Валов В.М. Введение в специальность. Проектирование зданий

Подождите немного. Документ загружается.

100

Рис. 4.10. Связи и приведённая длина стержня в расчётной схеме

сила достигает так называемого критического значения, определяемого по

формуле Эйлера:

lEyР

кр

(4.18)

Из формулы видно, что критическая сила обратно пропорциональна

квадрату длины стержня. Чем длиннее стержень, тем меньше величина

критической силы. Существенное влияние на изменение величины крити-

ческой силы оказывают способы заделки концов сжимаемого стержня.

Чаще всего концы стержня закрепляют одним из четырёх способов (рис.

4.10), для которых оказалось весьма удобным использовать обобщённую

формулу Эйлера для определения критической силы

,)/(

lEyр

кр

µπ

(4.19)

где

– коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа за-

крепления концов стержня,

µ⋅

l=l

является приведённой длиной стержня.

Как видно из формулы (4.19), чем меньше

, тем больше критическая

сила, а следовательно, и запускаемая нагрузка на стержень. Например,

критическая нагрузка стержня,

заделанного двумя концами, мо-

жет быть в 4 раза больше нагруз-

ки шарнирно опёртого сжатого

стержня, для которого

=1. Сле-

дует отметить, что линия изгиба

стержня может укладываться в

одну, две, три и более полуволн

синусоиды, что также меняет ве-

личину критической силы (рис.

4.11). С изменением приведён-

ной длины стержня меняется и

величина возникающих критических напряжений в сечениях сжимаемого

стержня:

Рис. 4.11. Изменение l

и P

кр i

с увеличением

количества полуволн синусоиды

101

FlEJPP

iii

кркркр

)/(/

µπσ

. (4.20)

Формула Эйлера применима не только к длинным и тонким колоннам,

стержням плоских и пространственных стержневых систем (формам и

структурам) сплошного и пустотелого сечения, но и к тонким панелям и

пластинам несущих конструкций зданий.

Говоря о прочности, мы обычно имеем в виду прочность на разрыв и

сжатие, хотя материалы чаще работают на сжатие, чем на растяжение. Ка-

залось бы, если мы пытаемся сжать материал и прижать атомы один к дру-

гому, это не должно вызвать разрушения. Однако разрушение происходит,

хотя и представляет собой явление более сложное, чем разрыв. В данном

случае полезно рассмотреть особенности работы и прочности несущих

стен из мелкоштучных материалов, в частности кирпичных.

Совершенно ясно, что устойчивость здания определяется не столько

прочностью каменной кладки, сколько распределением их веса и полезных

нагрузок. Одно дело понимать это и совсем другое – конкретно представ-

лять всё в деталях и уметь определять, будет ли здание безопасным. Чтобы

достичь научного понимания того, как ведёт себя каменная кладка, её не-

обходимо рассматривать как упругий материал, учитывая, что материал

камня деформируется под нагрузкой и что он подчиняется закону Гука, т.

е. тут не обойдёшься без использования понятий напряжения и деформа-

ций.

На первый взгляд кажется невероятным, что кирпич и камень могут

деформироваться в заметной степени под действием нагрузки, создаваемой

зданием. Однако в действительности модуль упругости для кирпича и

камня не очень велик, например, для стали E = 2,06⋅10

МПа, для кирпича

не превышает 14⋅10

МПа, поэтому упругие перемещения (деформации)

каменной кладки не так малы, как можно было бы предугадать. Даже сте-

ны одноэтажного дома по вертикали сжаты собственным весом примерно

на миллиметр.

Современный расчёт каменной кладки основан на законе Гука, а так-

же на следующих четырёх допущениях, которые оказываются справедли-

выми на практике [19]:

•

сжимающие напряжения столь малы, что материал не может разру-

шаться за счёт сжатия (мы уже обсуждали этот вопрос);

•

благодаря использованию строительного раствора, соединения вы-

полняются достаточно тщательно, так что силы сжатия действуют по всей

площади соединения, а не в нескольких выступающих точках;

•

трение в соединениях столь велико, что не может произойти разру-

шения конструкции вследствие взаимного проскальзывания кирпичей или

камней (на самом деле никаких проскальзываний до разрушения конст-

рукции не происходит);

102

• соединения не обладают сколько-нибудь заметной прочностью на

растяжение; даже если случайным образом раствор обладает некоторой

прочностью на разрыв, на неё нельзя полагаться и ею следует пренебречь.

