Угльницкий Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 7. Модели иерархического управления 281

Механизм принуждения здесь совпадает с механизмом убеждения

и имеет вид u

= u

comp

, 0 ≤ q

comp

≤ u

comp

, i∈M. Таким образом, когда руко-

водитель вступает в коалицию с подчиненными, он вынужден учитывать

их интересы, в результате чего точка максимума смещается.

Лемма 7.1.1. Функция v

comp

супераддитивна.

Доказательство. Достаточно рассмотреть три случая:

1) для любых коалиций K,L ⊆ M (K∩L=∅) имеем

vKvL gr gr grv

iK L

comp comp comp

( ) () () () ()+=+= =

ÎÎÎÈ

åå å

(();KLÈ

2) для любой K ⊆ M имеем

vKvvKguhu

ii ii

comp comp comp comp comp

({}) () () ()()00 2È- - = +

úú

+--= +

ÎÎÎ

ååå

iMK

ii i

gr gr gr gu h() () () ( ) (

comp

uugr

iii

comp

)(),-

поскольку 2g

) + h

) = 2g

), i∈K;

3) для любых коалиций K,L ⊆ M (K∩L=∅) имеем с учетом соoтноше-

ния (M\K)= M\(K∪L) ∪ L

vKLv vL guhu

ii ii

comp comp comp comp comp

({ } ) ({ } ) ( ) ( ) ( )00 2ÈÈ- È- = +

éé

+-+

ÎÈ

iKL

iM K L

ii ii

gr gu hu

()

\( )

() ()()2

comp comp

êê

--=

=+-

ÎÎÎ

ååå

iMK

ii ii

gr gr

gu hu

() ()

()()

comp comp

220gr

() .

Таким образом, функция v

comp

является характеристической и пoрож-

дает кооперативную игру Г

comp

= <N, v

comp

Теорема 7.1.1. Вектор Шепли игры Г

comp

принадлежит ее C-ядру.

Доказательство. Вычислим компоненты вектора Шепли:

102 0()()()() () (\{})

{}

v v vKvK

comp comp comp comp

=+ -

KKK

KK n

nvKvK

,| |

{} ,| |

...

() ( ) ( \{})

Î=

comp comp

+++ -

() () ()

() ( ) ( ) (

nvNvM

gr gu

12 2

comp comp

ccomp comp

)( ) () ()

()

ÎÎÎ

ååå

hu gr gr

ii ii

iMKiK

iK002},||Î=

282 Иерархическое управление устойчивым развитием

++ +

()

ÎÎ

åå

...() ()() () ()

g nguhugrgr

ii ii

iMK

comp comp

ÎÎÎ=

åå

++ +

()

KKK n

ii ii

nguhu

{} ,| |

() ()()

12g

comp comp

iiM

ii ii

gu hu

ÎÎ

åå

()

() ()()g 22

comp comp

éé

()

Î=

{} ,| |

() ()()

ii ii

gu hug

comp comp

êê

()

Î=

{} ,| |

...

() ()()

ii ii

nguhug

comp comp

êê

++ +

()

Î=

{} ,| |

() ()()

KK n

ii ii

nguhug

comp comp

êê

Î=+

=Î=

ååå

{} ,| |

() ,

KK n

iKKK s

sAg

где A

= (2g

comp

) + h

comp

)). Поскольку при n игроках нижнего уров-

ня во множестве коалиций мощности s каждый номер i∈M встречается

n-1

s-1

раз, то

05() () . .vsCAA

iMs

comp

Î=

ååå

Итак,

05 05() ().(). ().vguhuvN

ii ii

comp comp comp comp

()

В силу аксиомы о Парето-оптимальности вектора Шепли

vvNv(). ()(),

comp comp comp

==05

а в силу полной симметричности игроков

comp

) = g

comp

) + 0.5h

comp

), i∈M.

Для завершения доказательства теоремы достаточно проверить вы-

полнение неравенств трех типов:

vvvKLKLKLM() ()( ), ,, ;

comp comp

ÎÎ

åå

+³ÈÇ=ÆÎ

Глава 7. Модели иерархического управления 283

0() ()({}), ;vvvKKM

comp comp

+³ÈÎ

3) FFF

0() () ()({} ).vv vvKL

comp comp comp

++³ÈÈ

ÎÎ

åå

Имеем

ii ii

vvguhu() () ().()

comp comp comp comp

ÎÎÎ

åå

+=+

()

+05

åå

()

gu hu gu hu

jj jj

ii ii

().() ().()

comp comp comp comp

05 05

(()

()

ÎÈ

ÎÈ ÎÈ

åå

iK L

gu hu gr(). () ()

comp comp

(()

=È

ÎÈ

iK L

vK L();

05() () ().()vvguhu

ii ii

comp comp comp comp

+= +

()

ÎÎ

åå

(().() () ()uhu gu gu

iii

comp comp comp comp

()

ÎÎÎ

åå

05 2

MMK

hu v K

.()({});

+³È

05 0

comp

FFF

05() () () ().(vv vguhu

ii ii

comp comp comp comp c

++ = +

ÎÎ

åå

oomp

comp comp comp

)

().() ().

