Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ

53

Основная идея: там, где нелинейный элемент находится в одном из

своих устойчивых состояний, дифференциальное уравнение сильно

упрощается и его надо решить отдельно в каждой из этих областей и

на границе линии переключения.

1) Область N1: F(x)=+1

при условии:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎩

⎨

⎧

<

<≤−

≥

0

2

1

x

bxb

илиbx

система

упрощается:

⎩

⎨

⎧

−−=

=

1xx

xx

22

21

&

; уравнение фазовых тракторий:

Это уравнение можно явно проинтегрировать:

Ниже приведён фазовый портрет системы.

Толстой линией показана линия переключения на

фазовой плоскости. Правее этой линии реле

находится в состоянии +1, левее - в состоянии -1.

2) Область N2: F(x)=-1

в остальной части плоскости.

Рис. 13.3. Фазовый портрет следящей системы с гистерезисом.

Видим, что на фазовой плоскости имеется устойчивый предельный

цикл - колебательный процесс, к которому стягиваются близкие

траектории. Этот предельный цикл является предельным

колебательным процессом, который устанавливается в системе.

;Cx)1xln(x

;

x

1x

dx

122

2

1

2

+=−−

−−

=

Линия переключения

Область 1

F

(

x

)

= 1

Область 2

F

(

x

)

= -1

Предельный цикл

54

• Лекция 14.

Чтобы оценить время движения по траектории поступают очень

просто. Выбирают начальные условия. Решают уравнение до момента

попадания в точку

*

t на линии переключения. Рассмотрим состояние в

момент

*

t

как начальное условие для движения в следующей области.

Переходим в другую область. Используя уравнения для этой области,

находим

**

t - время перехода в следующую область и так далее.

Решение по областям и сопряжение граничных условий называется

методом припасовывания.

Заметим, кстати, что в Примерах 1 и 2 Лекции 10 также имеются

устойчивые предельные циклы на фазовой плоскости. Особенно

интересен здесь Пример 1, в котором фазовое пространство

трехмерно, поэтому предельный цикл будет в трехмерном

пространстве, но мы можем рассмотреть его проекцию на фазовую

плоскость.

Истинный

предельный цикл

Проекция цикла

X1

X3

X1

X2

t

X(t)

X2

Рис. 14.1 Фазовый портрет системы из Примера 1 Лекции 10 и

трёхмерное фазовое пространство этой системы.

55

1

p

2

c

-

c

1 + Kos P

Наряду с предельными циклами, в нелинейных системах имеются

так называемые скользящие режимы, при которых возможно

существенно увеличить быстродействие в следящей системе.

U

зад

= 1 e(t) X(t)

(-)

Рис. 14.2

В этой системе имеется дифференциатор в цепи обратной связи.

За счёт переключения реле все переходные процессы имеют две

стадии: вначале происходит относительно медленное перемеще-

ние до момента переключения реле, а затем последнее начинает

переключаться с очень большой (теоретически бесконечной)

частотой, удерживая при этом переходный процесс на

некоторой

линии фазовой плоскости. Эта линия называется линией

скольжения, так как движение вдоль неё может происходить очень

быстро.

X1

X2

t

X(t)

Линия скольжения

Рис. 14.3 Скользящий процесс в следящей системе с реле.

Ясно видна линия переключения, являющаяся также и линией

скольжения. Она выделена жирно на фазовой плоскости.

Кружочком обозначена точка покоя Х

1

=1; Х

2

=0.

56

Быстрое движение по линии скольжения обуславливает следующие

возможности, возникающие в нелинейных системах:

• Возможность получения с использованием релейного регу-

лятора гораздо меньшего времени переходного процесса, чем,

например, при использовании стандартного ПИД-регулятора.

• Возможность получения практически конечного времени

переходного процесса (времени достижения заданного

состояния).

Всё это хорошо видно

на результатах моделирования Рис.14.3.

Также видно, что переходный процесс апериодический и

заканчивается за конечное время.

Реализация скользящих режимов в реальных системах встречает

некоторые трудности.

• Во-первых, скользящий режим всегда является идеализацией.

• Во-вторых, при программной реализации релейного элемента

часто имеются сложности численного интегрирования

дифференциальных уравнений при автоматическом выборе шага

.

