Удут Л.С., Кояин Н.В., Мальцева О.П. Проектирование и исследование автоматизированных электроприводов. Часть 1. Введение в технику регулирования линейных систем Часть 2. Оптимизация контура регулирования
Подождите немного. Документ загружается.
Тогда передаточная функция замкнутого оптимизированного по
СО контура с учетом входного фильтра имеет вид
1488
1
)(
2
2
3
3
pTpTpТ
pW
з
, (2.46)
что соответствует оптимизации по МО контура 3-го порядка (см. (2.14)).
Выражение для переходной функции имеет вид
T
t
x
tx
T
t
T
t
22
3
sin
3
2
1
)(
42
ee
зад
. (2.47)
График переходной функции и ЛЧХ для этого случая приведены,
соответственно, на рис. 2.6 и 2.7 (характеристики 2) и на рис. 2.18
(характеристика 2) и рис. 2.19 (характеристики 3), а показатели работы
контура указаны в табл. 2.1 и 2.3.
При оптимизации последующего контура системы регулирования
передаточная функция (2.46) аппроксимируется как инерционное звено
1-го порядка (см. (2.14, а)) с эквивалентной постоянной времени
ТТ 4
э
(характеристика 3 на рис. 2.18)
1
1
14
1
)(
pTpТ
pW
э
з
(2.48)
и далее рассматривается как звено с малой постоянной времени.
2.4.2. Методика оптимизации контура по симметричному
оптимуму
1. Контур должен содержать последовательно включенные:
регулятор, интегрирующее звено с постоянной времени Т
0
, не более
одного инерционного звена 1-го порядка с большой постоянной
времени Т и ряд инерционных звеньев 1-го порядка с малыми
постоянными времени
i
t
, где
ТТ
0
и
ТТ
,
T
– эквивалентная
малая постоянная времени контура (см. (2.25)).
2. Передаточная функция регулятора в общем случае выбирается
вида (2.40), где
ТаbТ
ккиз
;
TT
уп
;
Таkk
Т
k
кособ
рег
0
;
кк
ba ,
– коэффициенты оптимизации контура, для СО
2
кк
ba
;
ТbаТ
ккэк
– эквивалентная постоянная времени
оптимизированного контура.
TT 4
эк
при оптимизации по СО.
3. Передаточные функции разомкнутого и замкнутого
оптимизированного контура в общем случае имеют вид
)1(
1
)(
222
р
pTpTba
pTba
pW
кк
кк
; (2.49)
111
1
1
1
)(
222332
pTbapTbapTba
pTba
k
pW
кккккк
кк
ос
з
(2.50)
При оптимизации по СО (
2
кк
ba
) передаточные функции (2.49)
и (2.50), соответственно, имеют вид (2.42) и (2.43).
4. Для оптимизации переходной функции по управлению на
входе контура в общем случае устанавливается входной фильтр с
передаточной функцией вида
1
1
1
1
)(
кк
1ф
2ф
1ф
вх.ф
pTba
pT
pT
pT
pW
, (2.51)
тогда передаточная функция замкнутого контура будет иметь вид
1
1
1
)(
222332
1
pTbapTbapTba
pT
k
pW
кккккк
ф
ос
з
. (2.52)
Для оптимизации переходной характеристики контура,
настроенного на СО (
2
кк
ba
), на входе контура устанавливается
сглаживающий фильтр с передаточной функцией вида (2.45).
Передаточная функция замкнутого контура с учетом входного фильтра
имеет вид (2.46).
Качественные показатели работы контура, оптимизированного по
СО, приведены в табл. 2.3.
5. Оптимизированный по СО внутренний контур (2.46) с
входным фильтром (2.45) вводится в объект управления внешнего
контура в виде инерционного звена 1-го порядка с передаточной
функцией вида (2.48) с эквивалентной постоянной времени контура
TT 4
э
.