Таким образом, значение строительного раствора состоит не в

том, чтобы «склеивать» кирпичи или камни, а в том, чтобы сжи-

мающие нагрузки передавались через соединение более равномерно.

Осуществим упрощённое рассмотрение работы удельного по длине

участка кирпичной кладки под действием вертикальной сжимающей на-

грузки P (рис. 4.12). До тех пор, пока нагрузка P действует вертикально

вниз в плоскости симметрии, т.е. посредине стены, кладка будет сжата

равномерно и, согласно Гуку, соответствующее распределение сжимаю-

щих напряжений по толщине стены также будет равномерным (рис.

4.12,а).

Предположим, что вертикальная нагрузка P немного сместилась в

сторону от середины стены. В этом случае сжимающее напряжение не бу-

дет постоянным вдоль её сечения. Для того чтобы уравновесить дейст-

вующую нагрузку, оно должно быть с одной стороны больше, чем с дру-

гой. Если материал подчиняется закону Гука, то напряжения по толщине

стены будут изменяться линейно, как показано на рис. 4.12.б. Пока что со-

единению ничто не угрожает: по сечению n-m действуют только сжимаю-

щие напряжения. Однако если приложение нагрузки сместится ещё дальше

от середины стены – на границу так называемой средней трети стены, то

возникает ситуация, изображённая на рис. 4.12,в, в которой эпюра распре-

делений напряжений имеет треугольную форму и сжимающее напряжение

на одном из краев стены обращается в нуль. Само по себе это пока ещё не

опасно, но очевидно, что если нагрузка сместится ещё немного к краю, то

возникнет ситуация, изображённая на рис. 4.12,г.

Сжимающее напряжение вблизи одной из поверхностей стены теперь

сменилось на растягивающее напряжение. Обычно она и в самом деле не

выдерживает, в соединении возникает трещина, и вся нагрузка будет рас-

пределяться по площади, соответствующей отрезку n-с, т. е. эффективная

толщина стены уменьшится с неизбежным ростом напряжений. Конечно,

если стена трескается, этого лучше не допускать. Однако такая трещина

а)

)

в)

)

д)

Рис. 4.12. Нагрузка Р на кирпичную стену и реакция последней на эту нагрузку

е)

103

ещё не означает, что стена непременно рухнет. Весьма вероятно, что края

трещины несколько разойдутся, но стена останется стоять, покоясь на той

части соединения, где контакт не нарушен (рис. 4.12,д). Всё это не сулит

спокойной жизни, и наступит день, когда линия действия силы окажется в

пределах плоскости стены, нетрудно догадаться, что произойдёт её опро-

кидывание с поворотом в точке n (рис. 4.12,е).

Представляет интерес особая аналогия стержня, работающего на сжа-

тие, и позвоночного столба человека.

1. Скелет как несущий каркас человека состоит из следующих конст-

руктивных элементов: черепа, позвоночного столба, грудной клетки и двух

пар конечностей.

Он представляет собой пространственную структуру из пространст-

венных, плоских и стержневых конструктивных элементов, объединенных

III

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Рис.4.13. Схема строения и особенности реакции позвоночного столба (п.с.) на внеш-

ние воздействия: а – синусоидальный профиль (п.с.); 1 – позвонок атлант; 2 – шестой

шейный позвонок; 3 – девятый грудной позвонок; 4 – пояснично-крестцовое сочлене-

ние; б – п.с. в сагиттальной плоскости; I – шейный отдел (7 позвонков); II – грудной

отдел (12 позвонков); III – поясничный отдел (5 позвонков); IV – крестец (5 сросшихся

позвонков); V – копчик (3-5 сросшихся позвонков); в – работа п.с. в грудном отделе с

равномерным обжатием хрящевых прокладок; г – работа п.с. в поясничном отделе при

изгибе с неравномерным обжатием хрящевых прокладок; д – вид сверху и сбоку пояс-

ничного позвонка; 1 – чичевидное тело и 2 – отверстие в позвонке; е – характер влия-

ния сгибания и разгибания п.с. на формы фигуры человека

104

между собой шарнирно или, как правило, шарнирно-податливыми суста-

вами-шарнирами и связями. В этой конструктивной структуре особый ин-

терес представляет позвоночный столб как многофункциональная конст-

руктивно-технологическая система. Позвоночный столб объединяет в со-

вместной работе объемную структуру грудной клетки и плечевого пояса со

структурой тазобедренного пояса.