()

ii ii

gu hu g u05 05hhu

gu gu

iK L

iM K L

()

() ()

\( )

comp

comp comp

()

=+ +

ÎÈ Î È

åå

2 hhu

hu g u

iK L

iM K L

()

.()()

\( )

comp

comp comp

ÎÈ

ÎÈ ÎÈ

+³05 2

iM K L

iK L

hu v K L

åå

+=ÈÈ

ÎÈ

()

()({} ).

\( )

comp

Формализуем наряду с вектором Шепли другой принцип оптималь-

ности, выделяющий единственное распределение x*=(x

,...,x

) по пра-

вилу

xvNvi viiN

*()()/ (), .=

(7.1.13)

284 Иерархическое управление устойчивым развитием

Назовем правило (7.1.13) принципом пропорционального распреде-

ления. Обозначим

vi vi i N=Î

()/ (), .

Лемма 7.1.2. Если δ

≥ 0, то x* является дележом.

Доказательство. В силу супераддитивности характеристической функ-

ции

vi vN vN vi N N

iN iN

() () () () , .

ÎÎ

åå

£=+³имеем гдеDD0

Поэтому

xvNvi vi vi N

iN iN

* ( ) ()/ () ()=

ÎÎ

åå

÷÷

=+ ³ Î

vi vi

vi N vi i N

()/ ()

() (), .d D

Кроме того, xvN

*().

Следствие. Игры с δ

≥ 0 распадаются на два класса:

1) ∀i v(i) ≥ 0 & ∃i v(i) > 0,

то есть все игроки «безубыточны» и хотя бы один из них «строго при-

былен»;

2) ∀i v(i) ≤ 0 & ∃i v(i) < 0,

то есть все игроки «бесприбыльны» и хотя бы один из них «строго

убыточен».

В общем случае дележ, определяемый принципом пропорционального

распределения (7.1.13), не совпадает с вектором Шепли и не обязан при-

надлежать С-ядру (Агиева и др. 2003).

В рассматриваемой игре принцип пропорционального распределения

(7.1.13) приводит к дележу

xvxgrgrgu

iii ii

ii00

*();*()/ () ()==

comp comp

05.( ), .hu i M

comp

Рассмотрим в качестве примера модели (7.1.8)–(7.1.12) случай n = 2,

)=a

)

1/2

, h

)=b

-u

)

1/2

, a

>0, b

>0, i=1,2. В этом случае характери-

стическая функция принимает вид

comp

(0) = a

)

1/2

+ a

)

1/2

;

comp

(1) = a

)

1/2;

comp

(2) = a

)

1/2

;

comp

({0,1}) = [(4a

+ b

]

1/2

+ a

)

1/2

;

comp

({0,2}) = [(4a

+ b

]

1/2

+ a

)

1/2

;

comp

({1,2}) = a

)

1/2

+ a

)

1/2

;

comp

(N) = [(4a

+ b

]

1/2

+ [(4a

+ b

]

1/2

Глава 7. Модели иерархического управления 285

Вектор Шепли имеет вид

comp

) = 0.5{[(4a

+ b

]

1/2

+ [(4a

+ b

]

1/2

};

comp

) = 0.5[(4a

+ b

]

1/2

;

comp

) = 0.5[(4a

+ b

]

1/2

и принадлежит С-ядру.

Принцип пропорционального распределения приводит к дележу

* = Ф

comp

);

* = 0.5a

)

1/2

[[(4a

+ b

]

1/2

+ [(4a

]

1/2

]/(a

)

1/2

)

1/2

i=1,2.

Кооперативная игра на основе побуждения

Будем считать, что при «чистом» побуждении q

=0, i∈M; тогда игрок 0

располагает управлениями r

≥ 0, а игрок i — управлениями 0≤u

≤r

, i∈M.

