Вакульчик В.С. Учебно-методический комплекс по высшей математике для студентов технических специальностей
Подождите немного. Документ загружается.
161
2) Приближенно вычислить:
25,3
;
Ответ: 5,03.
3) Вычислить:
2
0
1 cos4
lim
2sin tg7
x
x
x x x
→
−
+
;
Ответ:
8
9
.
4) Определить порядок роста бесконечно большой А(х) относи-
тельно В(х) = х при x → ∞:
( )
6
4 3
5
3 2
x
A x
x x
=
+ +
;
Ответ: 2.
5) Вычислить с помощью эквивалентных бесконечно малых:
а)
(
)
( )
1
2
tg 10 5
lim
sin 2 1
x
x
x
→
−
−
. Ответ: 3.
б)
(
)
7
7
arcsin 7
lim
5 1
x
x
x
−
→
−
−
. Ответ:
7
log
e
.
6) Найти эквивалентные функции:
а)
3
0
1 cos 2
x
x
→
−
∼
… . Ответ: 6x
2
б)
(
)
2
0
ln 3 2
x
x
e
→
−
∼
… . Ответ: -4x.
VIII. Непрерывность функции. Классификация разрывов
функций. (Итоговое занятие)
1. Оперативный опрос трех определений непрерывности, классифи-
кация точек разрыва. Работа со всей аудиторией.
2. Основная методическая схема I.
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер
.
Сделать схе-
матический чертеж.
1)
( )
2
4
3
x
x
f x
−
= .
Ответ:
1 2
2, 2
x x
= = − −
точки разрыва второго рода;
2)
( )
2
1 cos
x
f x
x
−
= .
Ответ:
0
x
= −
точка устранимого разрыва;
162
3)
( )
2 , 1 1,
1, 1 4,
1, 1.
x
x
f x x x
x
− ≤ <
= − < ≤
=
Ответ:
1
x
= −
точка разрыва первого рода.
3. Используя информационные таблицы, повторить все правила
раскрытия неопределенностей. Для всей аудитории выдать самостоятель-
ную работу:
1)
2
0
tg tg3
lim
arcsin
x
x x
x
→
−
. Ответ: 2;
2)
(
)
2 2
lim ctg3
x
x x
→π
−π ⋅ . Ответ:
2
3
π
;
3)
(
)
3
1
ln 2
lim
1
x
x
x
→
−
−
. Ответ:
1
3
−
;
4)
3 2
3 2
3
2 12
lim
18
x
x x x
x x
→
− + −
− −
. Ответ:
16
21
5)
( )
2
2
2
lim
7 2 5
x
x x
x x
→
−
+ − +
. Ответ: 12;
6)
( )
2
4
4
lim 5
x
x
x
x
+
+
→−
+ . Ответ:
2
e
−
;
7)
3 1
lim
7 2
x
x
x
x
→+∞
−
+
. Ответ:
0,
,
if x
if x
→+∞
+∞ → −∞
;
8)
3 2
2 4
lim
1
x
x
x
x
+
→−∞
+
−
. Ответ:
0,
,
if x
if x
→−∞
+∞ → +∞
.
4. Два студента работают у доски с заданиями повышенной слож-
ности (для получения оценки «9», «10»). В конце занятия провести анализ
представленных решений.
Вариант 1
1. Доказать
7 5
lim 7
2
n
n
n
→∞
−
=
+
.
2. Вычислить
( 1)! ( 2)!
lim
! 2( 1)!
n
n n
n n
→∞
+ − +
+ −
.
Ответ:
−∞
;
163
3. Вычислить
(
)
(
)
3 3
2 3 3
lim 3 1 7 6
n
n n n
→∞
+ + − +
. Ответ: 1;
4. Вычислить
1
1
3 2 2
lim
2 4 ... 2
n n
n
n
−
+
→∞
− ⋅
+ + +
. Ответ:
∞
;
5. Вычислить
3
2
1
1
lim
4 5
x
x
x x
→
−
+ −
. Ответ:
1
3
−
;
6. Вычислить
3
4
4 2
lim
3 13
x
x
x
→−
− +
− +
. Ответ:
3
2
−
.
