Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ
Подождите немного. Документ загружается.
13
• Лекция 3. Идеальный квантователь.
Спектр квантуемого сигнала должен быть ограничен.
Идеальным квантователем
называется квантователь с бесконечно
малой шириной импульса квантования:
TS
S
<<
→ 0
.
В этом случае можно обоснованно пренебречь шириной
квантованного импульса и считать, что
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+≤≤
=
0
;
1
)(
)(
*
SkTtkT
S
kTf
tf
После этого квантованный сигнал можно записать так:
[]
∑
∞
=
⋅−−−−⋅=
0
*
1
)(1)(1)()(
k
S
SkTtkTtkTftf
Вычислим преобразования Лапласа:
S
e
p
e
kTfpF
kTp
k
pS
11
)()(
0
*
⋅⋅
−
⋅=
−
∞
=
−
∑
)(lim
*
0
pF
S →
∑∑
∞
=
−−
∞
=
=⋅⋅
++−
⋅⇒
00
)(
1...11
)(
k
kTpkTp
k
льквантоватеИдеальный
ekTf
S
e
p
pS
kTf
Сделав обратное преобразование Лапласа, обнаружим, что:
∑
∞
=
−⋅⇒
0
*
)()()(
k
льквантоватеИдеальный
kTtkTftf
δ
Таким образом, действие идеального квантователя сводится к
умножению отсчётов квантуемой функции на дельта- функцию δ(t-кТ).
14
Рис. 3.1
Действие идеального квантователя
Ширина импульса
стремится к 0,
амплитуда к ∞
15
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
>
≤⋅
=
c
c
T
jW
ωω
ωω
ω
,0
,1
)(
δ
-функция характерна тем, что площадь под её графиком равна 1.
Вместо значения квантуемой функции в момент времени kT
образуется бесконечно узкий прямоугольный импульс площадью
равной значению этой функции, при этом высота импульса
устремляется в бесконечность.
Выясним какой вид будет иметь спектр на выходе идеального
квантователя. В формуле (**) перейдем к пределу при
S
→
0 и
окажется, что спектр квантованного сигнала равен:
∑
∞
−∞=
+=
n
p
jnjF
T
jF )(
1
)(
*
ωωω
(3.1)
Идеальный квантователь создает бесконечное количество
одинаковых копий спектра исходного сигнала с амплитудой 1/Т.
Эти копии сдвинуты относительно друг друга на частоту квантования
ω
р
= 2π/Т .
Рис. 3.2
Понятно, что операция идеального квантования физически не
реализуема. Однако, на определенном интервале частот можно
приблизиться к идеальному квантованию сколь угодно точно.
Восстановление и обработка квантованного сигнала.
I способ
восстановления полезного сигнала заключается в
фильтрации. Применяется фильтр нижних частот с П-образной
характеристикой. С помощью такого фильтра
просто вырезаем основную компоненту спектра из
спектра квантованного сигнала. Эта компонента с
точностью до множителя 1/Т совпадает с исходным спектром.
Однако, никакой реальный фильтр не может иметь такую П-образную
частотную характеристику,
мгновенно обращаюшуюся в ноль.
Известно, с другой стороны, что для звена порядка n наклон ЛАЧХ
Спектр исходного сигнала
Бесконечный спектр
идеального квантователя
16
может составить максимально
−
+
n20дб/дек. Из этих соображений, при
использовании реальных фильтров не слишком высоких порядков
выбирают ω
р
>> (2-10) ω
с
, чтобы соседние компоненты спектра
квантованного сигнала отстояли друг от друга на значительное
расстояние и было проще их отделить с помощью фильтра. Фильтры,
кроме АЧХ, вносят фазовые искажения, поэтому задача построения
фильтра является сложной.
II способ.
Обратим внимание, что при вводе/выводе сигнала в ЦВМ
значение сигнала фиксируется на время Т.
fˆ(t)
АЦП/ЦАП представлены адресами
регистров,и в промежутках между
чтением/записью данные сохраняют-
неизменными. То же происходит и с
вычисляемыми данными, хранящимися
в рабочих переменных программ.
