Турищев Л.С. Численные методы решения задач строительства
Подождите немного. Документ загружается.
131
a
3
0 j
a
2
0 j
a
2
0 3
a
2
2 j
a
2
2 3
– элементы разрешающей строки
j 0 2
a
3
2 j
a
2
2 j
a
2
2 3
- элементы остальных строк
– элементы остальных строк
i 1 3
a
3
1 j
a
2
1 j
a
2
2 j
a
2
1 3
a
2
2 3
a
3
3 j
a
2
3 j
a
2
2 j
a
2
3 3
a
2
2 3
Получение симплексной матрицы третьего шага исключений
115
122
212
135
3
а
.
Получение базисных переменных начального опорного решения
522
534
03
35
02
33
01
34
x x x
a:x a:x a:x
,,,
Проверка оптимальности опорного решения
1000
20
3
10
3
,,
a a
.
Начальное опорное решение не является оптимальным, так как пара-
метр целевой функции третьего шага при элементе решения
x
1
отрица-
тельный.
3. Нахождение оптимального опорного решения
3.1. Первый шаг корректировки опорного решения – перевод элемен-
та решения
x
1
из свободных переменных в базисные.
Вычисление оценочных отношений элемента решения
x
1
52
13
3
03
3
11
3
01
3
,
,
,
,
a
a
a
a
Разрешающий элемент первого шага корректировки
1
11
3
,
a
132
Следовательно, из базисных переменных в свободные переводится
элемент решения
x
4
.
Преобразование элементов симплексной матрицы третьего шага ис-
ключений:
– строка параметров целевой функции
j 0 2
a
4
0 j
a
3
0 j
a
3
0 1
a
3
1 j
a
3
1 1
j 0 2( )
a
3
0 1
a
3
1 1
j 1( )
– элементы разрешающей строки
j 0 2
a
4
1 j
a
3
1 j
a
3
1 1
- элементы остальных строк
– элементы остальных строк
i 2 3
a
4
i j
a
3
i j
a
3
1 j
a
3
i 1
a
3
1 1
j 0 2( )
a
3
i 1
a
3
1 1
j 1( )
Получение симплексной матрицы после первого шага корректировки
313
326
212
5311
4
a
Получение базисных переменных опорного решения после первого
шага корректировки
362
531
03
45
02
43
01
41
x x x
a:x a:x a:x
,,,
Проверка оптимальности опорного решения
0010
20
4
10
4
,,
a a
Опорное решение не является оптимальным, так как параметр целевой
функции после первого шага при элементе решения
x
2
отрицательный.
3.2. Второй шаг корректировки опорного решения – перевод элемен-
та решения
x
2
из свободных переменных в базисные.
133
Разрешающий элемент второго шага корректировки
3
23
4
,
a
единственный положительный элемент второго столбца симплексной мат-
рицы первого шага корректировки.
Следовательно, из базисных переменных в свободные переводится
элемент решения
x
5
.
Преобразование элементов симплексной матрицы первого шага кор-
ректировки:
– строка параметров целевой функции
j 0 2
a
5
0 j
a
4
0 j
a
4
0 2
a
4
3 j
a
4
3 2
j 0 1( )
a
4
0 2
a
4
3 2
j 2( )
– элементы разрешающей строки
j 0 2
a
5
3 j
a
4
3 j
a
4
3 2
- элементы остальных строк
– элементы остальных строк
i 1 2
a
5
i j
a
4
i j
a
4
3 j
a
4
i 2
a
4
3 2
j 0 1( )
a
4
i 2
a
4
3 2
j 2( )
Получение симплексной матрицы после второго шага корректировки
133301
119
667033304
6671333116
5
.
..
..
a
Получение базисных переменных опорного решения после второго
шага корректировки
194
231
03
52
02
53
01
51
x x x
a:x a:x a:x
,,,
Проверка оптимальности опорного решения
1010
20
5
10
5
,,
a a .
134
Опорное решение является оптимальным, так как все параметры це-
левой функции после второго шага удовлетворяют условию неотрицатель-
ности. Максимальное значение целевой функции
16
00
5
max
,
max
F a:F .
2. Подготовка к выполнению работы
2.1. Прочитайте теоретические основы работы.