Вариант 2
1. Вычислить
(
)
3
sin 3
lim
1 2cos
x
x
x
π
→
−π
−
. Ответ:
2 3
− ;
2. Вычислить
( )
ctg
2
2
lim cos
x
x
x
π
→
π . Ответ: 1;
3. Вычислить
(
)
(
)
2 2 2
lim ln 7 1 ln 7 2
x
x x x
→∞
− − +
. Ответ:
3
7
e
−
;
4. Исследовать на непрерывность
1
3
5
x
y
−
= ;
5. Исследовать на непрерывность
( )
(
]
( )
[
)
2 , ; 0
1
, 0; 2
cos , 2;
6
x x
f x x
x
x x
− ∈ −∞
= ∈
π
∈ +∞
.
IX Контрольная работа
Вариант 0
1. Вычислить
2
2
3
3 8 3
lim
6
x
x x
x x
→
− −
− −
.
Решение:
2
2
3
3 8 3
lim
6
x
x x
x x
→
− −
− −
=
2
3 9 8 3 3 0
0
3 3 6
⋅ − ⋅ −
= =
− −
164
( )
( )( )
2
1 1 2 2
2
2
1 1 2 2
2
3 8 3 0;
3 1
3; 1 ;
3 3
1
3 8 3 3 3 ;
3
6 0;
6
3; 6 2;
1
6 3 2
x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
− − =
−
= ⋅ = = − ⇒ = −
− − = − +
= =
− − =
−
= ⋅ = = − ⇒ = −
− − = − +
(
)
(
)
( )( )
3 3
3 3 1
3 1 10
lim lim 2
3 2 2 5
x x
x x
x
x x x
→ →
− +
+
= = = =
− + +
.
Ответ
: 2.
2.
Вычислить
2
2
2
2 3 2
lim
3 2 8
x
x x
x x
→−
+ −
+ +
.
Решение
:
2
2
2
2 3 2
lim
3 2 8
x
x x
x x
→−
+ −
+ +
=
2 4 3 2 2 0
0
3 4 2 2 8 16
⋅ − ⋅ −
= =
⋅ − ⋅ +
.
Ответ
: 0.
3.
Вычислить
5 4
3
1
5 4 1
lim
1
x
x x
x
→
− −
−
.
Решение
:
5 4
3
1
5 4 1 5 1 4 1 1 0
lim
1 1 0
1
x
x x
x
→
− − ⋅ − ⋅ −
= = =
−
−
5x
5
– 4x
4
– 1 (x – 1)
–(5x
5
– 5x
4
) (5x
4
+x
3
+x
2
+x+1)
x
4
– 1
–(x
4
– x
3
)
= x
3
– 1 =
–(x
2
– x)
x – 1
–(x – 1)
0
x
3
– 1=(x – 1)(x
2
+ x + 1)
165
( )
1
1
lim
x
x
→
−
=
(
)
( )
4 3 2
5 1
1
x x x x
x
+ + + +
−
( )
2
9
3
3
1x x
= =
+ +
.
Ответ
: 3.
4.
Вычислить
2
2
3 2 2
lim
4
x
x
x
→
− −
−
.
Решение
:
(
)
(
)
( )
( )
2
2
2 2
3 2 2 3 2 2
3 2 2 0
lim lim
0
4
3 2 2 4
x x
x x
x
x
x x
→ →
− − − +
− −
= = =
−
− + −
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
3 2 4 3 6
lim lim
3 2 2 4 3 2 2 4
3 2
lim
x x
x
x x
x x x x
x
→ →
→
− − −
= = =
− + − − + −
−
=
( )
( )
3 2 2 2x x− + −
( )
3 3
.
4 4 16
2x
= =
⋅
+
Ответ
:
3
16
.
5.
Вычислить
8 4
3 5 8
7 3 1
lim
5 8 9
x
x x x
x x x
→∞
+ − +
− −
.
Решение
:
2 4
2 4
8 8 8 8
3 5 8 3 5 8
8 8 8
7 3 1
7 3 1
lim lim
5 8 9 5 8 9
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x x
x x x
→∞ →∞
+ − +
+ − + ∞
= = =
∞
− −
− −
0 0 0 0
6 4 7 8
5 3
0 0
7 3 1 1
0
lim 0
5 8
9
9
x
x x x x
x x
→ → → →
→∞
→ →
+ − +
= = =
−
− −
.
