Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ
Подождите немного. Документ загружается.
33
Таким образом, необходимо иметь память на одно значение.
Отметим, что (8.3) является точной формулой, так как аппарат z -
преобразования гарантирует истинные значения функций в
моменты квантования.
Покажем теперь, что вычислительная схема, которая может быть
получена путём простой аппроксимации производной
непрерывного сигнала y(t):
T
tyTty
dt
tydtty
ty
)()()()(
)(
−+
=
−+
≈
•
(8.4)
в дифференциальном уравнении, соответствующем передаточной
функции непрерывного фильтра (12):
1)(
)())1((
)(1)()( ++
−+
≈=++
•
kTy
T
kTyTky
TtutytyT
фф
,
является приближением, получающимся из (8.3) при разложении
экспонент в ряд с оставлением линейных членов.
Получим схему вычисления:
y(kT) =(1-Т/Т
ф
)y((k-1)T) + Т/Т
ф
u((k-1)T);
В числах:
y(kT) =0.8y((k-1)T) + 0.2u((k-1)T); (8.5)
Сравним (8.3) и (8.5) и видим, что ошибка в коэффициентах в (8.5)
по сравнению с точной формулой (8.3) составляет около 20% и
зависит от шага квантования Т, уменьшаясь вместе с ним. Это,
впрочем, неудивительно, так как с уменьшением Т повышается и
точность формулы (8.4).
Использование Z-преобразования и импульсной передаточной
функции позволяет повысить точность цифровой
реализации по
сравнению с численными разностными методами.
В заключение приведём вычисление импульсной передаточной
функции цифрового ПИД - регулятора, широко использующегося на
практике в локальных системах автоматики и управления.
Непрерывная (исходная) передаточная функция ПИД - регулятора c
учётом фиксатора:
T
z
К
z
z
TКК
T
z
К
z
TККzW
рК
р
К
КpW
дипдиппид
д
и
ппид
1
1
1
1
1
1
1
1
)(
;)(
−
−
−
−
+
−
+=
−
+
−
+=
++=
(8.6)
Обозначим входной сигнал регулятора - е(кТ), выходной сигнал -
у(кТ), тогда из (8.6) получим:
u(kT)=u((k-1)T)+ К
п
е(кТ)- К
п
е((к-1)Т)- К
и
Те((к-1)Т)+ (К
д
/Т)(е(кТ)- е((к-1)Т));
Перегруппируем члены и получим схему вычислений:
u(k)=u(k-1) + (К
п
+ К
д
/Т)е(к) - (К
п
- К
и
Т - К
д
/Т)е(к-1); (8.7)
Окончательно, чтобы программно реализовать цифровой регулятор,
необходимо на цифровом контроллере (управляющей ЦВМ)
выполнять следующие жёстко привязанные к таймеру операции:
34
1. ввести через АЦП текущее значение входного сигнала;
2. с использованием данных из памяти вычислить u(k) по (17);
3. вывести через ЦАП вычисленное значение управления u(k);
4. пересохранить переменные: u(k-1)= u(k); e(k-1)= e(k);
5. перейти к пункту 1.
Таким образом, чтобы цифровое устройство реализовывало
необходимый алгоритм, заданный передаточной функцией, надо
выбрать такой контроллер или, в более общем случае, платформу
вычислительных средств
и программное обеспечение, позволяющие
производить обращение к устройствам ввода-вывода и вычисления в
соответствии с алгоритмом и привязкой к жёсткому реальному
времени.
Следует учитывать, что объекты автоматического управления
обычно очень критичны к сбоям управления. Такие обычные вещи,как
перегрузка операционной системы, временные "зависания"
управляющего компьютера обычно совершенно недопустимы. В
подобных
случаях приходится применять дублирование
(многократное), чтобы не допустить размыкания контура управления.
Не следует путать работу в условиях помех с отказами в работе
контроллера. Принципиальная разница здесь заключается в том, что
алгоритм работы в условиях помех реализуется на работающем
контроллере, то есть управление не теряется, а лишь корректируется
при появлении того или иного вида помех. При сбоях же контроллера
или программного обеспечения возникает совершенно иная ситуация.
Кроме того, обычно теряется время на устранение такого сбоя за счёт
ухудшения качества регулирования.