Он состоит из 32–34 позвонков, между телами которых находятся

хрящевые диски, как упругие прокладки, придающие гибкость позвоноч-

нику. Кроме того, позвонки соединены между собой суставами и крепкими

соединительно-тканевыми связками (рис. 4.13). Если вертикальные стерж-

невые строительные элементы (стойки, колонны, столбы и т. п.), как пра-

вило, прямолинейные до их загружения, то позвоночный столб человека в

сагиттальной (срединной) его плоскости имеет четыре полуволны сину-

соиды (рис. 4.13,а,б). В данном случае упругие промежутки между позво-

ночниками и заданная искривленность позвоночного столба позволяют без

каких-либо последствий воспринимать и переносить неизбежные динами-

ческие воздействия. Нормальные напряжения вертикально нагруженного

столба, несмотря на синусоидальный изгиб, в каждом стыке позвонков

должны оставаться равномерными (рис. 4.13,в).

2. Однако в случае подъема тяжести с уровня земли или их переноски

при согнутой спине, т.е. нарушения естественного профиля позвоночного

столба и передачи нагрузки с эксцентриситетом, нарушается равномер-

ность распределения напряжений в стыке позвонков (рис. 4.13,г). Это, как

правило, приводит к непоправимым последствиям: смятию хрящевых дис-

ков и даже защемлению сосудов спинного мозга, проходящих через тело

позвоночного столба.

3. Позвоночный столб является коммуникационной

системой. Внутри позвоночного столба имеется канал

(рис. 4.13,д), в котором помещается спинной мозг с

нервными, кровеносными и лимфатическими сосудами,

которые, проходя через межпозвоночные отверстия,

обеспечивают материально-информационную связь

внутренних органов. Здесь можно просто позавидовать

инженерной изобретательности природы.

Изгибы позвоночника имеют механическое и фи-

зиологическое значения:

- ослабляют динамические сотрясения туловища,

выполняя роль амортизатора и рессорного аппарата;

- позволяют и сохраняют пространство грудной и

тазовой полости для функционирования внутренних ор-

ганов;

- длительное пребывание как детей, так и взрослых

Рис. 4.14. «Гиб-

кая» мачта (1) с

вантами-

растяжками (2)

105

в состоянии искривлённого позвоночника (рис. 4.13,г) с опиранием груд-

ной клетки на тазовый объём (живота), как мягкий футбольный мяч, вызы-

вает нарушение осанки, появление сутулости и развитие живота.

4. Позвоночный столб наиболее подвижен в шейном и поясничных

отделах и наименее

– в грудном.

Имея в виду значительную гибкость позвоночного столба, объеди-

няющего две активные пространственные структуры – грудную клетку с

верхними конечностями и тазобедренный объем с нижними конечностями,

возникает вопрос: как и чем обеспечивается статическая неизменяемость и

устойчивость позвоночного столба? В данном случае можно найти некото-

рую взаимную аналогию в строительстве инженерных сооружений, в част-

ности высоких и гибких мачт (рис. 4.14), устойчивость которых обеспечи-

а)

б)

в)

г)

Рис. 4.15. Структура мышц и сухожилий в обеспечение заданной устойчивости и же-

сткости туловища человека: а – глубинные мышцы спины; 1 – крестцово-остистая

мышца; 2 – задняя нижняя зубчатая мышца; 3 – задняя верхняя зубчатая мышца; 4 –

длиннейшая мышца спины; 5 – ременная мышца; 6 – полуостистая мышца; б – по-

верхностные мышцы спины; 7 – мышцы плечевого пояса; 8 – трапециевидная мышца;

9 – широчайшая мышца спины; 10 – ромбовидная мышца; 11 – наружная косая мышца

живота; 12 – мышцы тазового пояса; в – поверхностные мышцы груди и живота; 13 –

большая мышца груди; 14 – мышцы плечевого пояса; 15 – передняя зубчатая мышца;

16 – прямая мышца живота; 17 – наружная косая мышца живота; 18 – мышцы тазового

пояса; 19 – гребень позвоночной кости; 20 – паховая (пупартова) связка; 21 – ложное

сращение; г – условия равновесия головы и основные мышцы живота; 22 – атланто-

затылочная опора; 23 – направление мышечной тяги, обеспечивающей необходимое

положение головы; 24 – крепление мышцы; 25 – волокна прямой мышцы живота; 26 –

волокна наружной косой мышцы живота; 27 – волокна внутренней косой мышцы жи-

вота; 28 – волокна поперечной мышцы живота

106

вается за счет оттяжек. Эта аналогия появляется в структуре скелета чело-

века, в которой динамическая устойчивость шарнирно соединенных конст-

руктивных элементов обеспечивается контролируемым напряжением гиб-

ких связей – мышц (рис. 4.15).