Ответ
: 0.
6.
Вычислить
2
0
1 cos7
lim
3
x
x
x
→
−
.
Решение
:
2
2
2 2
0 0 0
1
7 7
2sin sin
1 cos7 0 2 49 2 49 49
2 2
lim lim lim
7
0 3 4 3 4 6
3 3
2
x x x
x x
x
x x
x
→ → →
→
−
= = = ⋅ ⋅ = ⋅ =
.
166
Ответ
:
49
6
.
7.
Вычислить
3
4 3
lim
4 5
x
x
x
x
−
→∞
−
+
.
Решение
:
( )
( )
3
3
4
4 3
lim lim 1,
4 3
5
4 5
lim 1
4
4 5
lim 3
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
∞
→∞ →∞
→∞
→∞
−
− ∞
= = =
−
+ ∞
= = =
+
+
− = ∞
3
3
4 3 8
lim 1 1 lim 1
4 5 4 5
x
x
x x
x
x x
−
−
→∞ →∞
− −
= + − = + =
+ +
3
8
4 5
4 5
8
8
lim 1
4 5
x
x
x
x
x
−
−
+
+
−
→∞
−
= + =
+
( )
3
1
8 lim
3
8 3
5
8
8 lim
4
2
4 5
4 5
4
lim
x
x
x
x
x
x
x x
x
e e e e e
→∞
→∞
−
−
−
− −
−
−
+
−
+
+
→∞
= = = = = .
Ответ:
2
e
−
.
8. Вычислить
2 1
5 3
lim
3 4
x
x
x
x
−
→∞
+
−
.
Решение:
( )
2 1
3
5
5 3 5
lim lim
5 3
4
3 4 3
lim
3
3 4
lim 2 1
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
→∞ →∞
→∞
→∞
+
+ ∞
= = =
+
− ∞
= =
−
−
− =∞
,
5
0,
3
если x
если x
∞
+∞ →+∞
= =
→−∞
.
Ответ:
,
0,
если
x
если
x
+∞ → +∞
→−∞
.
167
9. Вычислить
(
)
(
)
(
)
lim 2 ln 7 3 ln 7 4
x
x x x
→∞
− − − +
.
Решение
:
( ) ( ) ( )
2
7 3
lim 2 ln 7 3 ln 7 4 lim ln
7 4
x
x x
x
x x x
x
−
→∞ →∞
−
− − − + = =
+
( )
( )
2
2 2
7 2
7 4
7 4
2
7
7 lim
7
1
7 4
7
7 3 7 3 7
lim 1 lim 1 1 lim 1
7 4 7 4 7 4
7
lim 1 0
7 4
x
x
x x
x x x
x
x
x
x
x
x
x x
x x x
e e e
x
→∞
−
− −
∞
→∞ →∞ →∞
− −
+
+
−
−
−
−
−
+
→∞
−
−
−
= = + − = + =
+ + +
=
−
= + = = = >
+
=
2
1
7 3
ln lim ln 1
7 4
x
x
x
e
x
−
−
→∞
−
= = = −
+
.
Ответ
: –1.
10. Вычислить
( )
2
1
9
3
lim 4 11
x
x
x
x
+
−
→
− .
Решение
:
( )
( )
( )
(
)
(
)
2
2
4 12 1
1
9
9
3 3
lim 4 11 1 lim 1 4 12
x x
x
x
x
x x
x x
− ⋅ +
+
∞
−
−
→ →
− = = + − =
(
)
(
)
( )( )
3
3
4 3 1
1
4 8
lim
4 lim
4
3 3
3
6 3
x
x
x x
x
x x
x
e e e e
→
→
− +
+
⋅
⋅
− +
+
= = = =
.
Ответ
:
8
3
e
.
11. Вычислить
(
)
2
2
ln 1 cos
lim
2
x
x
x
π
→
+
π
−
.
Решение
:
( )
2
2
; 0
ln 1 cos
0
2
lim
0
2 2
2
x
x y y
x
x y x
x
π
→
π
− = →
+
= = =
π π
π
= + →
−
( )
( )
( )
( )
2 2
0 0 0
ln 1 cos
ln 1 sin
2
lim lim ln 1 sin sin
y y y
y
y
y y
y y
→ → →
π
+ +
−
= = = + − − =
∼
168
2
0 0 0 0
sin sin 1 sin 1
lim lim lim 1 lim
y y y y
y y y
y y y y
y
→ → → →
−
= = − ⋅ = = = − =−∞
.
