Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
281
Правило Лопиталя позволяет вычислить эти пределы значительно
проще:
1)
5
4
1
2 1
lim
2 1
x
x x
x x
→
− +
− −
( )
( )
0
5
4
0
3
1 1
4
2 1
5 2 3
lim lim
7
8 1
2 1
x x
x x
x
x
x x
→ →
′
− +
−
= = =
′
−
− −
.
2)
sin2
lim
tg3
x
x
x
→π
( )
( )
0
0
2
sin2
2cos2 2
lim lim
3
3
tg3
cos 3
x x
x
x
x
x
→π →π
′
= = =
′
.
Отметим, что в ряде случаев использование правила Лопиталя не да-
ет преимуществ по сравнению с другими методами.
Обучающая задача. Вычислить предел
(
)
2
2
0
ln 1
lim
arcsin4
x
x
x
→
−
.
Решение: Здесь также имеем неопределенность вида
0
0
. Способ,
основанный на использовании бесконечно малых, позволяет вычислить
данный предел буквально в одно действие:
(
)
(
)
2
2
2 2
0 0
0
ln 1
ln 1
1
lim lim
arcsin
4
arcsin4 4
x x
x
x
x x
→ →
α→
+α α
−
−
= = = −
α α
∼
∼
.
Вычисление же этого предела по правилу Лопиталя несколько сложнее:
( )
( )
( )
( )
2
2
4
2
0 0 0
2
4
2
ln 1
1
1 1 16 1
lim lim lim
8
4 4
1
arcsin4
1 16
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
→ → →
−
′
−
−
−
= = − = −
′
−
−
.
Таким образом, на каждом этапе применения правила Лопиталя сле-
дует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразо-
ваниями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами
вычисления пределов.
Обучающая задача. Вычислить пределы:
1
0
.
(
)
2
0
arctg ln 1
lim
tg
x
x x
x x
→
⋅ +
−
282
( )
( )
0 0
2
3
0 0
0 0
arctg , 0
arctg ln 1
lim lim
ln 1 , 0
tg tg
x x
x x x
x x
x
x x x
x x x x
→ →
→
⋅ +
= = =
+ →
− −
∼
∼
( )
( )
0 0 0
3
2 2 2 2
0 0 0
2
2 2
0 0 0 0
2
3 3 cos
lim lim lim 3lim cos 3
1
1 cos sin
tg
1
cos
x x x x
x
x x x x
x
x x
x x
x
→ → → →
′
= = = = ⋅ =
′
−
−
−
;
2
0
.
3
0
sin cos
lim
sin
x
x x x
x
→
−
( )
( )
0
0
3 3
0 0 0
3
sin cos
sin cos sin cos
lim lim lim
sin
x x x
x x x
x x x x x x
x x
x
→ → →
′
−
− −
= = =
′
2
0 0
sin 1 sin 1
lim lim
3 3
3
x x
x x x
x
x
→ →
= = =
.
Иногда для раскрытия неопределенности правило Лопиталя прихо-
дится применять последовательно несколько раз.
Обучающая задача. Вычислить пределы:
1
0
.
10
5
1
10 9
lim
5 4
x
x x
x x
→
− +
− +
.
Решение: Неопределенность вида
0
0
раскрываем, применяя прави-
ло Лопиталя дважды:
( )
( )
0 0
10
10 9 8
0 0
5 4 3
1 1 1 1
5
10 9
10 9 10 10 90 9
lim lim lim lim
2
5 4 5 5 20
5 4
x x x x
x x
x x x x
x x x x
x x
→ → → →
′
− +
− + −
= = = =
′
− + −
− +
.
2
0
. lim
n
x
x
x
e
→+∞
,
n
∈
ℕ
.
Решение: В данном выражении содержится неопределенность вида
∞
∞
. Применим правило Лопиталя n раз:
( )
( )
( )
2
1
1
lim lim lim lim ...
n
n
n n
x x x
x x x x
x
x
n n x
x nx
e e e
e
∞ ∞ ∞ ∞
−
−
∞ ∞ ∞ ∞
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
′
−
= = = = =
′
283
( )( )
1 2 ...2 1
! !
lim lim 0
x x
x x
n n n
n n
e e
∞
∞
→+∞ →+∞
− − ⋅
= = = =
+∞
.