Отметим также, что такая фиксация
T 2T 3T 4T 5T t
есть не что иное, как простейший слу-
Рис. 3.3
чай экстраполяции (0 порядка). Дадим описание устройства,
осуществляющего экстраполяцию нулевого порядка, то есть фикса-
цию значения сигнала в течение времени Т:
[]
∑
∞
=
+−−−=
0
))1((1)(1)()(
k
TktkTtkTftf
)
Преобразование Лапласа такого экстраполированного сигнала:
∑
∞
=
−
−
−
=
0
1
)()(
k
Tp
kTp
p
e
ekTfpF
)
,
Назовем передаточной функцией фиксатора выражение:
W
Фиксатора
(р)=(1-e
-Tp
)/p (3.2)
Видим, что при использовании фиксатора в качестве модели
экстраполятора, помимо того, что это хорошо увязано с
вводом/выводом в ЦВМ, получается замечательный результат:
)()()(
1
)(
*
0
pFрWekTf
p
e
pF
фиксатора
k
kTp
Tp
•=•
−
=
∑
∞
=
−
−
)
(3.3)
То есть фиксатор, на самом деле, является обычным
динамическим звеном, описываемым передаточной функцией
(правда, не дробно-рациональной,) в совокупности с идеальным
квантователем.
17
f(t) f*(t) f^(t)
w
Ф
(p)
Рис. 3.4
Таким образом, при наличии фиксатора процесс квантования с
фиксацией можно представить, как наличие идеального квантователя
в совокупности с передаточной функцией фиксатора w
Ф
(p).
Рассмотрим частотную характеристику фиксатора и убедимся, что его
действие практически подобно ФНЧ.
Tj
T
Tjj
Tj
j
Tj
j
e
j
e
jW
Tj
T
при
Tj
фикс
ωωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
ω
+
=
+
−+
=
+
−
≈
−
=⎯⎯→⎯=
−
=
<<
−
1)1(
11
1
1
1
1
1
1
)(
1
.
инерционное звено (типичный ФНЧ)
На частотах существенно меньше частот квантования фиксатор
ведет себя как фильтр нижних частот (ФНЧ) первого порядка.
Любой другой способ восстановления непрерывного сигнала из
квантованного также может быть сведен к действию ФНЧ, если
рассматривать рабочие частоты ниже частоты квантования.
На рисунке видно, что частот-
|W
фикс
(jω)| инерционное звено
ные характеристики фиксатора
и аппроксимирующего его филь-
фиксатор
тра низких частот в виде инер-
ционного звена при малых ω
отличаются незначительно.
Однако, при приближении к T
частоте ω
ср
= 2π/Т их поведение
начинает отличаться
0.157•T
принципиально. Частотная
характеристика фиксатора
ωср=2π/T 4π/T ω Рис. 3.4
объясняет многие, на первый Рабочая область частот
взгляд, непонятные свойства спектра квантованного сигнала.
Например, почему амплитуда основной полезной частоты в спектре
может оказаться меньше, чем амплитуда боковой составляющей.
Ниже приведён спектр синуса f=5кГц. при квантовании с f
р
=8кГц.
Рис. 3.5
18
• Лекция 4.
Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование.
Эти преобразования позволяют распространить все методы линейных
систем на импульсные системы.
• Квантованный сигнал, который рассматривается лишь в дискретные
моменты времени f(kT), может быть подвергнут дискретному
преобразованию Лапласа по следующей формуле:
∑
∞
=
−
⋅=
0
*
)()(
k
pkT
kTfepF (4.1)
Обычно после вычисления получается дробно-рациональная функция
переменного е
р
.
F
*
(p) =
)(
)(
p
p
eP
eQ
• Другим способом преобразования квантованного сигнала является
Z-преобразование: F(z) = Z{f(t)} = Z{f(kT)}
∑
∞
=
−−
+⋅+=⋅=
0
1
)1()0()()(
k
k
fzfkTfzzF K
(4.2)
Нетрудно видеть, что имеется простая зависимость:
pT
ez = .
Существенным преимуществом Z-преобразования является то, что
все выражения являются дробно-рациональными функциями,
такими же, как и в обычном преобразовании Лапласа.
Дискретное преобразование Лапласа (также, как и Z-преобразование,)
обладают всеми свойствами, относящимися к обычному
преобразованию Лапласа. Имеется целый ряд теорем, аналогичных
теоремам о дифференцировании и интегрировании оригинала
обычного преобразования Лапласа. Только
в дискретном случае
вместо дифференцирования и интегрирования фигурируют сдвиги во
времени.
