Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ
Подождите немного. Документ загружается.
23
Результат очевиден и иллюстрирует технику применения Z-
преобразования.
Передаточная функция замкнутой системы
U(t) e(t) Y(t)
W(p)
(-) Рис. 5.3
Y
oc
(t) W
oc
(p)
В непрерывной системе:
оc
зс
WW
W
pW
+
=
1
)(
;
оc
WW
pWe
+
=
1
1
)(
В импульсной системе не всегда можно вычислить передаточную
функцию замкнутой системы по подобной формуле. Сама эта
возможность связана с наличием и расположением квантователя.
Рассмотрим некоторые возможные случаи расположения
квантователей в системе.
1) Чисто импульсная система
U(t) e(z) Y(z)
W(z)
(-) Рис. 5.4
Y
oc
(z) W
oc
(z)
)()(1
1
)(;
)()(1
)(
)(
..
zWzW
zW
zWzW
zW
zW
oc
e
oc
сз
+
=
+
=
2) Система с аналоговым входным сигналом
U(t) e(t) e
*
Y(t) Y(z)
W(p)
(-) Рис. 5.5
Y
oc
(t) W
oc
(p)
[]
[]
[][]
*
*
0
*
*
*
*
*
*
0
*
)()(
)(
)()()()(
)()(
yWWpWpUy
epWyy
pypWpUpe
epWpy
c
яквантовани
операция
c
⋅−=
==
−=
=
4434421
Раскрывать скобки нельзя, поэтому из последней формулы
*
y
выразить через W
зс
и U(p) нельзя. Результат квантования
24
произведения не обязательно равен произведению результатов
квантования. В этом случае не получается формулы для
передаточной функции замкнутой системы !
Если, однако, два блока разделены квантователем, то
результирующая импульсная передаточная функция равна
произведению импульсных ПФ отдельных блоков. Для этого
также имеет смысл включать в состав системы фиктивные
квантователи.
3) Следящая система
Uзад(t) e(t) Y(t)
W(p)
(-)
Y
oc
(t) Рис. 5.6
Импульсная система будет иметь точно такой же вид:
Uзад(z) e(z) Y(z)
W(z)
(-)
Y
oc
(z) Рис. 5.7
)(1
1
;
)(1
)(
;
)(1
)(
)(
)(
..
*
*
*
*
zW
W
zW
zW
W
pW
pW
pUзад
py
eсз
+
=
+
=
+
=
Таким образом, в практически важном случае следящей системы
вид импульсной передаточной функции замкнутой системы не
отличается от обычного. То же справедливо и для ПФ по ошибке.
25
43421
L
L
уравнение
тическоехарактерис
pT
n
pT
n
npT
m
pT
m
mpT
pT
pT
eP
aeaea
bebeb
eP
eQ
pW
0)(
;
)(
)(
)(
10
10
*
=
+++
+++
==
−
−
k
T
j
T
p
jk
T
T
pT
ee
eeeP
i
T
T
pT
T
T
pTpT
π
π
21
2
0)(
1
1
1
1
+−=
+−=
=
=−=
−
−
• Лекция 6.
Устойчивость импульсной САУ. Критерий устойчивости.
Устойчивость импульсной системы понимается также как и
непрерывной, т.е. малое изменение поведения системы в моменты
квантования при малом изменении начальных данных. Разница
лишь в рассмотрении только моментов квантования.
Аппарат дискретного преобразования Лапласа и Z-преобразования
обладает следующей особенностью: так как берутся только
моменты квантования, то можно пропустить, что система
неустойчивая (принять неустойчивую систему за устойчивую).
Если передаточная функция импульсной системы задана
посредством дискретного преобразования Лапласа:
Для исследования устойчивости в
этом случае можно применить
обычное требование к располо-
жению корней
характеристического
уравнения в левой полуплоскости.
Необходимое и достаточное условие устойчивости:
Re p
i
< 0 (отрицательность всех вещественных корней
характеристического уравнения).
Сложности
: решение характеристического уравнения, не имеющего
вида полинома. Число корней этого уравнения бесконечно.
