.22) âûïîëíÿþòñÿ

ëèøü ïðèáëèæåííî, ñ òî÷íîñòüþ äî îòíîøåíèÿ áûñòðûõ õàðàêòåð-

íûõ âðåìåí

πω

−

êî âðåìåíè ðåëàêñàöèè. Ìàëîñòü ýòîãî ïàðàìåòðà

ñâÿçàíà ñ ïðåäïîëîæåíèåì ìàëîñòè âûäåëåííîãî ãàìèëüòîíèàíà âçà-

èìîäåéñòâèÿ

int

. Â òàêîì ñëó÷àå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè òèïà

xt yt()()+τ

ñëàáî çàâèñÿò îò âðåìåíè

è ñóùåñòâåííî — îò âðåìåíè

. Ïåðåõîäÿ ê Ôóðüå-êîìïîíåíòàì ïî

, ïîëó÷àåì ñïåêòðàëüíûå õà-

ðàêòåðèñòèêè, ìåäëåííî ìåíÿþùèåñÿ ñî âðåìåíåì

. Òàêîå äâîéíîå

ïðåäñòàâëåíèå â ïåðåìåííûõ âðåìÿ-÷àñòîòà âîçìîæíî â ñëó÷àå ñó-

ùåñòâåííîé ðàçíèöû õàðàêòåðíûõ âðåìåí ñèñòåìû. Ìåäëåííàÿ çàâè-

ñèìîñòü îò

áóäåò âûäåëÿòüñÿ îòäåëåíèåì ýòîãî àðãóìåíòà ôóíêöèé

òî÷êîé ñ çàïÿòîé îò îñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãà-

åòñÿ, ÷òî âîçìóùåíèå ñèñòåìû âíåøíèì ïîëåì ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì, è

âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ãàìèëüòîíèàíà

íå èçìåíÿþòñÿ. Â ÷àñò-

íîñòè, ñî âðåìåíåì íå ìåíÿþòñÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû

, èõ ýíåðãèè

è ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû

Åñëè ïåðåéòè ê Ôóðüå-êîìïîíåíòàì è ïðåäïîëîæèòü ìàëîñòü

ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ

int

, òî èç (3.10) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå

äëÿ èíäóöèðîâàííîé âíåøíèì ïîëåì äîáàâêè ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-

íèÿ:

()

()(;)

() () () (,

−++ =

=−

isi t

nm nm

mn nm

ωωδω

ind

DrEr;) ,tdr

∫

ãäå âìåñòî

èñïîëüçóåòñÿ åå äèàãîíàëüíîå ïðèáëèæåíèå, è äëÿ

ñõîäèìîñòè èíòåãðàëîâ Ôóðüå â óðàâíåíèÿ äîáàâëåí ìàëûé ðåëàêñà-

öèîííûé ÷ëåí, ïðîïîðöèîíàëüíûé

s → 0

. Îòñþäà ïîëíàÿ äîáàâêà ê

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä

48 Ãëàâà 1. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ òâåðäûì òåëîì

δω δ ω

ωω

(;) (;)

() ()

()

(

−

+−

src

DrEr)(,;) .ω tdr

∫

(3.23)

Íèæå â óðàâíåíèÿõ ìåäëåííàÿ çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè

áóäåò ÷àñòî

îïóñêàòüñÿ.

Ó÷èòûâàÿ (3.15), ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîëÿðèçàöèåé è

ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì:

Pt tE tdrP

iijj i

(, ;)

(,,;) (,;) (,;rrrr rωα ω ω ω=′ ′′+

∫

3src

t).

(3.24)

Çäåñü ââåäåí òåíçîð ïîëÿðèçóåìîñòè

()

(, , ;) () ( )

() ()

(

αω

ωω

ij i

tD D

rr r r′= ′

−

+−

)

∑

(3.25)

Ïîëÿðèçàöèîííûé èñòî÷íèê

src

ñâÿçàí ñ èñòî÷íèêîì

δf

src

ôîðìó-

ëîé, àíàëîãè÷íîé (3.15). Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (1.3), ìîæíî ïîëó-

÷èòü òåíçîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ÷åðåç òåíçîð ïîëÿðèçóå-

ìîñòè:

επα

ij ij

=+14

Â ôîðìóëå (3.24) ìîæíî ïåðåéòè ê Ôóðüå-êîìïîíåíòàì ïî âîë-

íîâîìó âåêòîðó

PEdkP

iijji

(,)

()

(, , ) (, ) (, )ω

αωω ωkkkk k=′′′+

∫

3src

ãäå

()

(, , ) ( ) ( )

()

αω

ωω

ij i

kk k k′= − −′

−

+−

∑

(3.26)

Â ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîðîäíîé ñèñòåìå òåíçîð ïîëÿðèçóåìîñòè

(3.25) çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè

rr−′

, â ñîîòâåòñòâèè ñ ÷åì

(, , ) ( ) ( )

(,)αωπδαω

ij ij

kk k k k′= −′2

. (3.27)

Åñëè, êðîìå òîãî, ñèñòåìà èçîòðîïíà,

(,)αω

ñâîäèòñÿ ê ñóììå äâóõ

òåíçîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëåí

, à äðóãîé —

(â èçîòðîïíîé ñèñòåìå íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü íèêàêèõ äðóèõ òåíçî-

ðîâ):

()

~~ ~

αα αδ

ij i j ij i j

kk kk=+−

⊥

, (3.28)