Пример 2.7. Объект управления содержит оптимизированный по
МО замкнутый внутренний контур с передаточной функцией вида
(2.29), интегрирующее звено с постоянной времени
0
T
и инерционное
звено с малой постоянной времени
2
Т
(рис. 2.20).
Принимаем ПИ-регулятор с передаточной функцией
pТ
pТ
kpW
из
из
регрег
)1(
)(
,
где согласно (2.42)
ТТ 4
из
;
Тkk
kТ
k
2
0
оу2
оу1
рег
;
2121
2
ТТTTТ
э
.
Передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
имеют вид (2.42) и (2.43). Для оптимизации переходного процесса по
управлению на входе контура устанавливаем фильтр вида (2.45) с
постоянной времени
)2(4
21
ТТT
ф
, передаточная функция
замкнутого контура в этом случае имеет вид (2.46).
112
у
U
з2
(-)
U
ос
1
0
Т p
2
1
1Т p
ф
W p
егр
( )
k
T p
2
1
1
2 1
1
1
/ k
T p
оу
k
оу2
Рис. 2.20. Контур регулирования, объект которого содержит
интегрирующее звено, инерционное звено с малой постоянной
времени
2
T
и оптимизированный внутренний контур
Пример 2.8. Объект управления содержит оптимизированный по
СО замкнутый внутренний контур с передаточной функцией вида (2.46)
и инерционно звено 1-го порядка с большой постоянной времени T
(рис. 2.21).
Оптимизируем внешний контур по МО (см. пример 2.5).
Выбираем ПИ-регулятор с передаточной функцией
pT
pT
kpW
из
из
регрег
1
)(
,
где
TT
Tkk
Tk
k
изэ1
эоуоб
оу
рег
T T ;4;
2
12
1
.
уU
з2
(-)
U
ос
2
W p
егр
( )
k
оу2
1
8 8 4 1
1
3 3 2 2
k
T p T p T p
оу
у
1
U
з1
k
Tp
об
1
Рис. 2.21. Контур регулирования, объект которого содержит инерционное
звено с большой постоянной времени T и оптимизированный по СО
внутренний контур
Тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура
имеют вид:
14888
1
)(
2233
pTpTpTpT
pW
p
;
1148
1
114888
1
)(
2
2233
2
pTpT
k
pTpTpTpT
k
pW
оуоу
з
.
113
Пример 2.9. Объект управления содержит оптимизированный по
СО замкнутый внутренний контур с передаточной функцией вида (2.46)
и интегрирующее звено с постоянной времени
0
Т
(рис. 2.22).
у
U
з2
(-)
U
ос
2
W p
егр
( )
k
оу2
1
8 8 4 1
1
3 3 2 2
k
T p T p T p
оу
у
1
U
з1
k
T p
0
Вх. ф
Рис. 2.22. Контур регулирования, объект которого содержит
интегрирующее звено и оптимизированный по СО внутренний контур
Оптимизируем внешний контур по СО (см. пример 2.7). Выбираем
ПИ-регулятор с передаточной функцией
pT
pT
kpW
из
из
регрег
1
)(
,
где
TTTT
Tkk
Tk
k
э
э
4;4;
2
1
12
01
э1из
оу
оу
рег
.
Тогда передаточные функции разомкнутого и замкнутого контура,
при условии установки входного фильтра (2.45) на его входе, имеют вид:
1488128
116
)(
223322
р
pTpTpTpT
pT
pW
;
.
11614128
1
1161488128
1
)(
22
2оу
223322
2оу
з
рТpTpT
k
рТpTpTpTpT
k
pW
2.5. Вопросы практической оптимизации контура системы
подчиненного регулирования
2.5.1. Таблицы оптимизации контура регулирования
По результатам анализа вариантов решения задачи оптимизации
были выделены типовые и для них составлены таблицы, которые
позволяют правильно выбрать тип регулятора и метод оптимизации
контура, определить параметры настройки регулятора и ожидаемые
показатели качества работы оптимизированного контура.
