Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
141
Уровень I
1. Найдите полярные координаты точек A(0;
1
2
), B(1; 1), C(
3
; 1),
D(–3; 3), E(1;
3
), F(
2sin ; 2cos
9 9
π π
− ), заданных координатами в соответ-
ствующей прямоугольной системе координат.
Ответ: A(
1
;
2 2
π
), B(
2;
4
π
), C(2;
6
π
), D(
3
3 2;
4
π
), E(2;
5
3
π
), F(2;
11
18
π
).
2. Зная полярные координаты точек A(2;
3
π
), B(
3
2;
4
π
), C(5;
2
π
),
D(3;
6
π
), E(2;
4
π
), постройте их в полярной системе координат и найдите
координаты этих точек в соответствующей прямоугольной системе коор-
динат.
Ответ: A(1;
3
), B(–1; 1), C(0; 5), D(
3 3 3
;
2 2
), E(
2; 2
).
3. Как расположены точки, полярные координаты которых удовле-
творяют одному из следующих уравнений:
1) ρ = 1;
2) ρ = 5;
3) ρ = а;
4) ϕ =
6
π
;
5) ϕ =
3
π
;
6) ϕ =
2
π
;
7) ϕ = const.
Ответ: 1), 2), 3) – на окружностях с центрами в полюсе и радиу-
сами, соответственно, 1, 5, а. 4), 5), 6), 7) – на лучах, выходящих из по-
люса и образующих с полярной осью углы в
0 0 0
30 ,60 ,90 ,
ϕ
.
4. Найти полярные координаты точек, симметричных точкам
A(1;
4
π
), B(3;
2
3
π
), C(
2
;
3 6
π
), M(ρ; ϕ):
1) относительно полюса;
2) относительно полярной оси.
Ответ: A′(1;
5
4
π
), B′(3;
5
3
π
), С′(
2 5
;
3 6
π
), M′(ρ; ϕ + π).
5. Записать уравнение заданных кривых в декартовых прямоуголь-
ных координатах и построить эти кривые:
1)
ρ = 5;
142
2) tg ϕ = –1;
3) r cos ϕ = 2.
Ответ: 1)
2 2
25
x y
+ =
; 2)
y x
= −
; 3)
2
x
=
.
6. Построить кривую:
2sin3
ρ= ϕ
.
Домашнее задание
Изучение теоретической части методического пособия. К домашне-
му заданию остаются те задания I уровня, которые не были решены в ау-
дитории.
II. Функции, заданные параметрически, их графики
1. Вместе со всей аудиторией изучить обучающие задачи, позво-
ляющие уяснить понятие функции, заданной параметрически.
Обучающая задача 1. Построить линию, заданную параметрически,
записать ее уравнение в декартовой системе координат:
3
3
cos ,
sin .
x a t
y a t
=
=
Решение.
1. Составим таблицу значений заданной линии
t
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
π
π−
4
π
π−
6
π
π−
π
x
a
3 3
8
a
2
4
a
8
a
0
8
a
2
4
a−
3 3
8
a−
a
−
y
0
8
a
2
4
a
3 3
8
a
a
3 3
8
a
2
4
a
8
a
0
t
6
π
π+
4
π
π+
3
π
π+
3
2
π
2
3
π
π−
2
4
π
π−
2
6
π
π−
2
π
x
3 3
8
a−
3 2
4
a−
8
a
−
0
8
a
3 2
4
a
3 3
8
a
a
y
8
a
−
3 2
4
a−
3 3
8
a−
– a
3 3
8
a−
3 2
4
a−
8
a
−
0
143
2. В декартовой прямоуголь-
ной системе координат построим
полученные точки и соединим их
плавной линией, которую принято
называть астроидой.
3. Составим уравнение аст-
роиды в декартовой системе коор-
динат. Выразим из параметриче-
ских уравнений
3
3
cos ,
sin .
x
t
a
y
t
a
=
=
Тогда
2 2
3 3
1
x y
a a
+ =
или
2 2 2
3 3 3
x y a
+ =
.
Обучающая задача 2. Выяснить, какую линию задают параметри-
ческие уравнения:
2
2
2sin
5cos ,
x t
y t
=
=
–∞ < t < +∞.
Решение. Из параметрических уравнений легко получить уравне-
ние линии в декартовой системе координат.
