Турищев Л.С. Численные методы решения задач строительства
Подождите немного. Документ загружается.
101
и визуально приближенно выделяются отрезки
][
1 kk
x,x
на оси
x
, содер-
жащие точки пересечения графиков функций
)
x
(
и
)
x
(
.
1.2. Алгоритм уточнения корней методом половинного деления
В основе алгоритма уточнения корней методом половинного деления
лежит построение в первоначальном изолирующем отрезке
][
00
, сово-
купности вложенных друг в друга сужающихся изолирующих отрезков.
Для этого каждый изолирующий отрезок, начиная с первоначального, де-
лится пополам и из двух полученных отрезков новым изолирующим от-
резком является тот, на концах которого функция
)
x
(
f
имеет противопо-
ложные знаки. Приближенным значением корня на каждом шаге является
число, делящее изолирующий отрезок пополам.
Начальное приближение искомого корня
2
00
0
x
(3.9)
делит отрезок
][
00
,
пополам. Из двух полученных отрезков
][][
0000
,x ,x,
определяется новый изолирующий отрезок
][
11
,
. Число, делящее этот
отрезок пополам
2
11
1
x
является первым приближением искомого корня. Значением k-того при-
ближения искомого корня является число
2
kk
k
x
, (3.10)
делящее пополам суженный изолирующий отрезок ][
kk
,
.
Процесс сужения изолирующих отрезков согласно формуле (3.10)
продолжается до тех пор, пока на некотором шаге
n не выполнится одно
из условий
0)x(f
n
(3.11)
или
2
nn
. (3.12)
102
В первом случае n-ное приближение искомого корня будет являться
его точным значением, а во втором случае
–приближенным с заданной
предельной абсолютной погрешностью
.
Пример 3.1. Задано уравнение
0
50
10
3
x.
e
x
.
В области изменения x от -10 до 10 отделить вещественные корни
уравнения и уточнить их методом половинного деления до предельной аб-
солютной погрешности 0.05. Вычисления произвести с тремя значащими
цифрами после запятой.
1. Исходные данные
1.Исходные данные
f x( )
x
3
50
e
0.1 x
a 10 b 10
0.05
2. Отделение вещественных корней:
2.1. Численное отделение корней
n 20 k 0 n
x
b a
n
x
k
a k
x
))x(f(sign:F x:F k:F
k,kk,k,k
210
Имеется один отрезок, где произошла смена знака функции f(x)
1
76
))x(f(sign))x(f(sign .
103
Проверяем соблюдение признака единственности корня на этом отрезке
1
76
))x(z(sign))x(z(sign )x(f
dx
d
:)x(z
Следовательно, в области изменения x от -10 до 10 заданное уравнение
имеет один вещественный корень, принадлежащий изолирующему отрезку
760
x: x:
0
.
2.2. Графическое отделение корней
x( )
x
3
50
x( ) e
0.1 x
Имеется одна точка пересечения, лежащая в интервале изменения x
от -5 до 0.
3. Уточнение вещественного корня методом половинного деления
Начальное приближение корня
1
0
0
2
00
2
34
00
00
00
0
00
0
0
))(f(sign))x(f(sign
))x(f(sign))(f(sign
)x(f
:x
0
104
Первое приближение корня
0
1
0
2
00
2
11
11
11
1
11
1
001
))(f(sign))x(f(sign
))x(f(sign))(f(sign
)x(f
:x
: x:
1
Четвертое приближение корня
1
2
4
00
2
4
4
44
4
3434
)x(f
:x
β:β x:
Второе условие выполняется и, следовательно, искомый корень най-
ден с заданной точностью 0.05
2813
4
.- x x:x
1.3. Алгоритм уточнения корней методом простой итерации
В основе алгоритма уточнения корней методом простой итерации
лежит переход от заданного уравнения (3.1) к эквивалентному уравнению
)
x
(
x
. (3.13)
Рассматривая (3.13) как рекуррентную формулу, в заданном изолирующем
отрезке
][
00
, вычисляют сходящуюся последовательность (3.3) при-
ближенных значений искомого корня. Приближенными значениями корня
на каждом шаге являются числа, полученные по (3.13) на основании пре-
дыдущих приближенных значений корня.