Пример:
устойчивость инерционного звена. W(p) = K/(T
1
p+1) c
шагом квантования Т. Вычислим импульсную передаточную
функцию W(z) и соответствующую дискретную передаточную
функцию.
11
)(;)(
T
T
pT
pT
T
T
ee
Ke
pW
ez
Kz
zW
−−
−
=
−
=
Это характеристическое уравнение имеет
бесконечное число корней, отличающихся на
чисто мнимую величину. Понятно, однако, что
звено устойчиво, поскольку все эти корни
имеют отрицательную вещественную часть.
Это, конечно, бывает не всегда, поэтому
замкнутая
устойчивая непрерывная система
может стать неустойчивой при квантовании
(переходе к импульсной системе).
26
В частности, устойчивость импульсной системы зависит от выбора
шага Т квантования по времени. Обычно при чрезмерном
увеличении Т устойчивая импульсная система теряет
устойчивость.
Например, в чисто импульсной системе с инерционным объектом и
интегратором в ООС: ( К
имп
=(1- e
-T/T
1
)К
непр
)
U(t) e(z) Y(z)
К/(z-e
-T/T
1
)
(-)
Y
oc
(z) T/(z-1)
Рис. 6.1
нетрудно получить характеристическое уравнение:
P(p)= e
-2pT
- (1+e
-T/T
1
) e
-pT
+ e
-T/T
1
+ kT = 0:
Необходимым и достаточным условием устойчивости корней этого
уравнения является следующее: e
-T/T
1
+ kT < 1.
Видно, что с увеличением Т условие может быть нарушено.
В то же время исходная непрерывная система имеет
передаточную функцию:
Ясно, что эта система устойчива всегда при Т
1
>0 и К>0.
Необходимым и достаточным условием устойчивости в терминах Z-
преобразования является следующее вытекающее из формулы
pT
ez =
требование к корням характеристического уравнения P(z)=0:
Необходимое и достаточное условие устойчивости:
|z
i
| < 1 (все корни характеристического уравнения P(z)=0 лежат
внутри единичного круга на комплексной плоскости Z ).
Практическое значение имеют критерии устойчивости, то есть
способы проверки факта устойчивости без непосредственного
решения характеристического уравнения. Также, как и в случае
непрерывных систем, их можно разделить на алгебраические и
частотные.
• Прежде всего отметим, что вообще классические критерии
устойчивости предназначены для проверки факта
расположения корней в левой полуплоскости, значит, в принципе
не подходят для Z преобразования
• Алгебраические критерии устойчивости непосредственно
неприменимы, так как характеристическое уравнение в
;
)1(
1
1
)()(1
)(
)(
2
1
1
1
..
kppT
kp
ppT
k
pT
k
pWpW
pW
pW
oc
сз
++
=
+
+
+
=
+
=
27
ω
ω
T
T
z
−
+
=
2
2
pT
ez =
Заштрихованные области соответствуют устойчивости
терминах дискретного преобразования Лапласа вообще не
полиномиально.
Критерий Гурвица, например, неприменим.
• Частотные критерии применимы для импульсных систем, если
пользоваться дискретным преобразованием Лапласа. При этом,
например, эффективно применим критерий Найквиста.
Чтобы использовать одновременно известные критерии
устойчивости и преимущества Z - преобразования (полиномиаль-
ность всех выражений) применим следующий приём из теории
функций комплексного переменного: с помощью дробно-
рациональной функции
отобразим внутренность единичного круга в
левую полуплоскость. Пользуемся здесь известным свойством
такого отображения - сохранять вид дробно-рациональной
функции.
ω-преобразование
– обладает требуемыми свойствами:
1
12
+
−
⋅=
z
z
T
ω
ω
ω
T
T
z
−
+
=
2
2
В плоскости ω для проверки устойчивости можем пользоваться
всеми обычными критериями.
Покажем, более того, что при достаточно малых значениях частоты
jω в плоскости p мы получаем практически совпадающие с ним
значение jω
*
в плоскости ω, т.е. частотные настоящие
характеристики мало отличаются от частотных характеристик в
плоскости ω. По крайней мере, они практически не отличаются при
условии: ω << ω
p
.
