Удут Л.С., Кояин Н.В., Мальцева О.П. Проектирование и исследование автоматизированных электроприводов. Часть 1. Введение в технику регулирования линейных систем Часть 2. Оптимизация контура регулирования
Подождите немного. Документ загружается.
быстродействия уже гораздо труднее. Для этого потребовался бы
регулятор, обладающий свойствами однократного интегрирования и
двойного дифференцирования. Однако двухкратное
дифференцирование даже при малом содержании высших гармоник в
колебаниях регулируемой величины приводит к такому снижению
устойчивости контура, что добиться стабильности регулирования
практически уже невозможно.
Выражения (2.13) – (2.18) для передаточных функций
разомкнутых и замкнутых контуров многоконтурной системы при
оптимизации по МО, если внешние контуры не содержат
дополнительных малых инерционностей и
2
к
a
, запишутся в
следующем общем виде:
]1)1([
1
)(
112
)2(
р
pTpTapTaa
pW
; (2.13, б)
1]1)1([
1
)(
112
2
)2(
pTpTapTaa
k
pW
ос
з
; (2.14, б)
}1]1)1([{
1
)(
112123
)3(
р
pTpTapTaapTaaa
pW
; (2.15, б)
1}1]1)1([{
1
)(
112123
3
)3(
pTpTapTaapTaaa
k
pW
ос
з
; (2.16, б)
;
}}1}1]1)1([{{{
1
)(
1121231234
)4(
pTpTapTaapTaaapTaaaa
pW
р
(2.17, б)
,
1}}1}1]1)1([{{{
1
1121231234
4ос
4
з
pTpTapTaapTaaapTaaaa
k
)p(W
)(
(2.18, б)
где
к
a
и
оск
k
– коэффициент оптимизации и коэффициент обратной
связи контура; к – номер контура, начиная с внутреннего.
3. Оптимизации по МО соответствует выбор
2
к
a
. Передаточная
функция разомкнутого и замкнутого оптимизированного по МО
контура имеет вид:
)1(2
1
)(
р
pTpT
pW
; (2.29)
122
1
)(
22
pTpT
k
pW
ос
з
. (2.30)
101
Для (2.30) коэффициент демпфирования
707.0
2
1
, выражение
переходной функции при ступенчатом управляющем воздействии имеет
вид
T
t
T
t
x
tx
th
T
t
2
sin
2
cos1
)(
)(
2
e
зад
, (2.31)
что соответствует колебательному звену.
Характеристики и качественные показатели работы контура,
оптимизированного по МО, приведены в табл. 2.1 и 2.2, на рис. 2.6–2.10.
4. Настройка контура при
4
к
a
получила название
оптимизации по линейному оптимуму (ЛО). Передаточная функция
разомкнутого и замкнутого оптимизированного по ЛО контура имеет
вид
)1(4
1
)(
р
pTpT
pW
, (2.32)
144
1
)(
22
pTpT
k
pW
ос
з
. (2.33)
Для (2.33) коэффициент демпфирования
1
, выражение
переходной функции имеет вид
T
t
T
tT
x
tx
th
2
2
2
1
)(
)( e
зад
(2.34)
и определяет границу колебательного и апериодического режимов.
Контур характеризуется отсутствием перерегулирования переходной
функции при ступенчатом задающем воздействии. Характеристики и
качественные показатели работы контура, оптимизированного по ЛО,
приведены на рис. 2.9 и 2.10 и в табл. 2.2.
5. Оптимизированный внутренний контур вводится в объект
управления внешнего контура с целью упрощения оптимизации
последнего в виде инерционного звена 1-го порядка
1
1
1
1
)(
pТ
k
pTa
k
pW
эк
оск
кк
оск
з
(2.35)
с эквивалентной постоянной времени
ТaТ
кэк
.
Выражения (2.13)–(2.18) для передаточных функций разомкнутых
и замкнутых контуров многоконтурной системы при оптимизации по
МО, если каждый внешний контур содержит дополнительные малые
инерционности и
2
к
a
, запишутся в следующем виде:
11
1
)(
122
)2(
р
pTpTapTa
pW
; (2.13, в)
102
111
1
)(
122
2
)2(
pTpTapTa
k
pW
ос
з
, (2.14, в)
где
i
tTaT
212
;
111
1
)(
12233
)3(
р
pTpTapTapTa
pW
; (2.15, в)
1111
1
)(
12233
3
)3(
pTpTapTapTa
k
pW
ос
з
, (2.16, в)
где
i
tTaT
3223
;
1111
1
)(
1223344
)4(
р
pTpTapTapTapTa
pW
; (2.17, в)
11111
1
)(
1223344
4
)4(
pTpTapTapTapTa
k
pW
ос
з
, (2.18, в)
где
i
tTaT
4334
.