114
Табл. 2.4 группирует контуры по методам оптимизации в
зависимости от постоянных времени звеньев объекта и определяет типы
регуляторов. Указанные в круглых скобках типы регуляторов
применяют, когда статическая ошибка не допустима. Если объект
содержит только инерционности 1-го порядка, то с регулятором одного
и того же типа возможны два метода оптимизации (см. пример 2.10).
Указанный в квадратных скобках метод оптимизации характеризуется
более длительным временем отработки возмущающих воздействий.
Табл. 2.5 позволяет при выбранном типе регулятора и методе
оптимизации найти параметры для настройки регулятора и оценить
показатели качества переходной функции регулируемой величины для
выбранных данных.
Таблица 2.4
Типы регуляторов и методы оптимизации
Объект регулирования
Тип
регулятора
Метод
оптимиза
ции
Постоян
ная
времени
сглажив
ающего
фильтра
ф
Т
Большие
постоянные
времени
Малые постоянные
времени *
0
Т
1
Т
2
Т
ТТ 4
ТТ 4
Т>>
T4
– – –
0
Т
И МО –
– + – + – – ПИ МО [СО] –
– + – – + – ПИ СО [МО] ** (–)
– + – – – + П (ПИ) МО (СО)
)4(
Т
– + + + – – ПИД МО [СО] –
– + + – + – ПИД СО [МО] ** (–)
– + + – – + ПД (ПИД) МО (СО)
)4(
Т
+ – – + – – ПИ СО
Т4
+ – – – + – ПИ СО
Т4
+ – – – – + П (ПИ) МО (СО)
)4(
Т
+ – + + – – ПИД СО
Т4
+ – + – + – ПИД СО
Т4
+ – + – – + ПД (ПИД) МО (СО)
)4(
Т
Примечания: * – малые постоянные времени сравниваются с
постоянной времени наибольшей инерционности 1-го порядка
1
Т
или со
временем интегрирования
0
Т
;
**
ТТ 40
ф
– если объект не содержит интегрирующего звена, то
ф
Т
определяется по (2.49) или графику рис. 2.24.
115
Пример 2.10. Объект регулирования с инерционными звеньями 1-го
порядка, одно из которых по постоянной времени превосходит все
остальные, вместе взятые:
n
i
i
TT
1
1
(рис. 2.23).
В качестве регулятора принимаем ПИ-регулятор с передаточной
функцией
pT
pТ
kpW
из
из
регрег
1
)(
.
y
U
з
(-)
U
ос
W p
егр
( )
k
T
p
об
1
1
1
1
1
T p
i
i
n
Рис. 2.23. Контур регулирования, объект которого содержит одно
инерционное звено с большой постоянной времени и несколько звеньев с
малыми
i
TT
1
Тогда передаточная функция замкнутого контура запишется в
общем виде
1
1
1
1
)(
2
1
3
1
pТ
kk
pТ
kk
TT
pТ
kk
TT
pТ
pW
из
регоб
из
регоб
из
регоб
из
з
,
где для упрощения записи принято
n
i
i
TT
1
.
Рассмотрим возможные варианты настройки контура.
1. При оптимизации контура по МО (см. пример 2.2)
1
ТТ
из
,
Тk
Т
k
2
1
об
рег
,
тогда
122
1
)(
2
2
pTpТ
pW
з
и настройка контура соответствует МО.
2. Если инерционное звено с большой постоянной времени Т
1
в
первом приближении принять за интегрирующее, то контур можно
оптимизировать по СО согласно (2.41)
ТТ 4
из
,
Тk
Т
k
2
1
об
рег
,
тогда
116
1
2
14188
14
)(
1
2
1
2
3
3
p
T
T
Tp
T
T
TpT
pТ
pW
з
.
117
Таблица 2.5
Данные для настройки параметров регуляторов
Метод
оптимизации
Тип
регуля
тора
Параметры регуляторов
Переходная функция при
скачке задания
Эквивал.
