Удут Л.С., Кояин Н.В., Мальцева О.П. Проектирование и исследование автоматизированных электроприводов. Часть 1. Введение в технику регулирования линейных систем Часть 2. Оптимизация контура регулирования
Подождите немного. Документ загружается.
отработке ступенчатого входного или возмущающего воздействия. В
первом случае система регулирования может рассматриваться как
оптимальная по динамике тогда, когда ее передаточная функция по
задающему воздействию
01
1
1
01
1
1
)(
apapapa
bpbpbpb
pW
n
n
n
n
m
m
m
m
з
, (2.2)
где
nm
,
0
0
b
,
0
0
a
, такова, что система хорошо может пропускать
максимально широкий спектр частот. Это имеет место в случае, когда
модуль частотной передаточной функции
)( jW
постоянен (равен 1
при единичной обратной связи) для максимально широкого диапазона
частот (рис. 2.4) или когда в точке
0 jp
максимально большое
число производных модуля частотной характеристики по частоте равно
нулю:
0)(lim
0
jpW
d
d
. (2.3)
W
x
3
x
2
x
1
y
1
y
2
y
3
z
1
z
2
z
3
(-) (-) (-)
объект
рег3
W
рег2
W
рег1
W
об1
W
об2
W
об3
( )
p
( )
p
( )
p
( )
p ( )
p
( )
p
Рис. 2.3. Обобщенная структурная схема трехконтурной системы
подчиненного регулирования: x, z, y – управляющее, возмущающее воздействия и
выходная координата, соответственно;
)( pW
рег
и
)( pW
об
– передаточные
функции регулятора и объекта
Рис. 2.4. График зависимости
модуля передаточной функции
замкнутого
оптимизированного контура
при
1
ос
k
от частоты:
р
–
резонансная частота;
)(м
п
–
полоса пропускания контура по
модулю
Применив критерий (2.3) к выражению (2.2), получим следующие
соотношения для коэффициентов полиномов числителя и знаменателя,
оптимизирующих передаточную функцию [2]:
91
W j
(
)
0.707
1
pад / с
0
п
м( )
W j
макс
( )
р
ср
.)1(2)1(2
;222222
;2222
;22
1
11
22
0
2
0
1
11
2
605142
2
3
2
0
2
0605142
2
3
4031
2
2
2
0
2
04031
2
2
20
2
1
2
0
2
020
2
1
k
i
kk
i
k
k
i
kk
i
k
aaababbb
aaaaaaababbbbbbb
aaaaababbbbb
aaababbb
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2.4)
Следует отметить, что при таком подходе изначально
обеспечивается устойчивость контура регулирования, так что
исследование контура на устойчивость становится не нужным.
Препятствием для достижения поставленной цели оптимизации
(как можно большего значения полосы пропускания) контура является
инерционность звеньев объекта, входящих в контур. Поэтому возникает
задача выбора наиболее подходящего типа регулятора с наилучшими
переходными функциями, с тем, чтобы ликвидировать инерционность
объекта настолько полно, насколько это окажется возможным.
В прямом канале каждого контура регулирования (рис. 2.5) может
быть последовательно включено ограниченное число инерционных
звеньев первого порядка с большими постоянными времени Т, и
некоторое число таких же звеньев с малыми постоянными времени
t
n
j
m
i
ij
ptpT
k
pW
1 1
)1()1(
)(
об
об
, (2.5)
где
об
k
– коэффициент усиления объекта в контуре.
Регулятор компенсирует большие инерционности контура. Все
остальные инерционности должны быть отнесены к малым. В их состав
входят инерционности, которые или не могут быть компенсированы
принципиально по своей физической природе, например запаздывание
звеньев объекта, или их компенсация нецелесообразна, т. к. они были
введены в систему регулирования специально, например постоянные
времени сглаживающих фильтров. Малые инерционности являются
исходными параметрами при оптимизации контура и определяют его
предельное быстродействие. В то же время при наличии в контуре хотя
бы одного звена с большой постоянной времени Т без существенной
потери точности последовательность соединения большого числа
инерционных звеньев с малыми постоянными времени
t
можно
заменить одним инерционным звеном первого порядка, постоянная
времени которого равна сумме постоянных времени m исходных
звеньев
m
i
i
tT
1
, если
TT
, (2.6)
92
а звено с запаздыванием можно представить в виде инерционного звена
первого порядка с постоянной времени
зап
t
.
W
рег
W
вн
W
об1
W
об2
x
з
y
W
об
(-)
p
( )
p
( )
p
( )
p
( )
p
( )
Рис. 2.5. Обобщенная структурная схема контура регулирования:
)( pW
рег
– передаточная функция регулятора;
)( pW
вн
– передаточная
функция замкнутого внутреннего оптимизированного контура;
)( pW
об1
и
)( pW
об2
– передаточные функции объекта регулирования, соответственно,
с большими и малыми инерционностями
Наибольшее применение в практике проектирования систем
автоматизированного электропривода получили два критерия
оптимизации: модульный (технический) и симметричный оптимум.
