Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
151
Вариант 17
1)
3
3
3 2cos ,
3 2sin ;
x t
y t
=
=
2)
4cos ,
8(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
9tg ,
5
.
cos
x t
y
t
=
=
Вариант 18
1)
3
3
4cos ,
4sin ;
x t
y t
=
=
2)
9(1 sin ),
3cos ;
x t
y t
= +
=
3)
4
cos ,
5tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 19
1)
3
3
8cos ,
8sin ;
x t
y t
=
=
2)
3sin ,
9(1 cos );
x t
y t
=
= +
3)
4
cos ,
tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 20
1)
3
3
5cos ,
5sin ;
x t
y t
=
=
2)
7(1 sin ),
5cos ;
x t
y t
= +
=
3)
8
sin ,
4ctg .
x
t
y t
=
=
Вариант 21
1)
3
3
9cos ,
9sin ;
x t
y t
=
=
2)
3cos ,
2(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
3
cos ,
7tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 22
1)
3
3
2 5cos ,
2 5sin ;
x t
y t
=
=
2)
1 sin ,
4cos ;
x t
y t
= +
=
3)
8
sin ,
ctg .
x
t
y t
=
=
Вариант 23
1)
3
3
7cos ,
7sin ;
x t
y t
=
=
2)
4cos ,
3(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
tg ,
5
.
cos
x t
y
t
=
=
Вариант 24
1)
3
3
2 7 cos ,
2 7sin ;
x t
y t
=
=
2)
1 sin ,
7cos ;
x t
y t
= +
=
3)
1
cos ,
7tg .
x
t
y t
=
=
152
Вариант 25
1)
3
3
3 5cos ,
3 5sin ;
x t
y t
=
=
2)
2sin ,
8(1 cos );
x t
y t
=
= +
3)
5
cos ,
tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 26
1)
3
3
2 6cos ,
2 6sin ;
x t
y t
=
=
2)
8(1 sin ),
cos ;
x t
y t
= +
=
3)
7
sin ,
2ctg .
x
t
y t
=
=
Вариант 27
1)
3
3
4cos ,
4sin ;
x t
y t
=
=
2)
7cos ,
8(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
7
cos ,
7tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 28
1)
3
3
11cos ,
11sin ;
x t
y t
=
=
2)
9(1 sin ),
4cos ;
x t
y t
= +
=
3)
8
sin ,
ctg .
x
t
y t
=
=
Вариант 29
1)
3
3
7cos ,
7sin ;
x t
y t
=
=
2)
11cos ,
5(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
13tg ,
5
.
cos
x t
y
t
=
=
Вариант 30
1)
3
3
15cos ,
15sin ;
x t
y t
=
=
2)
11(1 sin ),
3cos ;
x t
y t
= +
=
3)
9
cos ,
7tg .
x
t
y t
=
=
III. Предел последовательности и его вычисление
1. Краткое обсуждение теоретического материала с использова-
нием графической схемы и информационных таблиц. Оперативный оп-
рос каждого студента по теме «Определение предела числовой последо-
вательности».
2. Доказать по определению, что
2 1
lim 2
n
n
n
→∞
+
=
(студент).
3. Cформулировать правило раскрытия неопределенности
∞
∞
.
153
4. Работа по основной методической схеме I. На доске записать все
планируемые номера:
1)
2
2
3 7 1
lim
2 5 6
n
n n
n n
→∞
− +
− −
;
Ответ
:
1
2
−
2)
2
3
2 1 1 2
lim
5 7
2 5
n
n n
n
n
→∞
− +
−
+
+
; Ответ: 0
3)
(
)
3
2 2
sin
lim
1
n
n n
n
→∞
−
;
Ответ
: 0
4)
( )
1 1 1
lim
1 2 2 3 1
n
n n
→∞
+ + +
⋅ ⋅ ⋅ +
⋯
;
Ответ
: 1
5)
( 2)! ( 1)!
lim
! 2( 1)!
n
n n
n n
→∞
+ − +
+ +
; Ответ:
∞
6)
(
)
(
)
3 3
2 3 3
lim 2 1 5 4
n
n n n
→∞
+ + − +
; Ответ:
2
3
IV. Предел функции. Предел суммы, произведения и частного
функций. Правила раскрытия неопределенностей, содержащих
отношение многочленов, иррациональности
1. Определение предела функции по Гейне и Коши. Беглый опрос
аудитории по правилам раскрытия неопределенностей
0
0
, содержащих
отношение двух многочленов, иррациональности. Обратить внимание на
теоремы о предельном переходе в равенствах.