постоянн
ая
времени
оптимизи
рованног
о контура
к
Т
и
Т
из
Т
уп
Т
рег
k
только с
инерцион
ностью 1-
го порядка
с
интегрирующи
м звеном
)0(
1ру
t
)2(
2
)5(
2
ру
ру
t
t
%
Линейный
оптимум
(ЛО)
И
Tkk
особ
4
– – – –
–
Т
Т
6.11
5.9
0
Т4
П – – – –
Tkk
Т
4
0
особ
ПИ
Tkk
особ
4
1
Т
–
Tkk
Т
особ
4
1
–
ПД – –
2
Т
Tkk
Т
4
0
особ
ПИД
Tkk
особ
4
1
Т
–
Модульный
оптимум
(МО)
И
Tkk
особ
2
– – – –
Т7.4
Т
Т
4.8
1.4
4.3
Т2
П – – –
Tkk
Т
особ
2
1
Tkk
Т
2
0
особ
ПИ
Tkk
особ
2
1
Т
– –
ПД – –
2
Т
Tkk
Т
2
0
особ
ПИД
Tkk
особ
2
1
Т
–
118
Окончание табл. 2.5
Метод
оптимизации
Тип
регуля
тора
Параметры регуляторов
Переходная функция при
скачке задания
Эквивал.
постоянн
ая
времени
оптимизи
рованног
о контура
к
Т
и
Т
из
Т
уп
Т
рег
k
только с
инерцион
ностью 1-
го порядка
с
интегрирующи
м звеном
)0(
1ру
t
)2(
2
)5(
2
ру
ру
t
t
%
Симметричный оптимум (СО)
Только
инерцион
ности 1-
го
порядка
ПИ
1
2
8
Т
Т
kk
особ
Т4
–
Tkk
Т
особ
2
1
–
Т1.3
T
T
5.16
7.14
<43.4
2
2
ф
T
T
ИД
2
Т
Т6.7
T
T
3.13
12
<8.1
Интегрир
ующее
звено
ПИ
0
2
8
Т
Т
kk
особ
Т4
–
–
Tkk
Т
2
0
особ
Т1.3
T
T
5.16
7.14
43.4
Т4
ПИД
2
Т
Т6.7
T
T
3.13
12
8.1
119
Анализируя полученные выражения, делаем следующие выводы.
Если
TT 4
1
(
ТТ
1
), то настройка контура близка к СО; если
ТТ 4
1
, то
122
1
16108
14
)(
2
2
2
2
3
3
з
pTpTpTpTpT
pТ
pW
,
и настройка контура соответствует МО. Соответственно и параметры
переходной функции по заданию будут зависеть от соотношения
постоянных времени, например перерегулирование будет равно 43.4 %
при
Т
Т
1
и 4.3 % при
4
1
Т
Т
. Для оптимизации переходной функции
при настройке такого контура на СО постоянную времени
сглаживающего фильтра на входе контура следует рассчитывать по
выражению
1
4
1
14
T
T
ТТ e
ф
(2.53)
или выбирать из графика рис. 2.24.
Рис. 2.24. Постоянная
времени сглаживающего
фильтра на входе контура,
содержащего только
инерционности 1-го порядка и
оптимизированного по СО
При
ТТ 4
1
настройка на СО теряет смысл и настройку контура
следует вести по МО (см. п. 1).
Если объект содержит не одно, а два звена с большими
постоянными времени, то выбирается ПИД-регулятор. С помощью Д-
упреждения обычным способом (
2
TT
уп
) компенсируется вторая по
величине постоянная времени инерционности объекта, а вид
оптимизации контура определяется отношением постоянных
1
T
и
T4
.
3. Если отношение
20
1
T
T
, то можно повысить быстродействие
замкнутого контура, применив П-регулятор с коэффициентом усиления
[1]
1
2
3
4
1
T
T
1
4
T
ф
Т
Т
Т
Т
121