Сходимость вычислительного процесса согласно (3.13) обеспечива-
ется, если производная функции
(x) во всех точках изолирующего отрезка
[
0
,
0
] удовлетворяет условию
1
)x(
. (3.14)
105
Причем, если
10
)x(
,
то сходимость процесса односторонняя и монотонная, а если
01
)x(
,
то двусторонняя и гарантированная.
Для получения эквивалентного уравнения (3.13), удовлетворяющего
условию (3.14), заданное уравнение (3.1) приводится к виду
)
(
)
x
(
f
x
x
0
, (3.15)
где
M
1
, а )x(fmaxM
– наибольшее значение модуля производной
функции
)
x
(
f
в заданном изолирующем отрезке
][
00
,
. Функция
)
x
(
в этом случае описывается выражением
)
x
(
f
x
)
x
(
.
Начальное приближение искомого корня вычисляется по формуле
(3.9) и подставляется в правую часть (3.15). Полученное число является
первым приближением искомого корня
)x(x
01
. (3.16)
Значением k-njго приближения искомого корня является число
)x(x
kk 1
. (3.17)
Процесс получения сходящейся последовательности (3.3) по форму-
лам (3
.15) – (3.17) продолжается до тех пор, пока на некотором шаге n не
выполнится условие
m
M
m
xx
nn
1
, (3.18)
где )x(fminm
– наименьшее значение модуля производной функции
)
x
(
f
в заданном изолирующем отрезке ][
00
, . Если в изолирующем от-
резке соблюдается соотношение
m
M
2
, то условие (3.18) принимает вид
1nn
xx
. (3.19)
В этих случаях n-ное приближение искомого корня будет являться
его приближенным значением с заданной предельной абсолютной погреш-
ностью
.
106
Пример 3.2. Для уравнения, рассмотренного в примере 3.1, уточнить
выделенный вещественный корень методом простой итерации до предель-
ной абсолютной погрешности 0.005. Вычисления произвести с четырьмя
значащими цифрами после запятой.
1. Исходные данные
1.Исходные данные
f x( )
x
3
50
e
0.1 x
z x( )
x
f x
( )
d
d
0
4
0
3
0.005
2. Получение эквивалентного уравнения
f(x)λxφ(x):
M
:
.m .M
min(z):m max(z): M)x(z:z
xi:x
n
:x
n.. i: :n
ii
i
1
614100271
010
0
00
3. Осуществление итерационного вычислительного процесса
Задаем начальное приближение корня
x
0
0
0
2
Вычисляем первое приближение корня
35123
101
.x )x(:x
Проверяем условие нахождения корня
0
01
m
M
m
xx
Вычисляем четвертое приближение корня
30153
434
.x )x(:x
Проверяем условие нахождения корня
1
34
m
M
m
xx
Условие выполняется и, следовательно, искомый корень найден с за-
данной точностью 0.005
30153
4
.x x:x
107
2. Подготовка к выполнению работы
2.1. Прочитайте теоретические основы работы.
2.2. Ознакомьтесь с выполненными примерами 3.1, 3.2, иллюстри-
рующими численную реализацию алгоритмов изучаемых методов в среде
MathCAD.
2.3. Получите у преподавателя свой вариант заданий для выполнения
лабораторной работы и приступите к ее выполнению, согласно изложен-
ному ниже порядку.
3. Порядок выполнения работы
3.1. Запустите систему MathCAD и откройте окно для создания ново-
го документа.
3.2. Присвойте документу имя, включающее вашу фамилию и номер
лабораторной работы.
3.3. Сохраните документ в папке вашей группы.
3.4. Осуществите численным способом отделение корней заданного
уравнения
.
3.5.