2. Со всей аудиторией (преподаватель у доски) решить:
1)
1
2 3 5
lim
4 2 5
x x
x x
x
+
→∞
⋅ +
− ⋅
. Ответ:
5
2
−
;
2)
2
2
4
lim
2
x
x
x
→
−
−
. Ответ:
4
;
3)
(
)
2
2
lim 5 4
x
x
→
−
.
Ответ
:
16
;
154
4)
2
3
3 5 1
lim
2 3
x
x x
x
→
− +
+
. Ответ:
13
9
;
5)
2
1
5
lim
1
x
x
x
→
+
−
. Ответ:
∞
;
6)
4 3 2
3
1
5 4 3 2 2
lim
1
x
x x x x
x
→
− + − −
−
. Ответ:
4
.
Сделать выводы:
1. Предел – удобный инструмент для изучения поведения процесса
в окрестности некоторой точки.
2. Вычисление предела необходимо начинать с подстановки вместо
независимой переменной значения в интересующей нас точке, чтобы оце-
нить процесс в первом приближении.
3. В случае неопределенности – раскрыть ее по соответствующим
правилам. В противном случае воспользоваться теоремами о предельном
переходе в равенствах. При этом удобно пользоваться информационной
таблицей.
4. При раскрытии неопределенности
∞
∞
основная информация за-
ключена в выражениях, содержащих старшую степень. Обобщая этот ре-
зультат, отметим:
− если старшая степень в числителе больше старшей степени зна-
менателя, то предел отношения многочленов будет равен
∞
;
− если старшая степень в числителе меньше старшей степени зна-
менателя, то предел отношения многочленов будет равен 0;
− если старшая степень в числителе равна старшей степени знаме-
нателя, то предел отношения многочленов будет равен отношению коэф-
фициентов при старших степенях числителя и знаменателя.
3. Основная методическая схема I. Выписать номера на доске и решить:
1)
(
)
( )
5
3
8 6 3
2 3
lim
3 7 9
x
x x
x x x
→∞
− −
− + −
. Ответ:
1
3
;
155
2)
3 2
5 2
5 3 1
lim
8 3 1
x
x x
x x
→∞
− +
+ +
. Ответ:
0
;
3)
2
2
0
4 2
lim
9 3
x
x
x
→
+ −
+ −
. Ответ:
3
2
;
4)
9 7
7 2
5 3 1
lim
8 3 5
x
x x
x x
→∞
− +
+ +
. Ответ:
∞
;
5)
3 3
0
2 2
lim
2 2
x
x x
x x
→
+ − −
+ − −
. Ответ:
6
2
3
2
;
6)
(
)
2
lim 4 7 4 2
x
x x x
→∞
− + − . Ответ:
7
4
−
;
7)
(
)
3
3 3
2
lim 2 2
x
x x x
→∞
+ − +
. Ответ:
2
.
Домашнее задание
Изучить теоретический материал для следующего практического за-
нятия «Первый замечательный предел». Вычислить:
1)
0
lim , 0
h
x h x
x
h
→
+ −
>
. Ответ:
1
2
x
;
2)
5 4
3
1
5 4 1
lim
1
x
x x
x
→
− −
−
. Ответ:
3
;
3)
3
2
1
1
lim
4 3
x
x
x x
→
−
− −
. Ответ:
3
7
−
;
4)
1
1
lim ; ,
1
n
m
x
x
m n
x
→
−
∈
−
ℕ
. Ответ:
m
n
;
5)
(
)
lim
x
x a x
→+∞
− − . Ответ:
0
;
6) lim
x
x x x x
→+∞
+ + −
. Ответ:
1
2
;
7)
2
1
1 1
lim
1
x
x x
x
→
+ − −
−
Ответ:
2
2
.
