Удут Л.С., Кояин Н.В., Мальцева О.П. Проектирование и исследование автоматизированных электроприводов. Часть 1. Введение в технику регулирования линейных систем Часть 2. Оптимизация контура регулирования
Подождите немного. Документ загружается.
Тk
Т
k
2
1
об
рег
.
Тогда будем иметь
1
2
12
2
2
12
2
2
1
)(
1
2
1
2
1
p
TT
T
Tp
ТТ
Т
Т
ТТ
Т
pW
з
, (2.54)
что при
ТТ
1
соответствует настройке контура, близкой к МО.
Переходная характеристика по управлению не имеет перерегулирования
и характеризуется установившейся (статической) ошибкой (рис. 2.25,
характеристика 1)
з
1
з
1
ст
2
2
2
x
T
T
x
ТТ
Т
y
. (2.55)
Рис. 2.25. Переходные
характеристики контура рис.
2.23 при
TT 24
1
,
оптимизированного по
методике п. 1 (МО), п. 2 (СО) и
п. 3 (характеристика 1)
Эквивалентная постоянная времени оптимизированного контура
T
ТТ
Т
ТТ 2
2
12
1
э
, (2.56)
что в два раза меньше, чем при настройке по СО.
4. В [1] предложена настройка ПИ-регулятора, обеспечивающая
практически точную оптимизацию контура, приведенного на рис. 2.23, в
соответствии с СО даже при
ТТ 4
1
. В этом случае параметры
передаточной функции регулятора выбираются следующим образом:
Тk
Т
Т
Т
Тk
Т
k
обоб
рег
2
1
2
1
2
1
2
1
; (2.57)
ТТ
Т
Т
Т
Т
Т
Т
ТТ
3
4
1
1
4
1
1
3
1
2
1
2
из
. (2.58)
5 10 15
1
t
T
1
МО
y
ст
СО
y
122
Передаточная функция замкнутого контура в этом случае имеет вид
1488
1
1
1
4
)(
э
22
э
33
э
2
1
2
1
2
э
з
рTpTpT
p
Т
Т
Т
Т
Т
pW
, (2.59)
где
1
э
1
1
Т
Т
Т
– эквивалентная малая постоянная времени
оптимизированного контура.
Настройка контура близка к СО, но характеризуется меньшим
перерегулированием и быстродействием. В интервале изменения
отношения малой и большой постоянных времени контура
01
1
Т
Т
коэффициенты полиномов числителя и знаменателя
1
b
и
1
а
передаточной функции (2.59) связаны соотношением
15.0
1
1
a
b
, что
определяет изменение перерегулирования от 16.3 % до 43.4 %,
соответственно.
Для уменьшения перерегулирования до 8.1 % выбирается
постоянная времени сглаживающего фильтра на входе контура
ТТ
ТТ
Т
Т
Т
Т
ТТ
3
4
1
1
4
1
1
3
1
2
1
2
ф
. (2.60)
Эквивалентная постоянная времени оптимизированного контура
1
1
4
Т
Т
Т
Т
э
. (2.61)
2.5.2. Внутренние перекрестные связи объекта
Силовая часть электропривода как объект управления обладает
более сложной структурой, чем показано на рис. 2.1. В общем случае
объект содержит внутренние связи, например по ЭДС двигателя, в
результате чего отдельные контуры регулирования оказываются
взаимно связанными и принцип последовательной коррекции не
применим в чистом виде. В простейшем случае перекрестные обратные
связи могут не учитываться, если погрешность, вносимая такими
допущениями, невелика. В противном случае вводятся дополнительные
123
обратные связи, компенсирующие перекрестные связи, или
применяются иные методы оптимизации взаимосвязанных контуров.
2.5.3. Малые инерционности в канале обратной связи
В общем случае малые инерционности могут иметься не только в
прямом канале контура регулирования, но и в цепи обратной связи.
Классическая теория оптимизации систем подчиненного регулирования,
изложенная в работах Кесслера, предполагает наличие малых
инерционностей только в прямом канале контура и не дает иного
способа учета малых постоянных времени, кроме их суммирования.
Кроме того, в прямом и обратном каналах наряду с инерционными
могут быть и форсирующие (упреждающие) звенья с малыми
постоянными времени. Однако, как утверждается в [4], совершенно не
равнозначно, включено звено с малой постоянной времени в прямом
канале или в канале обратной связи. Все эти вопросы являются
предметом дополнительных исследований.
2.5.4. В контуре регулирования отсутствуют малые
инерционности
В этом случае контур настраивается на требуемую полосу
пропускания
п
, которая определяется исходя из дополнительных
технических требований к системе автоматического регулирования.
Контур с интегрирующим звеном в прямом канале рассмотрен в
примере 2.4.