Так как
2
2
sin
2
cos ,
5
x
t
y
t
=
=
то
1
2 5
0
0.
x y
x
y
+ =
≥
≥
Значит получен отрезок прямой, пересе-
кающий ось Ox в точке А(2; 0), ось Oy – в
точке В(0; 5).
Обучающая задача 3. Исключив параметр t из данных параметри-
ческих уравнений кривой на плоскости, записать их уравнения в декарто-
вых координатах, определить тип кривой.
2
2 cos ,
sin2 .
x a t
y a t
=
=
y
x
a
a
–
a
–
a
y
x
A
B
5
1
2
O
144
Решение. Так как
2
2cos 1 cos2
t t
= + , то параметрические уравнения
можно переписать в виде
cos2 ,
sin2 .
x a a t
y a t
= +
=
Тогда
cos2 ,
sin2 .
x a
t
a
y
t
a
−
=
=
Возведем оба уравнения в квадрат
2
2
2
2
2
2
( )
cos 2 ,
sin 2 .
x a
t
a
y
t
a
−
=
=
Сложим полученные уравнения и при-
дем к каноническому уравнению окружности
с центром в точке
(
)
;0
C a
и радиусом a:
2 2 2
( ) .
x a y a
− + =
2. Работа по пособию или УМК на уровне II с выполнением своего
варианта.
Уровень II
Вариант I
1. Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:
1)
y x
=
; 2)
2 2 2
x y a
+ =
.
Ответ: 1)
tg 1
ϕ=
; 2)
a
ρ =
.
2. Написать в полярных координатах уравнения:
а) прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекающей на ней
отрезок, равный 2;
б) луча, исходящего из полюса под углом
6
π
к полярной оси;
в) прямой, проходящей через полюс под углом
3
π
к полярной оси.
Ответ: а)
cos 2
ρ ϕ=
; б)
6
π
ϕ=
; в)
tg 3
ϕ=
.
3. В полярной системе координат даны координаты двух вершин
А(3;
4
9
π
− ) и В(5;
3
14
π
) параллелограмма АВСD, точка пересечения диаго-
y
x
a 2a
О
145
налей которого совпадает с полюсом. Вычислите полярные координаты
двух других вершин параллелограмма.
Ответ: С(3;
5
9
π
), D(5;
11
14
π
− ).
4. Построить кривую
3(1 sin )
ρ= − ϕ
и найти ее уравнение в прямо-
угольной системе координат.
5. Построить фигуру, ограниченную кривыми
2sin
ρ= ϕ
и
2
y x
=
,
содержащую точку А(0; 2).
Вариант II
1. Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:
1)
2
y
=
; 2)
2 2 2
x y a
− =
Ответ: 1)
sin 2
ρ ϕ=
; 2)
2
2
cos2
a
ρ =
ϕ
.
2. Написать в полярных координатах уравнения:
а) прямой, параллельной полярной оси и отстоящей от нее на рас-
стоянии 4 единиц масштаба;
б) луча, исходящего из полюса под углом
5
3
π
к полярной оси;
в) прямой, проходящей через полюс под углом
4
π
к полярной оси.
Ответ: а)
sin 4
ρ ϕ=±
; б)
5
3
π
ϕ= ; в)
tg 1
ϕ=
.
3. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка
9
4 5cos
ρ=
− ϕ
.
Ответ:
( )
2
2
5
1
16 9
x
y
+
− =
.
4. Даны полярные координаты точек А(8;
2
3
π
− ) и В(6;
3
π
). Вычис-
лите полярные координаты середины отрезка АВ.
Ответ: (1;
2
3
π
− ).
5. Построить лемнискату Бернулли
2
6sin2
ρ = ϕ
и найти ее уравне-
ние в прямоугольной системе координат.
6. Построить фигуру, ограниченную кривыми
4cos
ρ= ϕ
и
3
y x
=
,
содержащую точку А(0; 4).
146
Вариант III
1. Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:
1)
3
x
=
; 2)
2 2
x y ax
+ =
.
Ответ: 1)
cos 3
ρ ϕ=
; 2)
cos
a
ρ = ϕ
.
2. Написать в полярных координатах уравнения:
а) прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекающей на ней
отрезок, равный 5;
б) луча, исходящего из полюса под углом
7
π
к полярной оси;
в) прямой, проходящей через полюс под углом
3
4
π
к полярной оси.
