Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей

Подождите немного. Документ загружается.

181

3. Бесконечная производная, односторонние

производные. Производные и дифференциалы

высших порядков. Применение дифферен-

циала в приближенных вычислениях

1, 2, 3,

5, 4, 6,

РП,

ПДЗ

4. Основные теоремы дифференциального

исчисления (теоремы Ролля, Коши, Лагранжа)

1, 2, 3,

5, 4, 6, 7

РП

5. Применение производной. Правило Ло-

питаля – Бернулли.

Локальный экстремум.

Теорема Ферма. Условия возрастания и убы-

вания функций. Достаточные условия локаль-

ного экстремума

1, 2, 3,

5, 4, 6,

ВКР,

РП

6. Выпуклость и вогнутость. Точки переги-

ба. Глобальный экстремум функции. Практи-

ческие задачи на оптимизацию. Приложения

производной к задачам геометрии и физики

VII

1, 2, 3,

5, 4, 6,

ВКР,

РП

7. Асимптоты графика функции. Общая

схема исследования функции и построение ее

графика

VIII

1, 2, 3,

5, 4, 7,

ВКР,

РП

8. Формула Тейлора для произвольной

функции с остаточным членом в форме Ла-

гранжа

1, 2, 3,

5, 4, 7

ВКР,

РП,

ПДЗ

9. Разложение элементарных функций по

формуле Тейлора и Маклорена. Формула

Тейлора и ее приложения

1, 2, 3,

5, 4, 7

ВКР,

РП

182

ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА МОДУЛЯ 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Основные теоремы

Ферма, Ролля,

Лагранжа, Коши

Первая

производная

Производная

функции, заданной

неявно

Производная

функции, заданной

параметрически

Производные

высших

порядков

Таблица

Правила

дифференцирования

Логарифмическая

производная

Формула

Тейлора

Правило

Лопиталя

Дифференциалы

первого и

высших

порядков

Задачи

на

оптимизацию

Задачи

физики,

механики и

т.п.

ПРИЛОЖЕНИЯ

183

Информационная таблица «Дифференциальные исчисления»

Производной от функции у = у(х) в точке

называется предел приращения функции к

приращению аргумента, когда последнее

стремится к нулю, если этот предел сущест-

вует, конечен и не зависит от способа стрем-

ления ∆х к нулю

lim

∆ →

∆

′

∆

Правила дифференцирования

′

; 4.

( )

cu cu

′

;

( )

u v u v

′

′ ′

± = ±

; 5.

u u v uv

′

′ ′

−

 

 

 

;

( )

uv u v uv

′

′ ′

= +

; 6.

(

)

(

)

x u x

f u x f u

′ ′ ′

= ⋅

Таблица производных

( )

, ,

t t

x xx

t t

x x t

y y if

y y t

x x

′

 =′



′ ′′

= =



′ ′





′

= −

′

, if

( ; ) 0

F x y

( )

1n n

u n u u

−

′

= ⋅ ⋅

;

′

;

( )

u u

′

= ⋅

;

1 1

′

 

′

= − ⋅

 

 

;

( )

sin cos

u u u

′

= ⋅

;

( )

cos sin

u u u

′

= − ⋅

;

( )

cos

u u

′

= ⋅

( )

ctg

sin

u u

′

= − ⋅

Геометрический смысл производной:

производная от функции

(

)

y f x

в точ-

ке

есть тангенс угла наклона каса-

тельной, проведённой к графику функции

в точке

(

)

y x k

′

= α =

(

)

(

)

(

)

0 0 0

y y x y x x x

′

= + −

– уравнение касательной.

( )

0 0

y y x x x

y x

= − −

′

– уравнение нормали.

( )

u u

a a a u

′

= ⋅ ⋅

;

10.

( )

u u

e e u

′

= ⋅

;

11.

( )

log

u u

u a

′

= ⋅

⋅

;

12.

( )

u u

′

= ⋅

;

Механический смысл производной: про-

изводная от функции S, равная S’(t), где S(t)

– путь, пройденный материальной точкой

за время t, есть мгновенная скорость мате-

риальной точки в определенный момент

времени. S = S(t), v

мгн

) = S’(t

)

13.

( )

arcsin

u u

′

= ⋅

−

;

14.

( )

arccos

u u

′

= − ⋅

−

;

15.

( )

arctg

u u

′

= ⋅

;

16.

( )

arcctg

u u

′

= − ⋅

;

17.

( )

sh ch

u u u

′

= ⋅

;

18.

( )

ch sh

u u u

′

= ⋅

;

19.