Ответ
: –∞.
12.
Исследовать
на
непрерывность
( )
cos ,
2
0,
2
2,
x x
f x x
x
π
≤
π
= < < π
≥ π
.
Решение
:
1) внутри промежутков задания функция представлена непрерыв-
ными функциями.
Значит, возможными точками разрыва могут быть
2
x
π
=
;
x
= π
;
2) имеем
( )
( )
0
2 2
2
0
2 2
2
cos 0
2 2
lim lim cos 0
lim lim 0 0
x x
x
x x
x
f
f x x
f x
π π
→ − →
π
<
π π
→ + →
π
>
π π
= =
= =
⇒
= =
при
2
x
π
=
– функция непрерывна.
3)
(
)
( )
( )
0
0
2
lim lim 0 0
0 2
lim lim 2 2
x x
x
x x
x
f
f x
f x
→π− →π
<π
→π+ →π
>π
π =
= =
≠ ⇒
= =
при
x
= π
функция терпит разрыв I рода.
169
Вариант 0
(
для
студентов
творческого
уровня
обучения
)
1. Доказать
3 5
lim 3
2
n
n
n
→∞
−
=
+
.
2. Вычислить
( 2)! ( 1)!
lim
! 2( 1)!
n
n n
n n
→∞
+ − +
+ +
.
3. Вычислить
(
)
(
)
3 3
2 3 3
lim 2 1 5 4
n
n n n
→∞
+ + − +
.
4. Вычислить
1
1
3 2 4
lim
4 16 ... 4
n n
n
n
−
+
→∞
− ⋅
+ + +
.
5. Вычислить
3
2
1
1
lim
4 3
x
x
x x
→
−
− −
.
6. Вычислить
3
3
5 2
lim
3 12
x
x
x
→−
− +
− +
.
7. Вычислить
(
)
0
sin5
lim
arcsin
4
x
x
x
→
+π
.
8. Вычислить
(
)
3
sin 3
lim
1 2cos
x
x
x
π
→
−π
−
.
9. Вычислить
( )
1
lim cos2
ctg x
x
x
π
→
π .
10. Вычислить
(
)
(
)
2 2 2
lim ln 3 1 ln 3 2
x
x x x
→∞
− − +
.
11. Исследовать на непрерывность
1 1
x
y
x
+ −
= .
2
1
–1
-
π
π
y
x
2
π
2
π
−
170
12. Исследовать на непрерывность
1
2
2
x
y
−
= .
13. Исследовать на непрерывность
( )
(
]
( )
[
)
1 , ;0
1
, 0; 2
, 2;
4
x x
f x x
x
x
x
− ∈ −∞
= ∈
∈ +∞
.
Трехуровневые тестовые задания к разделу
«Введение в математический анализ»
Уровень I
I. Вычислить:
1)
(
)
(
)
( )
2 ! 1 !
lim
3 !
n
n n
n
→∞
+ + +
+
.
Ответ
: 0;
2)
1 1
5 3
lim
5 3
n n
n n
n
+ +
→∞
+
+
.
Ответ
: 5;
3)
4 2
4
3 6
lim
2 2
x
x x
x x
→∞
+ −
− +
.
Ответ
: 1,5;
4)
3 2
7 3
lim
5 2 1
x
x
x x
→∞
−
+ −
.
Ответ
: 0;
5)
2
2
2
3 2
lim
2 6
x
x x
x x
→
− +
− −
.
Ответ
:
1
7
;
6)
2
2
2 6
lim
6
x
x x
x x
→−
− − +
− −
.
Ответ
:
1
10
;
7)
0
lim
1 3 1
x
x
x
→
+ −
.
Ответ
:
2
3
;
8)
0
5
lim
arctg
x
x
x
→
.
Ответ
: 5;
9)
0
1 cos4
lim
1 cos8
x
x
x
→
−
−
.
Ответ
:
1
4
;
10)
( )
1
0
lim 1 2
x
x
x
→
+ .
Ответ
:
2
e
;