Для нахождения v

imp

(0) заметим, что

max ( ) ( ),

0££

ÎÎ

åå

gr gr

поэтому оптимизационная задача игрока 0 имеет вид

gr r r i M

() max, , , ;

ÎÎ

åå

=³Î10

с помощью максимизации функции Лагранжа

Lr r g r r

nii i

iMiM

(,...,) ()

1ll=+-

ÎÎ

åå

(7.1.14)

найдем решение этой задачи, которое обозначим через r

*,...,r

*. Однако

игроку i при r

= r

* выгоднее всего выбирать свое управление из условия

fr u fr u

ii i

(*, *) max (*, *).=

££0

Поэтому для обеспечения выбора управления u

= r

* игрок 0 исполь-

зует механизм побуждения

imp

)= r

, u

= r

*; r

imp

) = r

, иначе, (7.1.15)

где r

= r

*, r

= 0, i∈M.

В этом случае «послушный» игрок i (при u

= r

*) получает g

*), а «не-

послушный» только g

(0)=0, поэтому механизм побуждения (7.1.15) яв-

ляется эффективным.

Отметим, что игрок 0 мог бы предложить игроку i более выгодный для

последнего механизм побуждения

)= r

+ δ, u

= r

*; r

) = 0, иначе. (7.1.16)

286 Иерархическое управление устойчивым развитием

Однако в силу условия Σ r

= 1 механизм (7.1.16) реализуем только при

наличии «непослушных» игроков, за счет которых можно увеличить ре-

сурс r

). Если же все игроки i∈M «послушные», то механизм (7.1.16)

оказывается манипулятивным, поскольку при ∀i∈M u

= r

* игрок 0 не

может выдать ресурс в количестве большем, чем Σ r

= 1.

Итак, при кооперативно-игровой формализации метода побуждения

получаем

vgrvigriM

vK gr

imp imp

imp

() (*); () (*), ;

() (*)

0 ==Î

åå

Í,,KM

где r

* определяется из условия максимума функции Лагранжа (7.1.14).

Для коалиций вида {0}∪K, K⊆M, получаем

vK gu

uRr

iMK

iii

imp

({ } ) max max min (

()

010

È=

££

ii ii

gu hu

)()()

max max

ÎÎ

££

åå

()

010

iii

uRr

iMK

ii ii

iMK

gu hu gu

ÎÎ

()

åå

min ( ) ( ) ( )

()

êê

Решение данной задачи оптимизации при ограничении

iMÎ

обо-

значим через u

imp

,..., u

imp

Заметим, что u

imp

= r

*, i∈M\K. При этом выбор игроком i∈M\K управ-

лений u

imp

обеспечивается механизмом побуждения вида

imp

) = u

imp

, u

= u

imp

; r

) = 0, иначе.

Таким образом,

v K gu hu gur

ii ii

iii

imp imp imp

({}) ()() ((*))

02È= +

ÎÎ

Í,,

Наконец, имеем

v N gu gu hu

ii ii

iii

imp

( ) maxmax () () ()=++

(

££

010

))

()

ii ii

gu hu2( ) ( ),

imp imp

где u

imp

определяются аналогично предыдущему случаю. Аналогично

случаю принуждения доказывается

Лемма 7.1.4. Функция v

imp

супераддитивна.

Таким образом, функция v

imp

является характеристической и пoрож-

дает кооперативную игру Г

imp

= <N, v

imp

>. Аналогично случаю принуж-

дения доказывается

Глава 7. Модели иерархического управления 287

Теорема 7.1.2. Вектор Шепли игры Г

imp

принадлежит ее C-ядру.

Рассмотрим в качестве примера тот же случай, что и при принужде-

нии: n=2, g

)=a

)

1/2

, h

)=b

-u

)

1/2

, a

>0, b

>0, i=1,2. В этом случае

характеристическая функция принимает вид

imp

(0) = a

)

1/2

+ a

)

1/2

= (a

+ a

)

1/2

;

imp

(1) = a

)

1/2

= a

/(a

+ a

)

1/2

;

imp

(2) = a

)

1/2

= a

/(a

+ a

)

1/2

;

imp

({1,2}) = (a

+ a

)

1/2

; v

imp

({0,1}) = (4a

+ b

+ a

)

1/2

;

imp

({0,2}) = (4a

+ b

+ a

)

1/2

;

imp

(N) = (4a

+ b

+ 4a

+ b

)

1/2

Вектор Шепли имеет вид

(v)=(4a

+ b

+ 4a

+ b

)

1/2

/3 +(4a

+ b

+ a

)

1/2

/6 +

+ (4a

+ b

+ a

)

1/2

/6 – (a

+ a

)

1/2

/6;

(v)=(4a

+ b

+ 4a

+ b

)

1/2

/3 +(4a

+ b

+ a

)

