Турищев Л.С. Численные методы решения задач строительства

91





























n















2

1

223

11312

1000

10

1

βα

связаны с элементами матрицы (2.7) следующими соотношениями:

)n,...,j,i(

a a

i

ini

i

ijij

1









.

Обратный ход метода Гаусса заключается в нахождении корней сис-

темы уравнений (2.1) по следующим формулам:

nn

nnnnn

nn

x...xxx

x...xx

.............................

xx

x

231321211

232322

111



















(2.8)

Формулы (2.8) получены в результате разрешения эквивалентной

системы уравнений (2.3) относительно искомых корней в порядке убыва-

ния их номеров.

Пример 2.1. Задана система уравнений

668223451364

959830894572

686413615947

321

.x.x.x.











Найти корни системы с точностью до 0.001 методом Гаусса по схеме

единственного деления. Вычисления произвести с четырьмя значащими

цифрами после запятой.

1. Исходные данные – матрица коэффициентов a и вектор свободных

членов

b исходной системы уравнений































668

959

686

:

223451364

830894572

413615947

:

.

...

ba

2. Прямой ход – получение матрицы коэффициентов и вектора сво-

бодных членов эквивалентной системы уравнений.

2.1. Образование расширенной матрицы заданной системы уравнений

92

















66008220034500136004

95009830008900457002

68006410036100594007

....

A

b)

augment(a,

:

A

2.2. Получение расширенной матрицы первого шага прямого хода





















99194092556306100000

78787933717058600000

84130429507065000001

4

1

3

2

11

1

....

..,.

: :

..

:

..

:

,ij,j,ij,i

,

j,

A1

AA1AA1

A

A1

j

i

2.3. Получение расширенной матрицы второго шага прямого хода























09823622340000000000

16141288400000100000

84130429507065000001

413

22

2

11

....

: :

:

..: :

,ij,j,ij,i

,

j,

j,j,

A2

A1A2A1A2

A1

A2

A1A2

j

i

2.4. Получение расширенной матрицы третьего шага прямого хода























67030000010000000000

16141288400000100000

84130429507065000001

4

1

33

3

2211

....

.,..

:

: :

..

:

,

j,

j,j,j,j,

A3

A2

A3

A2A3A2A3

j

2.5. Получение матрицы коэффициентов и вектора свободных членов

эквивалентной системы уравнений

93





































67030

16141

84130

000010000000000

288400000100000

429507065000001

3

1

3

1

4

.

.-

.

...

: :

..

n,mn,m





α

A3A3

:

n

:

m

3. Обратный ход – решение эквивалентной системы уравнений

670309681081321

31

33122111

33222

33

.x .x .x

xx:x

x:x

:x

2

,,

,















4. Проверка – подстановка найденных корней в заданную систему

уравнений

00000

3333223113

2332222112

1331221111

.xxx

,,,

















baaa

1.2. Алгоритм метода простой итерации

Опишем алгоритм метода простой итерации для матричной формы

(2.2) заданной системы уравнений. Метод основан на приведении этой

системы уравнений к эквивалентному виду

αx

β

x





. (2.9)

Здесь











































nnnn

n

nn

x















21

22221

11211

2

1

2

1

αβx ,

где

x

– искомый вектор неизвестных,

β

– вектор свободных членов экви-

валентной системы,

α

– матрица коэффициентов эквивалентной системы.

Для нахождения вектора решений

x

требуемой точности



с ис-

пользованием эквивалентной системы уравнений (2.9) задается некоторый

начальный вектор решения, например

,

βx



0

(2.10)

94

и организуется вычислительный процесс последовательных уточнений ис-

комого вектора решений

,...),k(

kk

21

1





xαβx

. (2.11)

Вычислительный процесс (2.11) продолжается до тех пор, пока на n-ном

шаге не будут выполняться условия

)n,...,i( xxmax

n

i

n

i

1







, (2.12)

подтверждающие получение решения требуемой точности



.

Сходимость вычислительного процесса согласно формулам (2.10) и

(2.11) обеспечена, если элементы матрицы коэффициентов заданной сис-

темы (2.2) удовлетворяют условиям

)n,...,i ;ji( aa

n

j

ijii

1







. (2.13)

В случае выполнения условий (2.13) элементы вектор свободных

членов

β

и матрица коэффициентов

α

эквивалентной системы (2.9) вы-

числяются по формулам

)n,...,j,i(

)ji(

a

b

ii

ij

ijii

ii

i

1

0







. (2.14)

Пример 2.2. Задана система уравнений

10432045020

18714316081

32924072012

321











x.x.x.

.x.x.x

Найти корни системы с точностью до 0.001 методом простой итерации.

Вычисления выполнить с четырьмя значащими цифрами после запятой.