Таблица 2.2
,%
)5(
1ру
t
)2(
1ру
t
)0(
1ру
t
рум
t
)5(
2ру
t
)2(
2ру
t
град
с
рад
м
п
)(
с
рад
ф
п
)(
Настройка контура на МО
4.3
Т1.4
Т45.4
Т7.4
Т3.6
Т1.4
Т4.8
65.3
Т
71.0
Т
71.0
Настройка контура на ЛО
0
Т5.9
Т6.11
– –
Т5.9
T6.11
76
Т
33.0
Т
51.0
2.3.3. Примеры оптимизации по модульному оптимуму
Пример 2.1. Объект управления содержит инерционное звено с
малой постоянной времени
Т
(рис. 2.11). Принимаем И-регулятор с
передаточной функцией
pTpТpТkk
pW
ирегоуоб
рег
11
2
11
)(
,
где
ТkkТT 2
оуобирег
.
Тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
аналогичны (2.27) и (2.28) и имеют вид:
)1(2
1
)(
р
pTpТ
pW
; (2.36)
103
122
1
1)1(2
1
)(
2
2
оуоу
з
pTpТ
k
pTpТ
k
pW
, (2.37)
что соответствует оптимизации по МО.
Рис. 2.11. Контур
регулирования, объект
которого содержит
инерционное звено с малой
постоянной времени
Пример 2.2. Объект управления содержит инерционное звено с
большой постоянной времени Т и инерционное звено с малой
постоянной времени
Т
<< T (рис. 2.12).
y
U
з
(-)
U
ос
1
1T p
W p
егр
( )
k
Tp
об
1
k
оу
Рис. 2.12. Контур регулирования, объект которого содержит два
инерционных звена с постоянными времени
TT
Принимаем ПИ-регулятор с передаточной функцией вида
pТ
pТ
k
pT
pT
k
pT
Tp
kk
pW
из
из
рег
рег
рег
рег
оуоб
рег
1
1
2
11
)(
,
где
Тkk
Т
k
2
оуоб
рег
,
TTT
изрег
.
Тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
имеют вид (2.36) и (2.37), что соответствует оптимизации по МО.
Пример 2.3. Объект управления содержит два инерционных звена
с большими постоянными времени Т
1
> Т
2
и инерционное звено с малой
постоянной времени
Т
<< T
2
(рис. 2.13).
Принимаем ПИД-регулятор с передаточной функцией
,
)1()1()1()1(
2
)1()1(
1
)(
1
21
21
21
pT
pTpT
k
pT
pTpT
k
pT
pTpТ
kkk
pW
рег
из
упиз
рег
рег
регрег
рег
оуобоб
где
11
TTT
изрег
,
22
TTT
упрег
,
Тkkk
Т
k
2
21
1
оуобоб
рег
.
104
yU
з
(-)
U
ос
k
T p
об
1
W p
егр
( )
k
оу
Тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
имеют вид (2.36) и (2.37), что соответствует оптимизации по МО.
y
U
з
(-)
U
ос
1
1T p
W p
егр
( )
k
T p
об1
1
1
k
T p
об2
2
1
k
оу
Рис. 2.13. Контур регулирования, объект которого содержит три
инерционных звена с постоянными времени
TTT
21
Пример 2.4. Объект управления содержит интегрирующее звено с
постоянной времени
0
T
и инерционное звено с малой постоянной
времени
Т
(рис. 2.14).
y
U
з
(-)
U
ос
1
0
Т p
W p
егр
( )
k
T p
об
1
k
оу
Рис. 2.14. Контур регулирования, объект которого содержит
интегрирующее звено и инерционное звено с малой постоянной
времени
Принимаем П-регулятор с передаточной функцией
рег
оуоб
рег
k
Тkk
Т
pW
2
1
)(
0
.
Тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
имеют вид (2.36) и (2.37), что соответствует оптимизации по МО.
