Турищев Л.С. Численные методы решения задач строительства

81

В рассмотренных выше примерах графики имеют вид в соответствии

с параметрами формата, определенными системой при ее запуске. Изменяя

параметры первоначального формата, можно придать построенным графи-

кам большую наглядность и информативность. Это осуществляется с по-

мощью диалогового окна форматирования

Для его открытия необходимо выделить форматируемый график и ввести

команду

X-Y Plot подменю Graph меню Format главного меню системы.

Окно можно также открыть, установив курсор мыши в области графика и

выполнив двойной щелчок левой клавишей. Окно форматирования двух-

мерных декартовых графиков содержит четыре вкладки.

Для упорядочения использования параметров вкладки

X-Y Axes они

объединены в три группы. С помощью группы параметров

Axes Style, рас-

положенных внизу на вкладке X-Y Axes, можно:

 ввести координатные оси: стандартного вида – параметр Crossed и

в виде прямоугольника – параметр Boxed;

 установить масштабы по осям координат (одинаковые или разные)

– параметр Equal scales;

 отменить ввод координатных осей – параметр None.

Используя группы параметров X-Axes или Y-Axes, можно для каж-

дой координатной оси:

 выбрать вид числовой шкалы (равномерная или логарифмическая)

– параметр Log Scale;

 ввести автоматический выбор диапазона изменения числовой

шкалы

– параметр AutoScale;

82

 показать нумерацию числовой шкалы – параметр Numbered;

 назначить величину деления шкалы: автоматическое определение

системой – параметр Auto Grid и ручное определение – параметр Num-

bered of Grids

;

 изобразить координатные линии – параметр Grid Lines;

 выделить на графике функции две его характерные точки (корни,

экстремумы, разрывы и др.)

– параметр Show Markers.

Задание указанных параметров производится включением или выключени-

ем флажка в окошке соответствующего параметра.

Вторая вкладка

Traces имеет вид

В основу упорядочения структуры параметров вкладки положен спи-

сок

Legend Label, состоящий из шестнадцати элементов. Каждый элемент

списка соответствует одному графику и задает ярлык или имя легенды для

строки параметров, определяющих вид линии этого графика. Стандартное

имя легенды

trace n (1 n 16) может быть изменено с помощью окна ре-

дактирования, расположенного под списком элементов.

Параметры каждой строки позволяют:

 задавать тип линии графика – параметр Line;

 назначать толщину линии графика – параметр Weight;

 определять цвет линии графика – параметр Color;

 выбирать тип графика – параметр Type;

 вводить символ для выделения узловых точек графика – параметр

Symbol.

83

Используя параметры вкладки Labels

можно:

 создавать заголовок графика в строке Title, определять с помощью

параметров Above и Below его расположение по отношению к области по-

строения графика и осуществлять визуализацию заголовка, для чего необ-

ходимо установить курсор мыши в окошко команды

Show Title и вклю-

чить флажок щелчком левой клавиши;

 вводить подписи к координатным осям в строках X-Axes и Y-Axes

при включенных флажках в соответствующих окошках.

Четвертая вкладка

Defaults

позволяет:

84

 сохранить сделанные изменения параметров для использования их

при построении других графиков, для чего необходимо установить курсор

мыши в окошко команды

Use for Defaults и включить флажок щелчком

левой клавиши;

 восстановить первоначальные значения параметров, устанавливае-

мые при запуске системы, с помощью командной кнопки

Change to Defaults.

1.4

. Создание текстовых блоков

Текстовые блоки позволяют ввести в

MathCAD-документ в необхо-

димом объеме словесное описание сути решаемой задачи, ее алгоритма,

полученных результатов, а также отдельные текстовые комментарии, по-

ясняющие формулы, графики и другие элементы, связанные с решением

задачи и расположенные рядом с соответствующими элементами. Это

придает законченный вид промежуточным и конечным результатам ре-

шенной задачи. Например, при выполнении в

MathCAD расчетов строи-

тельных конструкций использование текстовых блоков позволит быстро и

качественно оформить их в форме пояснительной записки.

Для создания текстовых блоков используется команда

Text Region

меню Insert главного меню системы. Это позволяет ввести вместо курсора

текстовый шаблон

,

состоящий из прямоугольной рамки, маркеров и курсора в виде красной

вертикальной линии, который определяет место для ввода текста. Тексто-

вый шаблон можно также ввести сочетанием клавиш

[Shift + “].

