Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ

43

- 1

p

-b 1

-1 b

Пример 2. Генератор треугольных колебаний.

Рассмотрим схему, состоящую из компаратора с гистерезисом

(электронный аналог реле с гистерезисом) и интегратора. Покажем,

что в такой схеме возникают треугольные колебания на выходе

интегратора и вычислим их амплитуду и частоту методом

гармонической линеаризации.Ширина петли

гистерезиса - b, x(t)

амплитуда пере-

ключения - 1.

Интегратор - c ин- Рис. 10.3

версией знака. Построим вполне

очевидный график выходного

сигнала х(t), предполагая, что начальное состояние интегратора

равно 0 и начальное состояние реле равно (-1).

x(t)

b

первая гармоника

0.81b Понятно, что период ко-

лебания Т = 4b, то есть

ω

точное

* ≈ 1.57/b.

-

0.81b b 2b 3b 4b Амплитуда колебаний

a* = b.

-b

Рис. 10.4

Вычислим ω* и а* методом гармонической линеаризации (10.2).

Следует проверить, выполняется ли гипотеза фильтра.

Очевидно, что частотная характеристика линейной части имеет

слишком пологий вид с наклоном -20дб./дек. = -6дб./окт., поэтому

надеяться, что результаты расчёта будут иметь очень высокую

точность, не приходится. Тем не менее

, продолжим:

Q(jω)= 0; P(jω)= 1/ω;

22

2

4

)(';1

4

)(

a

b

aq

a

b

a

aq

π

−=−= ;

Подставим в (22):

1)

*

4

*

1

*

4

*)(/(

22

2

−=−−−

a

b

j

a

b

a

j

π

ω

Выделяя вещественную и мнимую части имеем: а* = b;

ω*= 4/(πb)≈1.27/b. Сравнивая с точным значением: ω*≈0.81ω

точное

*.

Таким образом, методом гармонической линеаризации совершенно

точно определена амплитуда автоколебания, а при определении

частоты имеется погрешность порядка 20%. Сравним эту

погрешность с погрешностью, полученной при отбрасывании

старших гармоник в треугольном колебании. Для этого достаточно

в нашем случае сравнить амплитуду 1 гармоники с амплитудой

всего колебания. Коэффициент Фурье b

к

для треугольного

колебания имеет величину (см. справ.) b

к

=2b(Sin(πk/2))

2

/((πk/2))

2

.

Откуда получаем, что амплитуда первой гармоники b

1

≈ 0.81, что

хорошо согласуется с полученной погрешностью вычислений.

44

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−−

)),(),(()(

)()(

21

32

21

1

K

&

KKKKK

&

txtxtx

txtx

txtY

nnn

ϕ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

n

x

M

2

1

• Лекция 11.

Фазовое пространство и фазовая плоскость нелинейной системы

Понятие "фазовое пространство" связано с процедурой перехода от

нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка n к

системе из n нелинейных дифференциальных уравнений1-го порядка.

0),,,,,(

)()(

=UUYYF

mn

KK

, где

)(n

Y

– n-я производная, F() – нелинейная

функция,

)(

)1()(

K

−

=

nn

YY

ϕ

– нелинейное дифференциальное уравнение

k-го порядка относительно Y. Фазовое пространство нелинейной

системы – это многомерное

векторное пространство, точки x

которого имеют координаты:

Фазовое пространство полностью

иллюстрирует решение данного

дифференциального уравнения.

Эффективность этого понятия наиболее

видна в двухмерном фазовом пространстве.

Это хорошо согласуется со следующим, принятым в автоматике

рассуждением: "Всякий переходный процесс может в

первом

приближении быть представлен в виде системы не сложнее 3-го

порядка; система 2-го порядка описывает колебательность с затуха-

нием и добавление 3-го порядка (в случае необходимости) усложняет

процесс затухания". То есть часто бывает достаточно 2-го порядка.

В случае когда фазовое пространство двухмерно, а этот случай часто

встречается на практике, использование

этого пространства

становится очень наглядным и используется в двух видах:

– обычное фазовое пространство,

– расширеное фазовое пространство, когда добавляют координату

t.

Обычное фазовое пространство:

Если правая часть дифференциального уравнения является

дифференцируемой функцией и может быть разложена в ряд

Тейлора, исследование фазового портрета (совокупности фазовых

траекторий) на фазовой плоскости упрощается. Вид фазового

портрета определяется наличием и типом особых точек.

),( xxfx

&&&

= , где f(…,…) – разложение в ряд Тейлора.

.)0(;)0(:..

),(

:,:..

