Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
171
11)
(
)
(
)
lim 2 3 ln 2 ln
x
x x x
→∞
+ + −
.
Ответ
: 4.
II. Для заданных функций найти эквивалентные в соответствующем
процессе величины:
1)
2 3
20 5 8 5
x
x x x
→∞
+ − +
∼
.
Ответ
:
3
5
x
;
2)
3
0
3
x
x x
→
+
∼
.
Ответ
:
3
x
;
3)
2
0
tg
x
x x
→
∼
.
Ответ
:
3
x
;
4)
0
sin
x
x x
→
+
∼
.
Ответ
:
x
;
5)
0
tg 2
x
x x
→
+
∼
.
Ответ
:
3
x
;
6)
0
1 cos5
x
x
→
−
∼
.
Ответ
:
2
25
2
x
;
7)
2
0
1
x
x
e
→
−
∼
.
Ответ
:
2
x
;
8)
(
)
2
0
ln 5 3 1
x
x x
→
+ +
∼
.
Ответ
:
3
x
.
III. Вычислить с помощью эквивалентных:
1)
2
2
0
sin
2
lim
x
x
x
→
.
Ответ
:
1
4
;
2)
(
)
( )
1
2
tg 6 3
lim
sin 2 1
x
x
x
→
−
−
.
Ответ
: 3;
3)
0
1 cos3
lim
sin7
x
x
x
→
−
.
Ответ
: 0;
4)
1
1
1
lim
2 2
x
x
e
x
+
→−
−
+
.
Ответ
:
1
2
;
5)
2
0
arctg7
lim
5 3
x
x
x x
→
−
.
Ответ
:
7
3
−
.
IV.
1. Установить область непрерывности функций и найти их точки
разрыва:
a)
7 4
7 4
x
y
x
+
=
−
; б)
1
5
2
x
y
+
= ; в)
(
)
2
ln 1
x
− .
172
2. Исследовать на непрерывность и сделать схематический чертеж
( )
2
3, 0
1, 0 4
3, 4
x x
f x x x
x x
− <
= + ≤ ≤
+ >
.
V. Найти соответствие между условием и графиком. Ответ предста-
вить в виде: 1) - …; 2) - …; 3) - …; 4) - …; 5) - …; 6) - …
1.
(
)
lim 0
x
f x
→±∞
=
; 4.
(
)
( )
2
2
lim ,
lim ;
x
x
f x
f x
−
+
→
→
= −∞
= +∞
2.
(
)
0
lim
x
f x
→
= +∞
; 5.
(
)
0
lim 1
x
f x
→
= −
;
3.
(
)
( )
2
2
lim ,
lim 0;
x
x
f x
f x
−
+
→
→
= +∞
=
6.
(
)
( )
lim 1,
lim 0.
x
x
f x
f x
→+∞
→−∞
= −
=
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Уровень II
I. Вычислить:
1.
1 1 1
1
2 4
2
lim
1 1 1
1
3 4
3
n
n
n
→∞
+ + + +
+ + + +
…
…
.
Ответ
:
4
3
;
y
x
0
2
y
x
0
–1
x
y
0
2
y
x
0
2
0
y
x
0
y
x
–1
173
2.
3
4
5 2
5
4 3
2 1
lim
2 1
n
n n
n n
→∞
+ − +
+ − +
.
Ответ
: 0;
3.
2
3
2
5 6
lim
8 8
x
x x
x x
→
− +
− +
.
Ответ
:
1
4
−
;
4.
4 3 2
4 3 2
1
2 2 2 1
lim
3 5 2 1
x
x x x x
x x x x
→
− + − +
− + − +
.
Ответ
:
1
2
;
5.
2
2
1
3 2 4 2
lim
3 2
x
x x x
x x
→
− − − −
− +
.
Ответ
:
1
2
;
6.
3
3 3
1
3 2 1
lim
3 9 4 8
x
x x
x x
→
− −
+ − +
.
Ответ
:
28 3
3
− ;
7.
2
cos3
lim
sin2
x
x
x
π
→
.
Ответ
:
3
2
−
;
8.
0
1 cos 2cos
lim
3 cos 2cos
x
x x
x x
→
+ −
+ −
.