Определяющим параметром текстового блока является его ширина,

которая не может превышать ширины страницы рабочего листа докумен-

та. Возможно задание двух типов текстовых блоков. Текстовый блок пер-

вого типа занимает часть ширины страницы рабочего листа (его ширина

определяется размером наиболее длинной строки блока) и имеет вид от-

дельного комментария, расположенного в произвольном месте страницы.

Текстовый блок второго типа занимает всю ширину страницы и имеет тот

же вид, что и обычный текст, созданный с помощью текстового редактора

Microsoft Word.

При создании текстового блока первого типа рамка введенного шаб-

лона задает положение левого верхнего угла блока. По мере ввода текста

85

размеры рамки шаблона изменяются, и задается положение трех остальных

углов блока. Кроме того, размеры текстовых блоков могут изменяться с

помощью мыши и маркеров рамки шаблона. Для окончания ввода текста

необходимо вывести курсор за пределы текстового блока.

Для создания текстового блока второго типа необходимо ввести тек-

стовый шаблон, открыть с помощью команды

Properties меню Format

главного меню системы диалоговое окно

и установить флажок в окошко параметра Occupy Page Width. В этом слу-

чае текстовый шаблон занимает всю ширину страницы

Установка флажка в окошко второго параметра позволяет сохранить

неизменным расстояние между текстовыми блоками обоих типов и ос-

тальными объектами документа, расположенными ниже блоков. Это про-

исходит за счет автоматического опускания этих объектов по мере появле-

ния новых строк текста.

Ввод текста в шаблон, его редактирование и форматирование, копи-

рование и удаление производится в

MathCAD с помощью приемов, кото-

рые во многом совпадают с аналогичными приемами текстового редактора

Microsoft Word. Освоение и применение этих приемов будет осуществ-

ляться при оформлении выполненных лабораторных работ.

Создание текстовых блоков большого объема и сложной структуры,

включающие графики, рисунки, формулы, можно также осуществлять с

помощью редактора

Word в виде отдельных файлов. Содержимое таких

86

файлов вставляется в MathCAD-документ с помощью команды Object ме-

ню

Insert главного меню системы или с помощью буфера обмена.

2. Подготовка к выполнению работы

2.1. Прочитайте теоретические основы работы.

2.2. Запустите систему

MathCAD и откройте окно информационного

центра системы с помощью команды

Resource Center меню Help главного

меню системы.

2.3. Откройте раздел

Overview and Tutorials, выберите главу Getting

Started Tutorial и ознакомьтесь с содержащимися в ней примерами:

 создания простейших математических выражений – Building

Mathematical Expressions.

 задания простых и ранжированных переменных – Defining Vari-

ables и Defining Range Variables.

 задания векторов и матриц – Defining Vectors and Matrices.

 задания функций пользователя – Defining Functions.

 создания двухмерных графиков в декартовой системе координат –

Creating Graphs

.

2.4. Получите у преподавателя свой вариант заданий для лаборатор-

ной работы и приступите к ее выполнению согласно изложенному ниже

порядку.

3. Порядок выполнения работы

3.1. Откройте окно для создания нового документа.

3.2. Присвойте документу имя, включающее вашу фамилию и номер

лабораторной работы.

3.3. Сохраните документ в папке вашей группы.

3.4. Создайте для своего варианта лабораторной работы вычислитель-

ный и графический блоки, осуществив следующие вычисления и операции:

 установите ручной режим вычислений;

 введите арифметическое выражение и вычислите его значение;

 введите арифметическое выражение с параметрами и вычислите

его значение;

87

 введите матрицу, задайте системной переменной ORIGIN значение 1

и выведите на экран значения отдельных элементов матрицы;

 осуществите для введенной матрицы операции возведения в сте-

пень, обращения, транспонирования и вычисления определителя;

 введите функцию и вычислите ее значения для отдельных значе-

ний аргумента и для заданного интервала изменения аргумента;

 осуществите для заданной функции вычисление ее первой произ-

водной и определенного интеграла;

 постройте графики для заданных функций в декартовой системе

координат;

 измените режим вычислений, формат представления результата,

число значащих цифр и точность вычислений и изучите, как это отражает-

ся на полученных результатах.

3.5. Оформите созданный

MathCAD-документ, используя текстовые

блоки. Для этого:

 создайте заголовок своей лабораторной работы;

 введите в вычислительный и графический блоки необходимые

текстовые комментарии к полученным результатам работы.

3.6. Предъявите преподавателю для просмотра результаты выпол-

ненной лабораторной работы.

3.7. Закройте созданный документ и сохраните его в папке вашей

группы.