)0(

0201

212

21

1

0

xxxxун

xxfx

xx

далееиxxеобозначенивведёмун

xx

&

&&

==

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

=

45

Окрестность

неособой точки

В более общем случае имеется система:

⎩

⎨

⎧

Φ=

),(

2122

2111

xxx

&

(11.1)

Особой точкой системы (1) называется точка ее покоя:

⎩

⎨

⎧

=

0

2

1

x

&

– точка покоя, «особая точка» (11.2)

Фазовые траектории могут пересекаться только в особых точках. Вне

особых точек фазовые траектории устроены просто и через каждую

точку проходит единственная фазовая траектория, т.е. в окрестности

неособой точки ничего интересного нет - множество практически

параллельных траекторий. Чем меньше рассматриваемая окрестность

точки, тем больше ход фазовых

траекторий похож на расслоение

параллельными линиями. Конечно, при

увеличении окрестности выясняется, что все

эти линии оказываются не прямыми,

а изогнутыми, как множество меридианов на географической карте.

Если найдены все особые точки изображения на фазовой

плоскости, и для каждой из этих точек определено, как именно в

ней пересекаются траектории, после этого

фазовые траектории

достраиваются почти автоматически.

Тип особой точки определяется линеаризацией правой части

уравнений в окрестности особой точки.

Пусть у нас

),(

*

2

*

1

xx – особая точка,

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=Φ

0),(

*

2

*

12

*

2

*

11

xx

(11.3)

Линеаризуем уравнение (11.1) в окрестности этой точки:

(...)0

0

*

22

*

11

2

1

2

1

2

1

*

22

*

11

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

Φ∂

∂

Φ∂

∂

Φ∂

∂

Φ∂

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

xx

x

xx

&

Перейдя к уравнениям в отклонениях, получаем:

*

1

xx

x

A

Axx

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

∂

Φ∂

=

&

(11.4)

Т.к. замена базиса лишь поворачивает плоскость и изменяет масштаб

вдоль осей, то замена базиса не меняет качественно картину особой

точки. Удачным выбором базиса можно легко исследовать тип особой

точки. Выберем базис таким образом, чтобы матрица привелась к

диагональной форме (не только в двухмерном, но и в общем

случае):

46

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

n

i

ATT

λ

00

0

00

1

KK

OKKM

MKKM

MKKO

KK

Заменим базис: AxxzTxTzx

=

&

; , тогда ATzAxzT

=

&

;

A

T

z

T

z

1−

=

&

В базисе собственных векторов приводим

матрицу к диагональному виду.

Если матрица не обладает базисом собственных векторов, то вместо

диагональной формы будет форма Жордана; построения несколько

усложняются, мы, однако, ограничимся диагональным случаем.

Вернёмся теперь к двухмерному случаю. Уравнение в новом базисе

получаем такого вида:

zz

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

2

1

0

λ

&

, Замечание: собственные векторы матрицы A задают

направление осей

1

z …

n

z .

Метод построения фазовых траекторий

Можно построить фазовые траектории двумя способами:

1. Параметрическое задание фазовой траектории;

Решаем систему, находим z

1

(t), z

2

(t). Из начальной точки строим

параметрическую кривую.

2. Нахождение прямой зависимости z

2

(z

1

) или, наоборот, z

1

(z

2

).

Второй способ проще, т.к. порядок системы дифференциальных

уравнений уменьшается на единицу, и получающееся уравнение

первого порядка можно легко исследовать, часто и решить явно.

Применим второй метод к нашей системе из двух уравнений:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

Φ=

),(

212

2

211

1

xx

dt

dx

xx

dt

dx

(11.5)

Разделим 2-ое уравнение на 1-ое:

),(

212

211

2

1

xx

dx

Φ

=

Это- нелинейное уравнение 1-го (!) порядка. (11.6)

Теперь этот способ применим к результату линеаризации в

окрестности особой точки:

1

2

1

2

1

2

222

111

z

dz

zz

⋅=

⎩

⎨

⎧

=

λ

&

далее решаем, разделяя переменные:

постояннаяаяпроизвольнCzCz

z

dz

z

dz

−=⋅= ,||;

1

2

12

1

2

λ

Дальнейшее зависит от того, какие значения принимают λ

1

, λ

2

.

47

• Лекция 12.

Прием определения направления стрелок.

Если нужно определить направление стрелки в любой точке фазовой

плоскости (то есть определить направление движения по фазовой

траектории), то берется исходное уравнение и в правую часть

подставляется искомая точка.

В правой части получаются числа, которые являются производными.

Если производная положительна, то соответствующая переменная

возрастает со временем, если отрицательна, то убывает.

Рассмотим возможные случаи.

1. Если λ

1

, λ

2

- вещественные, то такая особая точка называется

узлом.

