Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
291
15)
tg
1
0
lim 1
x
x
x
e
→+
+
.
Ответ
: {e}.
Уровень III
Вычислить
пределы
:
1)
1
0
lim
x
x
x
x
−
→+
.
Ответ
: {
∞
};
2)
( )
ln
lim
ln
x
x
x
x
x
→+∞
.
Ответ
: {
∞
};
3)
( )
1
1
0
1
lim
x
x
x
x
e
→
+
.
Ответ
:
1
2
e
−
.
Домашнее задание
1.
Изучить
тему
«
Условия
возрастания
и
убывания
функций
.
Доста
-
точные
условия
локального
экстремума
.
Нахождение
наибольших
и
наи
-
меньших
значений
функции
на
отрезке
.
Выпуклость
и
вогнутость
.
Точки
перегиба
».
2.
Вычислите
пределы
:
1
0
.
2
0
tg
lim
x
x x
x
→
−
.
Ответ
: {0}.
2
0
.
(
)
0
ln 1 cos
lim
lntg
x
x
x
→+
−
.
Ответ
: {2}.
3
0
.
0
arctg arcsin
lim
tg sin
x
x x
x x
→
−
−
.
Ответ
: {
∞
}.
4
0
.
(
)
1
lim 1 ctg
x
x x
→
− π
.
Ответ
:
1
−
π
.
5
0
.
0
1 1
lim
1
x
x
x
e
→
−
−
.
Ответ
:
1
2
.
3.
Выполнить
задание
№
8
из
внеаудиторной
контрольной
работы
.
292
VII Условия возрастания и убывания функций. Достаточные
условия локального экстремума. Нахождение наибольшего и наи-
меньшего значений функции на отрезке. Выпуклость и вогнутость.
Точки перегиба.
Преподаватель работает с аудиторией с помощью следующих
упражнений:
Упражнение. На рисунках изображены графики функций. Для ка-
ждой из них укажите интервалы, где:
а)
(
)
0
y x
′
>
; б)
(
)
0
y x
′
<
.
Упражнение. Укажите критические точки функций, изображен-
ных на предыдущих рисунках, где:
а)
(
)
0
y x
′
=
;
б)
(
)
y x
′
не существует;
в)
(
)
y x
′
бесконечна.
Упражнение. На рисунке
изображен график производной
y
′
непрерывной функции. Укажите
а) промежутки возрастания;
б) промежутки убывания;
в) критические точки функции y.
0
y
x
2
1
y
x
=
0
y
x
2
3
y x x
= −
1 2
3
0
y
x
3
y x
=
0
y
x
3
y x
=
1) 2) 3) 4)
Функция
(
)
y x
называется возрас-
тающей (убывающей) на
(
)
;
a b
,
если
1 2
x x
<
⇒
(
)
(
)
1 2
y x y x
<
(
(
)
(
)
1 2
y x y x
>
) для
(
)
1 2
, ;
x x a b
∀ ∈
Достаточное условие возрастания
(убывания):
если
(
)
0
y x
′
>
(
(
)
0
y x
′
<
) для
(
)
;
x a b
∀ ∈
, то
(
)
y x
возрастает (убыва-
ет) на
(
)
;
a b
(
)
y y x
′
=
1
–1
–2
2
0
y
x
293
Обучающая задача. C помощью производной первого порядка
построить графики функций. Исследование функции будем проводить по
следующей упрощенной схеме:
1. Найти область определения функции D(y).
2. Вычислить
y
′
, найти экстремумы, интервалы возрастания и убы-
вания функции.
1
0
.
3
3
y x x
= −
.
Решение:
1. Функция определена при всех действительных x, т.е. D(y) = R.
2.
(
)
(
)
2
3 3 3 1 1
y x x x
′
= − = − +
,
0
y
′
=
при
1
1
x
= −
,
2
1
x
=
, т.е.
1
x
,
2
x
– критические точки функции.
Они разбивают D(y) на три интервала (– ∞; – 1), (– 1; 1), (1; + ∞).
Определим знак
y
′
на каждом из
этих интервалов (методом интервалов).
Отсюда видно, что функция убыва-
ет на интервалах (– ∞; – 1) и (1; + ∞),
возрастает на интервале (1; 1).Так как
y
′
меняет знак в окрестности критиче-
ских точек, то эти точки являются точками локального экстремума, причем
(
)
min
1 2
y
− = −
,
(
)
max
1 2
y
=
x
(– ∞; – 1)
– 1 (– 1; 1) 1
(1; + ∞)
y′
0 + 0
y
min
– 2
max
2
Для более точного построения графика находим его точки пересече-
ния с осями координат:
0
y
=
⇒
(
)
2
3 0
x x
− =
⇒
1
0
x
=
,
2,3
3
x
= ±
0
x
=
⇒
0
y
=
.
