Васильев А., Михайлин В. Введение в спектроскопию диэлектриков

Подождите немного. Документ загружается.

ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (ÁÏÔ), òî ïîòðåáóåòñÿ òîëüêî

NNln

óìíî-

æåíèé. Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ òàêîãî ïîäõîäà ê ðàñ÷åòó îïòè÷åñêèõ

ôóíêöèé ïðèâåäåí íà ðèñ. 5.

Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (1.21) è (1.22) ïîçâîëÿþò ïîëó-

÷èòü ðÿä èíòåðåñíûõ èíòåãðàëüíûõ ñîîòíîøåíèé (ñì., íàïðèìåð,

Altarelli et al, 1972). Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî âûøå,

íà áîëüøèõ

÷àñòîòàõ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, è ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü

() ()

εω

πω

−=−

∞

∫

xxdx

ïðè

ω→∞

. (1.28)

Ñðàâíåíèå (1.28) ñ ñîîòíîøåíèåì (1.27) äàåò ïðàâèëî ñóìì â ñëåäó-

þùåé ôîðìå:

() ()

dfdN

ωεωω ωω

∞∞

∫∫

≡=

. (1.29)

Çäåñü ââåäåíà ñèëà îñöèëëÿòîðîâ

()

dω

ωε ω

ω≡

, ïðèõîäÿùèõñÿ

íà èíòåðâàë ÷àñòîò

dω

. Ïðàâèëî ñóìì (1.29) âûðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî

ñóììà âñåõ ñèë îñöèëëÿòîðîâ â åäèíèöå îáúåìà ðàâíà ÷èñëó ýëåêòðî-

íîâ â åäèíèöå îáúåìà. Èíòåãðàë â (1.29) äîëæåí áûòü ñõîäÿùèìñÿ,

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

()

εω

ïðè áîëüøèõ ÷àñòîòàõ ïàäàåò ñ ðîñòîì

32 Ãëàâà 1. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ òâåðäûì òåëîì

0 5 10 15 20 25 30

1,4 10×

1,0 10×

8×10

6×10

4×10

2×10

-1

Ïîãëîùåíèå, ñì

0,5

1,0

Ýíåðãèÿ ôîòîíà, ýÂ

PbWO

Îòðàæåíèå, %

0 5 10 15 20 25 30

Ýíåðãèÿ ôîòîíà, ýÂ

Im(-1/ )ε

εε,

Ðèñ. 5. Ñïåêòð îòðàæåíèÿ âîëüôðàìàòà ñâèíöà [????] è ïåðåñ÷èòàííûå ñ

èñïîëüçîâàíèåì ÁÏÔ îïòè÷åñêèå ôóíêöèè.

áûñòðåå, ÷åì

−2

Â äðóãîì ïðåäåëå

ω→0

äëÿ äèýëåêòðèêîâ (

σ=0

) ìîæíî ïîëó-

÷èòü:

()

εω

−= ≡

∞

−

∫

, (1.30)

ãäå ÷åðòà îçíà÷àåò óñðåäíåíèå ñ ïîìîùüþ ñèëû îñöèëëÿòîðîâ:

()

ωω

−

∞

≡

∫

Â óðàâíåíèè (1.30)

()

- ñòàòè÷åñêàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàå-

ìîñòü, îáû÷íî îáîçíà÷àåìàÿ êàê

. Íåîáõîäèìî îáðàòèòü âíèìàíèå

íà òî, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå â (1.30) ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåìó äèàïàçîíó

÷àñòîò, â òîì ÷èñëå è ïî îáëàñòè ïîãëîùåíèÿ â ÈÊ-äèàïàçîíå ñ ó÷àñ-

òèåì ôîíîíîâ. Âîîáùå ãîâîðÿ, â îòëè÷èå îò ôîðìóëû (1.30), êîòîðàÿ

÷óâñòâèòåëüíà ê ïîâåäåíèþ

()

εω

ïðè ñðàâíèòåëüíî íèçêèõ ÷àñòîòàõ,

ïðàâèëî ñóìì (1.29) â îñíîâíîì îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì

()

εω

ïðè

âûñîêèõ ÷àñòîòàõ. Îöåíêà òî÷íîñòè ðàñ÷åòà ïî ïðàâèëàì Êðàìåð-

ñà—Êðîíèãà ñ ïîìîùüþ ýòèõ ïðàâèë ñóìì ïîìîãàåò âûáðàòü àïïðîê-

ñèìàöèþ äëÿ âûñîêî- è íèçêî÷àñòîòíûõ ÷àñòîòíûõ äèàïàçîíîâ.

