Турчина Н.В. Физика в задачах для поступающих в вузы

Подождите немного. Документ загружается.

490

Если массы взаимодействующих осмичесих

объетов соизмеримы, то их следует рассматривать

а вращающиеся вору их общео центра масс.

Та а, по условию, массы равны (М

= М

), то

центр масс системы находится посередине расстоя-

ния между ними (рис. 4.4.2). В этом случае радиус

обращения Земли r

= , сила равитационноо притяжения F

= G, а ее центростремительное усорение a

ц. с 1

= r

, де Т

—

период обращения. По второму заону Ньютона F

= M

ц.с1

Из приведенных соотношений выразим период

= . (2)

Разделив (1) на (2), получим = = 0,7.

О т в е т: период обращения Т Земли уменьшится в =

= 1,4 раза.

4.4.15. Пусть m

, m

, R

— массы звезд и

расстояния от их общео центра масс. Тода

можем записать: m

= m

(рис. 4.4.3).

Расстояние между звездами х = R

+ R

. Из при-

веденных соотношений выразим R

= .

По условию задачи m

+ m

= 2М

, де М

— масса Солнца,

поэтому радиус обращения первой звезды R

Для первой звезды по второму заону Ньютона F = ma, де

F = G — сила взаимноо равитационноо притяжения,

a = R

— ее центростремительное усорение. Из данных соотно-

шений выразим

= .

Рис. 4.4.2

---

-------- -

4π

----------

2πr

2GM

------------------

-------

07,

---------

Рис. 4.4.3

--------------------- -

------------ -

----------------

4π

----------

2π

---------------------

491

По условию задачи период обращения звезды Т = 2Т

, де Т

—

период обращения Земли вору Солнца. Следовательно,

= . (1)

Сила равитационноо притяжения между Землей и Солнцем

= , де R — расстояние между Солнцем и Землей, М

—

масса Земли. Центростремительное усорение Земли a

= R.

Для Земли по второму заону Ньютона F

= M

. Из приведенных

соотношений выразим массу Солнца:

= . (2)

Подставив (2) в (1), после преобразований получим x = 2R =

=3· 10

м.

О т в е т: x = 3 · 10

м.

4.5.5. Запишем заон сохранения энерии:

+ E

п0

= E

пh

де E

п0

— потенциальная энерия раеты на поверхности Земли:

п0

= –G , а E

пh

— потенциальная энерия раеты на высоте

масимальноо подъема h:

пh

= –G .

Учтем, что GM

= g

, и, решив систему приведенных уравне-

ний, получим о т в е т:

h = = 2500 м.

2GT

-------------------------

------------------ -

4π

----------

4π

-----------------

--------------

---------------

-----------------

−

------------------------------

492

4.5.8. Работа по переводу спутниа с одной орбиты на друую

равна разности механичесих энерий при движении спутниа по

этим орбитам:

A = (T

+ U

) – (T

+ U

), (1)

де T

, T

— инетичесие, а U

, U

— потенциальные энерии

спутниа на начальной и онечной орбитах соответственно.

Та а

T = , U = –G ,

равенство (1) можно записать в виде

A = – G – – G ,(2)

де M

— масса Земли; v

, v

— сорости движения спутниа на пер-

вой и второй руовых орбитах:

= , v

= . (3)

Подставляя (3) в выражение (2), получим

A = G – G – G – G ,

или

A = G – = –2 æ 10

Дж.

О т в е т: A = Дж.

4.5.9. Тa а спутни движется в высоих слоях атмосферы,

то высота ео подъема мноо меньше радиуса Земли (h n R

), и пол-

ная механичесая энерия спутниа

E = –G .

Работа силы сопротивления за один оборот спутниа

A = –2πR

F = –œE.

-----------

---------------

-----------

⎝

⎜

⎛

---------------

⎠

⎟

⎞

-----------

⎝

⎜

⎛

---------------

⎠

⎟

⎞

--------------

⎝

⎛

---------------

⎠

⎞

⎝

⎛

---------------

⎠

⎞

---------------

⎝

⎛

-----

⎠

⎞

2− 10

⋅

---------------

493

Изменение энерии

∆E = –G + G d G ,

де œR — изменение радиуса орбиты.

Учтем, что g = G и v

= , v

= . Решив систе-

му приведенных уравнений, получим

∆v = v

– v

= – = = 2,54 см/с.

В результате торможения сорость спутниа возрастает.

О т в е т: œv = 2,54 cм/с.