( )

u u

′

= ⋅

;

20.

( )

cth

u u

′

= − ⋅

Монотонность, экстремум

1. Найти критические точки

y y

′ ′

– не существует

II. Наибольшее и наименьшее значе-

ния

1. Найти критические точки.

2. Вычислить f (x) в критических точ-

ках, попавших в отрезок.

3. Вычислить f (x) на концах отрезка

Выбрать f

наиб.

и f

наим.

y(x

)

y=kx+b

степенные

тригономет

рические

показательные

логарифмическые

обратно

тригоно

метриче

ские

max

min

гиперболические

184

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

3.1. Задачи, приводящие к понятию производной

Рассмотрим следующие задачи:

Задача 1 (о плотности). Пусть m(x) – масса куска тонкого неод-

нородного стержня, заключенного между левым концом и произвольной

точкой x, лежащей внутри стержня. Требуется найти удельную линейную

плотность в произвольной точке стержня.

Решение:

1. Вспомним формулу удельной линейной плотности для однород-

ного стержня:

const

ρ=

, тогда

ρ=

, (3.1.1)

где m – масса стержня, а l – его длина.

2. Пусть плотность стержня равномерно меняется от точки x

до

точки x

, тогда

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 1 1

2 1

ср

m x m x m x x m x

x x x

− + ∆ −

ρ = =

− ∆

. (3.1.2)

Запишем формулу (3.1.2) на языке приращений:

ср

∆

ρ =

∆

(3.1.3)

3. В нашей ситуации плотность меняется неравномерно от точки к

точке, поэтому стержень разобьем на элементарные части (

∆

должно

быть малым) так, чтобы на элементарном участке

[

]

k k

x x

−

удельная ли-

нейная плотность изменялась практически равномерно

ср

∆

 

ρ =

 

∆

 

. Тогда

чтобы вычислить удельную плотность точно, необходимо

∆

устремить к

нулю. Таким образом, плотность в точке x равна

(

)

(

)

0 0

lim lim

x x

m x x m x

x x

∆ → ∆ →

+ ∆ −

∆

ρ= =

∆ ∆

. (3.1.4)

= x

+ ∆x

185

Задача 2 (о силе тока). Пусть

( )

q t

– заряд конденсатора в зави-

симости от времени. Определить силу тока I в произвольный момент вре-

мени t через сопротивление R.

Решение. Если бы заряд был постоянным, то силу тока вычисляли

бы по формуле

, но поскольку заряд является переменной величи-

ной, то, рассуждая аналогичным образом как в задаче 1 (провести само-

стоятельно), придем к формуле

(

)

(

)

( ) lim

q t t q t

I t

∆ →

+∆ −

∆

(3.1.5)

Задача 3 (о мгновенной скорости). Найти скорость v прямоли-

нейно движущейся точки в произвольный момент t, если путь определяет-

ся формулой

(

)

S S t

Решение. Проведя рассуждения аналогичные задаче 1, получим

(

)

(

)

lim

мгн

S t t S t

∆ →

+ ∆ −

ν =

∆

. (3.1.6)

Определение 3.1.1. Касательной к кривой в точке М

называ-

ется предельное положение секущей М

М при условии, что М → М

Задача 4 (о касательной). Найти уравнение касательной, прове-

денной к графику функции

(

)

y f x

в точке

(

)

(

)

0, 0

x f x

Известно, что урав-

нение прямой

(

)

0 0

y y k x x

− = −

= α

Из геометрического

анализа чертежа следует,

что tg

∆

β=

∆

. Тогда при

M M

→

∆ →

∠β→∠α

tg tg

β→ α

⇒

(

)

(

)

0 0 0

tg lim tg lim lim

x x x

y x x y x

x x

∆ → ∆ → ∆ →

+∆ −

∆

= α = β= =

∆ ∆

. (3.1.7)

(

)

(

)

0 0

y x x y x y

+∆ − = ∆

+ ∆x

∆x

186

Вывод:

1. Все пределы (3.1.4 – 3.1.7) имеют одинаковую математическую

структуру и являются математическими моделями, которые характеризуют

скорость изменения определенного процесса (зависимой величины) для

каждого значения независимой величины: скорость изменения массы, ско-

рость изменения заряда, скорость изменения пути от времени, скорость

изменения ординаты кривой.

2. С математической точки зрения все эти пределы одинаковы и от-

личаются только обозначениями.

В математике зависимую и независимую величину принято обозна-

чать y и x.