Ïðè àíàëèçå îïòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ïðàâèë ñóìì ÷àñòî

ââîäèòñÿ ýôôåêòèâíîå ÷èñëî ýëåêòðîíîâ

()

eff

è ýôôåêòèâíàÿ ñòà-

òè÷åñêàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü

()

εω

eff

. Îíè ïîëó÷àþòñÿ ïî

ôîðìóëàì (1.29) è (1.30), â êîòîðûõ âåðõíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâà-

íèÿ çàìåíåí íà ÷àñòîòó

. Ýòè äâå ôóíêöèè èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê

÷èñëî ýëåêòðîíîâ, ó÷àñòâóþùèõ â ïåðåõîäàõ â äèàïàçîíå ÷àñòîò îò 0

äî

è êàê âêëàä òàêèõ ýëåêòðîíîâ â

. Áûñòðûé ñòóïåí÷àòûé ðîñò

òàêèõ ôóíêöèé óêàçûâàåò íà íà÷àëî ïåðåõîäîâ èç âñå áîëåå ãëóáîêèõ

îáîëî÷åê. Ê ñîæàëåíèþ, òî÷íîå îïðåäåëåíèå òàêèõ ôóíêöèé îêàçû-

âàåòñÿ íåâîçìîæíûì. Áîëåå òîãî, îíè êðàéíå ÷óâñòâèòåëüíû (îñîáåí-

íî

()

eff

) ê îøèáêàì ïîäãîíêè ïðè âû÷èñëåíèè ïðåîáðàçîâàíèé

Êðàìåðñà—Êðîíèãà.

Ïðàâèëà ñóìì, àíàëîãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿì (1.29) è (1.30), ìîæ-

íî çàïèñàòü è äëÿ

()

n ω

()

κω

, à òàêæå äëÿ äðóãèõ îïòè÷åñêèõ ôóíêöèé

(íàïðèìåð, èñïîëüçóåìîé íèæå ôóíêöèè ïîòåðü ýíåðãèè

()

Im −













εω

§ 1. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì 33

§ 2 Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîòåðè ýíåðãèè

ýëåêòðîíîâ

Ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç âåùåñòâî çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà èíòåíñèâ-

íî âçàèìîäåéñòâóåò ñî âñåìè âîçìîæíûìè âîçáóæäåíèÿìè. Ðàññìàò-

ðèâàÿ òîëüêî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå âçàèìîäåéñòâèå ÷åðåç ïðîäîëüíîå

ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïîëÿðèçàöèþ âåùåñòâà

(ñì., íàïð. Neufeld, Ritchie, 1965, Vager, Gemmel, 1976, Êàëàøíèêîâ

è äð., 1980). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïîòåðè ýíåðãèè ýëåêòðîíà íà ñîç-

äàíèå âîçáóæäåíèÿ ñ èìïóëüñîì

è ýíåðãèåé

hω

ïðîïîðöèîíàëüíû

()

−













εω

. (2.1)

Âîîáùå ãîâîðÿ,

()

,εωq

â ýòîé ôîðìóëå äîëæíà ñîîòâåòñòâîâàòü ïðî-

äîëüíîé, à íå ïîïåðå÷íîé ÷àñòè òåíçîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàå-

ìîñòè (áîëåå ïîäðîáíî ðàçëè÷èå ìåæäó ýòèìè äâóìÿ òåíçîðàìè ðàññ-

ìàòðèâàåòñÿ â ñëåäóþùåé ãëàâå). Ôîðìóëà (2.1) ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì

−1

â âûðàæåíèè (1.6) äëÿ ïðîäîëüíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ

Ýëåêòðîí (èëè äðóãàÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà) ñîçäàåò â êðèñòàëëå ïîëå

ñ ïîòåíöèàëîì

ϕε()

rer=−

, ãäå

- îïåðàòîð äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíè-

öàåìîñòè. Ôóðüå-êîìïîíåíòà ýòîãî ïîëÿ èìååò âèä

()

πεωeq

, ãäå

()

,εωq

- ôóðüå îáðàç îïðåàòîðà äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ïî

ïðîñòðàíñòâåííûì êîîðäèíàòàì è âðåìåíè. Äëÿ îöåíêè ïîòåðü ýíåð-

ãèè ýëåêòðîíà â ôîðìóëå (2.1) ìîæíî ïîëîæèòü

q = 0

è ïðîèíòåãðè-

ðîâàòü ïî âñåì ÷àñòîòàì:

()

−−













∫

d~Im

εω

Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ñâîéñòâà ôóíêöèè

()

−

εω

. Âî-

ïåðâûõ, ñîãëàñíî (2.1), ïîòåðè ýíåðãèè êâàíòàìè

hω

îòëè÷íû îò íóëÿ

â äâóõ ñëó÷àÿõ. Åñëè

()

εω

0≠

, òî âîçáóæäàþòñÿ òàêèå ýëåêòðîííûå

ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå äàþò âêëàä â

()

εω

íà ñîîòâåòñòâóþùåé ÷àñòîòå.

Òåì ñàìûì ïîòåðè ýíåðãèè ïðèâîäÿò ê ðîæäåíèþ íîâûõ ýëåêòðîííûõ

âîçáóæäåíèé. Ïðàâäà, âêëàä ðàçíûõ ñîñòîÿíèé ìåíÿåòñÿ â ñèëó

èçìåíåíèÿ

()

εω

ñ ÷àñòîòîé. Â ÷àñòíîñòè, îí âîçðàñòàåò ñ óìåíüøå-

íèåì

()

εω

. Íàèáîëåå èíòåðåñíûé âêëàä â ïîòåðè ýíåðãèè âîçìîæåí

è ïðè

()

εω

. Åñëè îïðåäåëèòü

êàê êîðåíü óðàâíåíèÿ

()

εω

,òî

()

()()[]

εω

πω

δω−ω δω ω

≈−+

pl pl

×àñòîòà, íà êîòîðîé

îáðàùàåòñÿ â íîëü, íàçûâàåòñÿ ïëàçìåí-

íîé ÷àñòîòîé. Ïðè ýòîì âîçáóæäàþòñÿ îñîáûå êâàçè÷àñòèöû - ïëàç-

ìîíû, ÿâëÿþùèåñÿ ïðîäîëüíûìè êîëåáàíèÿìè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.

Ñëó÷àé

()

εω

ñîîòâåòñòâóåò ìîäåëè ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Ïðè

ýòîì

()

εω

=−1

, (2.2)

ãäå

- êîíöåíòðàöèÿ è

- ìàññà ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ. Èç (2.2) ïî-

ëó÷àåì

. (2.3)

Åñëè ïîãëîùåíèå îòëè÷íî îò íóëÿ,

()

εω

0≠

, òî âñå ðàâíî íà

áîëüøèõ ÷àñòîòàõ

()

εω

0→

. Â ýòîé îáëàñòè ñîîòíîøåíèå (2.2) ñâÿçà-

íî ñ ïðàâèëàìè ñóìì, ñëåäóþùèìè èç äèñïåðñèîííûõ ñîîòíîøåíèé

Êðàìåðñà—Êðîíèíãà (1.24). Â êà÷åñòâå

çäåñü ñòîèò ïëîòíîñòü âà-

ëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ, ïåðåõîäû ñ êî-

òîðûõ ê

óæå èñ÷åðïàíû. Îäíàêî

â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âûðàæåíèå

äëÿ

(2.3) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

ëèøü ãðóáóþ îöåíêó. Äàæå â ìåòàë-

ëàõ ýòî ñîîòíîøåíèå â áîëüøèíñòâå

ñëó÷àåâ íå ïðèìåíèìî. Â äåéñòâè-

òåëüíîñòè ïëàçìåííóþ ÷àñòîòó íåîá-

õîäèìî îïðåäåëÿòü èç óñëîâèÿ

()