Таким образом, точки (0; 0),
(
)
3; 0
− ,
(
)
3; 0
являются точками пе-
ресечения графика с осями координат.
– 1
1
+
–
–
y
′
x
294
Учитывая полученные результаты, строим график функции.
2
0
.
( )
2
2
3
4
y x= − .
Решение:
1. D(y) = R.
2.
( ) ( )
( )( )
2 1
2 2
3 3
3
2
3
2 4 4
4 4 2
3 3
2 2
3 4
x x
y x x x
x x
x
−
′
′
= − = − ⋅ = = ⋅
− +
−
.
1
0
x
=
,
2
2
x
= +
,
3
2
x
= −
– критические точки.
(
)
min
2 0
y
− =
,
(
)
3
max
0 16
y = ,
(
)
min
2 0
y
=
.
x
(– ∞; –2)
– 2 (– 2; 0) 0 (0; 2) 2
(2; +∞)
y
′
–
∞
+ 0 –
∞
+
y
min
0
max
3
16
min
0
1 –1 0
3
3
−
2
–2
y
x
0
–2 2
x
y
-2
0
+
–
–
y
′
+
2
x
295
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания первого и второго уровней).
Уровень I
C помощью производной первого порядка постройте график функ-
ции
(
)
y y x
=
.
1)
2 3
3 2
y x x
= − −
;
2)
3 2
16 12 5
y x x
= + −
;
3)
(
)
4 2
1
8 16
16
y x x= − − + ;
4)
3 2
2 3 4
y x x
= − −
;
5)
(
)
3
1
12
8
y x x
= − ;
6)
3
6 8
y x x
= − ;
7)
4 3 2
4 4
y x x x
= − + ;
8)
2 3
2 12 8
y x x
= − − ;
9)
4 3 2
2
y x x x
= − +
;
10)
2 3
2 3
y x x
= − −
;
11)
3 2
2 9 12
y x x x
= + + ;
12)
3 2
6 8
y x x x
= − +
;
13)
4 2
2 1
y x x
= − +
;
14)
(
)
3 2
1
3 5
4
y x x
= + −
;
15)
(
)
3 2
27
5
4
y x x
= + −
Уровень II
C
помощью
производной
первого
порядка
постройте
график
функ
-
ции
(
)
y y x
=
.
1)
(
)
3
4 1
y x x
= −
;
2)
(
)
3
2
y x x
= −
;
3)
3
2
1 2
y x x
= − +
;
4)
3
2
2 3
y x x
= − ;
5)
3
2
1 4 3
y x x
= − + +
;
6)
( )
2
3
3 3 2 6
y x x
= − − +
;
7)
( )
2
2
3
2 3
y x x= − − ;
8)
( )
2
3
4 8 6 2
y x x= + − + ;
9)
( )
2
3
6 2 4 8
y x x
= − − +
;
10)
( )
2
3
2 3
y x x= − − ;
11)
3
4 2
4 4
y x x
= − − +
;
12)
( )
(
)
2
3
1 2 2
y x x x
= − − −
;
13)
3
4 2
6 9
y x x
= − +
;
14)
( )
2
3
3 4 8 16
y x x
= + − −
;
15)
( )
2
3
6 6 9 1
y x x= + − + .
296
Обучающая задача. Найти
наибольшее
и
наименьшее
значения
функции
4 2
2 5
y x x
= − +
на
отрезке
[– 2; 0].
Решение
:
Наибольшее
и
наименьшее
значения
непрерывной
на
от
-
резке
[– 2; 0]
функции
достигается
или
в
критических
точках
этой
функ
-
ции
,
или
в
граничных
точках
– 2
и
0
этого
отрезка
.
Найдем
критические
точки
:
0
y
′
=
⇔
3
4 4 0
x x
− =
⇒
1
0
x
=
,
2
1
x
= −
,
3
1
x
=
.
В
интервал
(– 2; 0)
попадает
только
точка
2
1
x
= −
.
Вычислим
значе
-
ние
функции
в
точке
2
1
x
= −
и
на
концах
интервала
,
т
.
е
.
в
точках
0
x
=
и
2
x
= −
:
(
)
1 4
y
− =
,
(
)
0 5
y
=
,
(
)
2 13
y
− =
.
Наибольшее
из
этих
значений
13
является
наибольшим
на
отрезке
[–2; 0],
а
наименьшее
4 –
наименьшим
на
этом
отрезке
.
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы-
полняется у доски для получения оценки «10»).
Уровень I
Найдите
наибольшее
и
наименьшее
значения
функции
на
заданном
отрезке
.
1)
2
4
4y x
x
= − −
, [1; 4].