Ответ: а)
cos 5
ρ ϕ=
; б)
7
π
ϕ=
; в)
tg 1
ϕ= −
.
3. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка
3
1 cos
ρ=
− ϕ
.
Ответ:
2
3
6( )
2
y x
= +
.
4. Даны полярные координаты точек А(8;
2
3
π
− ) и В(6;
3
π
). Вычис-
лите полярные координаты середины отрезка АВ.
Ответ: (1;
2
3
π
− ).
5. Построить кардиоиду
2 (1 cos ), ( 0)
a a
ρ= + ϕ >
и найти ее урав-
нение в прямоугольной системе координат.
6. Построить фигуру, ограниченную кривыми
3sin
ρ= ϕ
и
4
y x
=
,
содержащую точку А(0; 3).
Вариант IV
1. Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:
1)
2
y x
=
; 2)
2 2
2
x y x
+ =
.
Ответ: 1)
tg 2
ϕ=
; 2)
2cos
ρ= ϕ
.
2. Написать в полярных координатах уравнения:
а) прямой, параллельной полярной оси, лежащей в верхней полу-
плоскости и отстоящей от полярной оси на расстоянии 5 единиц масштаба;
б) луча, исходящего из полюса под углом
7
8
π
к полярной оси;
147
в) прямой, проходящей через полюс под углом
6
π
к полярной оси.
Ответ: а)
sin 5
ρ ϕ=
; б)
7
8
π
ϕ= ; в)
3
tg
3
ϕ= .
3. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка
4
1 cos
ρ=
− ϕ
.
Ответ:
2
8( 2)
y x
= +
.
4. Зная полярные координаты точек А(5;
4
π
) и В(8;
12
π
−
), вычис-
лите
AB
.
Ответ:
AB
=7.
5. Построить лемнискату Бернулли
2 2
2 cos2
a
ρ = ϕ
и найти ее урав-
нение в прямоугольной системе координат.
6. Построить фигуру, ограниченную кривыми
cos
ρ = ϕ
и
2
y x
=
,
содержащую точку А(1; 0).
Вариант V
1. Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:
1)
3
y x
= −
; 2)
2 2
4
x y y
+ =
.
Ответ: 1)
tg 3
ϕ= −
; 2)
4sin
ρ= ϕ
.
2. Написать в полярных координатах уравнения:
а) прямой, лежащей в нижней полуплоскости, параллельной поляр-
ной оси и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц масштаба;
б) луча, исходящего из полюса под углом
2
π
к полярной оси;
в) прямой, проходящей через полюс под углом
2
3
π
к полярной оси.
Ответ: а)
sin 3
ρ ϕ=−
; б)
2
π
ϕ=
; в)
tg 3
ϕ= −
.
3. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка
6
1 cos
ρ=
+ ϕ
.
Ответ:
2 2
( 2)
1
16 12
x y+
+ =
.
148
4. Определить полярные координаты вершин правильного шести-
угольника, сторона которого равна a, приняв за полюс одну из его вершин,
а за полярную ось – сторону, через нее проходящую.
Ответ: О(0; 0), А(a; 0), В(
3;
6
a
π
), С(
2 ;
3
a
π
), D(
3;
2
a
π
), Е(
2
;
3
a
π
).
5. Построить кардиоиду
2 (1 sin ), ( 0)
a a
ρ= − ϕ >
и найти ее урав-
нение в прямоугольной системе координат.
6. Построить фигуру, ограниченную кривыми
2cos
ρ= ϕ
и
3
x
y
=
,
содержащую точку А(2; 0).
Уровень III
1. Чтобы уравновесить тело, вес которого равен P, на наклонной
плоскости, образующей с горизонтальной
плоскостью угол α, нужно применить
силу
sin
Q P
= α
. Сила Q при одном и
том же грузе P зависит от угла наклона
α. Выразить эту зависимость графически,
пользуясь полярными координатами.
Ответ: график представляет со-
бой полуокружность, диаметр которой равен P.
2. Выведите формулу расстояния между двумя точками на плоско-
сти, заданными в полярной системе координат. Найдите расстояние между
точками А(2;
12
π
) и В(1;
5
12
π
).