Если
(
)
( )
0
lim
x x
y x
g x
→
′
′
не существует, то отсюда не следует, что
(
)
( )
0
lim
x x
y x
g x
→
тоже не существует. Другими словами, правило Лопиталя в этом случае не
применимо. Покажем это на примере:
.
. .
sin 1
lim lim 1 sin 1
x x
огр
б м
x x
x
x x
∞
∞
→∞ →∞
+
= + ⋅ =
,
а
( )
( )
sin
lim lim 1 cos
x x
x x
x
x
→∞ →∞
′
+
= +
′
– не существует.
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания первого и второго вариантов, по
желанию третий уровень выполняется у доски для получения оценки
«10»).
Уровень I
Вычислите пределы:
1)
2
3
ln
lim
x
x
x
→∞
. Ответ: {0};
2)
3 2
0
sin3 3
lim
2
x
x x
x x
→
−
−
. Ответ: {0};
3)
(
)
ln 1
lim
1
x
x
x
e
xe
→+∞
+
−
. Ответ: {0};
4)
2
2
lnsin
lim
ctg
x
x
x
π
→
. Ответ:
1
2
−
;
5)
0
2
lim
1 cos
x x
x
e e
x
−
→
+ −
−
. Ответ: {2};
6)
3
0
lim
2 sin2
x
x
x x
→
−
.
Ответ:
3
4
−
;
284
7)
0
cos
lim
sin
x
x x x
x x
→
−
−
. Ответ: {1};
8)
(
)
( )
1 0
ln 1
lim
ln
x
x
x
e e
→ +
−
−
. Ответ: {1};
9)
3
0
arctg
lim
x
x x
x
→
−
. Ответ:
1
6
;
10)
(
)
1 0
ln 1
lim
ctg
x
x
x
→ +
−
π
. Ответ: {0};
11)
3
2
0
3 1
lim
sin 5
x
x
e x
x
→
− −
. Ответ:
9
50
;
12)
0
tg
lim
sin
x
x x
x x
→
−
−
. Ответ: {2};
13)
2
lim
x
x
x
xe
x e
→∞
+
. Ответ: {0};
14)
( )
0
1
lim
1
x
x
x
e x
x e
→
− −
−
. Ответ: {1};
15)
( )
1 0
tg
2
lim
ln 1
x
x
x
→ −
π
−
. Ответ: {∞}.
Уровень II
Вычислите пределы:
1)
3
0
arcsin2 2arcsin
lim
x
x x
x
→
−
. Ответ: {– 1};
2)
0
lnarcsin
lim
lntg2
x
x
x
→+
. Ответ: {1};
3)
2
0
tg sin
lim
arcsin
x
x x
x x
→
−
. Ответ:
1
2
;
4)
2
4
sec 2tg
lim
1 cos4
x
x x
x
π
→
−
+
. Ответ: {1};
5)
3
0
tg2 sin2
lim
x
x x
x
→
−
. Ответ: {4};
285
6)
(
)
3
0
2 cos
lim
tg
x x
x
e e x
x x
−
→
− +
. Ответ:
1
3
;
7)
0
lnarctg2
lim
lnsin3
x
x
x
→+
. Ответ: {1};
8)
3
0
tg sin
lim
sin
x
x x
x
→
−
. Ответ:
1
2
;
9)
(
)
0
2
ln 2
lim
tg
x
x
x
π
→ +
−π
. Ответ: {0};
10)
0
1 cos
lim
sin
x
x
x x
→
−
. Ответ:
1
4
;
11)
0
th
lim
sh
x
x x
x x
→
−
−
. Ответ: {2};
12)
2
0
lncos
lim
arcsin 2
x
x
x
→
. Ответ:
1
8
−
;
13)
0
sin2 2sin
lim
lncos5
x
x x
x x
→
−
⋅
. Ответ:
2
25
−
;
14)
3
2
4
1 tg
lim
1 2cos
x
x
x
π
→
−
−
. Ответ:
1
12
;
15)
(
)
2
2
0
lncos 2
lim
sin3
x
x x
x
→
−
. Ответ:
1
6
−
.
Уровень III
Вычислите пределы:
1)
0
arctg arcsin
lim
tg sin
x
x x
x x
→
−
−
. Ответ: {∞};
2)
(
)
(
)
sin
4
0
sin 1 1
lim
sin 3
x x
x
e e
x
→
− − −
. Ответ: {∞}.