Если в контуре отсутствует инерционное звено с малой
постоянной времени, то необходимо принять
п
2
1
T
, где
п
–
желаемая полоса пропускания контура. Тогда передаточные функции
разомкнутого и замкнутого контура имеют вид:
Т
pW
2
1
)(
р
;
12
1
)(
pТ
k
pW
оу
з
.
Замкнутый контур по управлению представляет собой
апериодическое звено 1-го порядка.
105
Пример 2.5. Объект управления содержит инерционное звено с
большой постоянной времени Т и замкнутый внутренний
оптимизированный по МО контур с передаточной функцией вида (2.37)
(рис. 2.15).
y
U
з
(-)
U
ос
2
2
W p
егр
( )
1
2 1 1
1
1 1
/
( )
k
T p T
p
оy
y
1
k
Tp
об
1
k
оy2
U
з
1
Рис. 2.15. Контур регулирования, объект которого содержит
инерционное звено с большой постоянной времени и оптимизированный
внутренний контур
Принимаем ПИ-регулятор с передаточной функцией
pT
pT
k
pТ
pТ
k
pT
Tp
kk
k
pW
из
из
рег
рег
рег
рег
оу2об
оу1
рег
1
1
)2(2
1
)(
1
,
где
)2(2
12
1
Тkk
Тk
k
оуоб
оу
рег
;
TTT
изрег
.
Тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
имеют вид
)12(4
1
]1)1(2[4
1
)(
11111
р
pTpTpTpTpТ
pW
,
1)12(4
1
1]1)1(2[4
1
)(
11
2
111
2
pTpT
k
pTpTpТ
k
pW
оуоу
з
.
Перерегулирование в оптимизированном таким образом контуре
будет равно 8.1 %.
Если в контуре дополнительно имеется инерционное звено с
малой постоянной времени
2
Т
, то передаточную функцию
внутреннего контура записываем в приближенном виде
12
1
)(
1
1
pТ
k
pW
оу
внутр
и находим эквивалентную малую постоянную времени контура
)2(
21э
ТТТ
. Принимаем ПИ-регулятор с передаточной функцией
pT
pT
k
pТ
pТ
k
pТT
Tp
kk
k
pW
из
из
рег
рег
рег
рег
оу2об
оу1
рег
1
1
)2(2
1
)(
21
,
106
где
)2(2
21
1
ТТkk
kТ
k
оу2об
оу1
рег
;
1
TTT
изрег
.
Тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
имеют вид:
]1)2[()2(2
1
)(
2121
р
pTTpТТ
pW
;
1]1)2[()2(2
1
)(
2121
оу2
з
pTTpТТ
k
pW
,
что соответствует оптимизации контура по МО с эквивалентной малой
постоянной времени
э
Т
.
Пример 2.6. Объект управления содержит инерционные звенья с
большой Т и малой
Т
)(
ТТ
постоянными времени и
интегрирующее звено с постоянной времени
о
Т
(рис. 2.16).
у
U
з
(-)
U
ос
1
0
Т p
W p
егр
( )
k
Tp
об1
1
k
T p
об2
1
k
оу
Рис. 2.16. Контур регулирования, объект которого содержит
интегрирующее звено и два инерционных звена с постоянными
времени
0
, TTT
В контуре содержится большая инерциооность с постоянной
времени Т, которая должна быть компенсирована регулятором. Если
принять ПИ-регулятор с передаточной функцией
pT
Тp
kkk
Т
pW
о
2
)1(
)(
21 оуобоб
рег
,
тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
имеют вид:
)1(2
1
)(
2
р
pTpТ
pW
;
1)1(2
1
)(
2
оу
з
pTpТ
k
pW
.
В замкнутом контуре оказывается два интегрирующих
устройства, и в результате получаем неустойчивый контур.
Если принять ПД-регулятор с передаточной функцией
,
2
)1(
)(
оу2об1об
рег
Tkkk
ТpТ
pW
о
107
то передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура имеют
вид (2.36) и (2.37), что соответствует оптимизации по МО.
2.4. Симметричный оптимум
2.4.1. Общие замечания
Если в контуре с учетом регулятора имеется двухкратное
интегрирование, например объект управления имеет звено с большой
инерционностью, которую необходимо компенсировать, и
интегрирующее звено (см. пример 2.6), настройка контура на МО с ПИ-
регулятором неосуществима. В этом случае для оптимизации контура
следует использовать симметричный оптимум.
Симметричный оптимум (СО – Symmetrisches Optimum) также
предложен Кесслером. Свое название он получил по симметричному
виду ЛАЧХ разомкнутого оптимизированного контура (см. рис. 2.19, а).