Ответ: АВ =
2 2
1 2 1 2 2 1
2 cos( );
ρ +ρ − ρ ρ ϕ −ϕ
АВ =
3
.
3. Прямая x = a пересекает ось Ox в точке А и произвольный
луч ОВ в точке В. На луче от точки В по обе стороны отложены отрез-
ки ВМ
1
и ВМ
2
, равные АВ. Написать уравнение геометрического места
точек М
1
и М
2
в полярных и прямоугольных декартовых координатах.
(Кривая эта называется строфоидой).
Ответ:
(1 sin )
;
cos
a
± ϕ
ρ=
ϕ
2
2
( )
2
x x a
y
a x
−
=
−
.
Домашнее задание
Изучение теоретического материала по теме «Предел последователь-
ности и его вычисление». Завершить выполнение своего варианта на уровне
II, а также выполнить свой вариант индивидуального домашнего задания.
Задания третьего уровня сложности студенты выполняют по желанию.
P
α
Q
149
Индивидуальное домашнее задание
Построить следующие линии, заданные параметрически. Записать их
уравнения в декартовой системе координат.
Вариант 1
1)
3
3
3cos ,
3sin ;
x t
y t
=
=
2)
2sin ,
3(1 cos );
x t
y t
=
= +
3)
5
cos ,
3tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 2
1)
3
3
5cos ,
5sin ;
x t
y t
=
=
2)
3(1 sin ),
2cos ;
x t
y t
= +
=
3)
7
sin ,
4ctg .
x
t
y t
=
=
Вариант 3
1)
3
3
4cos ,
4sin ;
x t
y t
=
=
2)
3cos ,
2(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
4
cos ,
7tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 4
1)
3
3
6cos ,
6sin ;
x t
y t
=
=
2)
2(1 sin ),
4cos ;
x t
y t
= +
=
3)
8
sin ,
5ctg .
x
t
y t
=
=
Вариант 5
1)
3
3
7cos ,
7sin ;
x t
y t
=
=
2)
4cos ,
3(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
3tg ,
5
.
cos
x t
y
t
=
=
Вариант 6
1)
3
3
cos ,
sin ;
x t
y t
=
=
2)
2(1 sin ),
3cos ;
x t
y t
= +
=
3)
7
cos ,
4tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 7
1)
3
3
7cos ,
7sin ;
x t
y t
=
=
2)
3sin ,
2(1 cos );
x t
y t
=
= +
3)
3
cos ,
5tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 8
1)
3
3
5cos ,
5sin ;
x t
y t
=
=
2)
7(1 sin ),
2cos ;
x t
y t
= +
=
3)
7
sin ,
5ctg .
x
t
y t
=
=
150
Вариант 9
1)
3
3
3cos ,
3sin ;
x t
y t
=
=
2)
3cos ,
7(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
4
cos ,
3tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 10
1)
3
3
7cos ,
7sin ;
x t
y t
=
=
2)
2(1 sin ),
3cos ;
x t
y t
= +
=
3)
6
sin ,
5ctg .
x
t
y t
=
=
Вариант 11
1)
3
3
2cos ,
2sin ;
x t
y t
=
=
2)
5cos ,
3(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
3tg ,
7
.
cos
x t
y
t
=
=
Вариант 12
1)
3
3
9cos ,
9sin ;
x t
y t
=
=
2)
2(1 sin ),
5cos ;
x t
y t
= +
=
3)
6
sin ,
5ctg .
x
t
y t
=
=
Вариант 13
1)
3
3
6cos ,
6sin ;
x t
y t
=
=
2)
4sin ,
3(1 cos );
x t
y t
=
= +
3)
5
cos ,
6tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 14
1)
3
3
5cos ,
5sin ;
x t
y t
=
=
2)
7
sin ,
4ctg ;
x
t
y t
=
=
3)
5(1 sin ),
2cos .
x t
y t
= +
=
Вариант 15
1)
3
3
2 2cos ,
2 2sin ;
x t
y t
=
=
2)
5cos ,
7(1 sin );
x t
y t
=
= +
3)
4
cos ,
7 tg .
x
t
y t
=
=
Вариант 16
1)
3
3
3 2cos ,
3 2sin ;
x t
y t
=
=
2)
2(1 sin ),
4cos ;
x t
y t
= +
=
3)
5
sin ,
8ctg .
x
t
y t
=
=