εω

. Â ñèëó êîìïëåêñíîñòè

âûðàæåíèå äëÿ ïëàçìåííîé ÷àñòîòû

òàêæå ïîëó÷àåòñÿ êîìïëåêñíûì, ïðè-

÷åì ìíèìàÿ ÷àñòü

ðàñòåò ñ ðîñòîì

()

εω

. Òåì ñàìûì ïëàçìîíû ñòà-

íîâÿòñÿ êîðîòêîæèâóùèìè. Â áîëü-

øèíñòâå äèýëåêòðèêîâ ìàêñèìóì íà

§ 2. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîòåðè ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ 35

1,0

0,6

0,2

01020

-Im

Ðèñ. 6. Ñïåêòð õàðàêòåðèñòè÷åñ-

êèõ ïîòåðü äëÿ Ge (Philipp,

Ehrenrich, 1963)

÷àñòîòå

èìååò ïîëóøèðèíó ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ýëåêòðîí-âîëüò

(ñì., íàïðèìåð, ðèñ. 4–6), ò.å. âðåìÿ æèçíè ïëàçìîíà ïîðÿäêà

15−

ñ. Òîëüêî â ìåòàëëàõ ïëàçìîí ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî äîëãîæèâóùèì

âîçáóæäåíèåì, è èìåííî òàì îí íàèáîëåå äîñòîâåðíî îïðåäåëÿåòñÿ

÷åðåç õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîòåðè ýëåêòðîíîâ.

Íà ïðèìåðå ïëàçìîíà ìîæíî íàèáîëåå ïðîñòî îöåíèòü âëèÿíèå

ïîâåðõíîñòè íà âîçáóæäåíèÿ â òâåðäîì òåëå, ïîñêîëüêó åå âëèÿíèå

íà äðóãèå ýëåêòðîííûå âîçáóæäåíèÿ (îáðàçîâàíèå òàììîâñêèõ ñîñòî-

ÿíèé) îöåíèòü ìîæíî ëèøü íà óðîâíå ìèêðîñêîïè÷åñêîé òåîðèè. Äëÿ

ïëàçìåííûõ âîëí â äèýëåêòðèêå, îãðàíè÷åííîì ïëîñêîñòüþ è çàíè-

ìàþùåì ïîëóïðîñòðàíñòâî, óðàâíåíèå äëÿ ÷àñòîòû ïðîäîëüíûõ âîëí

èìååò âèä

()

εω

+=10

. (2.4)

B ðàìêàõ ïðèáëèæåíèé, äëÿ êîòîðûõ ïîëó÷åíî âûðàæåíèå (2.3),

èìååì (ñì., íàïð. Ritchie, 1957)

ò. å.

ωω

. Â ñëó÷àå æå, êîãäà àñèìïòîòèêà (2.2) âáëèçè

íå ðàáîòàåò, íåîáõîäèìî ïîëüçîâàòüñÿ òî÷íûì óðàâíåíèåì (2.4), à

îòíîøåíèå ÷àñòîò ïîâåðõíîñòíûõ è îáúåìíûõ ïëàçìîíîâ îòëè÷àåòñÿ

îò

Ôóíêöèÿ

()

εω

ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íîëü íå òîëüêî â îáëàñòè ýíåð-

ãèé ýëåêòðîííûõ ïåðåõîäîâ, íî è â îáëàñòè ôîíîííûõ êîëåáàíèé ðå-

øåòêè. Â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè â ôîíîííîé îáëàñòè äèýëåêòðè÷åñêàÿ

ïðîíèöàåìîñòü èîííûõ êðèñòàëëîâ èìååò âèä (ñì., íàïðèìåð, Äàâû-

äîâ, 1976, à òàêæå ÷àñòü 3 äàííîé êíèãè):

()

εω ε

εε

−

∞

∞0

Ω

. (2.5)

Ïðè ýòîì

()

()()

[]