Для замкнутого оптимизированного по СО контура регулирования
принят стандартный вид передаточной функции
1
1
)(
1
2
2
3
3
1
papapa
pb
pW
з
, (2.38)
условия оптимизации (2.4) для которой при
1
00
ba
и
11
ab
имеют
вид:
.2
;2
31
2
2
2
2
1
aaa
aa
(2.39)
Оптимизируем контур (рис. 2.17), состоящий из инерционного
звена с большой постоянной времени Т, интегрирующего звена с
постоянной времени Т
0
и инерционного звена с эквивалентной малой
постоянной времени
Т
)(
TТ
.
Передаточную функцию регулятора примем вида
pT
pTpТ
kpW
из
упиз
регрег
)1()1(
)(
, (2.40)
где
ТТ
уп
. Тогда передаточная функция замкнутого контура имеет вид
1
)1(
)(
2
0
3
0
pTp
kk
ТT
p
kk
ТTT
pТ
pW
из
обрег
из
обрег
из
из
з
.
y
U
з
(-)
U
ос
1
0
Т p
Вх. Ф.
1
1T p
W p
егр
( )
k
Tp
об
1
108
Рис. 2.17
Для ее оптимизации необходимо выполнить условие (2.39), что
определяет следующие выражения для параметров регулятора
Тk
Т
k
2
0
об
рег
;
ТТ 4
из
. (2.41)
С учетом (2.40) и (2.41) передаточные функции разомкнутого и
замкнутого контура регулирования, оптимизированного по СО, имеют
вид:
)1(8
14
)(
2
2
р
pTpT
pT
pW
; (2.42)
.
1488
14
14)1(8
14
)(
2
2
3
3
2
2
pTpTpT
pT
pTpTpT
pT
pW
з
(2.43)
Таким образом, поведение регулируемой величины на выходе
контура при оптимизации по СО, так же как и при МО определяется
малыми постоянными времени. Однако оптимизированный по СО
контур представляет собой астатическую систему (см. (2.42)) с
астатизмом второго порядка и обеспечивает нулевую установившуюся
ошибку при отработке не только ступенчатого (статическая ошибка), но
и линейно-изменяющегося (скоростная ошибка) управляющего
воздействия.
Выражение для переходной функции контура регулирования с
передаточной функцией (2.43) имеет вид
T
t
x
tx
T
t
T
t
22
3
cos21
)(
4
2
ee
зад
. (2.44)
На рис. 2.18 и 2.19 приведены переходные функции и ЛЧХ
оптимизированного по СО контура (характеристики 1), а в табл. 2.3
указаны качественные показатели работы контура при ступенчатом
изменении задания. Переходные процессы в оптимизированном по СО
контуре характеризуются большим перерегулированием и
колебательностью, причиной которых является форсирующее звено в
числителе передаточной функции. Компенсация форсирующего
эффекта достигается установкой в канале задания (на входе контура
рис. 2.17) инерционного звена (сглаживающего фильтра) с
передаточной функцией
14
1
)(
вх.ф
pТ
pW
. (2.45)
109
Рис. 2.18. Переходные
характеристики контура
регулирования, настроенного на СО:
1 – без фильтра на входе; 2 – с
фильтром на входе; 3 –
характеристика соответствует (2.48)
40
20
-270
-180
-90
0
дБ L
град
0
lg
L
1
2T
1
4T
1
T
lg
1
8T
а б
1000
3
1
, с
-1
L
10c,010
ос
.k.T
Рис. 2.19. Логарифмические частотные характеристики контура
регулирования, настроенного на СО: а – асимптотическая разомкнутого
контура; б – разомкнутого (1), замкнутого без фильтра (2) и с фильтром (3)
на входе контура
Таблица 2.3
,%
)5(
1ру
t
)2(
1ру
t
)0(
1ру
t
)5(
2ру
t
)2(
2ру
t
град
с
рад
м
п
)(
с
рад
ф
п
)(
без фильтра на входе контура
43.4
Т9.2
Т0.3
Т1.3
Т7.14
Т5.16
36.9
Т
85.0
Т
59.0
с фильтром на входе контура
8.1
Т0.7
Т3.7
Т6.7
Т12
Т3.13
36.9
Т
5.0
Т
36.0
110
1
y
1
2
3
5 10 15 20 о.е.
t T/