2.3. Модульный оптимум
2.3.1. Общие замечания
Модульный критерий оптимальной настройки (МО) контура
регулирования был предложен Кесслером и назван Betragsoptimum.
Сущность МО сводится к “подгонке” модуля передаточной функции
замкнутого оптимизированного контура регулирования (при
1
ос
k
) к
единице (оптимизация модуля) для возможно более широкой полосы
частот. Передаточная функция замкнутого контура, оптимизированного
по МО, имеет вид
1
1
)(
1
1
1
papapa
pW
n
n
n
n
. (2.7)
Если ограничиться пятым порядком полинома знаменателя, что
вполне достаточно для систем автоматизированного электропривода, то
условие оптимизации (2.4) для передаточной функции (2.7)
записывается в следующем виде (при
1
00
ba
):
.02
;022
;022
;02
53
2
4
5142
2
3
431
2
2
2
2
1
aaa
aaaaa
aaaa
aa
(2.8)
93
Оптимизируем внутренний контур структурной схемы рис. 2.3 с
учетом (2.5) и (2.6). Для компенсации больших инерционностей в
контуре регулятор должен иметь передаточную функцию вида
pT
pТpТ
kpW
из
упиз
регрег
)1(1
)(
, (2.9)
где из условия компенсации больших инерционностей
1
ТТ
из
,
21
ТТ
уп
,
(
21
TT
). Возможность практической реализации регулятора вида
(2.9) накладывает ограничение на число больших инерционностей: их
должно быть не более двух. Тогда передаточная функция замкнутого
контура имеет вид
1
1
)(
1
2
1
p
kk
T
p
kk
TT
pW
обрег
из
обрег
из
з
,
и для ее оптимизации согласно (2.8) достаточно выполнить одно
условие
02
21
aa
. Это, в свою очередь, позволяет найти условие для
выбора коэффициента усиления регулятора
Тk
Т
k
2
1об
из
рег
, (2.10)
где
1об
k
– коэффициент усиления объекта внутреннего контура;
T
– сумма малых постоянных времени объекта внутреннего контура.
С учетом (2.9) и (2.10) передаточные функции разомкнутого и
замкнутого внутреннего (первого) контура (см. рис. 2.3) имеют вид
)1(2
1
)(
)1(
р
pТpТ
pW
, (2.11)
1)1(2
1
)(
)1(
pTpТ
pW
з
. (2.12)
Последовательно оптимизируя внешние контуры структурной
схемы рис. 2.3 при условии, что они не содержат дополнительных
малых инерционностей, получим следующие выражения для
разомкнутых и замкнутых передаточных функций контуров [3]:
]1)1(2[4
1
)(
)2(
р
pTpTpT
pW
; (2.13)
1]1)1(2[4
1
)(
)2(
pTpTpT
pW
з
; (2.14)
}1]1)1(2[4{8
1
)(
)3(
р
pTpTpTpT
pW
; (2.15)
1}1]1)1(2[4{8
1
)(
)3(
pTpTpTpT
pW
з
; (2.16)
}}1}1]1)1(2[4{8{{16
1
)(
)4(
р
pTpTpTpTpT
pW
; (2.17)
1}}1}1]1)1(2[4{8{{16
1
)(
)4(
pTpTpTpTpT
pW
з
. (2.18)
94
На рис. 2.6 приведены кривые реакции этих контуров на
ступенчатое входное воздействие при нулевых начальных условиях,
построенные в абсолютных и относительных единицах времени, а на
рис. 2.7 и 2.8 ЛЧХ разомкнутых и замкнутых контуров. В последнем
случае для наглядности коэффициент обратной связи контуров принят
равным 0.1, тогда коэффициент усиления замкнутого контура
10
1.0
1
з
k
и
дБ20lg20
з
k
.
Приведенные результаты показывают, что передаточные функции
оптимизированных контуров высокого порядка достаточно точно могут
быть заменены усеченными выражениями второго (характеристика 2)
порядка и даже первого (характеристика 5):
;
12
1
)(
)1(
pТ
pW
з
(2.12, a)
;
14
1
1)12(4
1
)(
)2(
pTpТpT
pW
з
(2.14, a)
;
18
1
1)14(8
1
)(
)3(
pTpТpT
pW
з
(2.16, a)
116
1
1)18(16
1
)(
)4(
pTpТpT
pW
з
. (2.18, a)
Погрешность, получаемую при этом, можно оценить, сопоставляя
приведенные на рис. 2.6, 2.7 и 2.8 графики и характеристики.