Неопределенности типа
0
⋅∞
,
∞−∞
сводятся к случаям
0
0
,
∞
∞
путем
представления произведения или разности функций в виде частного.
286
Обучающая задача. Найти
2
0
lim ln
x
x x
→+
.
Решение: Здесь мы имеем неопределенность вида
0
⋅∞
. Предста-
вим произведение функций в виде частного, а затем, получив неопреде-
ленность типа
∞
∞
, применим правило Лопиталя:
( )
0
2 2
0 0 0 0
2 3
1
ln 1
lim ln lim lim lim 0
1 2
2
x x x x
x
x
x x x
x x
∞
⋅∞
∞
→+ →+ →+ →+
= = = − =
−
.
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы-
полняется у доски для получения оценки «10»).
Уровень I
Вычислить пределы:
1)
2 2
lim
x
x
x e
−
→+∞
⋅ . Ответ: {0};
2)
2
lim ctg3 tg
x
x x
π
→
⋅
. Ответ: {3};
3)
2
0
lim ln
x
x x
→+
. Ответ: {0};
4)
( )
1
limsin 1 tg
2
x
x x
→
π
− . Ответ:
2
−
π
;
5)
2
1
2
0
lim
x
x
x e
→
⋅
. Ответ: {∞};
6)
( )
lim tg
2
x
x
x
→π
π− . Ответ: {2};
7)
2
lim 1
x
x
x e
→∞
−
. Ответ: {2};
8)
(
)
( )
2
1
lim 1 ctg 1
x
x x
→
− −
. Ответ: {2};
9)
2
2
lim
x
x
x e
−
→∞
. Ответ: {0};
287
10)
1
limsin ctg3
x
x x
→
π ⋅ π
. Ответ:
1
3
−
;
11)
0
lim tg ln
x
x x
→+
⋅
. Ответ: {0};
12)
2
lim ln
x
x
e x
−
→+∞
⋅ . Ответ: {0};
13)
(
)
0
lim 2 ctg
x x
x
e e x
−
→+
+ − . Ответ: {0};
14)
2
lim cos3 tg
x
x x
π
→
⋅
. Ответ: {– 3};
15)
2
limsin ctg
2
x
x x
→
π
π ⋅ . Ответ: {2}.
Уровень II
Вычислить пределы:
1)
0
1 1
lim
sin
x
x x
→
−
. Ответ: {0};
2)
1
1
lim
1 ln
x
x
x x
→
−
−
. Ответ:
1
2
;
3)
( )
1
1 1
lim
1 arctg 1
x
x x
→
−
− −
. Ответ: {0};
4)
0
1
lim cth
x
x
x
→
−
. Ответ: {0};
5)
1
lim ctg
x
x
x
→π
−
−π
. Ответ: {0};
6)
1
1 1
lim
ln 1
x
x x
→
−
−
. Ответ:
1
2
;
7)
2
lim tg
2cos
x
x x
x
π
→
π
−
. Ответ: {– 1};
8)
2
0
1 1
lim
2
1
x
x
x
e
→
−
−
. Ответ:
1
2
−
;
9)
2
0
ctg 1
lim
x
x
x
x
→
−
. Ответ:
1
2
−
;
288
10)
( )
0
1 1
lim
ln 1
x
x x
→
−
+
. Ответ:
1
2
;
11)
0
1 1
lim
2 sin2
x
x x
→
−
. Ответ: {0};
12)
0
1
lim ctg
x
x
x
→
−
. Ответ: {0};
13)
2
0
1 1
lim
tg
x
x x
x
→
−
. Ответ:
1
6
;
14)
0
1 1
lim
arctg
x
x x
→
−
. Ответ: {0};
15)
2
0
1 1
lim
tg
x
x x
x
→
−
. Ответ:
1
2
.
Уровень III
Вычислить пределы:
1)
(
)
1 0
lim ln ln 1
x
x x
→ +
⋅ −
. Ответ: {0};
2)
(
)
2 3
lim ln
x
x x
→+∞
− . Ответ: {∞};
3)
( )
( )
2
0
1 1
lim
ln 1
ln 1
x
x
x x
→
−
+
+ +
. Ответ:
1
2
−
.