В настоящее время реальное положение дел таково, что ни
операционные
системы, ни языки программирования высокого уровня
не могут гарантированно обеспечить необходимый уровень
надёжности. Во всяком случае, инженер по управлению и автоматике
должен чрезвычайно тщательно относиться к выбору аппаратно-
программной реализации своих проектов. Это же относится и к
сетевой компоненте системы автоматики, если таковая имеется. Дело
в том, что многие общепринятые сетевые
средства не предназначены
для работы в реальном времени. Например, ни сеть Ethernet,ни
протокол TCP/IP не гарантируют времени доставки пакетов, и если
реализовать распределённую САУ с использованием сетевой
компоненты на их основе, то можно столкнуться, например, с фактами
резкого изменения качества работы регулятора в зависимости от
загрузки сети.
Что касается распространённых контроллеров
на основе РС-
совместимой архитектуры, то лишь очень немногие из них
обеспечивают требуемое качество и надёжность.
35
Нелинейные системы автоматического управления.
• Лекция 9.
Метод гармонической линеаризации
Общих универсальных методов исследования нелинейных систем
не существует - слишком велико разнообразие нелинейностей.
Однако, для отдельных видов нелинейных систем разработаны
эффективные методы анализа и синтеза.
• Метод гармонической линеаризации предназначен для
представления нелинейной части системы некоторой
эквивалентной передаточной функцией, если сигналы в системе
могут рассматриваться, как гармонические.
• Этот метод может
быть эффективно использован для
исследования периодических колебаний в автоматических
системах, в том числе, условий отсутствия этих колебаний, как
вредных.
Характерным для метода гармонической линеаризации является
рассмотрение одного единственного нелинейного элемента. НЭ
можно разделить на статические и динамические. Динамические
НЭ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями
и являются гораздо более сложными. Статические НЭ
описывают-
ся функцией F(x).
Применение метода гармонической линеаризации для
исследования нелинейных колебаний - это наиболее
распространённое применение данного метода.
В замкнутой САУ, состоящей из линейной части с передаточной
функцией W(p) и нелинейного элемента, описывающегося
функцией F(x), рассмотрим условия возникновения колебательного
незатухающего процесса, его амплитуда, частота, форма и условия
возникновения подлежат исследованию.
Пусть на входе нелинейного элемента НЭ имеется простое
гармоническое колебание и НЭ задан функцией F(x).
НЭ ЛЧ
U
зад
= 0 aSin(ωt) F(aSin(ωt)) x(t)
F(x) W(p) (*)
(-)
Пройдя через линейную часть, выходной сигнал поступает по цепи
ООС на вход системы, которую будем для простоты считать следя-
36
щей с 0 задающим воздействием. Далее, преобразовавшись в не-
линейном элементе, сигнал поступает на вход ЛЧ, контур замкнут.
Периодический сигнал aSin(ωt), проходя через нелинейность,
остаётся периодическим с тем же периодом и его можно
разложить в ряд Фурье по гармоникам с кратной частотой.
F(aSin(ωt))=a
0
+ b
1
Sin(ωt) + a
1
Cos(ωt) + b
2
Sin(2ωt) + a
2
Cos(2ωt)+…+ (9.1)
Коэффициенты Фурье вычисляются по известным формулам,
заметим лишь, что коэффициенты a
к
и b
к
зависят от амплитуды
и частоты a b ω гармонического сигнала aSin(ωt)). В конечном
итоге, это сохраняет характер нелинейной зависимости.
;0k
;dt)tk(Sin))t(aSin(Fb;dt)tk(Cos))t(aSin(Fa;dt))t(aSin(F
2
a
2
0
k
2
0
k
2
0
0
>
ωω
π
ω
=ωω
π
ω
=ω
π
ω
=
∫∫∫
ω
π
ω
π
ω
π
Если дополнительно предположить, что нелинейность симметрич-
на, то есть F(-x)= -F(x), то постоянная составляющая a
0
=0.
Обратимся к частотной характеристике линейной части. Говорят,
что справедлива гипотеза фильтра, если выполняется
неравенство:
|W(jnω
*
)| << |W(jω
*
)|, (9.2)
здесь имеется ввиду типичная рабочая частота системы ω
*
.
Таким образом, предполагаем, что линейная часть обладает
фильтрующим свойством. Поэтому старшие гармоники на выходе
НЭ просто не проходят через линейную часть, они в ней
подавляются.
В этом заключается гармоническая линеаризация - отбрасывание
старших гармоник на выходе НЭ, потому что их влияние
пренебрежимо мало. При этом учитывается , что в линейной части
различные гармоники не взаимодействуют между собой вследствие
линейности.