Осуществите графическим способом отделение корней заданно-
го уравнения
.
3.6.
Осуществите уточнение первого вещественного корня заданного
уравнения методом половинного деления.
3.7. Осуществите уточнение первого вещественного корня заданного
уравнения методом простой итерации.
3.8. Введите необходимые текстовые комментарии к созданным ис-
полняемым блокам и полученным результатам.
3.9. Создайте заголовок лабораторной работы.
3.10. Предъявите преподавателю для просмотра выполненную и
оформленную лабораторную работу.
3.11. Закройте созданный документ и сохраните его в папке вашей
группы.
108
Лабораторная работа № 4
ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ
ВЕКТОРОВ МАТРИЦ
Цель работы:
Научиться определять наименьшее и наибольшее собственные зна-
чения симметричной матрицы методом итераций.
1. Теоретические основы работы
Рассматривается система однородных алгебраических уравнений
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
x)a(...xaxa
................................................
xa...x)a(xa
xa...xax)a(
(4.1)
или в матричной форме
0
x
E
A
)
(
. (4.2)
При заданных численных значениях элементов симметричной мат-
рицы коэффициентов
kiik
aa
aaa
aaa
aaa
nnnn
n
n
21
22221
11211
A
требуется определить ее наименьшее и наибольшее собственные значения.
1.1. Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего собственных
значений симметричной матрицы
В основе алгоритма решения рассматриваемой частичной проблемы
собственных значений лежит последовательное отыскание наибольшего по
модулю собственного значения
~
матрицы
A
и наибольшего по модулю
собственного значения
~
вспомогательной матрицы EAB
~
.
Для приближенного вычисления
~
осуществляется следующий ите-
рационный процесс. Задается произвольный начальный вектор
109
)x(
x
x
x
n
0
1
2
1
x
и находится нулевое приближение нормированного собственного вектора e,
соответствующего собственному значению
~
n
i
i
x
1
20
x
x
x
e . (4.3)
Первое приближение собственного вектора
e
и соответствующее ему
первое приближение собственного значения
~
определяются по формулам
n
i
ii
ex
~
1
011
01
1
1
1
eAx
x
x
e
(4.4)
Формулы для определения произвольного k-того приближения иско-
мых величин имеют следующий вид:
n
i
k
i
k
i
k
kk
k
k
k
ex
~
1
1
1
eAx
x
x
e
. (4.5)
Процесс получения последовательных приближений величины
~
по
формуле
(4.5) продолжается до тех пор, пока на некотором шаге n не бу-
дет выполняться условие
~
~
nn
1
. (4.6)
Выполнение условия (4.6) свидетельствует о нахождении наибольшего по
модулю собственного значения
~
матрицы
A
с требуемой точностью
.
Итерационный процесс приближенного вычисления наибольшего по
модулю собственного значения
~
вспомогательной матрицы EAB
~
осуществляется аналогично по формулам (4.3) – (4.5).
При вычисленных значениях
~
и
~
граничные величины спектра
собственных значений матрицы
A
, наименьшее
1
и наибольшее
n
, оп-
ределяются в зависимости от знака
~
по следующим формулам:
)(
~
~
,
~
)(
~
,
~
~
n
n
0
0
1
1
. (4.7)
110
Пример 4.1. Задана система уравнений
0616097993
0097338055
0993055534
321
321
321
x
)
.(
x
.
x
.
x
.
x
)
.(
x
.
x
.
x
.
x
)
.(
Требуется найти ее наименьшее и наибольшее собственные значения
итерационным методом с точностью 0.005.
1. Исходные данные
a
4.53
5.05
3.99
5.05
8.33
7.09
3.99
7.09
6.61
0.005
2. Отыскание наибольшего по модулю собственного значения матрицы a
2.1. Задаем начальный вектор
x
1
2
1
и находим нулевое приближение нормированного собственного вектора
2.2. Находим первое приближение искомого собственного значения
2.3. Находим второе приближение искомого собственного значения