1/2

/6 –

– (4a

+ b

+ a

)

1/2

/3 + a

/3/(a

+ a

)

1/2

– a

/6/(a

)

1/2

;

(v)=(4a

+ b

+ 4a

+ b

)

1/2

/3 -(4a

+ b

+ a

)

1/2

/3 +

+ (4a

+ b

+ a

)

1/2

/6 + a

/6/(a

+ a

)

1/2

– a

/3/(a

)

1/2

и принад-

лежит С-ядру. Принцип пропорционального распределения дает дележ

* = 0.5(4a

+ b

+ 4a

+ b

)

1/2

;

* = 0.5a

(4a

+ b

+ 4a

+ b

)

1/2

/(a

+ a

);

* = 0.5a

(4a

+ b

+ 4a

+ b

)

1/2

/(a

+ a

В таблице 7.1.2 приведены сравнительные выигрыши коалиций при

принуждении и побуждении.

Таблица 7.1.2

Выигрыши коалиций при принуждении и побуждении

Выигрыш коалиции Принуждение Побуждение

V(0)

()

(*)

V(K), K⊆M

()

(*)

V({0}∪K), K⊆M

2gu hu

ii ii

iMK

()()

()

comp comp

2gu hu

ii ii

iMK

()()

(*)

imp imp

288 Иерархическое управление устойчивым развитием

7.2. МОДЕЛИ ИЕРАРХИЧЕСКОГО

УПРАВЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫМ РАЗВИТИЕМ

ИНВЕСТИЦИОННО-СТРОИТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

Инвестиционно-строительный проект (ИСП) — это проект, преду-

сматривающий реализацию полного цикла инвестиций в строительство

объекта (Заренков 2006:143). Деятельность по реализации ИСП принято

называть девелопментом (более точно, девелопментом недвижимости —

real estate development). Субъектом девелоперской деятельности (реали-

зации ИСП) выступает девелоперская компания (девелопер). Главной

целью девелоперской деятельности является удовлетворение общест-

венных потребностей в объектах недвижимости. Достижение этой цели

позволяет девелоперской компании получать доход, обеспечивающий

прибыль акционеров и инвесторов, а также оплату труда сотрудников

компании.

Объекты недвижимости подразделяются по типам и классам. К ос-

новным типам объектов недвижимости относятся: городское и загород-

ное жилье, офисные помещения, торгово-развлекательные комплексы,

складские помещения, здания и сооружения производственного назна-

чения. Среди основных классов объектов недвижимости выделяют: пре-

миум-класс (А), бизнес-класс (В), эконом-класс (С), социальный класс

(последний относится преимущественно к жилью). Возможны и проме-

жуточные варианты вида В

, В

и т. п. Существуют профессиональные

классификаторы признаков, позволяющие утверждать принадлежность

объектов недвижимости к тому или иному классу. Класс объекта опре-

деляет затраты на его строительство и диапазон значений цен продажи

или аренды.

Можно считать, что каждый ИСП включает объекты одного и толь-

ко одного типа и класса (например, городской жилой комплекс бизнес-

класса или офисный центр премиум-класса). Тогда каждый ИСП можно

охарактеризовать одним условным индексом, обозначающим определен-

ное сочетание типа и класса недвижимости.

Разумеется, что в реальности на любой территории действуют не-

сколько девелоперских компаний. Взаимодействие между ними можно

рассматривать как с точки зрения конкуренции (участие в конкурсах,

предложение однородного продукта), так и с точки зрения кооперации

(объединение ресурсов, слияния и поглощения компаний).

Кроме взаимодействия равноправных девелоперских компаний «по

горизонтали», большую важность представляют связанные с девелоп-

ментом «вертикальные», иерархические отношения. К этой группе мож-

Глава 7. Модели иерархического управления 289

но отнести отношения между девелоперами и банками (инвесторами),

между девелоперами и поставщиками услуг (консалтинговыми, про-

ектными, строительными, обслуживающими и иными организациями),

а также между девелоперами и органами государственного управления

на данной территории. Особый интерес представляет задача управле-

ния устойчивым развитием инвестиционно-строительного комплекса

региона.

Для изучения качественных и количественных характеристик девелоп-

мента и решения задач управления девелоперской деятельностью целе-

сообразно использовать математические модели.

Существует обширная литература, посвященная управлению проекта-

ми, в том числе математическим методам и моделям в этой области. Ос-

новное место здесь занимают модели календарно-сетевого планирования

(Воропаев 1974), организационные механизмы управления проектами

(Новиков 2007), информационные системы управления проектами (Гла-

маздин и др. 2003). Большой интерес для управления ИСП представляют

методика освоенного объема (Колосова и др. 2001) и методы управления

портфелями проектов (Матвеев и др. 2005).