}
Tjj
Tj
Tj
eez
j
T
j
T
j
T
tgj
T
e
e
T
ωϕ
ϕ
ω
ω
ω
ϕ
ωω
ϕ
ω
ϕϕ
ω
==
=⇒≈⇒≈
≈⋅=
+
−
⋅=
<
<
**
1
*
2
2
2
2
1
12
Im p Im z Im ω
jω j jω*
e
jωT
1
Re p
i
<0 Re p |z
i
| <1 Re z Re ω
i
<0 Re ω
Рис. 6.1
28
тиустойчивостребованиеz
bazzzP
−<
=++=
1
0)(
2,1
2
;0
2
2
)
2
2
()(;
2
2
2
=+
−
+
⋅+
−
+
=
−
+
= b
T
T
a
T
T
wP
T
T
z
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Вывод: после ω - преобразования получается частотная
характеристика (при подстановки
*
ωω
j= ), с которой можно
обращаться как с обычной частотной характеристикой, только
помнить, что рассматриваемая частота должна быть
достаточно мала. В частности, в инженерной практике после ω -
преобразования применяются те же методы частотного синтеза для
импульсных систем, что и для непрерывных.
Ещё раз отметим, что нужно помнить: ω
*
<< ω
p
Также ω - преобразование можно применять и для использования
алгебраических критериев устойчивости.
Пример:
система 2-го порядка с характеристическим полиномом:
Так как использовано z-
преобразование, то нужно, чтобы
корни этого характеристического
уравнения находились внутри единичного круга. Для этого сделаем
ω - преобразование:
Подставляем:
0
)(
)(
)2(
)2()2)(2()2(
)(
1
1
2
22
==
−
−+−+++
=
ω
ω
ω
ωωωω
ω
P
Q
T
TbTTaT
P
Получаем полином:
(
)
(
)
(
)
044424)(
2222
1
=+++−⋅++−⋅= babTTbTaTTQ
ωωω
К этому полиному 2го порядка применим критерий Гурвица:
коэффициенты полинома должны быть одного знака:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>++
>−
>+−
01
01
01
ba
b
ba
Решая эти неравенства, видим: -1<b< 1; -2<a<2.
Исследование устойчивости завершено.
Также можно исследовать устойчивость с помощью частотных
критериев Михайлова и Найквиста, если после ω - преобразования
построить АФЧХ или ЛАЧХ для "псевдочастоты" при подстановке
ω =jω
*
. Надо лишь учитывать, что корректные результаты
получатся при выполнении ограничения ω
*
<< ω
p
.
Для рассмотренного выше примера соответствующий годограф
Михайлова будет иметь вид:
P(jω
*
)= -ω
*2
(T
2
-aT
2
+bT
2
)+ jω
*
(4T-2bT) +(4+4a+4b)= Re P(ω
*
)+ jIm P(ω
*
)
Точно так же строятся и логарифмические частотные
характеристики ЛАЧХ и ФЧХ: L(ω
*
) и φ(ω
*
).
29
);()(
0
pXpmiltxmil
pt
⋅=
→∞→
• Лекция 7.
Точность импульсных систем автоматического управления.
Для оценки точности импульсных автоматических систем
используются те же методы, что и для непрерывных. Так же
рассматривается статическая точность и точность в переходном
режиме. Вводятся коэффициенты ошибок и типовые показатели
качества.
В установившемся режиме используют величину установившейся
ошибки при различных типовых воздействиях, наиболее характерных
для рассматриваемой системы. Основной метод исследования при
этом - предельные теоремы операторного исчисления. В
непрерывном случае (непрерывное преобразование Лапласа) имеет
место теорема:
Здесь x(t) и X(p) - оригинал непрерывной
функции и её преобразование Лапласа.
В случае Z - преобразования эта теорема преобразуется следующим
образом (учитывая, что z=e
pT
):
(7.1)
В замкнутой импульсной системе ошибка е(z), задающее воздействие
U
зад
(z) и возмущающее воздействие f(z) связаны следующим образом:
U
зад
(z) e(z) f(z) Y(z)
W(z)
(-) Рис. 7.1
Y
oc
(z) W
oc
(z)
e(z) = W
зс
(z) U
зад
(z) + W
e
(z) f(z);
Это выражение содержит две составляющие ошибки, первая из
которых обусловлена задающим воздействием, а вторая возмущаю-
щим.