4.5.10. Запишем заоны сохранения механичесой энерии и

момента импульса для метеорита (для бесонечно удаленной точи

от Луны и ближайшей  ней):

= – , (1)

l = mvR

,(2)

де v — сорость метеорита вблизи поверхности Луны в момент вре-

мени, ода v B R

, М

— масса Луны.

Решив систему уравнений (1) и (2) с учетом, что g

= G , по-

лучим l

min

= R

d 2,45 · 10

м.

О т в е т: l

min

d 2,4 м.

4.5.11. Сорость v

осмичесоо орабля в точе минимально-

о удаления от поверхности Земли равна

= v

+ ∆v.

Сорость v

движения по руовой орбите можно определить из

уравнения

= G ,

2 R

R∆+()

----------------------------- -

---------------

R∆

---------------------- -

-------- -

R∆+

---------------------

-------- -

---

-------- -

R∆

-------

2πF

-----------

------ -

-----------

GmM

--------------------

----------

-------------------

510

⋅

-----------

------------

494

де R

= R + h

= 6,57 · 10

м. Отсюда находим

= = 7,805 · 10

м/с,

= 7,815 · 10

м/с.

По заону сохранения момента импульса для осмичесоо о-

рабля:

= mv

поэтому сорость v

в точе масимальноо удаления равна

= = = 7,778 м/с.

О т в е т: v

= 7,778 м/с.

4.5.12. Вторая осмичесая сорость — это сорость, необхо-

димая ораблю для тоо, чтобы поинуть поле тяотения Земли.

Эту же сорость приобретает вблизи Земли осмичесий орабль,

оторый на бесонечно большом расстоянии пооился, а затем стал

падать на Землю под действием силы тяотения. В этом случае ра-

бота силы тяотения является мерой увеличения ео инетичесой

энерии и мерой уменьшения потенциальной энерии:

A = ∆E



= –∆E

де ∆E



= – 0, ∆E

= –G – 0. Учтем, что g

= G .

Решив систему приведенных уравнений, получим

= = 11,2 м/с.

Та а первая осмичесая сорость v

= , то v

= v

О т в е т: v

= 11,2 м/с; v

= v

4.5.14. Заон сохранения энерии для осмичесоо орабля:

– G = 0.

Второй заон Ньютона для орабля массой m, движущеося

вору Солнца:

mω

r = G ,

де ω = — уловая сорость этоо орабля, Т — период ео обра-

щения.

-----------

-------------

+()

--------------------------- -

-----------

---------------

-------- -

-----------

---------------

2π

------ -

495

Решив систему приведенных уравнений, получим

v = = 42,3 м/с,

де T = 365 сут.

О т в е т: v = 42,3 м/с.

4.5.15. Для тоо чтобы поинуть пределы Солнечной систе-

мы, осмичесий орабль массой m должен обладать соростью v

относительно Солнца, определяемой заоном сохранения энерии:

– G = 0,

де M

= 2 · 10

 — масса Солнца, R

= 1,5 · 10

м — радиус зем-

ной орбиты. Из этоо выражения найдем сорость орабля относи-

тельно Солнца:

= .

Та а орабль движется с Землей по орбите вору Солнца, то

он уже обладает соростью v

, оторую найдем, применив второй

заон Ньютона:

G = ⇒ v

= .

При разоне орабля по орбите вору Солнца по направлению

движения Земли ео сорость относительно Земли равна

= v

– v

Для тоо чтобы орабль поинул поле тяотения Земли, ему на-

до сообщить вторую осмичесую сорость v

= , де М

— масса и радиус Земли.

Кинетичесая энерия, необходимая ораблю, чтобы он пои-

нул Солнечную систему, равна

= + .

Решив систему приведенных уравнений, получим

= = 16,7 м/с.

О т в е т: v

= 16,7 м/с.

22πr

------------------

-------------

---------------

2GM

----------------- -

---------------

-----------

------------- -

2GM

-----------------

-----------

2GM

-----------------

------------- - 21−()

496

4.6.2. Третий заон Кеплера для первоо

спутниа и Луны:

= ^ R

= R

По условию (рис. 4.6.3) R

= R

+ ∆R =

= R

+ ∆R, отуда находим

= 7,88 · 10

м.

Узнав радиус R

, еще раз применим третий заон Кеплера:

= ⇒ = ,

отуда получим

= T

; T

= 6457,21 с = 107,62 мин.

Ответ: R

= 7,8 м; T

= 107,62 мин.

4.6.3. Посольу а Луна, та и спутни

движутся в поле тяотения Земли (рис. 4.6.4),

применим третий заон Кеплера:

= .