В основе настоящего рассмотрения лежит система оптимизационных

и теоретико-игровых моделей девелоперской деятельности, структура

которой показана на рис. 7.2.1. Базисную роль в предлагаемой системе

играют агрегированные модели отдельной девелоперской компании. Во-

первых, это статические оптимизационные модели, направленные на оп-

ределение оптимальных цен на недвижимость с учетом ограничений на

платежеспособный спрос и необходимости возврата кредитов. Объемы

строительства считаются заданными концепцией ИСП, девелоперская

компания назначает цены на свою продукцию (объекты недвижимости).

Во-вторых, это динамические модели поиска оптимального соотношения

между продажей и арендой при планировании ИСП в сфере коммерче-

ской недвижимости.

Естественное обобщение базисной модели девелоперской компании

возможно в двух направлениях: «по горизонтали» и «по вертикали». Во-

первых, можно рассматривать взаимодействие девелоперских компаний

как равноправных хозяйствующих субъектов. В свою очередь, здесь воз-

можны два варианта моделирования. Если рассматривать конкурентные

отношения девелоперов без образования коалиций, то возникают тео-

ретико-игровые модели нескольких лиц в нормальной форме. Если же

допускается кооперация, то приходим к кооперативным играм (играм

в форме характеристической функции). Во-вторых, девелоперские ком-

пании вступают в экономические отношения с организациями других

типов. Эти отношения обычно имеют иерархическую природу, причем

290 Иерархическое управление устойчивым развитием

девелоперская компания может выступать как в роли Ведущего (напри-

мер, в отношениях со своими поставщиками), так и в роли Ведомого

(в отношениях с инвесторами, кредитными организациями, органами

государственного управления). Соответственно, возникают иерархиче-

ские теоретико-игровые модели.

Статическая модель нахождения оптимальной цены продаж при огра-

ничениях на неудовлетворенный платежеспособный спрос имеет вид

uppcSC

jjj jj

-

a () max;

(7.2.1)

jjj

pS S p p j N( ) , , ,..., ,

max max

=££=

(7.2.2)

где j — индекс ИСП (сочетание типа и класса недвижимости); N —

количество ИСП, реализуемых компанией в текущем году; u — годовая

прибыль компании (руб.); S

— годовой объем строительства по j-му ИСП

(м

); c

— себестоимость строительства по j-му ИСП (руб.); p

— цена про-

дажи 1 м

недвижимости по j-му ИСП (руб.); α

) — доля проданных м

от общей величины S

; С — не зависящие от объемов строительства за-

траты компании (руб.); S

max

— максимальный платежеспособный спрос

целевой потребительской группы компании (м

); p

max

— максимально

возможная цена 1 м

по j-му ИСП (руб.).

Для дальнейшего анализа учтем следующие соображения:

Рис. 7.2.1. Иерархическая система математических моделей

девелоперской деятельности

ɆɈȾȿɅɂ ɂȿɊȺɊɏɂɑȿɋɄɂɏ ɈɌɇɈɒȿɇɂɃ

ȼ ȾȿȼȿɅɈɉɆȿɇɌȿ (ɂȿɊȺɊɏɂɑȿɋɄɂȿ ɂȽɊɕ)

ɆɈȾȿɅɂ ȻȿɋɄɈȺɅɂɐɂɈɇɇɈȽɈ ɆɈȾȿɅɂ ɄɈɈɉȿɊȺɌɂȼɇɈȽɈ

ȼɁȺɂɆɈȾȿɃɋɌȼɂə ȼɁȺɂɆɈȾȿɃɋɌȼɂə

ɊȺȼɇɈɉɊȺȼɇɕɏ ȾȿȼȿɅɈɉȿɊɈȼ ɊȺȼɇɈɉɊȺȼɇɕɏ ȾȿȼȿɅɈɉȿɊɈȼ

(ɂȽɊɕ ȼ ɇɈɊɆȺɅɖɇɈɃ ɎɈɊɆȿ) (ɄɈɈɉȿɊȺɌɂȼɇɕȿ ɂȽɊɕ)

ȺȽɊȿȽɂɊɈȼȺɇɇɕȿ ɆɈȾȿɅɂ

ȾȿȼȿɅɈɉȿɊɋɄɈɃ ɄɈɆɉȺɇɂɂ

(ɁȺȾȺɑɂ ɈɉɌɂɆɂɁȺɐɂɂ)