Турищев Л.С. Численные методы решения задач строительства
Подождите немного. Документ загружается.
111
Проверяем условие нахождения собственного значения
2.4. Находим третье приближение искомого собственного значения
Проверяем условие нахождения собственного значения
Условие выполняется и, следовательно, наибольшее по модулю соб-
ственное значение матрицы
a найдено с заданной точностью 0.005
3
3. Формирование вспомогательной матрицы b
Вводим единичную матрицу
Получаем матрицу b
4. Отыскание наибольшего по модулю собственного значения матрицы b
4.1. Находим первое приближение искомого собственного значения
112
4.2. Находим второе приближение искомого собственного значения
Проверяем условие нахождения собственного значения
4.3. Находим третье приближение искомого собственного значения
Проверяем условие нахождения собственного значения
4.4. Находим четвертое приближение искомого собственного значения
Проверяем условие нахождения собственного значения
Условие выполняется и, следовательно, наибольшее по модулю соб-
ственное значение матрицы
b найдено с заданной точностью 0.005
4
113
5. Отыскание наименьшего и наибольшего собственных значений
заданной матрицы a
2. Подготовка к выполнению работы
2.1. Прочитайте теоретические основы работы.
2.2. Ознакомьтесь с выполненным примером 4.1, иллюстрирующим
численную реализацию алгоритма изучаемого метода в среде
MathCAD.
2.3. Получите у преподавателя свой вариант заданий для выполнения
лабораторной работы и приступите к ее выполнению согласно изложенно-
му ниже порядку.
3. Порядок выполнения работы
3.1. Запустите систему MathCAD и откройте окно для создания ново-
го документа.
3.2. Присвойте документу имя, включающее вашу фамилию и номер
лабораторной работы.
3.3. Сохраните документ в папке вашей группы.
3.4. Осуществите численное решение частичной проблемы собствен-
ных значений симметричной матрицы методом итераций.
3.5. Осуществите уточнение первого вещественного корня заданного
уравнения методом половинного деления.
3.6. Введите необходимые текстовые комментарии к созданным ис-
полняемым блокам и полученным результатам.
3.7. Создайте в соответствии с приведенным в приложении образцом
заголовок лабораторной работы.
3.8. Предъявите преподавателю для просмотра выполненную и
оформленную лабораторную работу.
3.9. Закройте созданный документ и сохраните его в папке вашей
группы.
114
Лабораторная работа № 5
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы:
Научиться осуществлять для обыкновенного линейного дифферен-
циального уравнения второго порядка численное решение:
начальной задачи методом Рунге-Кутта;
краевой задачи методом конечных разностей.
1. Теоретические основы работы
Рассматривается линейное дифференциальное уравнение
)x(gy)x(q
dx
dy
)x(p
dx
yd
2
2
. (5.1)
Переменные коэффициенты
)
x
(
q
),
x
(
p
и свободный член
)
x
(
g
описыва-
ются непрерывными функциями. В частном случае коэффициенты могут
быть постоянными величинами, а свободный член
– равняться нулю.
Начальная задача для уравнения (5.1) формулируется следующим
образом. Найти функцию
)
(
x
y
y
, которая на заданном отрезке интегри-
рования уравнения
axx
0
(5.2)
удовлетворяет этому уравнению и двум начальным условиям
0000
y)x(y ,y)x(y
, (5.3)
где
000
y ,y ,x
– заданные числа.
С помощью подстановки
1
yy
начальная задача для дифференциального уравнения второго порядка при-
водится к начальной задаче для эквивалентной системы двух дифференци-
альных уравнений первого порядка
)z,y,x(f
dx
dz
z
dx
dy
, (5.4)
где
)
x
(
q
z
)
x
(
p
)
x
(
g
)
z
,
y
,
x
(
f
. Система уравнений (5.4) должна удов-
летворять начальным условиям (5.2).
115
Краевая задача для уравнения (5.1) заключается в отыскании функ-
ции
)
(
x
y
, которая внутри отрезка интегрирования
b
x
a
(5.5)
удовлетворяет уравнению, а на его концах – граничным условиям. Эти ус-
ловия в общем случае имеют вид
),,i(
,B)b(y)b(y
,A)a(y)a(y
ii
100
22
10
10
(5.6)
где B,A,,,,
1010
– заданные числа.
