Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
321
Уровень II
Разложите функцию
(
)
y x
по формуле Тейлора (n – произвольный
порядок) в окрестности точки
0
x
с остаточным членом в форме Лагранжа:
1)
cos2
y x
=
,
0
4
x
π
=
;
2)
3
3 4
x
y
x
=
+
,
0
1
x
= −
;
3)
(
)
ln 3 5
y x
= −
,
0
2
x
=
;
4)
cos3
y x
=
,
0
6
x
π
=
;
5)
3
2
x
y
− +
= ,
0
4
x
=
;
6)
sin2
y x
=
,
0
4
x
π
=
;
7)
4 3
x
y e
+
= ,
0
1
x
= −
;
8)
(
)
ln 6 5
y x
= −
,
0
1
x
=
;
9)
3 4
2
x
y
+
= ,
0
1
x
= −
;
10)
2
x
y
x
=
+
,
0
1
x
= −
;
11)
y x
= ,
0
4
x
=
;
12) sin
4
y x
π
= +
,
0
4
x
π
=
;
13)
3 2
x
y e
−
= ,
0
1
x
=
;
14) cos
4
y x
π
= +
,
0
4
x
π
=
;
15)
2
sin
y x
= ,
0
2
x
π
=
.
Уровень III
Разложите функцию
(
)
y x
по формуле Тейлора (n – произвольный
порядок) в окрестности точки
0
x
с остаточным членом в форме Лагранжа:
2
3
2
x
y
x x
=
+ −
,
0
0
x
=
.
Разложение функции по формуле Тейлора в окрестности некоторой
точки позволяет довольно точно построить ее график в окрестности этой
точки.
Обучающая задача. (Повышенный уровень. Изучается самостоя-
тельно). Пользуясь разложением по формуле Тейлора следующих
функций:
1
0
.
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
3 3
2 3 5 7 5 0 5
y x x x x= − − − − + − ,
2
0
.
( ) ( ) ( )
(
)
4 4
1 6 5 0 5
y x x x= + − + − ,
построить их графики в окрестности точки
0
5
x
=
.
Решение: Нас будет интересовать, как расположен график функции
в окрестности точки
0
5
x
=
: над касательной или под касательной.
322
На этот вопрос можно будет ответить, оценив знак разности
(
)
кас.
y x y
−
: если
(
)
кас.
0
y x y
− >
, то график функции расположен выше
касательной, если
(
)
кас.
0
y x y
− <
– то ниже.
Уравнение касательной в точке
0
x
имеет вид
(
)
(
)
0 0 0
y y y x x x
′
− = −
.
Но тогда первые два слагаемые в формуле Тейлора
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
2
0 0 0
0 0 0 0
1! 2! !
n
n
n
y x y x y x
y x y x x x x x x x R x
n
′ ′′
= + − + − + + − +
…
есть
кас.
y
. Этим фактом мы будем пользоваться при исследовании функции.
1
0
. Функция
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
2
0 0 0
0 0 0
2
1! 2! !
n
n
n
y x y x y x
y x x x x x x x R x
n
′ ′′
= − − + − + + − +
…
разложена по формуле Тейлора 3-го порядка в окрестности
0
5
x
=
. Отсюда
следует, что
(
)
5 2
y
=
и
(
)
2 3 5
y x
= − −
– уравнение касательной к графику
функции в точке
0
5
x
=
. Тогда
( ) ( ) ( )
(
)
3 3
кас.
7 5 0 5
y x y x x= − − + − .
Отбросив
( )
(
)
3
0 5
x − , получим приближенное равенство при х
близких к
0
5
x
=
:
( ) ( )
3
кас.
7 5
y x y x= − −
⇒
( ) ( )
3
кас.
7 5
y x y x− ≈ − − .
Оценим знак разности
(
)
кас.
y x y
−
:
если
5
x
>
, то
( )
3
7 5 0
x
− − <
и
(
)
кас.
0
y x y
− <
,
если
5
x
<
, то
( )
3
7 5 0
x
− − >
и
(
)
кас.
0
y x y
− >
.
Таким образом, если
5
x
>
, то график
функции
(
)
y x
расположен под касательной,
если
5
x
<
, то – над касательной. В дальнейшем
такую точку
(
)
0 0 0
,
M x y
, в которой график пе-
реходит с одной стороны касательной на дру-
гую, будем называть точкой перегиба графика.