1. Исходные данные – матрица коэффициентов a и вектор свободных

членов

b заданной системы уравнений































104

187

329

:

32045020

14316081

24072012

:

.

...

..

ba

2. Получение эквивалентной системы уравнений

2.1. Проверяем соответствие коэффициентов заданной системы ус-

ловиям сходимости метода

95

1

231333

321222

312111



,,,

aaa

Следовательно, коэффициенты заданной системы удовлетворяют ус-

ловиям (

2.12).

2.2. Формируем вектор свободных членов и матрицу коэффициентов



















































0022201085229

052200030

0200600

12325

11153

44172

0

3

1

3

1

3

..

.

,,: :

..

:

..

:

i,i

j,i

i,i

i



a

jiif

a

b

j

i

3. Осуществление итерационного вычислительного процесса

3.1. Задаем начальный вектор решения

βx

0



:

3.2. Вычисляем первое приближение искомого вектора решения

.

x:















16815

3063

35742

0 11

xβx



и проверяем условие достижения требуемой точности









00010







.

01

xmaxxmax

Условие не выполняется.

3.3. Вычисляем второе приближение искомого вектора решения















17325

31093

34672

.

:

212

xxx



и проверяем условие достижения требуемой точности









00010

12







.xmaxxmax .

Условие не выполняется.

3.4. Вычисляем третье приближение искомого вектора решения















17345

31153

34652

.

:

323

xxx



и проверяем достижение требуемой точности









10010

23







.xmaxxmax .

96

Условие выполняется и, следовательно, третье приближение являет-

ся искомым вектором решения заданной системы уравнений с точностью

до 0

.001.

В случае невыполнения условий (2.13) для обеспечения сходимости

вычислительного процесса согласно формулам (2.10) и (2.11) элементы

матрицы

α

и вектора

β

определяются по формулам

bεaβaεα )( 

1

, (2.15)

где

ε

– матрица с малыми по модулю элементами

1



ik



.

Для формирования матрицы

ε

используются условия

0

2211

2222221221

1121121111







nnnnnnnn

nn

a...aa

.............................................

a...aa





(2.16)

Представим элементы матрицы

ik



в экспоненциальной форме

)n,...,k,i(

)n;m( m

ik

n

ikik

1

3101010









. (2.17)

Подставляя (2.17) в (2.16), определим подбором числовые значения ман-

тисс

ik

m , удовлетворяющие соотношениям







n

k

kiik

)n,...,i( am

1

10 . (2.18)

Матрица

ε

, сформированная согласно (2.17) и (2.18), позволяет получить

вектор

β

и матрицу

α

, удовлетворяющую условиям сходимости метода

простой итерации в форме







n

j

ij

)n,...,i(

1

11



(2.19)

или







n

i

ij

)n,...,j(

1

11



(2.20)

Пример 2.3. Задана система уравнений

435

252

3432

321











x xx

xxx

Получить эквивалентную систему уравнений, удовлетворяющую ус-

ловиям сходимости метода простой итерации в форме (2.19) или (2.20).

97

1. Исходные данные – матрица коэффициентов a и вектор свободных

членов

b заданной системы уравнений





































4

2

3

135

521

432

: : ba

2. Получение эквивалентной системы уравнений

2.1. Проверяем соответствие заданной системы уравнений условиям

сходимости метода простой итерации

0

231333

321222

312111



,,,

aaa

Заданная система не удовлетворяют условиям и, следовательно, для

получения эквивалентной системы уравнений необходимо формирование

матрицы



.

2.2

. Подбираем числовые значения мантисс элементов матрицы



,

удовлетворяющие условиям (2.18):

– первая строка

112

312111





: : :

,,,

mmm

10

1

3

1







,j

j

j,

am

– вторая строка

10

1512

2

3

1

2

322212









,j

j

j,

,,,

: .: :

am

mmm

– третья строка

10

111

3

1

3

332313













,j

j

j,

,,,

: : :

am

mmm

2.3. Формируем матрицу



, удовлетворяющую условиям (2.18)





























333

101101101

1011051102

101101102

10

3

1

3

1

.

:

..

:

..

:

n

k,ik,i



m

n

k

i

98

2.4. Получаем вектор свободных членов



и матрицу коэффициентов



эквивалентной системы уравнений















































0108104

015000110

01401070

6450

4090

4330

33

3

1

..

.

: :





aba

удовлетворяющие условиям сходимости метода простой итерации







3

1

3

1

2

3

1

3

1

3

1

2

3

1

111111

i

,i

i

,i

i

,i

j

j,

j

j,

j

j,



2. Подготовка к выполнению работы

2.1. Прочитайте теоретические основы работы.