1.1. Алгоритм численного решения начальной задачи методом
Рунге
-Кутта
В основе алгоритма решения начальной задачи для уравнения (5.1)
методом Рунге
-Кутта лежит построение системы узловых точек в заданном
отрезке интегрирования (2) с некоторым произвольным шагом
x
n,...,,i ,xixx
i
10
0
и вычисление приближенных узловых значений функций
)
(
x
y
и
)
x
(
z
по
конечно
-разностным формулам
iii
iii
zzz
yyy
1
1
. (5.7)
Приращения
ii
zy ,
, входящие в (5.7), описываются нелинейными
функциями от шага
x
)mmmm(z
)kkkk(y
iiii
i
iiii
i
4321
4321
22
6
1
22
6
1
, (5.8)
где
)mz( xk
)m.z(xk
)m.z(xk
zxk
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
34
23
12
1
50
50
)mz ,ky,xx(fxm
)m.z ,k0.5y,x.x(fxm
)m.z,k0.5y,x.x(fxm
)z ,x(fxm
i
i
i
ii
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
ii
i
ii
i
334
223
112
1
5050
5050
Для оценки правильности выбранного шага x рекомендуется вы-
числять
116
)m( m
kk
kk
ii
ii
i
1010
2
21
32
. (5.9)
В случае невыполнения условия (5.9) следует уменьшить шаг x.
Требуемая точность приближенного вычисления искомой функции
)
(
x
y
считается достигнутой, если выполняется условие
n
*
n
yy
15
1
.
Здесь
*
nn
yи y
– приближенные значения искомой функции в узле
n
x
, со-
ответственно, с шагом
x и 0.5x, а
– заданная точность решения на-
чальной задачи.
Пример 5.1. Задано дифференциальное уравнение
01020
2
2
ysin
dx
dy
.
dx
yd
Требуется найти его численное решение, которое на отрезке интег-
рирования
3
0
0
.
x
удовлетворяет начальным условиям
030
00
y
.
y
1. Исходные данные
1.Исходные данные
x
y
d
d
z
x
z
d
d
f y z
( ) f y z( ) 0.2 z 10 sin y( )
i 0 3 x
0
0
x 0.1 x
i
x
0
i
x
y
0
0.3 z
0
0
2 .Решение уравнения методом Рунге-Кутта
2.1. Вычислим приращения первого шага
k
1
0
x z
0
m
1
0
x f y
0
z
0
k
2
0
x z
0
0.5 m
1
0
m
2
0
x f y
0
0.5 k
1
0
z
0
0.5 m
1
0
k
3
0
x z
0
0.5 m
2
0
m
3
0
x f y
0
0.5 k
2
0
z
0
0.5 m
2
0
k
4
0
x z
0
m
3
0
m
4
0
x f y
0
k
3
0
z
0
m
3
0
117
0
k
2
0
k
3
0
k
1
0
k
2
0
0
y
0
1
6
k
1
0
2 k
2
0
2 k
3
0
k
4
0
y
0
z
0
1
6
m
1
0
2 m
2
0
2 m
3
0
m
4
0
z
0
2.2. Вычислим значение функции в первой узловой точке
2879028540
11
001001
.z .y
zz:z yy:y
2.3. Вычислим приращения второго шага
255022
6
1
0419022
6
1
06020
505050
505050
1
1
4
1
3
1
2
1
11
1
1
4
1
3
1
2
1
11
1
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
31
1
31
1
4
1
31
1
4
1
21
1
21
1
3
1
21
1
3
1
11
1
11
1
2
1
11
1
2
11
1
11
1
1
.z )mmmm(:z
.y )kkkk(:y
.