156
V. Первый замечательный предел, следствия из него
1. Записать на доске
0
sin
lim 1
x
x
x
→
=
.
Обратить внимание, что первый замечательный предел раскрывает
неопределенность вида
0
0
, что очень важно, чтобы
0
x
→
.
Рассмотреть
3
0
sin
lim
x
x
x
x
x
→
→
→∞
.
2. Вместе со всей аудиторией вычислить (преподаватель у доски):
1)
0
sin7
lim
sin9
x
x
x
→
2)
0
arcsin
3
lim
3
2
x
x
ctg x
→
+ π
3)
( )
1
3
lim 1 tg
2
x
x
x
→−
π
+
Сделать вывод: в случае необходимости, удобно вводить замену
так, чтобы новая переменная стремилась к нулю, и осуществлялся переход
на первый замечательный предел.
Основная методическая схема I. Выписать номера на доске и решить:
1)
2
2
0
sin 3
lim
sin 5
x
x
x
→
. Ответ:
9
25
;
2)
0
1
lim ctg
sin
x
x
x
→
−
. Ответ: 0;
3)
2
0
cos5 cos3
lim
x
x x
x
→
−
. Ответ: -8;
4)
2
sin2
lim
tg4
x
x
x
π
→
. Ответ:
1
2
−
;
5)
( )
2
2 2
0
1 cos
lim
tg sin
α→
− α
α− α
. Ответ:
1
2
;
6)
0
arctg7
lim
5
x
x
x
→
. Ответ:
7
5
;
7)
sin7
lim
tg3
x
x
x
→π
. Ответ:
7
3
;
157
8)
2
0
1 cos2
lim
x
x
x
→
−
. Ответ: 4.
Домашнее задание
Изучить теоретический материал для следующего практического за-
нятия «Второй замечательный предел». Вычислить:
1)
0
lim ctg
x
x x
→
π
. Ответ:
1
π
;
2)
0
3arcsin
lim
4
x
x
x
→
. Ответ:
3
4
;
3) lim tg sin
2 2
x
x x
→α
π −α
α
. Ответ:
α
−
π
;
4)
2
cos
lim
2
x
x
x
π
→
−π
. Ответ:
1
2
−
;
5)
3
0
sin2 tg2
lim
α→
α− α
α
. Ответ: 4;
6)
1
sin6
lim
sin
x
x
x
→
π
π
. Ответ: -6;
7)
4
2 2cos
lim
4
x
x
x
π
→
−
π−
. Ответ:
2
4
− ;
8)
1 cos5
lim
1 cos4
x
x
x
→π
+
−
. Ответ:
25
16
.
VI. Второй замечательный предел, следствия из него
1. Выписать на доске
( )
1
0
lim 1
x
x
x e
→
+ =
;
1
lim 1
y
y
e
y
→∞
+ =
.
Вопрос к аудитории: «Для раскрытия какой неопределенности ис-
пользуется второй замечательный предел?» В это же время студент у доски
выполняет номера из домашнего задания:
1)
4
2 2cos
lim
4
x
x
x
π
→
−
π−
; 2)
1 cos5
lim
1 cos4
x
x
x
→π
+
−
.
2. Вместе со всей аудиторией (преподаватель у доски) с использова-
нием информационных таблиц решить:
158
1)
( )
1
1
lim 3 2
x
x
x
x
−
→
− ;
2)
2 1
3 4
lim
6
x
x
x
x
−
→∞
+
+
;
3)
(
)
(
)
(
)
lim 2 ln 3 1 ln 3 5
x
x x x
→∞
+ − − +
.
3. Основная методическая схема I. Выписать номера на доске:
1)
2 1
3 4
lim
3 2
x
x
x
x
−
→∞
+
+
. Ответ:
4
3
e
.
2)
7 1
4
lim
3 2
x
x
x
x
−
→∞
+
+
; Ответ:
0,
,
if x
if x
→+∞
+∞ → −∞
.
3)
( )
2
1
0
lim cos
x
x
x
→
. Ответ:
1
2
e
−
.
4)
0
1 1
lim ln
1
x
x
x x
→
+
−
. Ответ: 1.
5)
1
lim 1
x
x
x a
→∞
−
. Ответ:
ln
a
.