1
y
10 20 30 40 50
t / T
о. е.
a
1 2 3 4
Рис. 2.6. Кривые реакции контура
на единичное входное воздействие:
1, 2, 3, 4 – номер контура, начиная с
внутреннего; 5 – характеристика
соответствует (2.12, а);
T
– малая
постоянная времени внутреннего
контура;
к
T
– эквивалентная малая
постоянная времени к-го контура
95
1
y
4 8
о. е.
б
1
2
5
3, 4
t
T
к
град
-270
-180
-90
0
20
40
1
2
3
4
L
1
2
4
3
lg
0 3
дБ L
a
T
= 0.01 c
град
-270
-180
-90
0
20
40
дБ L
3
4
1
2
L
4
3
2
1
lg
T
oc
= 0.1
б
1000
1
1000
30
1
, с
-1
, с
-1
= 0.01 c, k
Рис. 2.7. ЛЧХ разомкнутых (а) и замкнутых (б) оптимизированных по МО
контуров многоконтурной САР: 1, 2, 3, 4 – номер контура, начиная с внутреннего
град
-270
-180
-90
0
20
40
дБ L
0
3
4
3
2
2
2
3
4
L
lg
T
= 0.01c
a
град
-270
-180
-90
0
20
40
дБ L
б
0
2
3
2
4
L
3
T
ос
= 0.1
lg
1000
1 1000
3
1, с
-1
, с
-1
= 0.01 c, k
Рис. 2.8. ЛЧХ разомкнутого (а) и замкнутого (б) оптимизированного
контура с передаточной функцией 3-го и 4-го порядков и соответствующей
им усеченной 2-го порядка; 2, 3, 4 – порядок полинома знаменателя
передаточной функции
Это дало основание передаточную функцию второго порядка
общего вида
1
1
)(
1
2
2
papa
pW
з
(2.19)
96
принять за стандартное выражение для оптимизации любого контура
регулирования многоконтурной структуры по МО. Условие
оптимизации (2.8) для (2.19) записывается в виде
2
2
1
2 aa
. (2.20)
Для контура, содержащего в общем случае звенья с большими и
малыми постоянными времени, выражение (2.19) может быть записано
в виде (2.12) или
1
1
1)1(
1
)(
2
pTpTT
pTpТ
pW
эккэк
кэк
з
, (2.21)
где
к
Т
– эквивалентная малая постоянная времени k-го контура;
эк
T
– постоянная интегрирования (эквивалентная постоянная)
оптимизированного к-го контура.
Условия оптимизации (2.20) для (2.21) записывается в виде
кэк
ТТ 2
. (2.22)
Передаточная функция разомкнутого оптимизированного контура
имеет вид
)1(
1
)(
р
pTpT
pW
кэк
. (2.23)
На рис. 2.9 и 2.10 приведены графики переходной функции при
ступенчатом изменении задания и ЛЧХ оптимизированного по МО
контура второго порядка, а в табл. 2.2 указаны качественные показатели
контура.
Рис. 2.9. Переходные
характеристики контуров
регулирования, настроенных на
модульный (МО) и линейный (ЛО)
оптимум (см. п. 4. Методики
оптимизации по МО)
97
1
y
5 10 15
t / T
о.е.
МО
ЛО
0 3
град
-180
-90
0
20
40
дБ L
lg
б
МО
ЛО
МО
ЛО
lg
L
1
T
c
T
1
4
c
T
1
2
a
ЛО
МО
-20
-40
10001 , с
-1
L
СО
-40
Т8
1
Рис. 2.10. Логарифмические частотные характеристики контура
регулирования, настроенного на МО и ЛО: а – асимптотические
характеристики разомкнутого контура; б – замкнутого контура
Оптимизированный внутренний контур (2.21) вводится в объект
управления внешнего контура в виде инерционного звена 1-го порядка с
передаточной функцией
1
1
)(
pТ
pW
эк
з
, (2.24)
где
ТТТТТТТТ 16,8,4,2
э4э3э2э1
, соответственно, для 1-го, 2-
го, 3-го и 4-го контуров оптимизированной многоконтурной структуры
(см. (2.12, а)–(2.18, а));
T
– малая постоянная времени внутреннего
контура.
Каждый внутренний контур рассматривается как звено с малой
постоянной времени, тогда эквивалентные малые постоянные времени
внешних контуров определяются следующим образом :
m
i
эээi
TTTTTTtT
1
443322
;;;
.