Пример 2.11. Объект управления содержит инерционное звено с
большой постоянной времени Т (рис. 2.26). Принимаем ПИ-регулятор с
передаточной функцией
pT
pТ
k
Tp
Тp
Тkk
T
pT
Тp
kk
pW
из
из
рег
оуобоуоб
рег
1
1
22
11
)(
, (2.62)
где
п
2
1
Т
;
Тkk
Т
k
оуоб
рег
2
;
TT
из
;
п
– выбранная полоса пропускания замкнутого контура,
с
рад
.
Рис. 2.26. Контур
регулирования, объект
которого содержит
инерционное звено с
большой постоянной
времени
уU
з
(-)
U
ос
W p
егр
( )
k
Tp
об
1
k
оу
124
Тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
имеют вид
pТ
pW
2
1
)(
р
, (2.63)
12
/1
)(
оу
з
pТ
k
pW
. (2.64)
Замкнутый контур по управлению представляет собой
апериодическое звено 1-го порядка.
2.5.5. Ограничение координат системы
Важным достоинством структуры подчиненного регулирования
(рис. 2.1) является возможность простыми средствами осуществлять
ограничение любой координаты системы. Для этого достаточно
ограничить на соответствующем уровне задание данной координаты на
входе соответствующего контура регулирования. В зависимости от
требований ограничения координаты могут быть постоянными или
изменяться по заданному закону.
2.5.6. Отработка возмущений оптимизированным контуром
Рассмотрим, как реагируют оптимизированные по МО и СО
контуры регулирования на возмущающее воздействие. Решение этой
задачи в общем плане затрудняется тем обстоятельством, что имеет
место большое разнообразие приложений возмущений в контуре
регулирования. Это определяет индивидуальность задачи. На рис. 2.27
приведена структурная схема контура регулирования, достаточно
характерная для САУ электроприводами, когда возмущением является
момент нагрузки на валу электродвигателя.
y
U
з
(-)
U
ос
Z
(-)
1
0
T p
W p
егр
( )
k
оу
k
T
p
об
1
Рис. 2.27. Замкнутый контур регулирования при наличии возмущения
125
При оптимизации по МО выбираем П-регулятор с передаточной
функцией
регрег
kpW )(
, где
Тkk
Т
k
2
оуоб
0
рег
.
Тогда передаточная функция по возмущению замкнутого контура
имеет вид
1)12
1
2
)(
0
з.в
pTpТ
pТ
Т
Т
pW
. (2.65)
При оптимизации по СО выбираем ПИ-регулятор с передаточной
функцией
pT
pТ
kpW
из
из
регрег
1
)(
,
где
ТТ 4
из
,
Тkk
Т
k
2
оуоб
0
рег
.
Тогда передаточная функция по возмущению замкнутого контура
имеет вид
1418
1
8
)(
2
2
0
2
з.в
pTpTpT
pTp
Т
Т
pW
. (2.66)
На рис. 2.28 и 2.29 приведены переходные функции при
скачкообразном изменении возмущающего воздействия и ЛЧХ
замкнутого контура регулирования, которые иллюстрируют
существенное преимущество настройки контура на СО: отсутствие
установившейся ошибки и сокращение времени отработки скачка
возмущающего воздействия.
126
5 20
10 15
МО
СО
y
t
T
Рис. 2.28. Переходные функции
при скачкообразном набросе возму-
щаюшего воздействия при опти-
мизации контура на МО и СО
-180
-90
0
20
40
дБ
L
Рис. 2.29. ЛЧХ замкнутого конту-
ра регулирования при набросе
возмущающего воздействия при
настройке на МО и СО
1
3
lg
СО
СО
МО
Т
0
=0.1 с,
=0.01 c
град
у
в уст.
L ( )
( )
1000
0
, с
-1
Если рассматриваемый контур (рис. 2.27) оптимизирован по МО,
то возмущающее воздействие приводит к появлению статической
ошибки регулирования по возмущению, равной
2
2
0
в.уст
Т
Т
y
. (2.67)
2.5.7. Нормированные характеристические уравнения
оптимизированного контура
Оптимизация многоконтурных систем подчиненного
регулирования по ЛО, МО или СО приводит к получению
нормированных характеристических уравнений, приведенных в табл.
2.6 и 2.7, где
0
– среднегеометрический корень (см. 1.4.3). Критерий
оптимизации контура многоконтурной системы подчиненного
регулирования по управлению может быть сформулирован следующим
образом: получение минимального времени отработки ступенчатого
входного воздействия при отсутствии перерегулирования (см. рис.
2.30) или при перерегулировании не более 5 % или 10 % (см. рис. 2.6).