Вычисление Z-преобразований
Способ 1
(по определению)
Пример:
f(kT)=1(t). Это - единичная ступенчатая функция.
1
1
1
1)(
1
0
1
−
=
−
=⋅=
−
∞
=
−
∑
z
z
z
zzF
k
1
)(
*
−
=
pT
pT
e
e
pF
Способ 2
(с помощью вычетов)
19
))((Re)(
)(
.
k
pf
непрерывн
корнямпо
T
p
pFs
ez
z
zF
k
∑
−
=
Если известно преобразование Лапласа F(p) исходной непрерывной
функции f(t), то можно вычислить Z - преобразование F(z):
f(t) f(kT)
квантование
Z-преобр.
переход к Z- преобразованию (4.3)
F(p) F(z)
p
k
– полюса (простые) преобразования Лапласа F(p) непрерывной
функции f(t). В случае кратных корней формула несколько
усложняется (можно найти в справочниках).
Пример:
f(t) = 1(t); F(p) = 1/p.
Вычисляем с помощью (7):
1
1
)( ⋅
−
=
z
z
zF
Передаточная функция импульсной системы
Пусть на входе импульсной системы имеется импульсный сигнал u(z),
на выходе этой системы имеется соответствующий сигнал Y(z).
)(
)(
)(
zU
zY
zW = при нулевых начальных условиях
Возникает стандартная задача вычисления импульсной передаточной
функции для импульсной системы, если известен исходный
непрерывный прототип.
u(t) U*(p) Y(p) Y*(p)
W(z)
Рис. 4.1
Мы рассматриваем входной и выходной сигналы лишь в моменты
квантования, а не как непрерывную функцию
, поэтому на выходе
системы имеется ещё один (фиктивный) квантователь. Сигнал Y(p)
имеет сложную форму, совсем не похожую на квантованный сигнал.
W(p)
20
Основная формула для импульсной передаточной функции
основывается на доказанной в предыдущей лекции формуле для
спектра идеального квантователя.
Замечание:
По формуле (3.1) видно, что
преобразования Лапласа идеального
квантованного сигнала является
периодической функцией с периодом jω
p
.
)()(
**
p
jnpYpY
ω
+=
Как следствие, из этого вытекает, что
частотные характеристики импульсного
сигнала и амплитудно-частотная, фазо-
частотная являются периодичными с
периодом
ω
j
.
(p)U)jnωW(p
T
1
)jnω(p*U)jnωW(p
T
1
(p)Y
*
n
p
периодичн.
т.к.
p
n
p
*
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
⋅+⎯⎯⎯⎯⎯→⎯+⋅+=
, где
∑
∞
−∞=
+=
n
p
*
)jn ωW(p
T
1
(p)W
(4.4)
При
)(zWez
pT
⇒= , то есть получаем импульсную передаточную
функцию в терминах Z - преобразования, без фиксатора.
Заметим, что из формулы (8) видно, что: результат квантования
произведения не обязательно равен произведению результатов
квантования.
Имеются обширные таблицы, в которых для стандартных и
непрерывных передаточных функций имеются импульсные
передаточные функции.
Пример:
импульсная передаточная функция для инерционного звена.
1
)(
1
+
=
pT
k
pW
непр
, где k – коэффициент усиления,
1
T – постоянная
времени,
p
T
ω
π
2
=
– период квантования.
∑
−
−
⋅=
++
=
1
T
T
e
pT
e
pT
e
1
T
k
1)
p
jnω(p
1
T
k
T
1
(p)*W
Так, как:
pT
ez =
, тогда
a−
⋅=
−
−
⋅=
z
z
1
T
k
1
T
T
ez
z
1
T
k
W(z) без учёта фиксатора.
∑
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
+=
+=
=
+=
n
p
n
p
n
p
jnpU
T
pU
jnpY
T
pY
jp
jnjY
T
jY
)(
1
)(
)(
1
)(
)(
1
)(
*
*
*
ω
ω
ω
ωωω
21
Замечание: попробуем перейти к пределу 0→T , ожидая перейти к
передаточной функции непрерывной системы.