Установившаяся ошибка импульсной системы может быть вычислена
с помощью теоремы о предельном значении:
Определим установившуюся ошибку системы по задающему
воздействию, положив f(t) = 0. Получим:
(7.2)
Если на вход подается постоянное воздействие, изображение
которого U
зад
(z) =U
o
z
/(z -1), то в соответствии с (7.2) установившаяся
ошибка системы:
);(
1
)(
1
zX
z
z
milkTxmil
Zk
⋅
−
=
→∞→
));(f(z) We(z)
1
(z) зад U(z)зсW
1
()(
1
zX
z
z
z
z
milkTemil
Zk
⋅
−
+⋅
−
=
→∞→
);(z зад U
)()(1
11
)(
1
zWzWz
z
milkTemil
oc
Zk
+
⋅
−
=
→∞→
; U
)1()1(1
1
)(
0
oc
уст
k
WW
eekTemil
+
===
∞
∞→
30
Для импульсных систем имеется понятие астатизма по задающему и
возмущающему воздействиям. Так же, как и для непрерывных
систем, эти понятия не обязательно совпадают. Как обычно, порядок
астатизма определяется "числом интеграторов" в контуре. Точнее,
поскольку для интегратора справедливо:
1
1
)
1
(
1
)/1(
2
−
=⋅
−
=
z
p
Z
z
z
pZ
,
то имеется следующее определение порядка астатизма:
);(
)1(
1
)(
1
zW
z
zW
k
⋅
−
=
где k - порядок астатизма системы, a W
1
(z) не
имеет нулей и полюсов, равных единице. То есть в явном виде
выделяется к интеграторов и больше их в разомкнутой системе нет.
Для того чтобы импульсная система имела нулевую ус-
тановившуюся ошибку по задающему воздействию, необходимо,
чтобы порядок ее астатизма по задающему воздействию
превышал степень входного воздействия. Аналогично
определяется и
астатизм по возмущающему воздействию.
Определение коэффициентов ошибок для импульсной системы.
Разложив передаточную функцию системы по ошибке для задающего
воздействия в степенной ряд по (1 -z
-1
), получим:
....;)
1
(
!
.....)
1
(
!2
)
1
(
)()(1
1
)(
2
2
2
1
1
0
+
−
++
−
+
−
+=
+
=
k
k
k
oc
e
z
z
Tk
C
z
z
T
C
z
z
T
C
C
zWzW
zW
Коэффициенты С
0
, С
1
,..... называют коэффициентами ошибок.
Таким образом, отличий от непрерывного случая практически нет.
Коэффициент ошибки С
к
показывают величину ошибки в установив-
шимся режиме при подаче на вход сигнала (полинома)степени к.
Для исследования точности САУ в динамическом режиме можно
пользоваться прямым моделированием на ЦВМ или диаграммами
Солодовникова, подобно непрерывному случаю.
Синтез корректирующих устройств также принципиально не
отличается от непрерывного случая.
Удобно использовать ЛАЧХ и ФЧХ
для псевдочастоты ω
*
при синтезе
последовательного корректирующего устройства в области частот
ω
*
<< ω
p
.
L(w*)
корректора
= L(w)
желаемая
- L(w*)
имеющаяся
φ(w*)
корректора
= φ(w)
желаемая
- φ(w*)
имеющаяся
Заметим, что в этих формулах получается корректирующее устрой-
ство в терминах W(w*). Следовательно, чтобы перейти к переменному
Z, надо сделать преобразование:
корректоракорректора
z
z
T
WzW )
1
12
()(
+
−
⋅=
31
• Лекция 8.
Описание импульсной системы в пространстве состояний
Реализация импульсной передаточной функции.
Так же, как имеется переход от передаточной функции или
дифференциального уравнения высокого порядка к системе или
дифференциальных уравнений первого порядка для непрерывной
системы, имеется такая же процедура и для импульсных систем, то
есть для разностных уравнений, определённых для функций со
значениями в разные моменты времени кТ.