На практике всегда реализуется режим близкий к скользящему,

но отличающийся от истинно скользящего конечной частотой

преключения. В самом деле, реальный релейный элемент не

может переключаться с бесконечной частотой вне зависимости от

способа его реализации: аппаратной (реле), электронной

(электронная ключевая схема) или программной. Яркий пример

скользящего режима на практике - регулятор

зарядки аккумулятора

в автомобиле, где реле (контроллер) зарядки включает и

отключает обмотку возбуждения генератора с достаточно высокой

частотой, достигающей сотни Герц. При этом, в силу большой

ёмкости аккумулятора, переходные процессы близки к

скользящему режиму. Если напряжение уже достигло

номинального уровня, реле(контроллер) с большой частотой

включает и отключает зарядную цепь

так, что колебания вокруг

номинала очень малы. Преимущества такого регулирования

очевидны:

• чрезвычайно высокий КПД при малых потерях энергии в самом

регуляторе;

• максимально возможная скорость переходных процессов

зарядки, так как при зарядке всегда используется вся возможная

мощность генератора (реле просто напрямую его подключает к

аккумулятору).

Эти два свойства вообще являются

характерными для релейных

систем автоматического управления.

57

L

(

x

1

,

x

2

)

= 0.5x

1

4

+ 5x

2

- 0.5x

1

x

2

X

1

X

2

Линии уровня L

grad L

скорость f

Угол α- т

у

пой

• Лекция 15.

Функция Ляпунова и ее использование для исследования

устойчивости нелинейной системы.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода

исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не

существует.

Теоретическое решение проблемы устойчивости было дано А.М.

Ляпуновым в 1891г. Основную роль эдесь играет возможность

построения специальной скалярной функции векторного аргумента,

то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта

функция называется функцией Ляпунова.

Идея

Ляпунова очень проста. Рассмотрим двухмерный случай и

функцию Ляпунова

),(

21

xxL . Пусть имеется нелинейное уравнение

движения в двухмерном фазовом пространстве

),( txfx =

&

• Движение будет устойчивым,

если функция Ляпунова

удовлетворяет следующим требованиям:

1. Линии уровня функции Ляпунова замкнуты;

2. Функция Ляпунова неотрицательна;

3. Скалярное произведение градиента функции Ляпунова и

вектора скорости в любой точке отрицательно:

0cos))(,(),( <⋅⋅==

α

fgradLxfgradLxgradL

&

;

В самом деле, скалярное произведение градиента функции

Ляпунова и вектора скорости в любой точке своим знаком показы-

вает тупой или

острый угол

α. Если

угол

α тупой, то

вектор скорости

направлен внутрь

линии уровня, и тра-

ектория движения

стремится войти

внутрь линии уровня

и далее двигаться к

началу координат.

Если, наоборот,

α

острый, то траекто-

рия стремится от

начала координат.

Очевидно, что в пер-

Рис. 15.1

Функция Ляпунова вом случае система

58

Линейный

объект

.

u = F

(

δ

)

r

устойчива, а во втором случае - нет.

Данное скалярное произведение есть также полная производная

функции Ляпунова по времени.

{

))(,(),())((

..

xfgradLxgradL

td

dx

dL

txL

dt

d

векторx

кт

==⋅=

−

&

(15.1)

Теперь дадим формулировку теоремы Ляпунова.

Теорема Ляпунова

(эскиз формулировки)

Пусть найдется функция

0)( ≥xL такая, что ее производная вдоль

траектории системы

),( txfx

=

&

отрицательна, т.е. выражение

(15.1) отрицательно. Тогда система устойчива.

К сожалению, не существует общего метода построения

функции Ляпунова для произвольной нелинейной системы.

Однако, к настоящему времени функции Ляпунова построены

практически для всех наиболее важных классов нелинейных систем,

встречающихся на практике.

Более того, если построена функция Ляпунова, то через нее

удается

выразить такие показатели качества переходного про-

цесса как перерегулирование время переходного процесса и т.д.