1.а) λ

1

, λ

2

– вещественные, причем λ

1

<0, λ

2

<0

рис. 12.1. Получаем устойчивый узел.

Вдоль всех траекторий движение происходит в сторону начала

координат.

X2

X1

Рис.12.1 Получаем устойчивый узел.

48

1.b) λ

1

, λ

2

– вещественные, причем λ

1

>0, λ

2

>0

X1

X2

Рис. 12.2 Получаем неустойчивый узел.

Вдоль всех траекторий движение происходит от начала координат.

2. λ

1

, λ

2

– вещественные, причем λ

1

>0, λ

2

<0

X2

X1

Рис. 12.3. Точка называется седлом. Седло всегда неустойчиво.

49

3. λ

1

, λ

2

–чисто мнимые λ

1

= jω, λ

2

= – jω

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅−=

=

1

2

21

zz

ω

&

Поделим второе уравнение на первое.

2

1

2

1

2

z

dz

ω

−=

Проинтегрируем по частям.

∫∫

−=

11

2

22

dzzdzz

ω

Учтём произвольную постоянную, зависящую от начальных условий.

22

1

22

2

1

22

2

22

Rzz

C

zz

=+

+−=

ω

Это, очевидно, есть семейство эллипсов.

X1

X2

Рис. 12.4. Эта точка называется центром.

Движение вдоль фазовых траекторий происходит по часовой стрелке.

50

4. λ

1

, λ

2

– комплексно сопряженные корни, λ

1

= a + jω, λ

2

= a - jω

4.1. a<0. Вещественные части корней отрицательны.

X2

X1

Рис. 12.5. Этот фазовый портрет называется устойчивым фокусом.

Траектории "сворачиваются" к началу координат.

4.2. a>0. Вещественные части корней положительны.

X1

X2

Рис. 12.6. Этот фазовый портрет называется неустойчивым

фокусом.

Траектории "разбегаются" от начала координат.

51

xx

x

sin−=

−=

&&

• Лекция 13.

Пример построения фазового портрета с бесконечным числом

особых точек. Реальный маятник без затухания.

Приведём в качестве примера построение фазового портрета

реального маятника без затухания. Известны уравнения идеального

(математического) и реального маятника без затухания. Очевидно,

при малых перемещениях: x ≈ Sin(x), и поэтому их решения близки.

Но при немалых х отклонения в поведении значительны.

- уравнение математического маятника;

- уравнение реального маятника.

Перейдём к фазовой плоскости для

реального маятника.

⎩

⎨

⎧

Φ=−=

Φ==

),(sin

),(

21212

21121

xxxx

&

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

0

*

2

*

1

x

уравнение особых точек

0sin

0

0),(

1

2

212

211

=

≡

=Φ

x

xx

kx ⋅=

π

1

Этот фазовый портрет построен на компьютере. Выясним характер

особых точек, их здесь, очевидно, бесконечное число.

Рис. 13.1. Фазовый портрет маятника без затухания. Вдоль оси Х1

картинка периодична с периодом 2π.

52

1

(p+1)p

-b 1

-1 b

Произведем линеаризацию в окрестности каждой точки (x

*

11

= 0+2πk) и

(x

*

12

= π+2πk).

1)

0

2

*

1

*

== xx :

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

Φ∂

∂

Φ∂

∂

Φ∂

∂

Φ∂

=

01

10

0cos

10

0

1

0

,

2

1

2

1

*

2

*

1

*

2

*

1

x

xx

x

xx

A

λ

1

= i, λ

2

= – i , то есть, эта точка - центр.

2)

;0,

2

*

1

*

== xx

π

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

Φ∂

∂

Φ∂

∂

Φ∂

∂

Φ∂

=

01

10

0

2

1

2

1

*

2

*

1

x

xx

A

π

λ

1

= 1, λ

2

= – 1 , то есть, эта точка - седло.

Очевидно, что далее картина повторяется периодически вдоль оси X

1

.

Линии переключения на фазовой плоскости

Если правая часть дифференциального уравнения не

дифференцируемая функция (релейная система), то особые точки

могут сливаться в целые линии – линии переключения, и по разные

стороны от них нелинейный элемент НЭ системы переключается в

разные состояния.

НЭ ЛЧ

φ

зад

= 0 e(t) φ(t)

(-)

Рис. 13.2 Нелинейная следящая система с гистерезисом.

Обозначим X

1

(t)= φ(t) и перейдём к системе из двух уравнений в

фазовом пространстве:

⎩

⎨

⎧

−−=

=

)(

122

21

xFxx

xx

&

Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ

Подождите немного. Документ загружается.