∞=
−
⋅=
→
→
11
1
1
T
k
W(z)
1)(z
0T
lim
Видим, что переход не получился, так как модель квантования не
учитывала фиксатор или более сложный экстраполятор. Если учесть
наличие фиксатора, заданного передаточной функцией фиксатора
p
e
pW
pT
ф
−
−
=
1
)(
, то никаких бесконечностей не получится.
1p
1
T
k
1
T
1
p
p
p
1
T
k
)
1
T
T
e
pT
(e
d
T
d
)
pT
e(1
dT
d
0T
lim
p
1
T
k
p
p
T
e1
1
T
T
e
pT
e
1
1
T
k
0T
lim
p
p
T
e1
1
T
T
e
pT
e
p
T
e
1
T
k
0T
lim(p)
ф
W(p)
*
W
0T
lim
+
=
+
•=
−
−
−
−
→
•
=
−
−
⋅
−
−
⋅
→
=
−
−
⋅
−
−
⋅
→
=⋅
→
Низкочастотная область
Путем подстановки
ω
j
p
=
получим частотную характеристику
импульсной системы - АФЧХ: W
*
( jω) = : | W* ( jω)| ● e
j argW
*
( jω)
Заметим, что для частот существенно меньших частоты квантования
практически частотная характеристика импульсной системы совпадает
с исходной характеристикой импульсной системы с точностью до
коэффициента
T
1
: )(
1
)(
*
ωω
jW
T
jW ≈ ,
т.к.
∑∑
∞
=
++=+≈
1
*
)(
1
)(
1
)(
1
)(
n
p
n
p
jnjW
T
jW
T
jnjW
T
jW
ωωωωωω
, где
для очень высоких частот квантования ω
p
>> ω, поэтому дробно-
рациональная физически реализуемая функция (порядок числителя
меньше порядка знаменателя) W(jω+ jω
p
) →0 при jω
р
>> jω.
Это рассуждение хорошо соответствует здравому смыслу,
подсказывающему, что при достаточно высокой частоте квантования
поведение импульсной системы практически не отличается от
исходной непрерывной. На этом замечании, кстати, основаны все
цифровые методы хранения обработки и воспроизведения звуковой и
видеоинформации.
Практическая формула для вычисления импульсной передаточной
функции для известного непрерывного блока W(р)
с фиксатором:
)
p
W(p)
Z(
z
1z
W(p))
p
-1
z1
Z(W(z) ⋅
−
=
−
=
Например, для инерционного звена имеем:
az
)a1(k
−
−
=⋅
−
= )
p
W(p)
Z(
z
1z
W(z)
.
22
• Лекция 5.
Фиктивный квантователь.
Вся теория Z-преобразования (как и дискретного преобразования
Лапласа) имеет дело со значениями функции только в моменты
квантования и не дает никакой информации о промежуточных
значениях функции. По этой причине вводится понятие фиктивного
квантования. Если некоторые сигналы в системе рассматривать как
импульсные, т.е. только в моменты квантования kT, то в ряде случаев
удобно в различные части системы добавить фиктивные
квантователи, которых нет в реальной системе, но наличие
которых
позволяет применить технику Z-преобразования. Ниже будет видно,
что введение фиктивного квантования позволит корректно
использовать импульсную передаточную функцию в сложной системе,
состоящей из многих блоков.
Пример с использованием Z-преобразования
R С
u(t)
y (t)
1
1
)(
+
=
RCp
pW
Рис. 5.1
Интересуясь лишь моментами квантования введем на выходе
фиктивный квантователь с фиксатором.
R С kT
Ф Рис. 5.2
U(z) Y(z) Y
*
(z) Y^(z)
Импульсная передаточная функция инерционного звена,
описывающего эту цепочку с учётом фиксатора:
RC
T
RC
T
ez
e
pRCp
Z
z
z
zW
−
−
−
−
=
•+
•
−
=
1
)
)1(
1
(
1
)(
,
Пусть u(t) = 1(t) :
RC
T
ez
z
z
z
pRCp
ZzUzWzY
z
z
pU
−
−
−
−
=
•+
==
−
=
1
)
)1(
1
()()()(;
1
)(
Здесь удобно пользоваться таблицами Z- преобразований.
Вычислим через обратное Z-преобразование оригинал импульсной
функции, значения которой в момент времени kT есть y(kT):
y(kT) = Z
-1
{ Y(z) } = 1(kT) - e
-
kT/RC
.