Один из важнейших классов нелинейных систем, для которых

можно построить функцию Ляпунова, это случай наличия

единственной нелинейности F(x) в системе, как в методе

гармонической линеаризации. Тогда функцию Ляпунова можно

выбрать в виде:

∫

−+=

x

части

линейной

Ляпунова

функция

T

числоноеположительнекотороеqгдеdFqQxxxL

0

.,)()(

δδ

321

(15.2)

Замечание:

в случае линейной системы функцию Ляпунова можно

всегда выбрать в виде квадратичной формы.

Теорема Лурье об устойчивости

Эта теорема основана на использовании предыдущей формулы для

широкого класса практически встречающихся систем.

U

зад

δ(t) u(t) x(t)

(-)

y(t)

Рис. 15.2 Нелинейная система Лурье

c

T

59

C

Т

– измеритель (косвенный) состояния x(t) объекта,

r – коэффициент местной OОС,

)(

δ

F

– нелинейность.

0)(

0)0(

>⋅

=

δδ

F

(I и III квадрант) (15.3)

Объект:

⎩

⎨

⎧

=

+=

xCy

buAxx

T

&

(15.4)

Требование:

объект устойчив, то есть матрица А устойчива.

Метод Лурье заключается в построении функции Ляпунова, причем

предварительно делается замена переменных:

()

buAxz

zux

замена

+=

⎯⎯→⎯ ),(,

δ

&

&&

Относительно этой пары уравнений получаем:

⎩

⎨

⎧

−−=−−=

+=

)()(

)(

δδδ

δ

rFzCrFxC

bFAzz

TT

&

(15.5)

Последняя система уравнений является соединением линейной

части и единственной нелинейности, поэтому функцию Ляпунова мы

выбираем в форме (15.1):

∫

+=

δ

δδδ

0

T

)(z ),( dFPzzL

По теореме Ляпунова вычисляем

dt

dL

. Путем сложных выкладок

получаем следующее неравенство:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+>

−

CPbGCPbr

T

2

1

2

1

, где PAPAG

T

+−= (15.6)

Решением этого неравенства должна быть положительно

определенная симметричная матрица P.

Замечание:

как ни странно, сюда вообще не вошли параметры

нелинейности, поэтому ясно, что Лурье получил очень сильные

условия устойчивости для нелинейности любого вида в рамках

ограничений.

Замечание:

Лурье также получил связь показателей качества

переходного процесса через матрицу P.

Таким образом, мы столкнулись со случаем, когда условия

устойчивости не зависят от конкретного вида нелинейности и

начальных условий. Устойчивость, не зависящая от начальных

условий, называется устойчивостью в целом, не зависящая от

конкретного вида нелинейности - абсолютной устойчивостью.

60

k

x

xF

≤≤

)(

0

0)0(

=

F

• Лекция 16.

Абсолютная устойчивость нелинейных систем. Критерий

П'опова (Popov V.M., Румыния 1958г.).

Подобно теореме Лурье критерий Попова позволяет установить

устойчивость нелинейной системы сразу для целого класса

нелинейности, лежащих в секторе.

Пусть нелинейность F(x) удовлетворяет частному условию:

F(x) kx

F(x)

х (16.1)

Рис. 16.1

То есть нелинейность не выходит за рамки сектора в 1 и 3

квадрантах, при этом её конкретный вид не имеет значения

,

например, она может иметь петли или быть сильно ломаной.

F(x) kx Понятно, что требования к виду нели-

F(x) нейности очень слабы, поэтому к дан-

х ному классу нелинейностей относятся

такие нелинейности, которые не под-

даются обычным методам линеариза-

Рис. 16.2

ции вследствие недифференцируемости. Класс нелинейностей,

умещающихся в секторе, очень широк, например,

сюда относится

большинство нелинейностей датчиков и приводов.

С другой стороны, сюда не попадает, например, обычное реле с

гистерезисом.

Абсолютная устойчивость – это устойчивость для любой

нелинейности внутри заданного сектора.

Устойчивость в целом (пространстве) – это устойчивость при

любом начальном условии.

С другой стороны, устойчивость в целом является развитием

вполне интуитивно понятной инженеру

идеи: если график

нелинейности F(x) зажат границами сектора Кх, то коэффициент

усиления нелинейности не "превышает К", и если устойчива

линейная

система, в которой вместо F(x) стоит Кх, то должна

быть устойчива и нелинейная система. Но для проверки

устойчивости линейной системы можно использовать обычные

критерии устойчивости, например, частотные.