0
2
5
y
x
M
0
323
Следовательно, точка
(
)
0
5,2
M – точка перегиба графика функции
(
)
y x
.
2
0
. Из разложения
( ) ( ) ( )
(
)
4 4
1 6 5 0 5
y x x x= + − + − по формуле Тей-
лора следует, что
(
)
5 1
y
=
и
1
y
=
– уравнение касательной к графику функ-
ции в точке
0
5
x
=
. Тогда
( ) ( ) ( )
(
)
4 4
кас.
6 5 0 5
y x y x x= + − + −
⇒
( ) ( ) ( )
(
)
4 4
кас.
6 5 0 5
y x y x x− = − + −
( ) ( )
4
кас.
6 5
y x y x− ≈ − .
Так как
( )
4
6 5 0
x
− ≥
при всех х, то график функции расположен над
горизонтальной касательной
1
y
=
как слева, так и справа от точки
0
5
x
=
.
Следовательно, в точке
0
5
x
=
функция имеет локальный минимум.
Упражнение. Среди указанных графиков выберите тот, который
правильно отражает поведение функции
(
)
y x
в окрестности точки
0
1
x
= −
,
если:
а) y(x) = 3 + 4(x + 1)
5
+ 0(x + 1)
5
;
б) y(x) = 3 + 2(x + 1) – 5(x + 1)
5
+ 0(x + 1)
5
.
–1
0
3
y
x
–1
0
3
y
x
x
–1
0
3
y
1)
2)
3)
–1
0
3
y
x
–1
0
3
y
x
4)
5)
324
Обучающая задача (повышенный уровень). Построить график
функции
(
)
5 4
2 2 1
y x x x x
= − + −
в окрестности точки
0
1
x
=
.
Решение:
(
)
1 0
y
=
,
( )
(
)
4 3
1
1 5 8 2 1
x
y x x
=
′
= − + =−
,
( )
(
)
3 2
1
1 20 24 4
x
y x x
=
′′
= − = −
.
Тогда
( ) ( )( ) ( ) ( )
(
)
2 2
4
0 1 1 1 0 1
2!
y x x x x
−
= + − − + − + −
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
кас.
2 2
1 2 1 0 1
y
y x x x x= − − − − + −
.
Оценим знак разности
(
)
кас
.
y x y
−
:
( ) ( ) ( )
(
)
2 2
кас
.
2 1 0 1
y x y x x− = − − + −
⇒
( ) ( )
2
кас
.
2 1
y x y x
− ≈ − −
,
отсюда следует, что
(
)
кас
.
0
y x y
− <
при всех х из
окрестности точки
0
1
x
=
.
Следовательно, график функции находится
под касательной как слева, так и справа от точки
0
1
x
=
.
Уровень I
Построить график функции
(
)
y y x
=
в окрестности точки
0
x
:
1)
3 2
3 2
y x x
= + +
,
0
1
x
= −
;
2)
3 2
3 4
y x x
= − + +
,
0
1
x
= −
;
3)
3 2
4 14
y x x
= − − −
,
0
2
x
=
;
4)
4 3
6 5
y x x
= − +
,
0
1
x
=
;
5)
4 2
6 7
y x x
= − +
,
0
1
x
= −
;
6)
3
2 18 37
y x x
= − + +
,
0
3
x
=
;
7)
5 3
2 1
y x x
= − + +
,
0
0
x
=
;
8)
12
12 14
y x x
= − +
,
0
1
x
=
;
9)
5 3
3 4 2
y x x
= − − +
,
0
0
x
=
;
1
1
0
x
y
(
)
0
1;0
M
325
10)
12
12 14
y x x
= − +
,
0
1
x
=
;
11)
5 4
3 2 2
y x x
= − + −
,
0
0
x
=
;
12)
3
3 9 11
y x x
= − − −
,
0
1
x
= −
;
13)
4 2
24 80
y x x
= − +
,
0
2
x
=
;
14)
10 2
45 43
y x x
= − + −
,
0
1
x
= −
;
15)
6 5
5 1
y x x
= − +
,
0
0
x
=
.