Ответ:
(
)
наим.
1 1
y y
= = −
;
(
)
наиб.
2 1
y y
= =
;
2)
3
3 8
y x x
= − −
, [– 2; 0].
Ответ:
(
)
наим.
2 10
y y
= − = −
;
(
)
наиб.
1 6
y y
= − = −
;
3)
3
6 9
y x x
= − +
, [– 1; 2].
Ответ:
(
)
наим.
2 9 4 2
y y= = −
;
(
)
наиб.
1 14
y y
= − =
;
4)
2
y x x
= −
, [0; 5].
Ответ:
(
)
наим.
1 1
y y
= = −
;
(
)
наиб.
5 5 2 5
y y= = −
;
5)
3
3 7
y x x
= − −
, [0; 2].
Ответ:
(
)
наим.
1 9
y y
= = −
;
(
)
наиб.
2 5
y y
= = −
;
6)
3 2
9
6
2
y x x x
= − +
, [– 1; 2].
Ответ:
(
)
наим.
1 11,5
y y= − = −
;
(
)
наиб.
1 2,5
y y= =
;
297
7)
5 4 3
5 5 1
y x x x
= − + +
, [– 1; 2].
Ответ:
(
)
наим.
1 10
y y
= − = −
;
(
)
наиб.
1 2
y y
= =
;
8)
4 2
8 3
y x x
= − +
, [– 1; 2].
Ответ:
(
)
наим.
2 13
y y
= = −
;
(
)
наиб.
0 3
y y
= =
;
9)
3 2
6 9
y x x x
= − +
, [0; 2].
Ответ:
(
)
наим.
0 0
y y= =
⊳
;
(
)
наиб.
1 4
y y
= =
;
10)
3 2
2 3 12
y x x x
= + −
, [– 1; 2].
Ответ:
(
)
наим.
1 7
y y
= = −
;
(
)
наиб.
1 13
y y
= − =
;
11)
3
6
y x x
= −
, [– 3; 4].
Ответ:
(
)
наим.
3 9
y y
= − = −
;
(
)
наиб.
4 40
y y
= =
;
12)
4 2 8
y x x
= − + +
, [– 1; 7].
Ответ:
(
)
наим.
2 2
y y
= =
;
(
)
(
)
наиб.
1 7 3
y y y
= − = =
;
13)
2
4
4
x
y
x
=
+
, [– 4; 2].
Ответ:
(
)
наим.
2 1
y y
= − = −
;
(
)
наиб.
2 1
y y
= =
;
14)
3 2
3 9
y x x x
= − −
, [– 2; 0].
Ответ:
(
)
наим.
2 2
y y
= − = −
;
(
)
наиб.
1 5
y y
= − =
;
15)
2
10
1
x
y
x
=
+
, [0; 3].
Ответ:
(
)
наим.
0 0
y y
= =
;
(
)
наиб.
1 5
y y
= =
.
Уровень II
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном
отрезке:
1)
1
2 sin2 3cos
2
y x x x
= − + , [0; π];
2) 2sin sin
6 6
y x x
π π
= − + +
,
;
2 2
π π
−
;
3)
1
3cos sin sin3
3
y x x x
= + − ,
;0
2
π
−
;
4)
1 1
cos2 cos4
2 4
y x x
= − , [0; π];
5)
2
sin 2cos
y x x
= + ,
3
;
2 2
π
π
;
298
6)
2 2
4sin cos 3
y x x x
= + −
, [– π; 0];
7)
1 cos 2cos
2
x
y x= + − , [3π; 5π];
8)
( )
1
sin3 cos3
3
y x x
= + ,
;
6 2
π π
;
9)
1
sin2 cos
2
y x x x
= − − , [5π; 7π];
10)
cos2 cos3
cos
2 3
x x
y x= − + ,
0;
2
π
;
11)
sin2 sin3
sin
2 3
x x
y x= + + ,
0;
2
π
;
12)
2
1 sin sin
4 2
x
y x
π
= − − −
, [– 2π; -π];
13)
( )
1
sin 4 6 sin2
6
y x x
= π− + ,
;
2
π
π
;
14)
1
1 sin cos2
2
y x x
= − − ,
0;
2
π
;
15)
cos2 cos3 cos4
2 3 4
x x x
y = + + ,
;0
2
π
−
.
Уровень III
1) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
x
y x
=
на
заданном промежутке
0,1
x
≤ ≤ +∞
.
2) Найдите
наибольшее
и
наименьшее
значения
функции
3 1
y x x
= − ⋅ +
на
заданном
отрезке
0 4
x
≤ ≤
.
3)
Докажите
неравенство
(
)
2
2 arctg ln 1
x x x
≥ + .