Гипотеза
фильтра означает, что частотная характеристика
линейной части достаточно быстро убывает:
L(ω)
L(nω
*
) << L(ω
*
)
2ω
*
ω
ω
*
рабочая частота
Рис. 9.1
Степень выполнения гипотезы фильтра позволяет оценить
погрешность самого метода. Обычно считают, что, если вторая и
более старшие гармоники составляют Δ% от первой, то и
37
погрешность метода гармонической линеаризации составляет эту
же величину Δ%.
После отбрасывания старших гармоник от (9.1) остаётся следующее
выражение: F(aSin(ωt)) ≈ a q (a,ω)Sin(ωt) + a q'(a,ω)Cos(ωt);
q (a,ω) = a
1
/a и q' (a,ω) = b
1
/a называются коэффициентами
гармонической линеаризации. Эти коэффициенты описывают
изменение амплитуды и фазы первой гармоники сигнала при
прохождении через нелинейность. Зависимость коэффициентов
гармонической линеаризации от амплитуды и частоты возможно
только в нелинейной системе, сохраняет отпечаток нелинейности,
не уничтожая её, как при простой линеаризации нелинейности.
Именно поэтому возможно использовать метод гармонической
линеаризации для расчёта существенно нелинейных
колебательных
процессов.
Коэффициенты гармонической линеаризации обобщают обычный
коэффициент усиления линейного звена. Покажем, как с их
помощью определить АФЧХ, соответствующую НЭ.
Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через НЭ:
tap
a
q
qtap
a
aa
a
ab
tp
aa
tab
t
dt
d
aatabtatbtaF
ω
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ω
ωω
ω
ω
ωωωωωω
sinsin
),(),(
sin
),(
sin),(
sin
),(sin),(cossin)sin(
'
111
1
1111
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⋅+=
=+=+=
Значит, гармонический сигнал, проходя через НЭ, домножается на
некоторое операторное выражение, которое естественным образом
называется эквивалентной передаточной функцией НЭ:
p
aq
aq
a
a
a
b
paW
НЭ
⋅
′
+=+=
ω
ω
ω
ω
ω
),(
),(),,(
11
(9.3)
Полученная передаточная функция позволяет также определить
эквивалентную АФЧХ НЭ:
Как правило, вид нелинейности связан с типичным эффектом в том
или ином элементе автоматики. Рассмотрим некоторые типичные
статические нелинейности. Метод гармонической линеаризации
позволяет эффективно исследовать не только ступенчатые
недифференцируемые (следовательно, нелинеаризуемые обычным
)(Re
)(Im
22
)(arg
22
)(arg
),()(),(),()(),(
)(
)(Im)(Re
),(
),(),,(
ω
ω
ω
ω
ωωωω
ω
ωωω
ω
ω
ωωω
нэ
нэ
нэ
нэ
W
W
arctgj
Wj
Wj
нэ
нэнэНЭ
eaqaqeaqaq
eW
WjWj
aq
aqjaW
⋅
⋅
⋅
•
′
+=•
′
+=
=•=
=⋅+=⋅
′
+=
38
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
⋅π
=
=
′
2
2
a
b
1
a
c4
q
0q
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
π
−=
′
−
⋅π
=
2
2
2
a
cb4
)a(q
a
b
1
a
c4
q
методом) нелинейности, но и петлеобразные, в частности,
гистерезисные. Вначале рассмотрим нелинейности без петель.
Полиномиальные нелинейности
F(x)
P(x) – полином
P(-x) = - P(x)
0 x
Рис. 9.2
Пример 1. Кубическая нелинейность.
P(x) = k
1
х+k
2
x
3
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
=
′
2
21
4
3
),(
0
akkaq
q
ω
Наблюдение
: q'=0, нет фазового сдвига и q не зависит от частоты.
Пример 2. Идеальное реле с зоной нечувствительности.
F(x)
c
-b b x
-c Рис. 9.3
Наблюдение
: q'=0, нет фазового сдвига и q не зависит от частоты.
Перейдём теперь к нелинейностяи с петлями.
Гистерезисные нелинейности.
Нелинейная характеристика может иметь петли. Петель в
характеристике может быть много. Частным случаем петли является
гистерезис. Явление гистерезиса связано «с памятью» нелинейного
элемента. «Память» – остаточная деформация, остаточная
намагниченность, электретный эффект и т.п..
Пример 3.Реле с гистерезисом.