Основные ожидаемые качественные показатели работы
оптимизированных контуров при их точном (выражения 2.12, 2.14, 2.16,
2.18) и приближенном описании (выражения 2.12, а, 2.14, а, 2.16, а,
2.18, а) приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Номер контура 1 2 3 4
Порядок уравнения 2 3 4 5
Эквивалентная малая постоянная
времени контура, с
T
T2
T4
T8
Эквивалентная постоянная времени
оптимизированного контура, с
T2
T4
T8
T16
98
Полоса пропускания
контура,
с
рад
по модулю
Т
71.0
Т
5.0
Т
284.0
Т
139.0
по фазе
Т
71.0
Т
35.0
Т
18.0
Т
09.0
Перерегулирование, % 4.3 8.1 6.2 5.0
Время первого согласования
)5(
1ру
t
, с
Т1.4
Т7
Т6.13
Т4.30
Время переходного процесса
)5(
2ру
t
, с
Т1.4
Т12
Т3.20
Т4.30
Для усеченного уравнения второго порядка
Полоса пропускания,
с
рад
Т
71.0
Т2
71.0
Т4
71.0
Т8
71.0
Перерегулирование, % 4.3
)5(
2
)5(
1 руру
tt
, с
Т1.4
Т2.8
Т4.16
Т8.32
Обобщим полученные результаты:
1. Передаточные функции оптимизированных контуров
характеризуются только суммой малых постоянных времени, которые и
определяют достижимый предел быстродействия контура. Следует
иметь в виду, что
T
определяет не только быстродействие, но и
помехоустойчивость контура. Чем меньше
T
, тем больше
быстродействие контура и меньше его помехозащищенность.
2. Оптимизированный контур регулирования представляет собой
астатическую систему с астатизмом 1-го порядка и обеспечивает
нулевую установившуюся ошибку при отработке ступенчатого
управляющего воздействия.
3. Передаточная функция оптимизированного контура вида (2.19) и
(2.21) представляет собой колебательное звено 2-го порядка с
коэффициентом демпфирования
707.0
2
1
22
2
1
TT
T
a
a
эк
эк
к
.
4. Если звенья с малыми постоянными времени имеются только во
внутреннем контуре многоконтурной структуры (рис. 2.3), то
быстродействие каждого следующего внешнего контура понижается
примерно в 2 раза (см. табл. 2.1).
5. Если внешний к-й контур регулирования содержит инерционные
звенья с малыми постоянными времени в составе объекта
регулирования (см. рис. 2.5), то эквивалентная малая постоянная
времени контура определяется следующим образом:
i
tTT
к1)э(кк
, (2.25)
где
)1э(к
T
– эквивалентная постоянная времени оптимизированного
внутреннего (к – 1) контура;
i
t
к
– сумма малых постоянных звеньев объекта регулирования в
к-м контуре.
99
Очевидно, что в этом случае быстродействие внешнего контура
будет снижаться в большей степени, чем в 2 раза.
2.3.2. Методика оптимизации контура по модульному оптимуму
1. Система автоматического регулирования должна быть
представлена в виде структурной схемы, приведенной на рис. 2.3, но в
общем случае с неединичными обратными связями контуров. Каждый
контур должен содержать последовательно включенные регулятор, не
более двух инерционных звеньев 1-го порядка с большими
постоянными времени Т
1
и Т
2
или одно интегрирующее звено с
постоянной времени
0
T
и ряд инерционных звеньев 1-го порядка с
малыми постоянными времени
i
t
, включая в общем случае и
внутренний оптимизированный контур, где
TTTT
221
;
;
i
tT
–
эквивалентная малая постоянная времени контура (см. (2.25)).
2. Передаточная функция регулятора контура в общем случае
выбирается вида
рТ
pТpТ
kpW
из
упиз
регрег
)1()1(
)(
, (2.26)
где
Таkk
Т
k
кособ
рег
;
;;;
211
TTTTTTTT
упиз0
= или
об
k
– коэффициент объекта контура;
ос
k
– коэффициент обратной связи контура (см. примеры 2.1–2.6);
к
a
– коэффициент оптимизации к-го контура в общем случае.
Следует отметить, что большую из двух постоянных времени (
2
TT ,
1
) необходимо всегда компенсировать временем изодрома
из
T
, а
меньшую – временем упреждения
уп
T
. Это особенно важно для
аналоговых регуляторов с пассивной обратной связью.
Передаточные функции разомкнутого и замкнутого
оптимизированного контура в общем случае имеют вид
)1(
1
)(
р
pTpTa
pW
к
, (2.27)
1
1
11
1
)(
22
pTapTa
k
pTpTa
k
pW
кк
ос
к
ос
з
. (2.28)
Контур представляет собой систему второго порядка, поведение
которой характеризуется коэффициентом демпфирования
2
к
a
.
Таким образом, в результате оптимизации контура достигается
компенсация двух больших инерционностей
2
и TT
1
. Компенсировать
третью постоянную времени с целью дальнейшего повышения
100