Пусть имеется импульсная
передаточная
функция либо в терминах
дискретного преобразования Лапласа,
либо в терминах Z - преобразования:
Импульсные функции на входе и выхо-
де блока, описываемого такой переда-
точной функцией, обозначим u(kT) и
и y(kT) соответственно.
Заметим, что умножение на z
-1
соответствует сдвигу на один момент
квантования назад, то есть, к предыдущему по времени значению.
∑
∞
=
−−−
⋅=
0
11
)()(
k
k
kTyzzyz
Замечание:
мы работаем в реальном времени. Поэтому текущее
значение выхода системы может быть связано только с прошлыми, а
не с будущими значениями функций.
Поэтому передаточную функцию W(z) нужно переписать с
использованием отрицательных степеней z.
Разделим числитель и знаменатель W(z) на: z
-n
nm
zazaa
zbzbzb
azaza
bzbzb
z
z
zW
n
n
n
n
n
m
n
m
nm
nn
n
mm
m
n
n
≤
+++
+++
=
+++
+++
⋅=
−−
−
−−
−
−
−
−
−
−
1
10
1
10
10
10
)(
L
L
L
L
()
)))(())1(((
1
)(
))(())(())(())1(()(
1
0
010
TnkubTkya
a
kTy
TnkubTmnkubTnkyaTkyakTya
m
mn
−++−−⋅=
−
+
+
+
−
=
−
+−+
K
K
Это все можно свести к векторно-матричным операциям. Рассмотрим
для простоты случай, когда передаточная функция в числителе имеет
один коэффициент k.
n
pT
n
npT
m
pT
m
mpT
pT
aeaea
bebeb
eW
+++
+++
=
−
−
10
10
)(
L
L
nn
n
mm
m
azaza
bzbzb
zW
+++
+++
=
−
−
10
10
)(
L
L
∑∑
∞
=
−
∞
=
−
⋅=⋅=
00
)()(;)()(
k
k
k
k
kTyzzykTuzzu
32
2,01
2.0
1
)1(1
)(
1
−−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−
ez
ez
ez
e
zW
ф
ф
T
T
T
T
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−−=−
=−=−
=
−=−++−+
++
=
−
−
))1(()1(
)())1(()1(
)()(
))(())(())1(()(
)(
21
1
10
0
Tnkykx
kxTkykx
kTykx
TnkkuTnkyaTkyakTya
zaa
kz
zW
n
n
n
n
n
LLLM
K
K
(8.1)
Выразим последнюю переменную x
n
через правую часть (11) и
остальные переменные и получим систему уравнений:
)()(
;;);()(
)(
)(
)(
))1((
1
2
1
kxkTy
векторВматрицаквадратнаяAnkBukAx
kx
kx
kx
kx
n
=
−−−+=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=+
M
Если импульсные системы имеют много входов и много выходов,
т.е. описываются не передаточной функцией, а передаточной
матрицей (по этой причине мало пригодны частотные
характеристики), вычисления особенно выгодно вести такими
векторно-матричными методами. Все-таки в подавляющем
большинстве случаев имеется потребность в реализации на
специализированных вычислителях простейших систем с одним
входом
и выходом. Поэтому уравнение (8.1) – это основа для
написания подобных программ без применения матричных
методов.
Пример: реализация фильтра нижних частот:
1
1
)(
+
=
pT
pW
ф
(8.2)
Это-фильтр первого порядка с крутизной -20дб./дек.
Пусть постоянная времени фильтра:
мсT
ф
1
=
(частота среза 1 кГц.)
Период квантования
мсT 2,0
=
. Импульсная передаточная функция,
записанная с учётом фиксатора, (см. пример из лекции 5) и
домножения числителя и знаменателя на z
-1
будет иметь вид:
Формула с использованием Z-
преобразования будет являться
точной, т.к. в моменты квантования kT
она дает истинные значения сигнала.
Приведём её к виду (11):
y(kT) = 0.8187y((k-1)T)+0.1813u((k-1)T); (8.3)
Получилась вычислительная формула, позволяющая вычислить
текущее значение выхода через текущее значение входа и одно
предыдущее (взятое из памяти) значение выхода.