Уровень II
Построить график функции
(
)
y y x
=
в окрестности точки
0
x
:
1)
(
)
2
4 2cos 2
y x x x
= − − −
,
0
2
x
=
;
2)
2 3 2
6 3 6
x
y e x x x
−
= − + −
,
0
2
x
=
;
3)
(
)
2
2ln 1 2 1
y x x x
= + − + +
,
0
0
x
=
;
4)
(
)
2
2 2cos 1
y x x x
= − − −
,
0
1
x
=
;
5)
(
)
2 2
cos 1 2
y x x x
= + + +
,
0
1
x
= −
;
6)
2
2 ln 4 3
y x x x
= + − +
,
0
1
x
=
;
7)
(
)
2
1 2 2cos 1
y x x x
= − − − +
,
0
1
x
= −
;
8)
2 2
6 8 2
x
y x x e
+
= + + − ,
0
2
x
= −
;
9)
2 1
4 2
x
y x x e
+
= + − ,
0
1
x
= −
;
10)
(
)
(
)
2
1 sin 1 2
y x x x x
= + + − −
,
0
1
x
= −
;
11)
1 3
6 3
x
y e x x
−
= − −
,
0
1
x
=
;
12)
(
)
(
)
2
2 1 ln 2
y x x x x
= + − + +
,
0
1
x
= −
;
13)
(
)
2 2
sin 1 2
y x x x
= + − −
,
0
1
x
= −
;
14)
(
)
2 2
4 cos 2
y x x x
= + + +
,
0
2
x
= −
;
15)
(
)
2 2
sin 2 4 4
y x x x
= − − + −
,
0
2
x
=
.
Уровень III
Построить график функции
(
)
y y x
=
в окрестности точки
0
x
.
y x
x y
=
,
0
1
x
=
;
326
3. Формула Маклорена
Частный, простейший вид формулы Тейлора при
0
0
x
=
принято на-
зывать формулой Маклорена. Она дает разложение функции по степеням х.
Однако для многих функций эта простейшая формула Тейлора неприме-
нима, так как при
0
0
x
=
эти функции или их производные не существуют
(например
ln
x
,
x
,
ctg
x
).
Обучающая задача. Разложить по формуле Маклорена до
(
)
0
n
x
функции:
1
0
.
2
x
y xe
= ;
2
0
.
2
1
4
y
x
=
+
.
Решение:
1
0
. Разложим функцию
2
x
y xe
= по формуле Маклорена двумя спо-
собами: 1) непосредственно вычислив
(
)
( )
0
n
y и 2) используя извест-
ное разложение функции
x
y e
=
.
1 способ: Для вычисления
(
)
( )
0
n
y воспользуемся формулой
Лейбница:
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2 0 2 1 2
n n n
n
x x x
n n
y x xe C e x C e x
−
′
= = ⋅ + ⋅ =
Формула Маклорена
( ) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
2
0 0
0 0 ...
2! !
n
n
n
y y
y x y y x x x R x
n
′′
′
= + ⋅ + + + +
,
( )
( )
( )
2 3
1 ... 0
2! 3! !
n
x
n
x x x
e x x
n
= + + + + + +
( ) ( )
( )
2 3
1
ln 1 ... 1 0
2 3
n
n
n
x x x
x x x
n
−
+ = − + − + − +
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
1 1 2 1
1 1 ... 0
2! !
m
n n
m m m m m m n
x mx x x x
n
− − − − +
+ = + + + + +
( )
( )
( )
3 5 2 1
1
2 1
sin ... 1 0
3! 5! 2 1 !
n
n
n
x x x
x x x
n
−
−
−
= − + − + − +
−
( )
( )
( )
2 4 2 2
1
2 2
cos 1 ... 1 0
2! 4! 2 2 !
n
n
n
x x x
x x
n
−
−
−
= − + + + − +
−
( )
(
)
(
)
( )
1
1
1 !
n
n
n
y c
R x
х
n
+
+
= ⋅
+
,
где
(
)
0;
c x
∈
( )
(
)
0
n
n
R x x
=
где
0
x
→
327
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2 2 2 1 2
2 2
n n
x x n x n x
e x n e e x n e
−
−
= ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
.