Ответ
:
3 2
7
;
9.
2
lim arctg
1
x
x
x
→+∞
+
.
Ответ
:
4
π
;
10.
( )
10
10 9 2
2 1
lim
3 7 3 2
x
x
x x x
→∞
+
− + −
.
Ответ
:
10
2
3
;
11.
1
lim
1
x
x
e e
x
→
−
−
.
Ответ
:
e
;
12.
( )
1
2
2
0
lim 1 tg
x
x
x
→
+ .
Ответ
: 1.
II. Для заданных функций найти эквивалентные в соответствующем
процессе величины:
1.
2 3
1
x
x x x
→∞
+ + +
∼
.
Ответ
:
2
x
;
2.
7
2
0
1 3 5 1
x
x x
→
− − −
∼
.
Ответ
:
3
7
−
;
3.
3
0
1 cos 2
x
x
→
−
∼
.
Ответ
:
2
6
x
;
4.
3
0
cos9
x
x
a x
→
−
∼
.
Ответ
:
3 ln
x a
;
174
5.
(
)
2
0
ln 3 2
x
x
e
→
−
∼
.
Ответ
:
4
x
−
;
6.
( )
3 5 2
0
2 lg 1 tg
2
x
x
x x
→
− +
∼
.
Ответ
:
5
4ln10
x
;
7.
2
2
x
x
e e
π
π
→
−
∼
.
Ответ
: 0.
III. Вычислить с помощью эквивалентных:
1.
( )
3
4 6
2
2
1 2 1
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+ + +
+ +
.
Ответ
:
3
4
;
2.
(
)
sin
0
ln 2 1
lim
lncos
x x
x
e
x
→
−
.
Ответ
: –4;
3.
3
4
0
1 1 2 1 3
lim
x
x x x
x
→
+ − + ⋅ +
.
Ответ
:
1
2
;
4.
( )
2
2
0
1 cos
lim
1 cos
x
x
x x
→
−
−
.
Ответ
: 1;
5.
cos cos2 cos4
2
0
2
lim
x x x
x
e e e
x
→
+ −
.
Ответ
:
27
2
−
;
6.
(
)
4
4
arcsin 4
lim
5 1
x
x
x
−
→
−
−
.
Ответ
:
5
log
e
.
IV. Доказать по определению, что
1.
3 1
lim 1
3
n
n
n
→∞
+
=
; 2.
(
)
2
5
lim 2 5 25
x
x x
→
− =
.
V.
1. Установить область непрерывности функций, исследовать харак-
тер точек разрыва:
а)
1
2
y
x
=
−
; б)
cos
x
y
x
= .
2. Исследовать на непрерывность и сделать схематический чертеж
( )
2
1, 1
1
, 1.
1
x x
f x
x
x
+ ≤
=
>
−
175
Уровень III
I. Вычислить:
1.
lim 1997 1997 1997
n→∞
…
.
Ответ
: 1997;
2.
2
2 3
2 1
lim sin
4
x
x
x
x x
→+∞
+
⋅
+
.
Ответ
:
1
2
;
3.
2
2
1
lim ln
n
n
n
n
→∞
+
.
Ответ
:
1
2
;
4.
(
)
0
lim ctg ln 1
x
x x x
→
+ +
.
Ответ
:
1
2
;
5.
(
)
0
4
lim cos sin tg2
x
x x x
π
→ −
−
.
Ответ
: 0;
6.
( )
4 2
1
2
3 3
3
lim 1
x
x x x
→∞
+ −
.
Ответ
:
1
3
;
7.
0
3 1
lim
1 cos cos 1 cos
x
x x x
→
−
− −
.
Ответ
: 1;
8.
3
1 3
lim
1 2cos2 2sin3
x
x x
π
→
−
+
.
Ответ
:
1
3
−
;
9.
( )
1
0
lim sin
x
x
x
e x
→
+ .
Ответ
:
2
e
;
10.
( )
1
lncos
0
lim 1 sin
x
x
x
→
+ .
Ответ
: 0;
11.
0
lim cos
x
x
x
→
.
Ответ
:
1
2
e
−
;
12.