εω

εε

δω− δω

≈−













−+

∞

Ω

ΩΩ

LO LO

ãäå

- ñòàòè÷åñêàÿ è

∞

- âûñîêî÷àñòîòíàÿ äèýëåêòðè÷åñêèå ïðîíè-

öàåìîñòè,

Ω

- ÷àñòîòà ïðîäîëüíîãî, à

Ω

- ïîïåðå÷íîãî îïòè÷åñêî-

ãî ôîíîíà, ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì

ΩΩ

LO TO

∞

×àñòîòà

Ω

ñîîòâåòñòâóåò ïîëþñó äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè

36 Ãëàâà 1. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ òâåðäûì òåëîì

(2.5), à

Ω

- íóëþ ýòîé ôóíêöèè.

Ôóíêöèÿ ïîòåðü ýíåðãèè ýëåêòðîíà ïîêàçûâàåò â ýòîì ñëó÷àå íà

èñïóñêàíèå è ïîãëîùåíèå ïðîäîëüíûõ îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ. Òàêèì

îáðàçîì, áûñòðûé ýëåêòðîí ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç âåùåñòâî òåðÿåò

ñâîþ ýíåðãèþ íà ñîçäàíèå âñåãî êîìïëåêñà ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäå-

íèé, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñ ýëåêòðîíîì ÷åðåç ïðîäîëüíîå ýëåêòðè÷åñ-

êîå ïîëå: ïðîäîëüíûõ îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ, ýëåêòðîííî-äûðî÷íûõ

âîçáóæäåíèé è ïëàçìîíîâ. Ïðîâåäåííîå âûøå ðàññìîòðåíèå áûëî

ñïðàâåäëèâî äëÿ ýëåêòðîíîâ äîñòàòî÷íî âûñîêèõ ýíåðãèé, òàêèõ, ÷òî

èñïóñêàíèå âîçáóæäåíèÿ ñ ýíåðãèåé â íåñêîëüêî ýëåêòðîí-âîëüò íåç-

íà÷èòåëüíî ìåíÿëî èìïóëüñ âîçáóæäåíèÿ. Äëÿ ðàññåÿíèÿ áîëåå íèç-

êîýíåðãåòè÷íûõ ýëåêòðîíîâ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ðîæäåíèå íå

òîëüêî äëèííîâîëíîâûõ âîçáóæäåíèé, íî è êîðîòêîâîëíîâûõ, ïîýòî-

ìó ôóíêöèÿ ïîòåðü óæå íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç

()

εω

, à ëèøü ÷åðåç

()

,εωq

. Ïîäðîáíî âñå ýòè ïðîöåññû ðàññìîòðåíû â ïàðàãðàôå 4.13.

§ 2. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîòåðè ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ 37

§ 3 Ìèêðîñêîïè÷åñêîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ

ñâåòà ñ âåùåñòâîì

3.1 Äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü

Âçàèìîäåéñòâèå ñâåòà ñ âåùåñòâîì îïèñûâàåòñÿ îáû÷íî â ïîëóê-

ëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ýòèõ ïðîöåññîâ

ìîæíî íàéòè â ðÿäå êíèã (Pines (1963), Pines, Nozieres (1966),

Platzman, Wolf (1973)). Çäåñü ìû ââåäåì îñíîâíûå ïîíÿòèÿ, êàñàþ-

ùèåñÿ ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Â ïîëóêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ãà-

ìèëüòîíèàí ñèñòåìû «ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ïëþñ òâåðäîå òåëî» ìî-

æåò áûòü ðàçáèò íà ñóììó òðåõ ñëàãàåìûõ:

$$ $ $

int

HH H H=++

, (3.1)