Тогда
(
)
( )
1
0 2
n
n
y n
−
= ⋅
⇒
(
)
0 0
y
=
,
(
)
0 1
y
′
=
,
(
)
0 2 2 4
y
′′
= ⋅ =
, …
Записываем формулу Маклорена:
( )
2 1
2 2 3
4 3 2 2
... 0
2! 3! !
n
x n n
n
xe x x x x x
n
−
⋅ ⋅
= + + + + + .
2 способ: Если нам удастся получить разложение функции
2
x
y e
=
по степеням х, то, умножая его на х, получим разложение функции
2
x
y xe
= по степеням х, т.е. формулу Маклорена для функции
2
x
y xe
= .
Разложить функцию
2
x
e
по формуле Маклорена очень просто. Для этого
надо в формуле Маклорена для функции
t
e
вместо t подставить 2х:
( )
2
1 ... 0
1! 2! !
n
t n
t t t
e t
n
= + + + + +
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
1 ... 0
1! 2! !
n
x n
x x
x
e x
n
= + + + + + ,
( )
2
2 2
2 2 2
1 ... 0
1! 2! !
n
x n n
x
e x x x
n
= + + + + +
⇒
( )
( )
2 1
2 2 3 1 1
2 2 2 2
... 0
1! 2! 1 ! !
n n
x n n n
xe x x x x x x
n n
−
+ +
= + + + + + +
−
.
По условию нам надо получить разложение функции
2
x
y xe
=
до
(
)
0
n
x
.
Заметим, что
( ) ( )
1 1
2
0 0
!
n
n n n
x x x
n
+ +
+ = . Тогда получим искомое раз-
ложение:
( )
( )
2 1
2 2 3
2 2 2
... 0
1! 2! 1 !
n
x n n
xe x x x x x
n
−
= + + + + +
−
.
2
0
. Разложить функцию
2
1
4
y
x
=
+
по формуле Маклорена первым
способом, т.е. вычислив
(
)
( )
0
n
y , сложно (убедитесь в этом). Поэтому надо
опять воспользоваться одним из известных разложений, т.е. разложением
328
функции
1
1
y
t
=
+
по степеням t. Для этого преобразуем функцию
2
1
4
y
x
=
+
, выделив в знаменателе 1:
( )
( )
1
2 3 1 1
2
2
2
1
1 ... 1 0
1 1
1
4
4 1
4
4
n
n n
t t t t t
t
x
x
x
t
−
− −
= − + − + + − ⋅ +
+
= = =
+
=
+
( )
( )
1
2
2 2
1
2
1
1 ... 1 0
4 4 4 4
n
n
n
x x x
x
−
−
= − + − + − ⋅ + =
( )
(
)
1
2 2 2 2 2
2 3 1
1 1 1 1
... 1 0
4
4 4 4
n
n n
n
x x x x
−
− −
+
= − + − + − ⋅ + .
Заметим, что выделить 1 в знаменателе можно было бы и так:
( )
2
2
1 1
4
1 3
x
x
=
+
+ +
,
а
дальше
вместо
t
подставить
(
)
2
3
x
+
.
Но
тогда
мы
получили
бы
не
фор
-
мулу
Маклорена
,
а
разложение
функции
у
по
степеням
(
)
2
3
x
+
.
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы-
полняется у доски для получения оценки «10»).
Уровень I
Разложите
функцию
у
по
формуле
Маклорена
с
остаточным
членом
в
форме
Пеано
:
1)
4
1
x
y
x
=
−
.
Ответ
:
( )
(
)
5 9 4 3 4 3
... 1 0
n
n n
x x x x x
− −
− + − + + − ⋅ + ;
2)
(
)
2 2
ln 1
y x x
= − .
329
Ответ
:
( )
( )
6 8 2 2
4 2 2
... 1 0
2! 3! !
n
n
n
x x x
x x
n
+
+
− − − + + − ⋅ + ;
3)
2 3
x
y e
−
= .
Ответ
:
( )
( )
2 2
1
2 2
3 3
3 ... 1 0
2! !
n n
n
n
e x e x
e e x x
n
−
⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ + − + − ⋅ + ;
4)
2
4
cos
3
x
y x= .
Ответ
:
( )
( )
( )
2 4 4 6 2 2 2
1
2 2
2 4 2 2
4 4 4
... 1 0
3 2! 3 4! 3 3 2 !
n n
n
n
n
x x x
x x
n
−
−
−
⋅ ⋅ ⋅
− + + + − ⋅ +
⋅ ⋅ ⋅ −
;
5)
(
)
ln 5 4
y x
= −
.