2.2. Ознакомьтесь с выполненным примером 6.1, иллюстрирующим
численную реализацию алгоритмов изучаемых методов в среде
MathCAD.
2.3.
Получите у преподавателя свой вариант заданий для выполнения
лабораторной работы и приступите к ее выполнению, согласно изложен-
ному ниже порядку.
3. Порядок выполнения работы
3.1. Запустите систему MathCAD и откройте окно для создания ново-
го документа.
3.2. Присвойте документу имя, включающее вашу фамилию и номер
лабораторной работы.
3.3. Сохраните документ в папке вашей группы.
3.4. Осуществите численное решение для заданной основной задачи
линейного программирования симплексным методом.
3.5. Введите необходимые текстовые комментарии к созданным ис-
полняемым блокам и полученным результатам.
3.6. Создайте заголовок лабораторной работы.
3.7. Предъявите преподавателю для просмотра выполненную и
оформленную лабораторную работу.
3.8. Закройте созданный документ и сохраните его в папке вашей
группы.
135
4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ
Тема 1.
Введение в численные методы решения задач строительства
1. Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия:
конечный алгоритм;
итерационный алгоритм;
погрешность приближенной величины;
абсолютная погрешность приближенной величины;
предельная абсолютная погрешность приближенной величины;
предельная относительная погрешность приближенной величины;
значащие цифры;
верные и сомнительные значащие цифры;
устойчивость результата вычислений;
устойчивость вычислительного процесса;
алгоритм решения задачи.
2. Проверьте, как Вы сумеете воспроизвести:
правила арифметических действий с приближенными величинами;
практическую оценку устойчивости вычислительного процесса.
Тема 2. Численные методы решения задач линейной алгебры
1. Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия:
решение системы уравнений;
неособенная матрица коэффициентов системы уравнений;
прямые методы решения системы уравнений;
итерационные методы решения системы уравнений;
устойчивость решения системы уравнений;
обусловленность матрицы коэффициентов;
собственное значение матрицы;
собственный вектор матрицы;
спектр матрицы;
характеристический полином матрицы;
характеристическое уравнение матрицы;
полная проблема собственных значений матрицы;
частичная проблема собственных значений матрицы;
136
2. Проверьте, как Вы сумеете воспроизвести:
каноническую форму записи системы уравнений;
матричную форму записи системы уравнений;
решение системы уравнений через обратную матрицу;
количественную оценку обусловленности матрицы
коэффициентов;
качественную оценку обусловленности матрицы коэффициентов;
эквивалентную систему уравнений метода Гаусса;
алгоритм нахождения корней системы методом Гаусса;
эквивалентную систему уравнений метода простой итерации;
условия сходимости метода простой итерации для исходной
системы уравнений;
условия сходимости метода простой итерации для эквивалентной
системы уравнений;
алгоритм нахождения корней системы методом простой итерации;
этапы вычисления собственных значений и собственных векторов
матрицы;
алгоритм решения частичной проблемы собственных значений
итерационным методом.
Тема 3. Численные методы решения нелинейных уравнений и их
систем
1. Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия:
нелинейное алгебраическое уравнение;
нелинейное трансцендентное уравнение;
корень нелинейного уравнения;
простой и кратный корень;
изолированный корень;
отделение корня;
уточнение корня;
изолирующий отрезок;
односторонняя сходимость последовательности числовых
значений;
двусторонняя сходимость последовательности числовых значений;
137
решение системы нелинейных уравнений;
матрица Якоби.
2. Проверьте, как Вы сумеете воспроизвести:
признаки простого и кратного вещественного корня;
признак изолированности корня;
этапы нахождения простых вещественных корней;
признак единственности отделения вещественного корня;
алгоритм численного способа отделения корней нелинейного
уравнения;
процедуру графического способа отделения корней;
суть процедуры уточнения приближенных значений корней;
перечень основных методов уточнения корней;
алгоритм метода половинного деления;
алгоритм метода линейной интерполяции;
алгоритм метода простой итерации;
Тема 4. Численные методы решения линейных дифференциальных
уравнений
1. Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия:
решение дифференциального уравнения;
начальные условия;
граничные условия;
начальная задача;
краевая задача;
смешанная задача.