ãäå

— ãàìèëüòîíèàí, îïèñûâàþùèé òâåðäîå òåëî áåç èçëó÷åíèÿ,

— ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ,

int

—

÷ëåí, îïèñûâàþùèé âçàèìîäåéñòâèå ñâåòà ñ âåùåñòâîì. Ïîëóêëàññè-

÷åñêîå îïèñàíèå ïðåäóñìàòðèâàåò, âî-ïåðâûõ, êâàçèêëàññè÷åñêîå

îïèñàíèå ïîëÿ èçëó÷åíèÿ. Âî-âòîðûõ, ÷ëåí

int

ðàññìàòðèâàåòñÿ

ëèøü êàê âîçìóùåíèå. Ïðè òàêîì îïèñàíèè îïóñêàþòñÿ ýôôåêòû îá-

ðàçîâàíèÿ ïîëÿðèòîíîâ ðàçíîãî òèïà — ñîñòîÿíèé, ïðåäñòàâëÿþùèõ

ñîáîé ñìåñü ýëåêòðîííûõ èëè ôîíîííûõ âîçáóæäåíèé ñ ôîòîíàìè.

Âçàèìîäåéñòâèå ïîäîáíîãî òèïà íà ïðèìåðå ýêñèòîííîãî ïîëÿðèòîíà

áóäåò ðàçîáðàíî â §8.

Ñîãëàñíî òåì æå ïîëóêëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì äëÿ âû÷èñ-

ëåíèÿ

int

ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå

ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê âíåøíÿÿ ñèñòåìà, ïîýòîìó ÷ëåí

â (3.1) îïóñ-

êàåòñÿ. Ïðè ïîìåùåíèè òâåðäîãî òåëà â ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå â ãà-

ìèëüòîíèàíå, îïèñûâàþùåì òâåðäîå òåëî, ïðîèñõîäèò çàìåíà îïåðà-

òîðîâ èìïóëüñà âñåõ ÷àñòèö

íà îïåðàòîðû îáîáùåííîãî èìïóëüñà

()P

=+pAr

, ãäå

Ar(,)t

— âåêòîð-ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî

ïîëÿ,

- çàðÿä è êîîðäèíàòû

-é ÷àñòèöû. Â íåðåëÿòèâèñòñêîì

ïðèáëèæåíèè îáîáùåííûå èìïóëüñû âõîäÿò â ãàìèëüòîíèàí â âèäå

ñóììû êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ÷àñòèö:

()

Ar A r

22 2

∑∑∑

=− +

∑

. (3.2)

Ïðè âû÷èñëåíèè âòîðîãî ÷ëåíà ó÷òåíî, ÷òî äëÿ ïîïåðå÷íîéýëåêòðî-

ìàãíèòíîé âîëíû

divA = 0

, è ïîýòîìó

Ar()

êîììóòèðóþò äðóã ñ

äðóãîì. Â ñëó÷àå îòíîñèòåëüíî ñëàáûõ èíòåíñèâíîñòåé ýëåêòðîìàã-

íèòíîãî èçëó÷åíèÿ íåëèíåéíûé ïî âåêòîð-ïîòåíöèàëó ÷ëåí â (3.2)

ìîæíî îïóñòèòü. Åãî âëèÿíèå ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííûì â îñíîâíîì

ïðè èñïîëüçîâàíèè ìîùíîãî èçëó÷åíèÿ ëàçåðîâ. Òàêèì îáðàçîì, â

ïîëóêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè

()

int

H =−

∑

Ar P

. (3.3)

Âûðàæåíèå äëÿ äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè òâåðäîãî òåëà

ìîæíî ïîëó÷èòü ìíîãèìè ñïîñîáàìè. Ìû âûáåðåì íå î÷åíü ñòðîãèé,

íî íàãëÿäíûé ïóòü ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Áîëåå ïîñëåäîâàòåëüíî ýòè

ôîðìóëû áóäóò ðàññìîòðåíû â ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ ýòîãî ïàðàãðà-

ôà. Äëÿ íà÷àëà ðàññìîòðèì ïîãëîùåíèå íà ñèñòåìå àòîìîâ, ñëàáî

âçàèìîäåéñòâóþùèõ äðóã ñ äðóãîì.

Êîýôôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ

αω()

ìîæío âûðàçèòü ÷åðåç ñå÷åíèå

ïîãëîùåíèÿ íà îäíîì àòîìå

σω αω() ()= N

, ãäå

— ÷èñëî àòîìîâ â

ýëåìåíòå îáúåìà. Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì ïëîñêîïîëÿðèçîâàííóþ

ïàäàþùóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â íàïðàâëåíèè îñè

(ïðè

ýòîì

(knic

= + κ)ω

). Âåêòîð-ïîòåíöèàë òàêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé

âîëíû ðàâåí

Ar Ae(,) cos( )exp( )ttnxcxc=− −ωω ωκ

ãäå

— âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ñâåòà, ëåæàùèé â ïëîñêîñòè

. Ïîòîê

ýíåðãèè â ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå îïèñûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

(1.16), à ïîòîê ôîòîíîâ âûðàæàåòñÿ âåëè÷èíîé

SAn

chhω

κω

=−













exp

. (3.4)

Ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ âåùåñòâà ñ òàêîé ýëåêòðîìàãíèòíîé

âîëíîé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

cos( )

int

H =−

−

∑

Ae t nxc

ωκ

ωω ep

, (3.5)

ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ýëåêòðîíàì ñ íîìåðàìè

. Ïðè

ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ïðîèñõîäèò òîëüêî ñ ýëåêò-

ðîííîé ïîäñèñòåìîé (

— âåëè÷èíà çàðÿäà ýëåêòðîíà,

— åãî

§ 3. Ìèêðîñêîïè÷åñêîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì 39

ìàññà). Íåïîñðåäñòâåííîå âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû

ñ èîííîé ïîäñèñòåìîé íå ó÷èòûâàåòñÿ. Ýòî âîçìîæíî, åñëè íå ðàññ-

ìàòðèâàòü èíôðàêðàñíóþ îáëàñòü ñïåêòðà, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò

ïðÿìîå ïðåâðàùåíèå ôîòîíà â ïîëÿðèçàöèîííûé ôîíîí.

Èñïîëüçîâàíèå òåîðèè âîçìóùåíèé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî èçâåñòíû

îñíîâíîå ñîñòîÿíèå è âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, îïèñûâàå-

ìîé ãàìèëüòîíèàíîì

. Êàæäîå èç ýòèõ ñîñòîÿíèé õàðàêòåðèçóåòñÿ

íàáîðîì êâàíòîâûõ ÷èñåë, êîòîðûé ìû áóäåì îáîçíà÷àòü îäíîé áóê-

âîé, íàïðèìåð,

äëÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ

ñèñòåìû èëè

äëÿ êî-

íå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ

. Íèæå ÷àùå âñåãî áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äèðà-

êîâñêèå îáîçíà÷åíèÿ âåêòîðîâ ñîñòîÿíèé (ñ èñïîëüçîâàíèåì óãëîâûõ

ñêîáîê), íî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ áóäóò âûïèñûâàòüñÿ ïîëíûå øðå-

äèíãåðîâñêèå âîëíîâûå ôóíêöèè, â òîì ÷èñëå èõ ÿâíàÿ çàâèñèìîñòü

îò êîîðäèíàò ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà.

Ñðåäè êâàíòîâûõ ÷èñåë, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò ñîñòîÿíèÿ ñèñ-

òåìû ñ íåâîçìóùåííûì ãàìèëüòîíèàíîì

, ÷àñòî óäîáíî âûäåëèòü

ýíåðãèþ ñîñòîÿíèÿ

(äëÿ ñîñòîÿíèÿ

) è ïîëíûé èìïóëüñ

.Â

ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû ýíåðãèÿ è èìïóëüñ, ñîîò-

âåòñòóþùèå ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèÿì ãàìèëüòîíèàíà, ñîõðàíÿþòñÿ è

ÿâëÿþòñÿ õîðîøèìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè. Âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîáëåìà

íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ

çíà÷åíèé ýíåðãèè è ïîëíîãî èìïóëüñà íå èìååò òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Ðàç-

ðàáîòàíî áîëüøîå ÷èñëî ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ èõ íàõîæäåíèÿ.

Çäåñü ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòà ïðîáëåìà óæå ðåøåíà, è èçâåñ-

òåí ïîëíûé íàáîð ñîñòîÿíèé

ñèñòåìû, ñîòâåòñòâóþùèå ãàìèëüòî-

íèàíó

, íå âîçìóùåííîìó âíåøíèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì.