1 1
lim sin cos
x
x
x x
→∞
+
.
Ответ
:
е
.
II. Доказать по определению, что
1.
2
1
lim 0
x
x
x
→∞
+
=
; 2.
cos
lim 0
1
n
n
n
→∞
α
=
−
.
III. Исследовать на непрерывность:
1.
( )
2
1
sin
f x x
x
= ⋅ .
Ответ
:
0
x
=
– точка устранимого разрыва;
176
2.
( )
1
sin , 0
0, 0
x x
f x
x
x
⋅ ≠
=
=
. Ответ:
0
x
=
– точка непрерывности.
IV. Выделить главную часть функций:
1.
5
2
3 1
y x
= − −
при
x→
2.
Ответ
:
( )
4
2
5
x
−
;
2.
(
)
2
ln 1
y x x
= − −
при x→2. Ответ:
(
)
3 2
x
⋅ −
;
3.
2
2
2 4
ln
1
x x
y
x x
+ +
=
− −
при x→∞. Ответ:
3
x
;
4.
(
)
ln cos sin
y a x bx
= +
при x→0. Ответ:
bx
;
5.
3
cos2 1
y x
= −
при x→0. Ответ:
2
2
3
x
− .
V. Вычислить с помощью эквивалентных:
1.
1
lim
ln
x
x
e e
x
→
−
. Ответ: e;
2. lim
ln ln
x a
x a
e e
x a
→
−
−
. Ответ:
a
a e
⋅
;
3.
1
3 8
lim
1
x
x
x
x
→
− +
−
. Ответ:
1
3ln3
6
−
;
4.
5 7
2 2
0
2 10 1 2 10 1
lim
x
x x x x
x
→
+ − − + −
. Ответ:
4
7
;
5.
( )
1
0
lim 1
x
x
x x
→
+ − .
Ответ
:
1
2
e
−
;
6.
5
2
0
1 sin10 1
lim
x
x x
x
→
+ −
.
Ответ
: 2;
7.
ln 1
lim
x e
x
x e
→
−
−
.
Ответ
:
1
e
.
VI.
Построить
графики
функций
:
1.
2
lim sin
n
n
y x
→∞
= ; 2.
( )
lim 1 0
n
n
n
y x x
→∞
= + ≥
.
177
ГЛОССАРИЙ
Новые понятия Содержание
2 3
1. Функция
правило, закон, по которому каждому эле
менту
х
(аргументу) некоторого множества
Х
(облас-
ти определения) соответствует единственный
элемент
у
(зависимая переменная) другого
множества
У
(область значений функции)
2. Четная функция
функция f, у которой область определения сим-
метрична относительно начала координат и для
всех
х
из ее области определения
(
)
(
)
f x f x
− =
3. Нечетная функция
функция f, у которой область определения
симметрична относительно начала координат
и для всех
х
из ее области определения
(
)
(
)
f x f x
− = −
4. Функция монотонно
возрастающая (убы-
вающая) на интерва
ле
(а, b)∈
∈∈
∈Х
функция
(
)
y f x
=
, для которой большему зна-
чению аргумента из (
а
, b) соответствует боль-
шее (меньшее) значение функции, т.е. для
1 2
x x
<
следует
(
)
(
)
1 2
f x f x
<
, (
(
)
(
)
1 2
f x f x
>
)
5. Ограниченная функ-
ция
функция, для которой в заданной области оп-
ределения существует постоянное k > 0, такое,
что
(
)
f x k
≤
6. Основные элемен-
тарные функции
1.
Степенная
p
y x
=
, где
p
– действитель-
ное число;
2.
Показательная
x
y a
=
, где
а
– положи-
тельное число, не равное 1;
3.
Логарифмическая
log
a
y x
=
, где
а
> 0, не
равно 1;
4.
Тригонометрические
sin
y x
=
,
cos
y x
=
,
ctg
y x
=
,
tg
y x
=
;
5.