Отсюда h = 2R – H – 2R

= 220 м

= 6370 м — радиус Земли).

Ответ: h = 220 м.

4.6.5. Сорость движения тела на руовой орбите найдем из

второо заона Ньютона:

= ,

отуда

= .

Рис. 4.6.3

--------

------- -

--------

---------------

--------

810

⋅

Рис. 4.6.4

-------

hH2R

++()

----------------------------------------

-------

⎝⎠

⎛⎞

---

GmM

-------------------

-----------

--------------

497

Запишем третий заон Кеплера для тела, находящеося на

орбитах радиусами r

и r

= .

В нашем случае r

= , T

= . Решив систему приве-

денных уравнений, получим

= 2π .

Время до приземления равно t = , та а до этоо

момента тело проходит ровно половину траетории.

О т в е т: t = π .

4.6.6. Падение тела на Солнце можно рассматривать а пре-

дельный случай обращения вору Солнца по весьма вытянутому

эллипсу, большая ось отороо немноо больше радиуса a орбиты

Земли. Таой эллипс стало бы описывать вору общео центра

тяжести тело, помещенное в пространстве на расстоянии a от

центра масс и получившее небольшую сорость v по направле-

нию, перпендиулярному прямой, соединяющей это тело с цент-

ром масс. В пределе, при v = 0, большая ось эллипса равна a

(эллипс вытяивается в прямую). Время движения по таому

эллипсу

τ = T = T ,

де T — период обращения Земли вору Солнца. Продолжитель-

ность падения тела на Солнце равна

= = 64,6 суто.

Глава 5. СТАТИКА

5.1.2. На тело действуют: сила тяжести mg; силы натяжения

троса T

, T

, модули оторых одинаовы: T

= T

= T. Тело нахо-

дится в равновесии, поэтому mg + T

+ T

= 0.

-----

-------

------------------ -

2πr

------------ -

8GM

------------------ -

2⁄

8GM

------------------ -

0,5a()

--------------------- 0,125

---

T 0,125

-------------------------

498

Выберем ось оординат X, а поазано на

рисуне 5.1.10. В проеции на ось получим

2T sin α – mg = 0 ⇒ T = .

Та а уол α мал, то sin α d tg α = .

Поэтому

T = = H = 980 H.

О т в е т: T = 980 H.

5.1.8. На шари действуют силы: тяжести mg, реации опоры N

и натяжения нити T (рис. 5.1.11). Та а шари находится в рав-

новесии, силы можно представить в виде замнутоо треуольниа

(рис. 5.1.12), оторый подобен треуольниу OAB на рис. 5.1.11.

Отсюда

= , = .

С учетом, что AO = d + r, AB = l, OB = r, получим о т в е т:

T = mg , N = mg .

5.1.10. Соласно условию равновесия точи A:

F + T

+ T

= 0. (1)

Та а T

= T

= T, то уравнение (1) для проеции сил на ось Х

(см. в условии рис. 5.1.7) имеет вид:

F – 2T cos = 0 ⇒ T = .

О т в е т: при увеличении ула α сила натяжения увеличивается.

Рис. 5.1.10

2 αsin

-----------------

------ -

mgl

---------- -

10 9 8 20⋅,⋅

405,⋅

--------------------------------

---------

--------

-------- -

--------

Рис. 5.1.11

Рис. 5.1.12

dr+

------------

dr+

------------

---

2 α 2⁄()cos

-----------------------------

499

5.2.8. На систему челове—платформа действуют: (M + m)g — сила

тяжести, силы натяжения верево T

и T

(рис. 5.2.10). Система находится

в равновесии. Поэтому сумма сил, действующих на систему, равна нулю.

В проеции на ось X получим:

+ T

– (m + M)g = 0.

Та а по условию Т

= Т

, то

= (m + M)g ⇒ T

= (m + M).

Сила, с оторой челове должен тянуть вереву, по третьему за-

ону Ньютона равна силе натяжения вереви, следовательно,

F = T

= (m + M) = 300 H.

О т в е т: F = 300 H.

5.3.2. По условию задачи шари находится в равновесии.

На шари действуют: mg — сила тяжести, N — сила реации опоры,

T — сила натяжения нити; трения нет, та а шар ладий. Из ри-

суна 5.3.3 видно, что силы, действующие на шари, пересеаются в

одной точе, следовательно, для решения задачи необходимо и до-

статочно, чтобы выполнялось условие:

mg + N + T = 0.

(m + M)g

Рис. 5.2.10

Рис. 5.3.3

---