Именно частотный подход используется в критерии Попова.

61

[]

0

1

)(1Re >++

k

jWjq

ωω

Критерий Попова дает критерий абсолютной устойчивости

в целом и формулировка его подобна критерию

устойчивости Найквиста.

Пусть линейная часть задана передаточной функцией W(p),

нелинейная часть находится в секторе k. Пусть можно найти такое

число q, что выполняется следующее частотное неравенство:

(16.2)

Тогда система является абсолютно устойчивой в целом и

, кроме

того:

0)( →tx при

∞

→t .

Частотное неравенство (16.2) имеет геометрическую интерпретацию

подобную критерию Найквиста. Раскроем выражение (16.2):

{}

WqWWqWjWjqWWjWjq ImRe)ImImReRe(Re)Im)(Re1(Re

ω

−

=

−

+

=

++

То есть (16.2) фактически означает: 0

1

ImRe >+−

k

WqW

ω

(16.3)

Если ввести модифицированный годограф:

)(Im)(Re)(

~

ωωωω

jWjjWjW += , (16.4)

то частотное неравенство для модифицированного годографа

получает вид:

)(

~

Im

1

)(

~

Re

ωω

jWq

k

jW >+ (16.5)

В самом деле, условие (16.5) просто означает, что

модифицированный годограф должен находиться правее прямой,

проходящей через точку (-1/к ; j0) с угловым коэффициентом q.

на комплексной плоскости с координатами .

С другой стороны, выберем в качестве "нелинейности" границу

сектора: F(x)=кx. Такая нелинейность входит в рассматриваемый

класс, но при её наличии система линейна, и

для неё, как для

линейной, можно использовать необходимое и достаточное

условие Найквиста. Это в данном случае означает, что обычная

АФЧХ линейной части не должна "охватывать" точку -1/к. (т.к.

W(jω)• К не должна "охватывать" точку -1.)

• Следовательно, необходимым условием, дополнительным к

критерию Попова, будет условие, чтобы обычный

(немодифицированный) годограф

линейной части не пересекал

вещественную ось левее точки -1/к.

• Отметим, что условие Попова - лишь достаточное, поэтому

критерий позволяет отсеять неустойчивые системы.

)Im;(Re WW

62

Прямая Попова с наклон. q

Модифицированный

годограф АФЧХ.

Немодифицированный

годограф АФЧХ: W(jω).

Прямая Попова с наклон. q

Модифицированный

годограф АФЧХ.

На самом деле, возможны три характерных случая. Рассмотрим

пример, в котором нелинейность заключена в секторе с К=1. Тогда

для устойчивости прямая в критерии Попова должна проходить

через точку -1 с некоторым наклоном наклоном q, и график

модифицированного годографа должен быть целиком правее.

Рис.16.3 Устойчивость, Рис.16.4 Неустойчивость,

т.к. выполнены

доста- т.к. не выполнены необходимые

точные условия. условия для немодифициро-

ванного годографа W(jω).

На рис.16.3 возможно провести через точку -1 прямую так, что

годограф целиком оказывается справа. На рис.16.4 годограф

немоди-фицированной АФЧХ линейной части пересекает

вещественную ось левее точки -1/к = -1.

На рис.16.5 невозможно провести

прямую через точку -1

так, чтобы

годограф оказался целиком правее,

но это не значит, что система

неустойчива. В этом случае требуется

дополнительное исследование други-

ми методами, отличными от критерия

Попова.

Рис.16.5 Ничего нельзя

утверждать на основе

критерия Попова.

Правило применения критерия Попова

1. На комплексной плоскости строим модифицированный годограф.

2. Отмечаем точку -1/к, определяемую сектором нелинейности.

3. Пытаемся провести через эту точку какую-нибудь прямую с

наклоном q так, чтобы годограф оказался правее. Система будет

абсолютно устойчивой, если это возможно.

4. Учитываем, что критерий Попова – только достаточное условие.

Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ

Подождите немного. Документ загружается.