ãäå ââåäåíû äâà ñêàëÿðà: ïðîäîëüíàÿ

è ïîïåðå÷íàÿ

⊥

ïîëÿðèçóå-

ìîñòè. Â òàêîì ñëó÷àå, åñëè

αα≠

⊥

, òî çàâèñèìîñòü

îò

§ 3. Ìèêðîñêîïè÷åñêîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì 49

ñòàíîâèòñÿ íåàíàëèòè÷åñêîé â ïðåäåëå

k → 0

. Óìíîæàÿ (3.28) íà

è ïðîèçâîäÿ ñóììèðîâàíèå ïî

, ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ

ïðîäîëüíîé ïîëÿðèçóåìîñòè

()

(,)

αω ρ

ωω

−

+−

−

∑

, (3.29)

ãäå áûëî èñïîëüçîâàíî óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè (1.4), èç êîòîðîãî

äëÿ èçîòðîïíîé ñèñòåìû èç íåãî ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå

()()()

nm nm nm

−− −

kk k

kD D

Äàëåå â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî

αα=

⊥

.Â

òàêîì ñëó÷àå

ααδ

ij ij

, îòêóäà

()

(,)αω

ωω

−

+−

−

∑

. (3.30)

Ïîñêîëüêó â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèÿìè (3.27) äåëüòà-ôóíêöèÿ

δ()kk−′

óæå âûäåëåíà èç ïîëÿðèçóåìîñòè, îáîçíà÷åíèå

()

−k

óðàâíåíèÿõ (3.29) è (3.30) èìåþò òîò æå ñìûñë, ÷òî è ñïåêòðàëüíàÿ

ïëîòíîñòü

()x

â ôîðìóëå (3.19), òî åñòü ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòà-

ìè ïåðåä ñîîòâåòñòâóþùåé äåëüòà-ôóíêöèåé, íàïðèìåð,

()( )

()

() ()( )

ρρ πδ ρ−−′= −′

−

kk kk

nm nm

Â òàêèõ îáîçíà÷åíèÿõ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ïðèíèìà-

åò âèä

()

(,)εω

ωω

−

+−

−

∑

. (3.31)

Åå ìíèìàÿ ÷àñòü ðàâíà

()

εω

δω ω

(,) ( )( )kD

=+ − −

−

∑

nm m n nm

. (3.32)

Ìåíÿÿ èíäåêñû, ïî êîòîðûì ïðîèñõîäèò ñóììèðîâàíèå,

nm↔

, è èñ-

ïîëüçóÿ î÷åâèäíîå ñîîòíîøåíèå

ωω

nm mn

=−

, ëåãêî ïîêàçàòü íå÷åò-

íîñòü ìíèìîé ÷àñòè

è ÷åòíîñòü äåéñòâèòåëüíîé:

(,)

εω ε ωkk=−−

Îáîáùåíèå ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ íà àíèçîòðîïíûé ñëó÷àé èìååò âèä:

(,)

εω ε ω

ij ji

kk=−−

Â íåðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè ñèñòåìà â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîðîäíà

è íåèçîòðîïíà. Â òàêîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü îáùåå

50 Ãëàâà 1. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ òâåðäûì òåëîì

âûðàæåíèå

()

(, , ;) ( )

() ( )

() (

εωδ

rr r r

′=−′+

+′

−

fft

)

()

h ωω+−

∑

(3.33)

â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè è ôîðìóëó, àíàëîãè÷íóþ (3.26) â

ïðåäñòàâëåíèè âîëíîâûõ âåêòîðîâ. Îòëè÷èå íåðàâíîâåñíîé äèýëåêò-

ðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè îò ðàâíîâåñíîé îïèñûâàåò öåëûé ðÿä ýô-

ôåêòîâ, â ÷àñòíîñòè, íàâåäåííîå ïîãëîùåíèå.

Íàëè÷èå

â çíàìåíàòåëå óðàâíåíèÿ (3.29) ñâÿçàíî ñ ýêðàíèðî-

âàíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, åñëè

()

lim

→

−

≠ρ

. (3.34)

Â òàêîì ñëó÷àå â äëèííîâîëíîâîì ïðåäåëå çíàìåíàòåëü ïåðâîãî ÷ëå-

íà â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.5) íå çàâèñèò îò

, è ýëåêòðè÷åñêîå

ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà ïàäàåò áûñòðåå ëþáîé ñòåïåíè ðàññòîÿíèÿ (â

áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ýêñïîíåíöèàëüíî). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ

ëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé ïðåäåë (3.34) ðàâåí íóëþ. Òåì ñàìûì ýê-

ðàíèðîâàíèå êóëîíîâñêîãî ïîëÿ íàïðÿìóþ ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì äåëî-

êàëèçîâàííûõ âîçáóæäåíèé, íàïðèìåð, ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ.

3.3 Ôëóêòóàöèîííî-äèññèïàöèîííàÿ òåîðåìà

Äëÿ äàëüíåéøåãî îáñóæäåíèÿ íåîáõîäèìî âûðàçèòü ýëåêòðè÷åñ-

êîå ïîëå ÷åðåç ôëóêòóàöèè ìàòðèöû ïëîòíîñòè. Èñïîëüçóÿ ïðèâå-

äåííóþ âûøå ôîðìóëó (3.18) äëÿ êîððåëÿòîðà

δf

src

, ìîæíî ïîëó-

÷èòü

()

δδ π δω ω

PP D

() ()

src

=− +

−

∑

nm nm n m

. (3.35)

Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (1.7) ïîëó÷àåì ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü

ôëóêòóàöèé ïðîäîëüíûõ êîìïîíåíò ïîëÿ

Ekk

(,)||ω

()

δδ

εω

δω ω

|| ||

(,)

()( )=+−

−

nm nm

∑

(3.36)

è ñïåêòðàëüíóþ ïëîòíîñòü ôëóêòóàöèé ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíò

Ekk

⊥

⊥(,)ω

(òàêèõ êîìïîíåíò äâå, è îíè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿð-

íû):

§ 3. Ìèêðîñêîïè÷åñêîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì 51