Указание
:
исследуйте
на
экстремум
функцию
(
)
2
2 arctg ln 1
y x x x
= − +
.
4)
Докажите
неравенство
( )
2
ln 1
2
x
x x+ ≥ − ,
0
x
≥
.
Обучающая задача. Найти угловой коэффициент прямой, прохо-
дящей через точку М(1; 2) и отсекающей от 1-го координатного угла тре-
угольник наименьшей площади.
299
Решение: Пусть АВ – искомая прямая, ОА = y, OB = x,
tg
k
= α
–
угловой коэффициент прямой. Тогда
y
k
x
= −
(т.к.
tg tg
α =− β
,
tg
OA y
OB x
β= =
).
Имеем задачу с двумя неизвестными x и y. Выразим y через x, ис-
пользуя тот факт, что точка М лежит на прямой АВ:
из ∆СМВ ⇒ tg
MC
CB
β= ⇒
2
1
y
x x
=
−
2
1
x
y
x
=
−
⇒
2
tg
1
x
α =−
−
,
1 0
x
− >
.
Для нахождения x воспользу-
емся тем, что площадь ∆АОВ наи-
меньшая:
( )
2
2
2 2 1 1
AOB
xy x x x
S
x x
⋅
= = =
− −
△
,
( )
2
1
x
S x
x
=
−
.
Исследуем
функцию
S(x)
на
экстремум
:
( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2
2
2 2 2
2 1 2
2
1 1 1
x x x x x
x x
S x
x x x
− − −
−
′
= = =
− − −
.
Критическими
точками
функции
являются
точки
1
0
x
=
,
2
2
x
=
.
Но
при
1
0
x
=
задача
теряет
смысл
.
При
переходе
через
точку
2
2
x
=
произ
-
водная
меняет
знак
с
«–»
на
«+».
Отметим
,
что
на
промежутке
(
)
1;x
∈ +∞
функция
имеет
единствен
-
ный
экстремум
.
Следовательно
,
в
точке
2
2
x
=
S(x)
имеет
минимум
.
Тогда
2
2
tg 2
1
x
x
=
α =− = −
−
.
A(0; y)
y
x
M(1; 2)
B(x; 0)
0
2
1
β
α
C
300
Преподаватель у доски решает со всей аудиторией.
Упражнение. Функция
задана
графически
.
Укажите
интервалы
из
-
менения
х
,
на
которых
выполнены
следующие
условия
:
а
)
(
)
0
y x
′′
≥
;
б
)
(
)
( )
0
0
y x
y x
′
<
′′
<
;
в
)
(
)
( )
( )
0
0
0
y x
y x
y x
>
′
>
′′
>
.
Упражнение. Найдите интервалы выпуклости:
а) вниз,
б) вверх
графика функции
5
y x x
= −
. Чему равны координаты точки перегиба?
Кривая
выпукла вниз
(
вверх
)
на
(
а
; b),
ес
-
ли
все
ее
точки
лежат
выше
(
ниже
)
любой
ее
касательной
на
(
а
; b).
Достаточное условие выпуклости на
(
а
; b)
1.
(
)
0
y x
′′
>
⇒
(
)
y y x
=
–
выпукла
вниз
,
2.
(
)
0
y x
′′
<
⇒
(
)
y y x
=
–
выпукла
вверх
Точка
(
)
(
)
0 0 0
,
M x y x
,
в
которой
меняется
направление
выпуклости
,
называется
точкой перегиба
.
Достаточное условие существо-
вания точки перегиба
:
1.
(
)
0
0
y x
′′
=
или
(
)
0
y x
′′
∃
,
2.
(
)
0
y x
′′
меняет
знак
при
перехо
-
де
через
точку
0
x
Достаточное условие суще-
ствования точки экстремума :
1.
(
)
0
0
y x
′
=
,
2.
(
)
0
0
y x
′′
≠
,
то
0
x
–
точка
экстремума
,
причем
,
если
(
)
0
0
y x
′′
<
,
то
0
x
–
точка
max,
(
)
0
0
y x
′′
>
,
то
0
x
–
точка
min
Достаточное условие существования точки
экстремума и точки перегиба с использовани-
ем
(
)
n
y
:
Пусть
( ) ( )
(
)
( )
1
0 0 0
... 0
n
y x y x y x
−
′ ′′
= = = =
,
( )
(
)
0
0
n
x
y
≠
, тогда если
1. n – нечетное число, то
0
x
– абсцисса точки
перегиба,
2. n – четное число, то
0
x
– точка экстремума,
причем, если
(
)
( )
0
0
n
y x
>
, то
0
x
– точка min,
(
)
( )
0
0
n
y x
<
, то
0
x
– точка max
0
1
4
6
y
x
3
5
2