F(x)
c
-b b x
-c
Рис. 9.4
Наблюдение
: q'<0 , имеется отрицательный фазовый сдвиг и q и q'
не зависят от частоты.
39
43421
43421
евоздействи
внешнеена
реакция
частн
неодн
инерция
движение
собствен
общ
одн
общ
неодн
txtxtx
всегдасистемелинейной
В
)()()(
:
.
.
,
.
.
.
.
.
+=
∑
=
=
nk
tp
k
i
общее
ооднородног
k
etctx
,1
)(
• Лекция 10.
Выводы:
• Во всех рассмотренных случаях коэффициенты гармонической
реализации не зависят от частоты.
• Коэффициент q' зависит от наличия петель и пропорционален
суммарной площади петель с учётом знаков.
• Фазовый сдвиг - отрицательный, это определено тем, в каком
направлении происходит обход петли гистерезиса, в частности,
для обычного гистерезиса - отрицательный.
• АФЧХ НЭ может
зависеть не только от частоты, но и от
амплитуды, на самом деле, во всех рассмотренных примерах от
частоты она не зависит.
Автоколебания в нелинейной системе
В реальной линейной
системе
невозможны колебания постоянной
амплитуды без наличия специаль-
ного периодического входного
воздействия. Собственные движе-
ния в линейной системе
могут иметь незатухающий вид, если
имеется хотя бы один корень характеристического уравнения со
строго 0 вещественной частью, так как собственные движения в
системе имеют в общем случае вид:
Автоколебания
– собственные колебания в нелинейной системе,
обладающие свойством устойчивости, т.е. способностью сохранять
амплитуду и форму колебаний.
Автоколебания в реальных системах могут появляться из-за
наличия гистерезиса, люфта, всевозможных зазоров в механических
соединениях, наличия реле, логических законов управления и др.
Автоколебания в таких нелинейных системах
ухудшают качество
переходного процесса, не дают ему окончательно затухнуть. В
особо точных системах позиционирования автоколебания просто
недопустимы.
x(t)
обычный переходный процесс
автоколебания
t
Рис. 10.1
40
1))((
)()(
)(
)(
)(
1)),(),()((
−=
′
++
+==
−
=
′
+
qjqjPQ
jPQ
jN
jM
jW
aqjaqjW
ωω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
⎩
⎨
⎧
=
′
+
−=
′
−
=+
0*)*,(*)(*)*,(*)(
1*)*,(*)(*)*,(*)(
0*)*,(*)*,(
ωωωω
ωωωω
ωω
aqQaqP
aqPaqQ
ajYaX
частимнимуюиуювещественнвыделим
)(),())(;1),()(
ω
ω
ω
ω
ω
jNaqjMaqjW
−
=
−
=
Для расчета такого рода колебаний подходит метод гармонической
линеаризации, который в данном случае определяет амплитуду и
частоту первой гармоники этих колебаний.
Используем критерий Найквиста для нахождения условия того, что
замкнутая система (*) находится на границе устойчивости,
то есть в
ней возможны незатухающие и ненарастающие колебания.
W(jω*) W
нэ
(а*,ω*,jω*) = -1; (10.1)
Годограф АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку (-1; j0).
а* – амплитуда возможных автоколебаний,
ω* – частота возможных автоколебаний.
Рассмотрим (10.1), как систему уравнений для определения а*,ω*.
Воспользуемся коэффициентами гармонической линеаризации.
(10.2)
Решением этой системы являются а*,ω* (решений может быть
несколько, кроме того, а*,
ω* могут вовсе не быть истинными
параметрами автоколебаний т.к. эта система (10.2) является лишь
необходимым условием
наличия автоколебаний). Достаточное
условие должно заключать в себе рассмотрение всех гармоник, что
практически нереально.
Рассмотрим важный частный случай:
Система без гистерезиса.
Характеристика НЭ не имеет петель, поэтому q' = 0. Из (10.1) или
(10.2):
(10.3)
Обозначим вещественные и
мнимые части полиномов числителя и знаменателя передаточной
функции ЛЧ соответственно: M(jω)=X
q
(ω)+jY
q
(ω), N(jω)=X
p
(ω)+jY
p
(ω).
Тогда последнее равенство (10.3) эквивалентно двум (для
вещественной и мнимой частей):
X
p
(ω) + X
q
(ω)q(a) = 0; здесь учтено, что обычно q() не зависит от ω.