2. Проверьте, как Вы сумеете воспроизвести:
классификацию дифференциальных уравнений;
формулировку начальной задачи для обыкновенного линейного
дифференциального уравнения первого порядка;
формулировку начальной задачи для системы обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений первого порядка;
формулировку начальной задачи для обыкновенного линейного
дифференциального уравнения высшего порядка;
суть шагового метода решения начальной задачи;
138
алгоритм метода Эйлера;
алгоритм метода Рунге-Кутта;
оценку погрешности шагового метода решения начальной задачи;
алгоритм метода конечных разностей;
суть метода прогонки;
оценку погрешности решения краевой задачи методом конечных
разностей.
Тема 5. Численные методы оптимизации
1. Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия:
оптимальное решение;
оптимизационная задача;
эффективность мероприятия;
элементы решения;
целевая функция;
математическое программирование;
линейное программирование;
базисные и свободные переменные;
базисное решение;
допустимое решение;
область допустимых решений;
опорные решения;
оценочное отношение переменной;
разрешающий коэффициент;
разрешающий столбец и строка матрицы.
2. Проверьте, как Вы сумеете воспроизвести:
суть оптимизационной задачи;
формулировку общей задачи линейного программирования;
формулировку стандартной задачи линейного программирования;
формулировку основной задачи линейного программирования;
порядок приведения общей и стандартной формы ограничений к
канонической форме ограничений;
суть симплексного метода;
порядок отыскания начального опорного решения;
критерии оптимальности опорного решения;
порядок корректировки опорного решения.
139
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ
А
Абсолютная погрешность 15, 16
Алгоритм решения задачи 19
Б
Базисные переменные 58
Базисное решение 58
Г
Граничные условия 43
Д
Двусторонняя сходимость 37
Допустимое решение 58
З
Значащие цифры 16
верные 16
сомнительные 16
И
Изолирующий отрезок 36
Итерационный алгоритм 14
Итерационные методы 22, 27, 31, 32
К
Конечный алгоритм 14
Корень нелинейного уравнения 34
простой 34
кратный 34
изолированный 34
Краевая задача 43
Л
Линейное программирование 56
М
Математическое программирование 55
Н
Начальная задача 43
Начальные условия 43
Нелинейное уравнение 34
алгебраическое 34
трансцендентное 34
Неособенная матрица 21
О
Область допустимых решений 59
Обусловленность матрицы 23
Односторонняя сходимость 37
Опорное решение 59
Оптимальное решение 55
Оптимизационная задача 55
Отделение корня 35
Оценочное отношение переменной 60
П
Погрешность приближенной величины 15
абсолютная 15
относительная 16
предельная абсолютная 16
предельная относительная 16
Полная проблема собственных значений матрицы 30
Прямые методы решения системы уравнений 22
Р
Разрешающий коэффициент 61
Разрешающий столбец матрицы 61
Разрешающая строка матрицы 61
С
Свободные переменные 58
Смешанная задача 43
Собственный вектор матрицы 30
Собственное значение матрицы 29
Спектр матрицы 29
У
Устойчивость 18, 23
вычислительного процесса 18
результата вычислений 18, 23
Уточнение корня 351, 36
Х
Характеристический полином матрицы 30
Характеристическое уравнение матрицы 29
Ч
Частичная проблема собственных значений
матрицы 31
Ц
Целевая функция 55
Э
Элементы решения 55
Эффективность мероприятия 54
Учебное издание
Составитель
Турищев Леонид Степанович
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТРОИТЕЛЬСТВА
Учебно-методический комплекс
для студентов специальности 1-70 02 01
«Промышленное и гражданское строительство»
2-е издание
Редактор
А.Э. Цибульская
Подписано в печать 28.05.10. Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.
Ризография. Усл. печ. л. 8,12. Уч.-изд. л. 7,98. Тираж 170 экз. Заказ 720.
Издатель и полиграфическое исполнение:
учреждение образования «Полоцкий государственный университет»
ЛИ № 02330/0548568 от 26.06.2009 ЛП № 02330/0494256 от 27.05.2009
211440 г. Новополоцк, ул. Блохина, 29