Возникает вопрос: как обозначить скорость изменения зависимой в

определенном процессе величины, то есть, функции, в зависимости от ар-

гумента.

В математике приняты следующие обозначения:

– ввел Лейбниц;

– ввел Ньютон;

′

– ввел Лагранж.

3.2. Определение производной функции в точке

Определение 3.2.1. Производной от функции

( )

y f x

в точке х

называется предел отношения приращения функции к приращению аргу-

мента, когда последнее стремится к нулю, если этот предел существует,

конечен и не зависит от способа стремления

∆

к нулю

lim

∆ →

∆

′

∆

Замечание 3.2.1. В общем случае

′

– скорость изменения функ-

ции в точке

Замечание 3.2.2. Из школьного курса известно, что геометриче-

ский смысл производной состоит в следующем: производная от функции

( )

y f x

в точке

равна тангенсу угла наклона к оси Ох касательной,

проведённой к графику функции в точке

(

)

(

)

0 0

x f x

(

угол

отклоняется

от

оси

Ох

касательной

lim

k y

∆ →

∆

′

= =

∆

187

Замечание 3.2.3. Механический смысл производной

функции

точке

состоит

следующем

производная

от

функции

где

( )

S t

путь

пройденный

материальной

точкой

за

время

есть

мгновенная

скорость

материальной

точки

определенный

момент

времени

мгн

( ) ( ) lim

v t S t

∆ →

∆

′

= =

∆

Определение 3.2.2. Функция

называется

дифференцируемой в

точке

{ }

( ( ) )

f x

′

∈

если

для

неё

точке

существует

конечная

производная

Определение 3.2.3. Если

производная

для

функции

( )

y f x

опре

делена

существует

для

всех

из

интервала

(

)

a b

то

говорят

что

функ

ция

( )

y f x

дифференцируема на интервале

(

)

a b

( )

( ( ) )

a b

f x С

′

∈

Определение 3.2.4. Операция нахождения производной называет-

ся дифференцированием.

3.3. Свойства дифференцируемых функций

Теорема 3.3.1. Если

( )

f x

дифференцируема в точке

, то ее при-

ращение

∆

, соответствующее

∆

, может быть представлено в виде

( )

y A x x x

∆ = ⋅∆ +α ∆ ⋅∆

, (3.3.1)

где

( ) const

f x

′

−

(

)

α ∆ →

0 при

∆ →

Доказательство. По условию

(

)

{ }

f x C

′

∈

, следовательно, сущест-

вует конечная производная

( ) const

f x

′

, то есть

( )

lim

f x A

∆ →

∆

′

= =

∆

, но

тогда по теореме о существовании предела функции

( )

A x

∆

= +α ∆

∆

. Сле-

довательно,

(

)

(

)

y f x A x x x

∆ = ∆ = ⋅∆ +α ∆ ⋅∆

, где

(

)

α ∆ →

при

∆ →

Теорема 3.3.2. (необходимое условие дифференцируемости). Если

(

)

y f x

дифференцируема в точке

(

)

{ }

f x C

′

∈

), то функция непре-

рывна в этой точке (

{ }

( )

f x C

∈

188

Доказательство. По условию функция

(

)

{ }

f x C

′

∈

, следователь-

но, по теореме 3.3.1

(

)

(

)

f x A x x x

∆ = ⋅∆ +α ∆ ⋅∆

, где,

( )

A f x

′

(

)

α ∆ →

при

∆ →

. Вычислим

(

)

(

)

(

)

0 0

lim lim 0

x x

f x A x x x

∆ → ∆ →

∆ = ⋅∆ + α ∆ ⋅∆ =

. Тогда,

по определению непрерывности,

(

)

f x

непрерывна в точке

, что и тре-

бовалось доказать.

Замечание. Обратное утверждение, во-

обще говоря, неверно. Возьмем

| |

y x

. В точ-

ке

функция непрерывна, но касательная

в ней не определена, следовательно, и произ-

водная также не определена.

3.4. Дифференциал функции

Определение 3.4.1. Пусть задана функция

(

)

y f x

, дифференци-

руемая в некоторой точке

. Дифференциалом функции

(

)

y f x

точке

, соответствующим приращению

∆

, называется главная часть

приращения функции, линейная относительно

∆

. Обозначают dy.