Y
p
(ω) + Y
q
(ω)q(a) = 0;
Получим два равенства для вычисления по очереди вначале ω*, а
затем а* (следует иметь ввиду, что некоторые выражения равны 0):
X
p
(ω*) Y
q
(ω*) = X
q
(ω*) Y
p
(ω*);
q(a*) = - X
p
(ω*)/ X
q
(ω*) = - Y
p
(ω*)/ Y
q
(ω*); (10.4)
Из (10.4) видно, что в системах без гистерезиса частота
автоколебаний ω* определяется только линейной частью. Для
{
41
1
(
T
p
+1
)
2
p
c
-
c
определения ω* необходимо решать полиномиальные уравнения.
Для определения амплитуды автоколебаний а* приходится уже
решать нелинейное алгебраическое уравнение с нелинейностью,
зависящей от коэффициента гармонической линеаризации q(a).
Устойчивость автоколебаний
.
Можно показать, что для устойчивости автоколебаний, то есть,
чтобы их амплитуда, частота и форма были устойчивы к малым
возмущениям начальных условий необходимо выполнение
условия:
0
),(),(),(),(
*
*,
*
*,
>
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
ωωωω
ωω
aaaa
xaX
a
xaYxaY
a
xaX
(10.5)
Условие (10.5), так же, как и условия (10.1, 10.2) является лишь
необходимым, то есть позволяет отсеять заведомо неустойчивые
автоколебания.
Пример 1. Следящая система с релейным регулятором.
Ниже приведено исследование типичной электромеханической
системы (объект - исполнительный двигатель постоянного тока с
примерно одинаковыми постоянными времени и выходной
величиной - угол поворота) с релейным регулятором. Убедимся, что
в этой системе будут автоколебания.
НЭ ЛЧ
φ
зад
= 0 e(t) φ(t)
(-)
Рис. 10.1
Так как гистерезиса нет, воспользуемся (10.4) для определения
вначале частоты ω* а затем амплитуды а* автоколебаний. Сам
факт наличия этих колебаний (необходимое условие !) связан с
существованием решения уравнения (10.4). Нетрудно получить:
M(jω)=1; N(jω)= -T
2
jω
3
-2Tω
2
+jω; q(a)= 4c/(πa); q'=0;
Вычислим вещественные и мнимые части M(jω) и N(jω):
X
p
(ω
*
)= -2Tω
*2
; Y
p
(ω)=ω
*
-Tω
*3
; X
q
(ω
*
)= 1; Y
q
(ω
*
)=0.
Подставим в (24): -2Tω*
2
• 0 - (ω* -T
2
ω*
3
) • 1=0.
Отсюда ω*=1/Т, далее вычисляем a* из уравнения q(a*)= 2/T.
4с/(πа*) = 2/Т; а*=2сТ/π . Таким образом, в нашей релейной
системе возможны автоколебания с частотой, зависящей только от
постоянной времени объекта управления и амплитудой, зависящей
от параметров нелинейности.
Проверим условия устойчивости (10.5):
X(ω) = X
p
(ω) + X
q
(ω)q(a)= -2Tω
2
+4с/(πа);
Y(ω) = Y
p
(ω) + Y
q
(ω)q(a)= ω -T
2
ω
3
;
42
0
2
)*31(
*)(
4),(),(),(),(
2
22
2
*
*,
*
*,
>=−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
cT
T
a
cxaX
a
xaYxaY
a
xaX
aaaa
π
ω
π
ωω
ωωωω
,
то есть, необходимое условие устойчивости выполнено.
Конкретный вид автоколебаний исследуется другими методами -
решением соответствующих нелинейных дифференциальных
уравнений или моделированием на цифровой модели. При этом
исследуются и достаточные условия наличия и устойчивости
автоколебаний.
Ниже приведён график переходных процессов в системе при φ
зад
= 1
и параметрах системы: Т=0.3с.; С=1.
t
X
(
t
)
Переходные процессы в релейной следящей системе
Рис. 10.2
Отчётливо наблюдается устойчивые колебания при различных
начальных условиях. Амплитуда этих колебаний около 0.2, период
колебаний примерно равен 1.9с., что хорошо совпадает с
результатами расчётов.
Обращает на себя внимание тот факт, что амплитуда и форма
установившегося колебания не зависит от начальных условий и
является неотъемлемой частью переходного процесса в такой
системе с реле. Выбором параметров (в том числе, самого реле)
можно повлиять на амплитуду и период колебаний.
В следующем примере попытаемся оценить точность, типичную
для метода гармонической линеаризации.