2.2. Ознакомьтесь с выполненными примерами 2.1

– 2.3, иллюстри-

рующими численную реализацию алгоритмов изучаемых методов в среде

MathCAD.

2.3.

Получите у преподавателя свой вариант заданий для лабораторной

работы и приступите к ее выполнению согласно изложенному ниже порядку.

3. Порядок выполнения работы

3.1. Запустите систему MathCAD и откройте окно для создания ново-

го документа.

3.2. Присвойте документу имя, включающее вашу фамилию и номер

лабораторной работы.

3.3. Сохраните документ в папке вашей группы.

3.4. Осуществите численное решение заданной системы уравнений

методом Гаусса по схеме единственного деления.

3.5. Осуществите численное решение заданной системы уравнений

методом простой итерации.

3.6. Введите необходимые текстовые комментарии к созданным ис-

полняемым блокам и полученным результатам.

3.7. Создайте заголовок лабораторной работы.

3.8. Предъявите преподавателю для просмотра выполненную и

оформленную лабораторную работу.

3.9. Закройте созданный документ и сохраните его в папке вашей

группы.

99

Лабораторная работа № 3

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель работы:

Научиться осуществлять для нелинейных алгебраических и транс-

цендентных уравнений:

 отделение корней уравнений численным и графическим способами;

 уточнение корней уравнений методом половинного деления;

 уточнение корней уравнений методом простой итерации.

1. Теоретические основы работы

Рассматривается нелинейное уравнение

0



)

x

(

f

, (3.1)

где

)

x

(

f

– известная алгебраическая или трансцендентная функция. Счи-

тается, что функция

)

x

(

f

и две ее первых производных )x(f



и )x(f



оп-

ределены и непрерывны в некоторой заданной вещественной области из-

менения величины

x

]

[

b

,

a

x



. (3.2)

Требуется найти вещественные простые корни уравнения (3.1), при-

надлежащие области (3.2). Нахождение таких корней включает следующие

этапы:

 отделение корней;

 уточнение корней.

Результатом первого процесса является выделение в области (3.2) изо-

лирующих отрезков

]

[





,

, содержащих по одному корню уравнения (3.1).

Результатом второго процесса является вычисление для каждого изолирую-

щего отрезка содержащегося в нем корня уравнения (3.1) в форме сходящей-

ся числовой последовательности приближенных значений этого корня





 xxlim ;,x,...,x,x

n



10

. (3.3)

1.1. Алгоритм численного отделения корней

В основе алгоритма отделения корней лежит свойство непрерывной

функции

)

x

(

f

принимать на концах некоторого отрезка

]

[





,

значения

разных знаков

0



)

(

f

)

(

f





, (3.4)

100

если внутри этого отрезка содержится корень уравнения (3.1). Признаком

единственности корня является сохранение знака первой производной

)x(f



в отрезке

]

[





,

. Возможны две формы реализации алгоритма отде-

ления корней

– численная и графическая.

Для численной реализации алгоритма отделения корней на основе

(3.3), (3.4) необходимо осуществить следующее. Область изменения вели-

чины

x

(3.2) разбивается на n отрезков одинаковой длины

n

ab

x





(3.5)

и задаются их граничные точки

xnxx, ... ,xxx ,ax

n











0010

. (3.6)

В граничных точках (3.6) определяются знаки функции

)

x

(

f

)n,...,,i( )x(fsign

i

10



и устанавливаются отрезки

][

1 kk

x,x



,

где произошла смена знаков функции

)

x

(

f

)x(fsign)x(fsign

kk



1

. (3.7)

На концах отрезков ][

1 kk

x,x



, где выполняется условие (3.7), опреде-

ляются знаки первой производной

)x(f



, и проверяется соблюдение при-

знака единственности корня

)x(fsign)x(fsign

kk







1

. (3.8)

Отрезки ][

1 kk

x,x



, для которых выполняются (3.7) и (3.8), являются изоли-

рующими и содержат по одному корню уравнения (3.1).

Для отрезков

][

1 kk

x,x



, в которых признак (3.8) не соблюдается, по-

вторяется вычислительный процесс согласно формулам (3.5)

– (3.8). Об-

ласть изменения

x

в этих отрезках имеет вид

kk

xxx



1

.

Графическая форма реализации алгоритма отделения корней имеет

практическое значение в случае применения

MathCAD. Возможны два ва-

рианта осуществления графической формы отделения корней.

В первом случае строится график функции

)

x

(

f

. На оси

x

визуально

выделяются отрезки

][

1 kk

x,x



, содержащие нули этой функции и удовле-

творяющие условию (3.7).

Во втором случае уравнение (3.1) заменяется эквивалентным уравне-

нием

)

x

(

)

x

(







Турищев Л.С. Численные методы решения задач строительства

Подождите немного. Документ загружается.