kk
kk
:
)mz ,ky(fx:m )m(z
Δx:k
)m.z ,k.y(fx:m )m.(z
Δx:k
)m.z ,k.y(fx:m )m.(z
Δx:k
)z ,f(y
Δx:m zx:k
2.4. Вычислим значение функции во второй узловой точке
543024350
22
112112
.z .y
zz:z yy:y
2.5. Вычислим приращения третьего шага
1982022
6
1
0648022
6
1
505050
505050
2
2
4
2
3
2
2
2
12
2
2
4
2
3
2
2
2
12
2
32
2
32
2
4
2
32
2
4
2
22
2
22
2
3
2
22
2
3
2
12
2
12
2
2
2
12
2
2
22
2
12
2
1
.z )mmmm(:z
.y )kkkk(:y
)mz ,ky(fx:m )m(z
Δx:k
)m.z ,k.y(fx:m )m.(z
Δx:k
)m.z ,k.y(fx:m )m.(z
Δx:k
)z ,f(y
Δx:m zx:k
118
2.6. Вычислим значение функции в третьей узловой точке
7411017880
33
223223
.z .y
zz:z yy:y
Следовательно, решение заданного уравнения имеет вид
1.2. Алгоритм численного решения краевой задачи методом
конечных разностей
При решении краевой задачи для уравнения (5.1) методом конечных
разностей отрезок интегрирования (5) разбивается на
n равных частей
n
ab
x
(5.10)
и строится система равноотстоящих узловых точек
bx ,ax
)n,...,,i( ,xixx
n
i
0
0
10
. (5.11)
Производные yy
, , входящие в уравнение (5.1), во внутренних узлах
отрезка (5.5) описываются приближенными конечно
-разностными отно-
шениями
2
1111
2
2
x
yyy
y ,
x
yy
y
iii
i
ii
i
. (5.12)
Такие отношения в наружных узлах для производной
y
, входящей в гра-
ничные условия (5.6), имеют вид
x
yy
y ,
x
yy
y
nn
n
101
0
. (5.13)
Использование конечно-разностных отношений (5.12), (5.13) при-
водит краевую задачу для уравнения (5.1) к решению системы линейных
алгебраических уравнений относительно узловых значений искомой
функции
)
(
x
y
119
Bxy)x(y
)n,...,i( gxyymyk
Axyy)x(
nn
iiiiii
1011
2
11
11010
11
, (5.14)
где
iiiii
pxm ,qxpxk
21
2
. (5.15)
Система уравнений (5.14) имеет трехчленную структуру и решается
методом прогонки. Согласно этому методу неизвестные узловые значения
искомой функции находятся с помощью рекуррентных формул
x
xAy
y
01
11
0
)
n ,... , ,i( )yd(cy
iiii
210
21
(5.16)
x )c(
x Bd c
y
n
nn
n
021
221
1
Входящие в (5.16) величины
ii
d ,c
имеют вид
2
0
01
0
0
1010
01
0
xg
x
xAk
d
k)x(m
x
c
o
(5.17)
если
0
i
и
11
2
1
1
iiiii
iii
i
dckxgd
ckm
c
(5.18)
если
2
,...,
2
,
1
n
i
.
Вычисление узловых значений искомой функции по полученным фор-
мулам включает прямой и обратный ход. Прямой ход состоит в вычислении
значений
iiii
d,c,k,m
в порядке возрастания индекса i
)
n
,
...
,
,
i
(
2
1
0
по
формулам (5.15), (5.17), (5.18)
. Обратный ход заключается в вычислении
неизвестных узловых значений искомой функции
)
(
x
y
в порядке убыва-
ния индекса
i по формулам (5.16).
Для оценки погрешности решения краевой задачи методом конечных
разностей используют двойной счет с шагом
x и 0.5x. Требуемая точ-
ность приближенного вычисления искомой функции
)
(
x
y
считается дос-
тигнутой, если выполняется условие
i
*
i
yy
3
1
120
Здесь
*
ii
yи y
– приближенные значения искомой функции в узле
i
x
, соответ-
ственно, с шагом x и 0.5x, а
– заданная точность решения краевой задачи.
Пример 5.2. Задано дифференциальное уравнение
x
y
dx
dy
x
dx
y
d
422
2
2
Требуется найти его численное решение, которое на отрезке интегрирования
1
0
x
удовлетворяет граничным условиям
71831
000
.
)
(
y
)
(
y
)
(
y
1. Исходные данные
p x( ) 2 x q x( ) 2 g x( ) 4 x
a 0 b 1 n 10
i 0 n
x
b a
n
x
i
a i
x
0
1
1
1 A 0
0
1
1
0 B 3.718
2. Решение уравнения методом конечных разностей
2.1. Прямой ход
11
2
1
2
0
2
0
01
0
0
0
10010
01
0
000
2
00
1
21
21
0
90160
21
iiiii
iii
i
iiiii
dckx)g(x:d
ckm
:c
)x(px:m )x(qx)x(px:k
n..:i
d x)g(x
x
xAk
:d
.c
k)x(m
x
:c
)x(px:m )x(qx)x(px:k
2.2.
Обратный ход
y
n
1
c
n 2
d
n 2
B
x
1
1 c
n 2
0
x
i n 1 1
y
i
c
i 1
d
i 1
y
i 1
y
0
1
y
1
A
x
1
0
x