4.5. Некоторые особенности изгиба конструктивных элементов

В конструктивном элементе под воздействием внешних нагрузок воз-

никают так называемые внутренние усилия, оказывающие сопротивление

внешним воздействиям. Закреплённый и нагруженный внешними воздей-

ствиями элемент конструкции остаётся

в равновесии при совместном воздей-

ствии внешних и внутренних усилий,

как-то деформируется, но никуда не

движется, то есть находится в равнове-

сии. Уравнением равновесия является

равенство, в котором справа от знака

равенства записываются спроециро-

ванные по единому выборному прави-

лу внешние усилия, а слева от знака

равенства

– спроецированные по этому

же правилу внутренние усилия: нор-

мальная сила N

, перерезывающие си-

лы Q

и Q

, также внутренние моменты

, M

,и M

Для элементарного примера (рис.

4.16,а) составим и решим систему из

трёх уравнений равновесия с участием

трёх неизвестных N

, R

ΣZ = 0; N

= 0;

ΣY = 0; -P + R

+ R

= 0;

ΣM

= 0; P·a –R

(a+b) = 0.

Если в системе уравнений количе-

ство неизвестных реакций в опорах не

превышает количества уравнений, то

рассматриваемую конструкцию назы-

вают

статически определимой.

Решив эту систему, получаем:

= 0; R

= P·b / (a+b); R

=P·a ⁄ (a+b).

Зная значения и направления всех

внешних воздействий на балку: (внеш-

ней нагрузки Р и реакций опор H

, R

а)

в) Сеч. В

б) Сеч. А

г) Левее точки С

д) Правее точки С

е)

ж)

Рис. 4.16. Расчётная схема и

построение эпюр M и Q

107

), можно приступать к построению эпюр Q

и M

, используя как и в слу-

чаях растяжения (сжатия) стержня метод сечений.

1. Мысленно рассекая балку на две части в сечении чуть правее точки

А (рис. 4.16,б), сформулируем в виде равенств факт равновесия одной из

двух образовавшихся частей, например левой. При этом эффект воздейст-

вия правой части на левую заменим действием на неё внутренних сил М

(на рисунке показаны их положительные направления).

ΣМ

=0; R

·0 + Q

·0 – M

=0; откуда M

=0;

ΣY=0; R

– Q

= 0; откуда Q

=P·b⁄ (a+b). Эти значения – на эпюрах Q

(рис. 4.16,е,ж).

2. Рассмотрим равновесие левой, отсечённой в этом месте, части бал-

ки в сечении С чуть левее точки С (рис. 4.16,г): ΣY=0; R

– Q

=0, откуда

=P·b/(a+b); Σm

=0; R

·a + Q

·0 – M

=0, откуда M

=P·a·b/(a+b).

При построении эпюр Q

и M

правило знаков следующее: вверх от-

кладываются положительные

значения Q

и отрицательные зна-

чения М

, вниз – наоборот. Полу-

чается, что эпюры внутренних из-

гибающих моментов, возникаю-

щих в балке, всегда откладывают-

ся со стороны её растянутых в ре-

зультате изгиба волокон.

3. Рассматривая равновесие

левой отсечённой части в сечении

С чуть правее точки С (рис.

4.15,д), получаем ΣY=0; R

– P –

=0, откуда Q

=−P·(a+b);

Σm

=0; R

·a - P·0 + Q

·0 – M

=0,

откуда M

=P·a·b/ (a+b).

При построении уравнений

общего равновесия придержива-

ются следующего правила знаков:

проекции сил на оси координат

считаются положительными, если

их направления совпадают с положительными направлениями этих осей;

положительными являются моменты, если они действуют вокруг выбран-

ной точки по часовой стрелке.

Значения М

и Q

в сечении В чуть левее точки В составят ΣY=0; Q

=0, откуда Q

= − R

= − P·(a+b); ΣM =M + Q·0 −R

, откуда M

=0.