6)
1
lim
1
x
x
a a
x
→
−
−
. Ответ:
ln
a a
.
7)
log 1
lim
a
x a
x
x a
→
−
−
. Ответ:
1
log
a
e
a
.
8)
0
lim
ax bx
x
e e
x
→
−
. Ответ:
a b
−
.
Домашнее задание
Изучить теоретический материал для следующего практического за-
нятия «Сравнение бесконечно малых функций и бесконечно больших
функций. Таблица эквивалентных». Вычислить:
1)
2 1
3
lim
2
x
x
x
x
+
→∞
+
−
. Ответ:
10
e
;
2)
( )
3
2
0
lim 1 tg
x
x
x
→
+ . Ответ:
3
e
;
159
3)
(
)
(
)
lim ln 2 ln
x
x x x
→∞
+ − . Ответ: 2;
4)
( )
2
1
sin
0
lim cos
x
x
x
→
. Ответ:
1
2
e
−
;
5)
2
0
lncos
lim
x
x
x
→
. Ответ:
1
2
−
;
6)
2
2
2
5
lim
5
x
x
x
x
→∞
+
−
. Ответ:
10
e
;
7)
7 2
1 5
lim
2 3
x
x
x
x
+
→∞
−
−
.
Ответ
:
0,
,
if x
if x
→−∞
+∞ → +∞
;
8)
( )
2
2
16
4
lim 7 27
x
x
x
x
−
→
−
Ответ
:
7
e
.
VII. Сравнение функций (0-символика). Порядок бесконечно
больших и бесконечно малых функций. Эквивалентность функций,
их использование при вычислении пределов
1.
Беглый
опрос
аудитории
по
основным
определениям
.
Написание
по
памяти
таблицы
эквивалентных
БМФ
и
ББФ
.
Два
студента
у
доски
ре
-
шают
номера
из
домашнего
задания
:
1)
2
2
2
5
lim
5
x
x
x
x
→∞
+
−
;
2)
( )
3
2
0
lim 1 tg
x
x
x
→
+ ;
3)
(
)
(
)
lim ln 2 ln
x
x x x
→∞
+ − ;
4)
( )
1
sin
0
lim cos
x
x
x
→
.
2. Основная методическая схема I. Выписать на доске номера:
1) Определить порядок малости
( )
3
2 3
x x x
α = −
относительно
(
)
x x
β =
при x→0.
Ответ:
2
3
.
2) Определить порядок малости
(
)
3 4
3sin
x x x
α = −
относительно
(
)
x x
β =
при x→0.
Ответ: 3.
160
3) Приближенно вычислить
1
1,03
;
Ответ: 0,97.
4) Определить порядок роста бесконечно большой А(х) относи-
тельно В(х) = х при x → ∞:
( )
2
3 5
A x x x x
= + + +
;
Ответ
: 1.
У
доски
два
человека
решают
:
1)
1
1
lim
lg
x
x
x
→
−
;
Ответ
:
ln10
−
.
2)
0
cos cos2
lim
1 cos
x
x x
x
→
−
−
; Ответ: 3.
3)
( )
2
1
2
4 1
lim
arcsin 1 2
x
x
x
→
−
−
;
Ответ
:
2
−
.
4)
2
0
arctg
lim
arcsin3 sin
2
x
x
x
x
→
⋅
;
Ответ
:
2
3
5)
( )
3
4 6
2
2
1 2 1
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+ + +
+ +
.
Ответ
: 0,75.
6)
( )
2
2
0
1 cos
lim
1 cos
x
x
x x
→
−
−
.
Ответ
: 1
Найти
эквивалентные
функции
:
а
)
3
0
cos9
x
x
a x
→
−
∼
… Ответ:
3 ln
x a
⋅
.
б)
7
2
0
1 3 5 1
x
x x
→
− − −
∼
… Ответ:
3
7
x
−
.
Домашнее задание
Изучить теоретический материал для следующего практического за-
нятия «Непрерывность». Обратить внимание на три определения непре-
рывности.
1) Определить порядок малости
( )
1 cos
x
x
x
−
α = относительно
(
)
x x
β =
при x→0;
Ответ: 1.