88

Лабораторная работа № 2

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы:

Научиться осуществлять численное решение систем линейных ал-

гебраических уравнений:

 методом Гаусса по схеме единственного деления;

 методом простой итерации.

1. Теоретические основы работы

Рассматривается каноническая

nnnnnn

nn

bxa...xaxa

......................................

bxa...xaxa







2211

22222121

11212111

(2.1)

или матричная форма

b

Ax



(2.2)

системы неоднородных линейных алгебраических уравнений. Требуется

найти корни системы

n

x,...,x

1

или вектор решения

x

при заданных чис-

ленных значениях элементов матрицы коэффициентов и вектора свобод-

ных членов

.

b

,

aaa

nnnnn

n





































2

1

21

22221

11211

bA

Считается, что матрица коэффициентов A неособенная, т. е. ее определи-

тель не равен нулю

0



A

det

,

и система уравнений (2.1) или (2.2) имеет единственное решение. Кроме

того, считается, что все коэффициенты вида 0



ii

a . При решении систем

уравнений (2.1), встречающихся в задачах строительной механики, такие

условия соблюдаются всегда и, более того,

0



ii

a .

89

1.1. Алгоритм метода Гаусса по схеме единственного деления

Опишем алгоритм метода Гаусса для канонической формы системы

уравнений (2.1). Известно, что метод включает две вычислительные про-

цедуры

– прямой и обратный ходы. Прямой ход позволяет заменить ис-

ходную систему уравнений (2.1) эквивалентной системой

1

223232

113132121

















n

nn

x

..........

x...xx

x...xxx

. (2.3)

Обратный ход служит для нахождения корней системы уравнений (2.1) пу-

тем решения эквивалентной системы уравнений (2.3).

Для реализации прямого хода образуем расширенную матрицу сис-

темы уравнений (2.1), объединив матрицу коэффициентов и вектор сво-

бодных членов

a

aaa

~

nn

n

nnnn

n

















1

12

11

21

22221

11211









A

. (2.4)

Здесь

)n,...,i( ba

iin

1





.

На первом шаге прямого хода поделим первую строку матрицы (2.4)

на элемент

a

11

. Полученную преобразованную строку последовательно ум-

ножим на элементы

)n,...,i( a

i

2

1



и вычтем из соответствующих строк

матрицы (2.3), начиная со второй. В итоге после первого шага прямого хо-

да получим расширенную матрицу следующего вида:

















1

12

1

11

3

1

2

1

2

1

23

1

22

1

13

1

12

1

0

1

nn

n

nnnn

n

a

aaa

~









A . (2.5)

Здесь

)n,...,j n,...,i(

aaaa

a

ijijij

j

11;2

1

11

1





.

На втором шаге прямого хода, полагая элемент

1

22

a

отличным от ну-

ля,

поделим на него вторую строку матрицы (2.5). Полученную преобразо-

ванную строку последовательно умножим на элементы

)n,...,i( a

i

3

1

2

 и

90

вычтем из соответствующих строк матрицы (2.5), начиная с третьей. В

итоге после второго шага прямого хода получим расширенную матрицу

следующего вида:

















2

1

2

12

1

11

22

3

2

23

1

13

1

12

2

00

10

1

nn

n

nnn

n

a

aa

aaa

~









A

.

Здесь

)n,...,j;n,...,i(

aaaa

a

ijijij

j

113

1

2

12

1

22

1

2





.

Продолжая процесс преобразований расширенной матрицы по опи-

санной схеме, после (

n-1)-го шага прямого хода получим расширенную

матрицу следующего вида:



























1

11

2

12

1

11

1

2

12

2

23

1

11

1

13

1

12

1

0000

1000

10

1

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

a

aaa

aaaa

~









A . (2.6)

Здесь

)n,...,j(

aaaa

a

n

nn

n

jn

n

nj

n

nj

n

nn

n

jn

n

jn

11

2

1

21

2

11

2

1















.

На n-ном шаге прямого хода поделим последнюю строку матрицы (2.6)

на коэффициент

1n

nn

a

и получим расширенную матрицу следующего вида:

























n

nn

n

nn

n

nn

n

a

aaa

aaaa

~

1

11

2

12

1

11

1

2

12

2

23

1

11

1

13

1

12

10000

1000

10

1









A . (2.7)

Здесь

)n,...,j(

a

n

nn

n

nj

n

nj

11

1





.

Элементы матрицы коэффициентов и вектора свободных членов эк-

вивалентной системы уравнений (2.3)

Турищев Л.С. Численные методы решения задач строительства

Подождите немного. Документ загружается.