Балка, опёртая шарнирно по краям, нагружена по всей длине равно-

мерно распределённой нагрузкой интенсивностью q. Перед построением

эпюр внутренних усилий вычисляем значения реакций в опорах из условий

Рис. 4.17. Расчётная схема и эпюры М и

Q при распределённой нагрузке

108

общего равновесия балки ΣX=0, ΣY=0 и, например, Σm

=0; H

=0; R

−q·l +

=0; q·l·l/2 − R

·l=0, откуда R

=q·l/2. Можно проследить (рис. 4.17),

что в середине пролёта балки внутренний изгибающий момент М

прини-

мает максимальное значение. В этой точке касательная к эпюре М

парал-

лельна оси балки, т.е. её угол наклона β = 0. Внутренняя поперечная сила в

этой точке Q

= tg 0 = 0.

Хороший способ проверки и быстрого построения эпюр Q

и М

осно-

ван на принципе независимости действия сил (принцип суперпозиции):

результат одновременного действия на конструкцию нескольких внешних

нагрузок равносилен сумме ре-

зультатов действия каждой из

этих нагрузок в отдельности.

Характер распределения

нормальных напряжений по

поперечному сечению изгибае-

мой балки

. Определяя нормаль-

ные напряжения, необходимо

исходить из того, что изгибаю-

щий момент представляет собой

равнодействующий момент

внутренних нормальных сил,

распределённых по сечению.

Чтобы установить закон распре-

деления и значения внутренних

сил в поперечном сечении бал-

ки, уравнений статики недоста-

точно. Необходимо использо-

вать условия деформации балки

при её изгибе.

Если балку с нанесённой на

её поверхность сеткой подвергнуть чистому плоскому изгибу, то обнару-

жится следующее (рис. 4.18):

- линии 1-1 и 2-2 на поверхности балки после её деформации накло-

нятся друг к другу на угол dφ, оставаясь прямыми, а поперечные сечения

балки, плоские до деформации, останутся плоскими и после деформации,

что соответствует

гипотезе плоских сечений;

- волокна на прогнутой стороне балки удлиняется, что свидетельству-

ет о растяжении этого волокна, а верхнее волокно a-в укорачивается, что

свидетельствует о его сжатии, в то время как волокно c-d в пределах ней-

тральной зоны остаётся без изменения.

Если из рис. 4.18

dddz

⋅

= )(tg , то удлинение dz составит

dydz ⋅=∆ , а относительное удлинение (линейная деформация) волокна 1’-

Рис. 4.18. Особенности деформации балки при

чистом изгибе

109

2’ составит

/// ydyddzdz

=∆=

Полагая, что волокна балки не

оказывают давления друг на друга,

т.е. напряжения по нормали к её оси

равны нулю, поэтому каждое волок-

но испытывает одноосное сжатие

или растяжение. Тогда по закону

Гука для одноосного напряжённого

состояния получаем

σ = Eε = E·y/ρ, (4.21)

откуда получаем кривизну волокон

1/p = σ/E·y.

(4.22)

Таким образом, нормальные

напряжения изменяются по высоте поперечного сечения балки пропор-

ционально расстоянию от нейтральной оси. Наибольшие напряжения бу-

дут у верхнего и нижнего краёв сечения. Это даёт большие возможности в

регулировании формы поперечного сечения и распределения материала по

его площади.

Чтобы установить зависимость между внутренним изгибающим мо-

ментом М

в произвольном сечении изогнутого бруса и нормальными на-

пряжениями σ, представим этот момент

как сумму моментов, создаваемых нор-

мальными усилиями в волокнах N = σ

·dF относительно нейтральной оси сече-

ния, умноженную на плечо y. С учётом

(4.21) имеем

⋅

===

∫∫∫

FFF

ydFyEydFydFМ )/()(

∫

EJdFyE

ρρ

, (4.23)

где J

– момент инерции поперечного

сечения. Из этой зависимости кривизна

нейтрального слоя (волокна) составит

1/ρ = M

/E I

(4.24)

Подставив (4.23) в (4.24), получим

формулу для вычисления величины

нормального напряжения в любой точке

сечения бруса, отстоящей от нейтраль-

ной оси на расстояние у (рис. 4.19)

Рис. 4.19. Эпюра нормальных напряже-

ний в сечении изгибаемого бруса

Рис. 4.20. Однопролетные

а)

)