Таблица 2.6
Нормированные характеристические уравнения передаточной
функции (2.7) при оптимизации по МО и СО
127
Порядок
уравнения
Нормированное уравнение
2
Т
рр
рТрТ
2
1
,2
122
0
2
00
2
22
где
3
Т
ррр
рТрТрТ
2
1
,22
1488
0
3
0
2
0
2
0
3
2233
где
4
,8284.248284.2
18326464
4
0
3
0
22
0
3
0
4
223344
рррр
рТрТрТрТ
Т8284.2
1
0
где
5
,4884
11612851210241024
5
0
4
0
23
0
32
0
4
0
5
22334455
ррррр
рТрТрТрТрТ
Т8284.2
1
0
где
Таблица 2.7
Нормированные характеристические уравнения передаточной
функции (2.7) при оптимизации по ЛО
Порядок
уравнения
Нормированное уравнение
2
Т
рр
2
1
,2
0
2
00
2
где
3
Т
ррр
4
1
,44
0
3
0
2
0
2
0
3
где
4
Т
рррр
8
1
,8168
0
4
0
3
0
22
0
3
0
4
где
5
Т
ррррр
16
1
,16646416
0
5
0
4
0
23
0
32
0
4
0
5
где
Рис. 2.30. Переходные
характеристики
контура,
оптимизированного по
ЛО: 2, 3, 4, 5 – порядок
характеристического
уравнения
0
t
1
y
20 40 60 80
2
3
4
5
128
2.5.8. Другие настройки контура регулирования
Выше были рассмотрены два наиболее простых и
распространенных критерия технической оптимизации. На практике
применяются и другие настройки регуляторов. Практически это
означает, что коэффициенты оптимизации контура
к
a
при МО и
к
a
и
к
b
при СО принимаются отличными от 2.
Контур второго порядка. Передаточные функции разомкнутого и
замкнутого оптимизированного контура (2.27) и (2.28) запишем в
следующем виде:
)1(
1
)1(
1
)(
21
р
pTpTpTpTa
pW
к
;
12
1
1
1
)(
0
22
01
2
21
pTpT
k
pTpTT
k
pW
осос
з
,
где
TaTTT
T
T
a
TTTaT
к
к
к
210
2
1
21
;
42
;;
.
Контур, описываемый приведенными выше передаточными
функциями, представляет собой простейшую типовую систему
регулирования, получившую название системы типа “1–2”. ЛЧХ и
переходные функции системы типа “1–2” для различных значений
коэффициента оптимизации
к
a
приведены на рис. 2.31. Зависимости
качественных показателей временных (при отработке ступенчатых
входных воздействий) и частотных характеристик типовой системы “1–
2” при различных значениях коэффициента оптимизации
к
a
приведены
на рис. 2.32. Приведенные результаты позволяют выбрать настройку
контура по заданным показателям качества его работы. Система типа
“1–2” обеспечивает статическую ошибку (установившуюся ошибку при
ступенчатом входном воздействии) и скоростную ошибку
(установившуюся ошибку при линейном входном воздействии), равные
нулю.
129
y
t
T
1
a
к
=0.5
a
к
= 4
a
к
= 1
a
к
= 2
5 10 15
-180
-90
0
20
40
дБ
град
L
3дБ
20lg
0.5
1
2
4
lg
a
к
=0.5
1
2
4
р
п
м( )
п
ф( )
б в
L
1
a T
к
1
T
1
0
T
a
к
a
к
1
с
к
a T
р
1
-20
-40
L( )
lg
1
T
1
a T
к
1
0
T
L( )
-20
-40
lg
a
к
1
с
к
T a
р
1
a
1
a
к
ср
ср
1
2
3
M
Рис. 2.31. ЛЧХ и переходные функции типовой системы “1–2” при различных
значениях коэффициента оптимизации
При
a
к
4 1 ( )
корни характеристического уравнения
оптимизированного контура второго порядка вещественные и контур
представляет собой апериодическое звено второго порядка. Этот случай
рассмотрен в подразделе 1.2 (п. 1.2.3).
При
a
к
4 1( )
корни характеристического уравнения
комплексные
2
00
2,1
1
1
T
j
T
j
,
где вещественная часть корня
представляет собой коэффициент
затухания переходного процесса, а мнимая
– частоту затухающих
колебаний:
1
ln;
i
i
к
к
.
130
1.75
2.0
1.5
1.25
1.0
0.75
0.5
0.25
40
35
30
25
20
15
10
5
%
10
20
30
40
50
60
70
80
0 1 2 3 4 5 6
15
10
5
20
о.е.о.е. град
M,
a
к
с
T
р
t T
ур
( )
2
5
M
п
м
T
( )
t T
ур
( )
1
5
п
ф
T
( )
t
T
Рис. 2.32. Зависимости качественных показателей временных и частотных
характеристик типовой системы “1–2” при различных значениях
коэффициента оптимизации
На рис. 2.33 показано расположение корней характеристического
уравнения контура второго порядка на комплексной плоскости в
зависимости от значения коэффициента оптимизации
к
a
. При
комплексных корнях в контуре имеет место колебательный переходный
процесс.
Рис. 2.33. Расположение корней
характеристического уравнения контура
второго порядка на фазовой плоскости
Для этого случая могут быть аналитически рассчитаны
следующие параметры переходного процесса при отработке
ступенчатого воздействия [5]:
a
к
0
a
к
0
x
x
x
xx
a
к
a
к
a
к
4
a
к
4
a
к
4
j
131