При вычислении предела выражения
( )
( )
(
)
x
y x
ϕ
возникающие неоп-
ределенности вида
0
0
,
0
∞
или
1
∞
раскрываются следующим образом. Ло-
гарифмируя предварительно
( )
( )
(
)
x
y y x
ϕ
= , получаем равенство
(
)
(
)
ln ln
y x y x
=ϕ
и находим предел
ln
y
, а после чего – и предел y.Заметим, что во всех трех
случаях
ln
y
представляет собой неопределенность типа
0
⋅∞
, метод рас-
крытия которой изложен выше.
289
Обучающая задача. Вычислить пределы:
1
0
.
( )
0
lim sin
x
x
x
→
.
Решение: Имеем неопределенность типа
0
0
. Обозначим функцию
( )
sin
x
x
через y и прологарифмируем ее
( )
ln ln sin lnsin
x
y x x x
= = .
Вычислим теперь предел логарифма данной функции, применяя пра-
вило Лопиталя (здесь сталкиваемся с неопределенностью вида
0
⋅∞
):
( )
0
0
2
0
0 0 0 0 0
2
cos
sin cos
sin
limln lim lnsin lim lim lim
1 1
sin
x x x x x
x
x x x
x
y x x
x
x
x
∞
⋅∞
∞
→ → → → →
⋅
= ⋅ = = = − =
−
( )
0
2
0
0 0
sin ,
cos
lim lim cos 0
0
x x
x x
x x
x x
x
x
→ →
⋅
= = − = − ⋅ =
→
∼
.
Так как
(
)
0 0
limln ln lim 0
x x
y y
→ →
= =
, то
0
0
lim 1
x
y e
→
= =
.
2
0
.
( )
1
sin
0
lim 1
x
x
x
→
+ .
Решение: Данный пример содержит неопределенность вида
1
∞
. Ло-
гарифмируя и применяя правило Лопиталя, получим
( )
( )
( )
( )
( )
0
1
0
sin
0 0 0 0
ln 1
ln 1
limln limln 1 lim lim
sin
sin
x
x x x x
x
x
y x
x
x
→ → → →
′
+
+
= + = = =
′
( )
( )
0 0
1
1
1
lim lim 1
cos 1 cos
x x
x
x x x
→ →
+
= = =
+
.
Таким
образом
(
)
0 0
limln ln lim 1
x x
y y
→ →
= =
⇒
1
0
limln
x
y e e
→
= =
.
Замечание. Не
следует
забывать
и
о
других
методах
вычисления
пределов
.
Так
,
предыдущий
пример
можно
легко
решить
,
выделяя
число
е
:
( )
(
)
( )
0
1
1
1 1
lim
sin
1
sin
sin
0 0
lim 1 lim 1
x
x
x
x
x x
x x
x x e e e
∞
→
→ →
+ = + = = =
.
290
Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен-
та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы-
полняется у доски для получения оценки «10»).
Уровень I
Вычислить
пределы
:
1)
( )
1
lim ln
x
x
x
→+∞
.
Ответ
: {1};
2)
sin
0
lim
x
x
x
→+
.
Ответ
: {1};
3)
( )
2
ctg
0
lim cos
x
x
x
→
.
Ответ
:
1
2
e
−
;
4)
( )
1
lim
x
x
x
x e
→+∞
+ .
Ответ
: {e};
5)
( )
tg2
4
lim tg
x
x
x
π
→
.
Ответ
: {1};
6)
( )
0
lim arcsin
x
x
x
→+
.
Ответ
: {1};
7)
( )
( )
1
2
ln 1
lim 3 2
x
x
x x
+
→+∞
+ − .
Ответ
:
{
}
2
e
;
8)
( )
tg
0
lim ctg
x
x
x
→+
.
Ответ
: {1};
9)
( )
1
ln
0
lim sin2
x
x
x
→+
.
Ответ
: {e};
10)
( )
2
tg
2
lim sin
x
x
x
π
→
.
Ответ
:
1
2
e
−
;
11)
( )
0
lim arctg
x
x
x
→+
.
Ответ
: {1};
12)
( )
1
ln
0
lim ctg
x
x
x
→+
.
Ответ
:
{
}
1
e
−
;
13)
( )
tg
2
1
lim 2 1
x
x
x
π
→
− .
Ответ
:
4
e
−
π
;
14)
( )
(
)
0
lim ln 1
x
x
x
→+
+ .
Ответ
: {1};