Ответ
:
( )
2 2 3 3
2 3
4 4 4 4
ln5 ... 0
5
5 5 3 5
n n
n
n
x x x x
x
n
⋅ ⋅ ⋅
− − − − − +
⋅ ⋅
;
6)
6
2
1 2
x
y
x
=
−
.
Ответ
:
( ) ( )
1
6 8 2 10 1 2 4
2 2 ... 1 2 0 2 4
n
n n
x x x x n
−
− +
− + ⋅ − + − ⋅ ⋅ + +
;
7)
2
2 2
x
y x e
−
= .
Ответ
:
( )
( )
( )
2 6 3 8 1 2 2
1
2 4 2 2
2 2 2
2 ... 1 0
2! 5! 1 !
n n
n
n
x x x
x x x
n
− −
−
−
⋅ ⋅ ⋅
− + − + + − ⋅ +
−
;
8)
2
9
x
y
x
=
+
.
Ответ
:
( )
3 5 2 1
2 1
2 3
... 0
9
9 9 9
n
n
n
x x x x
x
−
−
+ + + + + ;
9)
3
sin
2
x
y x= .
Ответ
:
( )
( )
( )
4 6 8 2 2
1
2 2
3 5 2 1
... 1 0
2
2 3! 2 5! 2 2 1 !
n
n
n
n
x x x x
x
n
+
−
+
−
− + + + − ⋅ +
⋅ ⋅ −
;
330
10)
(
)
ln 2 3
y x
= +
.
Ответ
:
( )
( )
2 2 3 3
1
3 3
3 3 3 3
ln2 ... 1 0
2
2 2 3 2
n n
n
n
n
x x x x
x
n
−
⋅ ⋅ ⋅
+ − + − + − ⋅ +
⋅ ⋅
;
11)
2
1
2 3
y
x
=
−
.
Ответ
:
( )
( )
2 2 4 3 6 1 2 2
1
2 2
2 3 4 1
1 3 3 3 3
... 1 0
2
2 2 2 2
n n
n
n
n
x x x x
x
− −
−
−
−
⋅ ⋅ ⋅
− + − + + − ⋅ + ;
12)
3 1
x
y e
−
= .
Ответ
:
( )
2 2 3 3
1 3 3 3 3
... 0
2! 3! !
n n
n
x x x x
x
e e e e n
⋅ ⋅ ⋅
+ + + + + +
⋅ ⋅
;
13)
2
sin3
y x x
= .
Ответ
:
( )
( )
( )
3 3 5 5 2 1 2 1
1
3
3 3 3
3 ... 1 0
3! 5! 2 1 !
n n
n
n
x x x
x x
n
− −
−
⋅ ⋅ ⋅
− + − + − ⋅ +
−
;
14)
(
)
ln 3 4
y x
= −
;
Ответ
:
( )
2 2 3 3
2 3
4 4 4 4
ln3 ... 0
3
3 3 3
n n
n
n
x x x x
x
n
⋅ ⋅ ⋅
− − − − − +
⋅
;
15)
4 3
y x
= −
.
Ответ
:
( )
2 2
4 2 1
3 3 3
2 ... 0
2
2 2 !
n n
n
n
x x
x x
n
−
⋅ ⋅
− − − − +
⋅
.
Уровень II
Разложите
функцию
у
по
формуле
Тейлора
в
окрестности
точки
0
x
:
1)
(
)
2
ln 6 7
y x x
= − −
,
0
3
x
=
;
2)
2
1
2 5
y
x x
=
− +
,
0
1
x
=
;
3)
2
y x
= +
,
0
2
x
=
;
4)
2
2
x x
y e
−
=
,
0
1
x
=
;
5)
sin
y x x
=
,
0
x
= π
;
6)
(
)
ln 3 5
y x
= +
,
0
1
x
= −
;
7)
2 2
y x
= −
,
0
3
x
=
;
8)
(
)
2
2 4
x x
y e
+
=
,
0
2
x
= −
;
9)
1
3
x
y
x
−
=
+
,
0
2
x
= −
;
10)
(
)
1
x
y x e
= +
,
0
1
x
=
;