Выведем формулу для вычисления dy:

(

)

{ }

y x C

′

∈

⇒ по теореме 3.3.1

(

)

(

)

y y x x x x

′

∆ = ⋅∆ +α ∆ ⋅∆

. (*)

При

∆ →

оба слагаемых в выражении (*) – бесконечно малые, но

второе имеет более высокий порядок малости. Выражение

(

)

y x x

′

⋅∆

будет

главной частью приращения

∆

. Она линейна относительно

∆

⇒

dy y x

′

= ∆

.Отсюда будем иметь, что дифференциал независимой перемен-

ной

dx x x x

′

= ∆ = ∆

. Тогда,

dy y dx

′

– формула для вычисления дифферен-

циала произвольной функции.

Из (*) следует:

1. При

∆

≪

y dy

∆ ≈

2. Когда

∆

– бесконечно малая величина, то

y dy

∆

∼

или

y y x

′

∆ ∆

∼

⇒

при

∆ →

′

– коэффициент пропорциональности между бесконечно ма-

лым приращением аргумента и бесконечно малым приращением функции.

y x

189

Выясним геометрический

смысл дифференциала.

∆y –приращение функции в

точке x

∆y = MB = MA + AB

(

)

0 0

AB M B tg y x x dy

′

= ⋅ α = ⋅∆ =

где dy – приращение касательной.

На рисунке проиллюстри-

рован геометрический смысл

дифференциала.

Дифференциал функции в точке x

равен приращению ординаты

касательной, проведенной к графику функции в точке x

Когда dx – бесконечно малая, то

dy y dx

′

– бесконечно малое при-

ращение ординаты графика функции.

Замечание 3.4.1. Если m(x) – масса куска линейно протяженного

неоднородного стержня в точке x, то

dm m dx

′

– бесконечно малое при-

ращение массы, когда длина куска стержня изменяется на бесконечно ма-

лую величину dx.

Замечание 3.4.2. Если q(t) – заряд конденсатора в произвольный

момент времени t, то

dq q dt

′

– бесконечно малое приращение (измене-

ние) заряда, когда время изменяется на бесконечно малую величину dt.

Замечание 3.4.3. Если S(t) – путь в произвольный момент времени

t, то

dS S dt

′

– бесконечно малое приращение пути, когда время изменя-

ется на бесконечно малую величину dt, т.е. dS – путь, который проходит

тело, двигаясь с мгновенной скоростью

(

)

S t

′

за бесконечно малый проме-

жуток dt.

Замечание 3.4.4. Применение дифференциала на практике осно-

вано на следующем соображении: когда не могут определить значение за-

висимого параметра для некоторого объекта, то этот объект разбивают на

части так, чтобы внутри разбиения зависимый параметр изменялся равно-

мерно, тогда приращение параметра заменяют его дифференциалом:

y dy y dx

′

∆ ≈ =

Затем суммируют полученные величины по всему объекту.

Например, чтобы вычислить путь при переменном движении, внача-

ле разбивают весь путь на бесконечно малые участки и вычисляют

dS S dt

′

, затем определенным образом суммируют полученные величины

по всему объекту.

+∆x

∆x

∆y

y(x

)

y(x

+∆x)

190

3.5. Правила дифференцирования. Таблица производных

3.5.1. Правила дифференцирования

Теорема 3.5.1. Пусть

(

)

u x

(

)

v x

дифференцируемы в

, тогда

в точке

имеют место равенства:

( )

u v u v

′

′ ′

± = ±

;

( )

u v u v v u

′

′ ′

⋅ = + ;

u u v v u

′

′ ′

−

 

 

 

в точках, где

(

)

≠

;

( )

cu cu

′

= .

Докажем свойство 2.

Пусть

y uv

. Найдем

(

)

(

)

y u u v v uv uv v u u v u v uv

∆ = +∆ + ∆ − = + ∆ + ∆ + ∆ ∆ −

⇒

y u v v u u v

∆ = ∆ + ∆ +∆ ⋅∆

Разделим полученное равенство на

∆

и перейдем к пределу при

∆ →

. Будем иметь

0 0 0 0 0

lim lim lim lim lim

x x x x x

y v u u

y u v v uv vu u v

x x x x

∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ →

∆ ∆ ∆ ∆

′ ′ ′ ′

= = ⋅ + ⋅ + ∆ = + + ∆ =

∆ ∆ ∆ ∆

дифференцируема по теореме 3.2.2

непрерывна lim 0

v v

→

− ⇒

− ⇒ ∆ =

v u u v

′ ′

Замечание 3.5.1. Аналогичная теорема справедлива и для диффе-

ренциалов:

(

)

d u v du dv

± = ±

;

(

)

d cu cdu

;

(

)

d uv udv vdu

= +

;

u vdu udv

−

 

 

 