Обратные
тригонометрические
функции
arcsin
y x
=
,
arccos
y x
=
,
arctg
y x
=
,
arcctg
y x
=
178
1 2
7. Предел последова-
тельности
число
А
, к которому можно приблизиться с
любой степенью точности при стремлении но-
мера члена последовательности к бесконечно-
сти, lim
n
n
x A
→∞
=
8. Предел функции
(
)
y f x
=
при стремле-
нии аргумента х к
фиксированному зна-
чению х
0
.
число
А
, к которому может приблизиться зна-
чение функции y с любой наперед заданной
точностью ε:
(
)
0
lim
x x
f x A
→
=
9. Два замечательных
предела
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
,
1
lim 1
y
y
e
y
→∞
+ =
10. Функция
(
)
y f x
=
непрерывна в точке
х = х
0
,
если существует значение функции в точке
х
0
и
ее предел в точке
х
0
равен значению функции в
этой точке
(
)
(
)
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
или ее предел
справа равен пределу слева при x→
х
0
и равен
значению функции в этой точке:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
0 0
0
0 0
0 0 0
lim lim
0 0
x x x x
f x f x f x
f x f x f x
→ + → −
= =
+ = − =
179
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 3.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Введение
В данном модуле рассматривается одно из важнейших понятий со-
временной математики и, в частности, математического анализа – понятие
производной функции. Изложено понятие производной, способы ее вы-
числения, а также применение этого понятия при решении прикладных за-
дач. С понятием производной тесно связано понятие дифференциала.
Дифференциал функции – часть ее приращения, причем наиболее сущест-
венная при достаточно малых приращениях аргумента. Понятие производ-
ной достаточно сложно, однако, ввиду его многочисленных приложений,
приводящих к краткому и изящному решению практических задач, оно за-
служивает серьезного рассмотрения и овладения в объеме данного курса.
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ
Студент должен знать Студент должен уметь
− задачи, приводящие к понятию
производной;
− определение производной;
− геометрический смысл произ-
водной;
− механический смысл производ-
ной;
− формулы для вычисления про-
изводной сложной функции, пара-
метрически заданной функции;
− определение логарифмической
производной;
− определение дифференциала,
его геометрический, механический
смысл;
− определение производных и
дифференциалов высших порядков;
− узнавать основные классы эле-
ментарных функций;
− писать по памяти таблицу про-
изводных;
− дифференцировать основные
классы элементарных функций;
− вычислять производные суммы,
произведения и частного;
− вычислять производные слож-
ных, параметрически и неявно за-
данных функций;
− пользоваться, в случае необхо-
димости, логарифмической произ-
водной;
− применять дифференциал в
приближенных вычислениях;
− вычислять производные и диф-
180
− основные теоремы дифферен-
циального исчисления;
− правило Лопиталя;
− формулу Тейлора, разложение
элементарных функций по формуле
Тейлора;
− необходимые и достаточные
условия экстремума функции;
− достаточные условия монотон-
ности функции;
− необходимые и достаточные
условия наличия точек перегиба;
− достаточные условия для ис-
следования функции на выпуклость
(вогнутость);
− определение вертикальных, го-
ризонтальных, наклонных асимптот
ференциалы высших порядков для
всех способов задания функции;
− раскрывать различные неопре-
деленные выражения с помощью
правила Лопиталя;
− пользоваться разложениями
функций по формуле Тейлора в
приближенных вычислениях;
− исследовать функцию на моно-
тонность, определять точки экстре-
мума;
− исследовать функцию на вы-
пуклость (вогнутость), определять
точки перегиба;
− определять асимптоты графика
функции;
− проводить полное исследование
функции, строить ее график
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ 3
Название вопросов,
которые изучаются на лекции
Номер
практи-
ческого
занятия
Нагляд-
ные и ме-
тодиче-
ские по-
собия
Формы
конт-
роля
знаний
1.
Задачи, приводящие к понятию производ-
ной. Производная функции. Геометрический
и механический смысл производной. Диффе-
ренцируемость функции. Дифференциал, его
геометрический и механический смысл
I
1, 2, 3,
4, 5
РП
2. Производная суммы, произведения и ча-
стного функций. Производная сложной и об-
ратной функции. Дифференцирование пара-
метрически заданных и неявных функций.
Таблица производных. Логарифмическая
производная
II, III
1, 2, 3,
5, 4, 7
Опрос,
РП