Â ïîëóêëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òâåðäîå

òåëî íàõîäèòñÿ â îäíîì èç ñîñòîÿíèé

, è ïåðåõîä ïðîèñõîäèò â äðó-

ãîå ñîñòîÿíèå

ïîä äåéñòâèåì âíåøíåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.

Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ

â ñîñòîÿíèå

ïîä äåéñòâèåì

âîçìóùåíèÿ (3.5) ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ «Çîëîòîå ïðàâèëî

Ôåðìè»:

wfiEE

Af e

if f

inx c

=−+=

−

222

πδω

()

int

−

∑

−

ωκ

δω ω

(),pe

ãäå

fi f

EE=−()h

— ÷àñòîòà ïåðåõîäà èç îäíîãî ýëåêòðîííîãî ñîñ-

òîÿíèÿ â äðóãîå. ×òîáû ïîëó÷èòü ïàðöèàëüíîå ñå÷åíèå ïîãëîùåíèÿ

íà îäíîì àòîìå, íåîáõîäèìî

ïîäåëèòü íà ïîòîê ôîòîíîâ (3.4):

40 Ãëàâà 1. Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ òâåðäûì òåëîì

σω

δω ω

mcn

fi()

(),=−

∑

(3.6)

Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàáîòàåò äèïîëüíîå ïðèáëèæåíèå — äëè-

íà âîëíû èçëó÷åíèÿ ìíîãî áîëüøå õàðàêòåðíûõ ðàçìåðîâ âîëíîâûõ

ôóíêöèé ýëåêòðîíîâ. Ïîýòîìó â ðàçëîæåíèè ýêñïîíåíòû

inx cω

îñ-

òàâëåí òîëüêî íóëåâîé ÷ëåí. Ïðè ýòîì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò

∑

ñ÷èòàåòñÿ îòëè÷íûì îò íóëÿ. Åñëè æå ñèììåòðèÿ íà÷àëüíîãî è êîíå÷-

íîãî ñîñòîÿíèé òàêîâà, ÷òî

∑

, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñëå-

äóþùèå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíòû â ðÿä. Ýòî ïðèâîäèò ê ïðî-

öåññàì ìàãíèòíî-äèïîëüíîãî è êâàäðóïîëüíîãî ïîãëîùåíèÿ ñâåòà.

Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ (3.6) ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ

èçâåñòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèåì

,.pr

[]H

÷òî ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó

fiimfi

∑∑

=ω

Äëÿ òîãî ÷òîáû ïåðåéòè îò ñå÷åíèÿ ïîãëîùåíèÿ äâóõóðîâíåâîé

ñèñòåìû ê êîýôôèöèåíòó ïîãëîùåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ

â òâåðäîì òåëå, íåîáõîäèìî ó÷åñòü äâà îáñòîÿòåëüñòâà. Âî-ïåðâûõ,

íåîáõîäèìî ïðîñóììèðîâàòü (3.6) ïî âñåì âîçìîæíûì êîíå÷íûì ñîñ-

òîÿíèÿì â òâåðäîì òåëå, èñêëþ÷àÿ çàíÿòûå ñîñòîÿíèÿ (â ñîîòâåòñòâèè

ñ ïðèíöèïîì Ïàóëè). Âî-âòîðûõ, ïðè íåíóëåâîé òåìïåðàòóðå òâåð-

äîå òåëî íå íàõîäèòñÿ â ñâîåì îñíîâíîì ñîñòîÿíèè. Ïðè êîíå÷íîé

òåìïåðàòóðå ìîæíî ââåñòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ýíåðãèè

fE()

îïèñûâàþùóþ çàñåëåííîñòü êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ïðè ýòîì êîýô-

ôèöèåíò ïîãëîùåíèÿ ïðèîáðåòàåò âèä

αω

πω

δω ω

()

[ ( )] ( ) (

=×

×− −

∑∑

fE fE

jif

(3.7)

à ìíèìàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè ðàâíà

§ 3. Ìèêðîñêîïè÷åñêîå îïèñàíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ âåùåñòâîì 41